第十七章勾股定理与思想和折叠问题（单元复习3大思想+6大模型）（教师版）_初中数学_八年级数学下册（人教版）_知识点汇总-U105_2025版

第十七章 勾股定理与思想和折叠问题 01 思维导图 目录 【思想总结】.................................................................................................................................................................1 思想一 方程思想.........................................................................................................................................................1 思想二 分类讨论思想.................................................................................................................................................7 思想三 转化思想.......................................................................................................................................................11 【模型总结】...............................................................................................................................................................15 模型一 长方形中折痕过对角线模型......................................................................................................................15 模型二 长方形中折痕过一顶点模型......................................................................................................................19 模型三 长方形中折痕过任意两点模型..................................................................................................................25 模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型..........................................................30 模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型..........................................................................................34 模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型..........................................................38 02 思想总结 【思想总结】 思想一 方程思想 适用情况： 1. 直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系； 2. 直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）； 3. 折叠问题； 4. 实际应用问题. 例题：（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在 中， ， ， ，E是边 上一点，将 沿 折叠，使点B的对应点 恰好落在边 上，则 的长等于 ．【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与折叠，熟练掌握勾股定理与折叠的性质是解题关键．先利用勾股定理可得 ，再根据折叠的性质可得 ， ，从而可得 ，设 ，从而可得 ，然后在 中利用勾股定理即可得． 【详解】解： ， ， 由折叠的性质得： ， ， 设 ，则 ， 在 中， ，即 ， 解得 ， 即 的长为 ， 故答案为： ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距 ，C，D为两村庄， 于A， 于B．现要在 上建一个中转站E，使得C，D两村到E站 的距离相等，求 的长． 【答案】 的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设 ，则 ，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设 ，则 ， 由勾股定理得：在 中， ， 在 中， ， 由题意可知： ， 所以 ， 解得： 即 的长为 ． 2．（23-24八年级下·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中 点， 点到地面的高度 米， 点到地面 点（ ， 两点处于同一水平面）的距离 米． (1)求出 的长度； (2)若小鸟竖直下降到达 点（ 点在线段 上），此时小鸟到地面 点的距离与下降的距离相同，求小 鸟下降的距离． 【答案】(1) 米 (2)小鸟下降的距离为 米 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练的掌握勾股定理是解题的关键． （1）在直角三角形中运用勾股定理即可解答； （2）在 中，根据勾股定理即可解答． 【详解】（1）由题意知 ， ∵ 米， 米． 在 中 米， （2）设 ， 到达D点（D点在线段 上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，则 ， ， 在 中， ， ， 解得 ， 小鸟下降的距离为 米． 3．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙 时，竹竿底端O到左墙角的距离 为2米，顶端B距墙顶的距离 为1米，若保持竹竿底端位置不动， 将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离 为3米，顶端E距墙顶D的距离 为2米，点 在一条直线上，点 在一条直线上， ．求： (1)墙的高度； (2)竹竿的长度． 【答案】(1)4米 (2) 米 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用，解题的关键是根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计 算． （1）设墙高x米，则 米， 米，在 和 中，根据勾股定理可列出关 于x的方程，再求解即可； （2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：设墙高x米，则 米， 米，在 中， ， 在 中， ， 由题意可知 ， ∴ ， 解得： ， 答：墙的高度为4米； （2）解： 米． 答：竹竿的长度为 米． 4．（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）已知 中， ， ，点 在 边上．请从 ， 两题中任选一题作答． A．如图1，若 ； B．如图2，若 ； 我选择 题，则 的长为 ； 我选择 题，则 的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形，勾股定理的应用，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，三线合一，勾股 定理的应用，即可． 选择A题：过点 作 交 于点 ，根据等腰三角形的性质，则 ，根据勾股定理， 则 ，求出 ；再根据 ， ，即可；选择B题：过 作 交 于点 ，根据根据等腰三角形的性质，则 ，根据勾股定理求出 ，根据，求出 ，最后再根据勾股定理即可． 【详解】选择 题： 过点 作 交 于点 ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ， 在 中， ， 设 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 故答案为： ． 选择 题： 过点 作 交 于点 ，∵ ， ∴ ， 在 中， ， ， 解得： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 ， ， ∴ ． 故答案为： ． 思想二 分类讨论思想 适用情况： 1. 高在三角形内，外不明确； 2. 直角边、斜边不明确； 3. 动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确. 例题：（2024·黑龙江哈尔滨·二模）在 中， ， 点 是直线 上一点， ， ，连接 ， 则线段 的长为 ． 【答案】 或 【分析】了勾股定理，分 当 在线段 上时， 当 在线段 延长线上时，再由勾股定理即可求解， 熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】由题意得： ， 如图，当 在线段 上时，∴ ， 在 中由勾股定理得： ， 如图，当 在线段 延长线上时， ∴ ， 在 中由勾股定理得： ， 综上可知： 的长为 或 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）如图，在 中， ，点P为射线 上一点，将 沿 所在直线翻折，点C的对应点为点 ，如果点 在射线 上，那么 ． 【答案】 /6 【分析】本题考查勾股定理，翻折等知识，分两种情况：点 在 上和点 在 延长线上，并分别画出 图形，在 中利用勾股定理列方程解出即可，熟练运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在直角三角形 中，由勾股定理，得 点 为射线 上一点，分两种情况： ①点 在 上时， 如图， 设 由翻折可知 ， 在 中， 由勾股定理，得 即 ， 解得： ②点 在 的延长线上时，如图， 设 由翻折可知 在 中， 由勾股定理，得 即 解得： ， 故答案为： 或6．2．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知 中， ， ， 边上的高 ，求 边的长． 【答案】 的长为 或 ． 【分析】本题主要考查了勾股定理，分两种情况讨论：①当 为锐角三角形时，②当 为钝角三 角形时，根据勾股定理即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当 为锐角三角形时，如图： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ； ②当 为钝角三角形时，如图： ∵ ， ∴ ， ∵ ， ， 在 中， ， 在 中， ， ∴ ，综上所述， 的长为 或 ． 3．（23-24八年级下·河北张家口·期中）如图，在 中， ， ， ，动点 从点 出发沿射线 以 的速度移动，设运动的时间为 ． (1)求 边的长； (2)当 为直角三角形时，求 的值． 【答案】(1) (2)4或 【分析】本题主要考查了勾股定理： （1）利用勾股定理求解即可得； （2）先求出 cm，再分①当 ，②当 两种情况，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：在 中， ， ， ∴由勾股定理得 ； （2）解：由题意知 ． ①当 时，如图，点P与点C重合， ， ∴ ； ②当 时，如图2， ， ．在 中， ， 在 中， ， ∴ ， 解得 ． 综上所述，当 为直角三角形时，t的值为 或 ． 思想三 转化思想 适用情况： 1. 最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）； 2. 等线段转化（几何证明）. 例题：（23-24八年级上·四川达州·阶段练习）如图， 、 两个村在河流 的同侧，分别到河的距离为 千米， 千米，且 千米，现在要在河边建一自来水厂，向 、 俩村供水，铺设水 管的费用为每千米 万，请你在河流 上选择水厂的位置 ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是 多少？ 【答案】在河流 上选择水厂的位置 见解析，总费用是 万元． 【分析】先作点 的对称点 ，连接点 和点 ，交 于点 ， 即所求作的点，过 作 ， 延长 交 于点 ，根据轴对称的性质可知： ，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：作 关于 的对称点 ，连接 交 于 ，连接 ，水厂的位置即在点 处，过 作 ，延长 交 于点 ， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 由对称性质可知： ， ∴ ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴水管的费用最节省为 （万元）， 答：水管的费用最节省为 万元． 【点睛】此题考查了轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解 是解题的关键． 巩固训练 1．（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离 分别为 ， ， ，现在要在河岸 上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要 求水厂E到A、B两村的距离之和最短． (1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）延长 ，取 ，再连接 ，与 交于点E即可； （2）作出以 为斜边的直角 ，求出直角边，利用勾股定理求出结果． 【详解】（1）解：如图所示：点E即为水厂的位置； （2）如图，作出以 为斜边的直角 ， 由（1）可知： ， 由题意可得： ， ， ， ∴ ， ， ， ∴水厂E到A、B两村的距离之和的最小值为 ． 【点睛】本题考查了应用与设计作图，勾股定理，主要利用轴对称的性质，找出点A关于 的对称点是 确定建水厂位置的关键． 2．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】 数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2， A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】 老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15 的长方形，连接 ，经过计算得到 长度为______，就是最短路程． 【变式探究】 （2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着 玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】 （3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜， 此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所 爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【分析】本题考查勾股定理最短路径问题： （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，利 用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（1）由勾股定理，得： ； 故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ， ， 由勾股定理得： ；故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作 关于 的对称点 ，作 ，交 延长线于点 ，连接 ， 由题意得： ， ， ∵底面周长为 ， ， ， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁 处到内壁 处所走的最短路程为 ， 03 模型总结 【模型总结】 模型一 长方形中折痕过对角线模型 【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’. 结论1： ≌ ； 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： AEC是等腰三角形。 例题：（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线 折叠，若 ，求 的长．【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明 ，则 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线 折叠， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ∴ ， 解得 ， ∴ ． 【变式训练】 1．如图，长方形ABCD中， ， ，如果将该长方形沿对角线BD折叠，使点C落在点F处， 那么图中阴影部分的面积是______． 【答案】【分析】要求阴影部分的面积就要先求得它的底和高，这个三角形的高就是 ， ，由 此关系就可利用勾股定理求出AE及EF的长，从而求三角形的面积． 【详解】解： 四边形ABCD是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质，可得 ， ， ， ， ， 设 ，则 ， ，即 ，解得 ， ．故答案为 ． 【点睛】此题考查翻折变换的性质，解题的关键是利用勾股定理求三角形的底和高，从而求三角形的面积． ABCD AB 8cm AD6cm AC B 2．如图，在长方形纸片 中， ， . 把长方形纸片沿直线 折叠，点 落在点 E AE DC F AF 处， 交 于点 ，则 的长为（ ） 25 15 13 cm cm cm A． 4 B． 2 C．7cm D． 2 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8- x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm25 x cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， x2 (8x)2 62 4 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 3．（22-23八年级上·江苏徐州·期中）如图，长方形 中， ， ， ．点 为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ． (1)当 点落在 边上时， (2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长． 【答案】(1)45 (2) 【分析】（1）由 知 ，结合 点落在 边上知 ，从而得 出答案； （2）由折叠得出 ，再由 得出 ，从而得知 ，可得 ，设 ，则 ，在 中，由 得到关于 的方程，解 之可得． 【详解】（1）解：由题意知 ， ， 点落在 边上时， ， ， 故答案为：45； （2）如图2，由题意知 ， 四边形 是长方形， ， ， ，， 设 ，则 ， 在 中，由 得： ， 解得 ，即 ． 【点睛】此题是四边形的综合问题，考查翻折的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，掌握翻折的 性质，和勾股定理是解决问题的关键． 模型二 长方形中折痕过一顶点模型 【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’. 结论1： ≌ ； 折在矩形内 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 结论1： ≌ ； 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 结论1：四边形 ≌四边形 ； 折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： AEF是等腰三角形。 例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，长方形纸片 中，已知 ，折叠纸片使 边与 对角线 重合，点B落在点F处，折痕为 ，且 ． (1)求 的长； (2)求 的长． 【答案】(1)(2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，掌握折叠的性质，利用勾股定理进行求解，是解题的关键． （1）根据折叠的性质，得到 ，进而得到 ，利用勾股定理进行求解 即可； （2）根据折叠的性质，得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵长方形纸片 中， ，折叠纸片使 边与对角线 重合， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ； （2）∵折叠， ∴ ， 设 ，则： ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形 沿 折叠，点D恰好落在 边的F点上，已知 ， ，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出 ，设 ，则 ，根据勾股定理得出 ，求出 ，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质， ， 长方形 中 ，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得： ， 即 ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：10． 2．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片 ， ， ．现折叠该 纸片使得 边与对角线 重合，折痕为 ，点 落在 处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出 ，然后根据折叠的性质得到 ， ， ，求出 ，然后在 中，利用勾股定理构建方程，即可求出 ． 【详解】解：∵ ， ， ， ∴ ， 由折叠得： ， ， ， ∴ ， ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 故答案为：3． 3．（23-24八年级下·重庆万州·期末）如图，在矩形 中， ，点E为线段 的中点， 连接 ，点F在边 上，连接 ，将 沿 翻折得到 ，点G在线段 上，则 的长为 ．【答案】 【分析】本题考查勾股定理，翻折定义．根据题意可得 ， ，得出 ，因为 ，所以 ，连接 ，设 ，即可得到答案． 【详解】解：连接 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ， 连接 ，设 ， 可得方程： ， 代入数值可得： ， 解得 ， ∴ ， 故答案为： ． 4．（23-24八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，长方形纸片 ， ，点P在 边上， 将 沿 折叠，点C落在E处， ， 分别交 于点O，F，且 ，则 长为 ．【答案】 / 【分析】折叠，得到 ，证明 ，得到 ，进 而得到 ，设 ，在 中，利用勾股定理进行求解，进而求出 的长． 【详解】解：∵长方形纸片 ， ∴ ， ∵折叠， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即： ， ∴ ， 设 ，则： ， ， ∴ ， 在 ， ，即： ， 解得： ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了折叠，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股 定理列出方程求出答案． 5．（23-24八年级下·山东淄博·期中）在四边形 中，． (1)若P为边 上一点，如图①将 沿直线 翻折至 的位置，当点B落在 边上点E处时， 求 的长； (2)如图②，点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点D恰好落在直线 上的点 处，求 的长． 【答案】(1)5 (2) 或 【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理： （1）设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ， ，根据勾股定理即可 求得答案； （2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时． 【详解】（1）解：设 ，则 ． 根据图形折叠的性质可知 ， ． 在 中， ． 则 ． 在 中， ， 即 ． 解得 ． 即 ； （2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．设 ，则 ． 根据图形折叠的性质可知 ， ， ． 在 中 ． 则 ． 在 中 ，即 解得 ． 即 ． ②如图所示，当点 在线段 的延长线上时． 根据图形折叠的性质可知 ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∴ ．在 中 ． ∴ ． 综上所述， 或 ． 模型三 长方形中折痕过任意两点模型 【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。 已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论1： ≌ ； 折在矩形内 结论2：折痕EF垂直平方BB’。 结论1：四边形 ≌四边形 ； 折在矩形边上 结论2：折痕AC垂直平方BB’。 结论1：四边形 ≌四边形 ； 折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’； 结论3： GC’F是直角三角形。 例题：（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，长方形纸片 中， ， ，将此长方形纸 片折叠，使点 与点 重合，点 落在点 的位置，折痕为 ，则 的长度为( ) A．6 B．10 C．24 D．48 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；由折叠可知 ，设 利用勾股定 理进行分析计算即可． 【详解】解：由折叠可知 ，设 由勾股定理可得 ， 即 ， 解得 ， ， 故选：B． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·江西赣州·期中）如图，将长方形纸片 沿 折叠，使顶点C恰好落在 边的 中点 上．若 ， ，求 的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得到 ，设 ，则 ，由线段中点的定义得到 ，再由勾股定理建立方程 ， 解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得 ， 设 ，则 ， ∵ 是 边的中点， ∴ ， 由长方形的性质可得 ， 在 中，由勾股定理得 ， ∴ ， 解得 ，∴ ． 2．（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，长方形 中 ，边 ， ．将此长 方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处． (1)证明 ； (2)求 的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）根据同角的余角相等，可得 ，通过 即可证明 ，可得结论； （2）设 ，则 ，在 中，利用勾股定理列出方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：证明： 四边形 是长方形， ， ， 将此长方形沿 折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ； （2）设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得，， 解得 ， ， ， 的面积为 ． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用勾 股定理列方程是解题的关键． 3．（22-23八年级上·广东揭阳·期末）如图，把一张长方形纸片 折叠起来， 为折痕，使其对角顶 点 与 重合， 与 重合．若长方形的长 为 ，宽 为 ． (1)求 的长； (2)求 的长； (3)求阴影部分 的面积． 【答案】(1) (2) (3)阴影部分 的面积为 【分析】（1）由折叠可知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ， 求出 的长即可； （2）过 点作 于 ，在 中，由勾股定理 的长，在 中，由勾股定理即可得 出答案； （3）过 点作 于 ，根据三角形面积不变性， ，求出 的长，根据 三角形面积求出结果即可．【详解】（1）解：由折叠可知 ． 设 ，则 在 中， ， ， 解得： ， ； （2）过 点作 于 ，则 ， 在 中， ，由勾股定理： ，即 ． ， ， ， （3）过 点作 于 ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了折的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等 几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．模型四 直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 【模型解读】 （1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； （2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； （3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例题：（23-24八年级下·湖北十堰·阶段练习）如图，有一块 的纸片， ， ， ，将 沿 折叠，使点 落在 上的 处，连接 ，则 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得 的长. 由题意可得 ， ，由勾股定理即可求得 的长，则可得 的长，然后设 ，则 ，由勾股定理 ，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解： 点 是沿 折叠，点 的对应点，连接 ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 设 ，则 ， 在 中， ， 即： ，解得： ， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的 长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出 ，设 ，根据折叠前后对应边 相等得出 ， ，再用勾股定理解 即可． 【详解】解： ， ， ， ， 设 ，则 ， 由折叠的性质可得 ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ， 解得 ， ， 故选B．2．（22-23八年级下·江西南昌·期中）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，点P是 边 上任意一点，连接 ，将 沿 翻折，点B的对应点为 ，当 有一边与 垂直时， 的长为 ． 【答案】 或1或2 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，分三种情况讨论，当 时，当 时，当 时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：当 时，如图， 在等腰直角三角形 中， ， ， ∴ ， ， 设 ，则 ， ， ∵将 沿 翻折， ∴ ， ， ∴ ，即 ， 解得 ；∴ 当 时，如图， 此时， ； 当 时，如图， 此时，点A，B， 在同一直线上， ； 综上，当 有一边与 垂直时， 的长为 或1或2． 故答案为： 或1或2． 3．（23-24八年级下·江西南昌·期中）如图是一张直角三角形 纸片， ， ， ． (1)在图1中，将直角边 沿 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，求 的长； (2)在图2中，将 沿 折叠，使点 与点 重合，求 的长． 【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得 ，由折叠可知 ， ， ，设 ， 则 ， ，在 中，根据 ，列出方程即可求解； （2）由折叠知 ，设 ，则 ，在 中，根据 ，列出 方程即可求解． 【详解】（1）解：在 中， ， ， ． 由题意知 ， ， ． ． 设 ，则 ， ． 在 中， ， ． 解得 ． ． （2）由题意知 ， 设 ，则 ． 在 中， ， ． 解得 ． ． 模型五 直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； （2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. （3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.例题：（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重合，折痕为 ．则 的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出 ，再根据勾股定理求出 的值． 【详解】解：设 ，则 ， 是 翻折而成， ， 在 中， ， 即 ， 解得 ． 故选：C． 【变式训练】 1．（23-24八年级下·四川广安·期中）如图， 在直角坐标系中， C点在线段 上， D点在线段 上，将 沿直线 折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ．【答案】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设 ，由折叠可知， ，在 中，根据 列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设 ，则 ， 由折叠可知， ， 在 中， ，即： ， 解得： ，即 ， ∴点 坐标是 ， 故答案为： ． 2．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ， ．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在 中由于 ， ， ， 所以根据勾股定理可求出 的长，由折叠可知， ，设 ，则 在 中，由 即可求出x的值，故可得出结论．【详解】解：在 中由于 ， ， ， 由勾股定理得： ， ∵由折叠可知， ， 设 ，则 ． 在 中， ， 即 ，解得 ， ∴ ． 3．（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图、 为一块直角三角形纸片， ． 【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而 通过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想． （1）如图1，现将纸片沿直线 折叠，使直角边 落在斜边 上， 的对应点为 ，若 ，求 的长． 【学以致用】 （2）如图2，若将直角 沿 折叠，点 与 中点 重合，点 分别在 ， 上，则 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1） ，（2） ， 理由见解析． 【分析】本题考查了翻折的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握相关性质是解题的关键． （1）先求出 ，由由翻折的性质可得 ， ，再进一步得到 即可求解． （2）过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，先证明 ，得到 ，进一步即可得到 ． 【详解】（1）解：在 中，， 由翻折的性质可知： ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． （2） ， 理由如下： 过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，如图： ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，∴ ， ∴ ． 模型六 直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 【模型解读】 （1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD. （2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合； 例题：在 中， ，将 沿直线 折叠，使B落在 的三等分点 处，求 的长． 【答案】 的长度为 或3 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，熟记性质并表示出 的三边的长度，然后利 用勾股定理列出方程是解题的关键，要注意分情况讨论，设 ，则 ，再根据翻折 的性质可得 ，然后分两种情况求出 ，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设 ，则 ， 沿直线 折叠B落在 处， ， 点 为 的三等分点， ， 或 ，当 时，在 中， ，即 ， 解得： ； 当 时，在 中， ，即 ， 解得： ， 综上所述， 的长度为 或3． 【变式训练】 1．（2024·山东滨州·三模）如图，在 中， ， ， ．将 折叠，使点 落在 的中点 处，折痕为 ，则线段 的长为（ ） A． B． C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的运用，从而列出关于x的 方程是解题的关键． 设 ，由翻折的性质可知 ，在 中利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：设 ， 由翻折的性质可知 ， ∵D是 的中点， ， 在 中，由勾股定理得： 即 ，解得： ， ∴ ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东中山·期中）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角 翻折，使得点 落在边 的中点 处，折痕交 边于点 ，交 边于点 ，则 的长为（ ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出 ，由折叠的性质可得 ， 则 ，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解： 点 为 的中点， ， 由折叠的性质可得： ， 设 ，则 ， 由勾股定理可得： ， ， 解得： ， ， 故选：D． 3．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在 中， ， ， ，点D、E分别 在 、 上．现将 沿 翻折，使点C落在点 处．连接 ，则 长度的最小值． （ ）A．等于3cm B．等于4cm C．等于5cm D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．当 落在 上，点B与E重合时， 长度的值最小，根据勾股定理得到 ，由折叠的性质得到结论． 【详解】解：当 落在 上，点B与E重合时， 长度的值最小， ∵ ， ， ， ∴ ， 由折叠的性质知， ， ∴ ． 故选：B． 4．（23-24八年级下·贵州遵义·阶段练习）在 中， ， ， ， 分别是斜 边 和直角边 上的点．把 沿着直线 折叠，顶点 的对应点是点 ． (1)如图1，若点 和顶点 重合，求 的长； (2)如图2，若点 落在直角边 的中点上，求 的长． 【答案】(1)(2) ． 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解此题的关键． （1）由折叠可得 ，设 ，则 ，再由勾股定理进行计算即可得出答案； （2）由题意得 ，由折叠的性质可得： ，设 ，则 ，再由勾 股定理计算即可得解． 【详解】（1）解：若点 和顶点 重合，由折叠的性质可得： ， 设 ，则 ， 由勾股定理得： ， ， 解得： ， ； （2）解： 点 落在直角边 的中点上， ， 由折叠的性质可得： ， 设 ，则 ， 由勾股定理可得： ， ， 解得： ， ∴ ．