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第 1 讲 不等式的性质与一元二次不等式
一、选择题
1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( )
A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x)
C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化
解析 f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0 f(x)＞g(x).
答案 B
⇒
2.已知下列四个条件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推出
＜成立的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析 运用倒数性质，由a＞b，ab＞0可得＜，②、④正确.又正数大于负数，①
正确，③错误，故选C.
答案 C
3.(2017·河北省三市联考)若集合 A＝{x|3＋2x－x2>0}，集合 B＝{x|2x<2}，则
A∩B等于( )
A.(1，3) B.(－∞，－1)
C.(－1，1) D.(－3，1)
解析 依题意，可求得A＝(－1，3)，B＝(－∞，1)，
∴A∩B＝(－1，1).
答案 C
4.若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是( )
A.{a|0＜a＜4} B.{a|0≤a＜4}
C.{a|0＜a≤4} D.{a|0≤a≤4}
解析 由题意知a＝0时，满足条件.
a≠0时，由得0＜a≤4，所以0≤a≤4.
答案 D
5.已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝
f(1＋x)成立，若当x∈[－1，1]时，f(x)＞0恒成立，则b的取值范围是( )
A.(－1，0) B.(2，＋∞)
C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.不能确定
解析 由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1，1]时，f(x)为增函数，
所以f(x) ＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，
min
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
答案 C
二、填空题
6.已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞3的解集为________.
解析 由题意知或解得x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}.
答案 {x|x＞1}
7.(2016·重庆模拟)若关于x的不等式ax＞b的解集为，则关于x的不等式ax2＋
bx－a＞0的解集为________.
解析 由已知ax＞b的解集为，可知a＜0，且＝，将不等式ax2＋bx－a＞0两边
同除以a，得x2＋x－＜0，即x2＋x－＜0，解得－1＜x＜，故不等式ax2＋bx－a＞
0的解集为.
答案
8.不等式a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为
________.
解析 因为a2＋8b2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，所以a2＋8b2－λb(a
＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，即a2－λba＋(8－λ)b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，
Δ＝λ2b2＋4(λ－8)b2＝b2(λ2＋4λ－32)≤0，
所以(λ＋8)(λ－4)≤0，
解得－8≤λ≤4.
答案 [－8，4]
三、解答题
9.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解 (1)由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，即a2－6a－3＜0，
解得3－2＜a＜3＋2.
所以不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}.(2)∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
∴解得
即a的值为3±，b的值为－3.
10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x成
(1成＝10%)，售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.
(1)设该商店一天的营业额为y，试求y与x之间的函数关系式y＝f(x)，并写出定
义域；
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x的取值范围.
解 (1)由题意得，y＝100·100.
因为售价不能低于成本价，所以100－80≥0.
所以y＝f(x)＝40(10－x)(25＋4x)，
定义域为x∈[0，2].
(2)由题意得40(10－x)(25＋4x)≥10 260，
化简得8x2－30x＋13≤0.解得≤x≤.
所以x的取值范围是.
11.下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要条件是( )
A.a>b＋1 B.a>b－1
C.a2>b2 D.a3>b3
解析 A项：若a>b＋1，则必有a>b，反之，当a＝2，b＝1时，满足a>b，但不能
推出a>b＋1，故a>b＋1是a>b成立的充分而不必要条件；B项：当a＝b＝1时，
满足a>b－1，反之，由a>b－1不能推出a>b；C项：当a＝－2，b＝1时，满足
a2>b2，但a>b不成立；D项：a>b是a3>b3的充要条件，综上所述答案选A.
答案 A
12.(2017·湛江调研)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若不等式f(x)<0的解集为，
则f(ex)>0(e是自然对数的底数)的解集是( )
A.{x|x<－ln 2或x>ln 3} B.{x|ln 20，可得0的解集为，令
