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重难点突破 06 恒成立与能成立问题
1．恒成立问题的转化： 恒成立 ；
2．能成立问题的转化： 能成立 ；
3 ． 恰 成 立 问 题 的 转 化 ： 在 M 上 恰 成 立 的 解 集 为 M
x∈D,f(x)≥A f (x)
另一转化方法：若 在 D 上恰成立，等价于 在 D 上的最小值
f (x)=A x∈D,f (x)≤B f (x)
min ，若 在 D 上恰成立，则等价于 在 D 上的最大值
f (x)=B
max ．
f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≥g(x )
4．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，
f (x)≥g (x)
则 min min
f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≤g(x )
5．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，
f (x)≤g (x)
则 max max
f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≥g(x )
6．设函数 、 ，存在 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，则
f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )≤g(x )
7．设函数 、 ，存在 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，则f (x) g(x) x ∈[a , b] x ∈[c , d] f (x )=g(x )
8．设函数 、 ，对任意的 1 ，存在 2 ，使得 1 2 ，
f (x) g(x)
设 在区间[a，b]上的值域为A， 在区间[c，d]上的值域为B，则AB．
9．若不等式 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数 和图象
在函数 图象上方．
10．若不等式 在区间D上恒成立，则等价于在区间D上函数 和图
象在函数 图象下方．
恒成立问题的基本类型
在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题．
函数在给定区间上某结论成立问题，其表现形式通常有：①在给定区间上某关系恒成立；
②某函数的定义域为全体实数R；③某不等式的解为一切实数；④某表达式的值恒大于a
等等…
恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函
数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等
方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点．
恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：
①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤
直接根据函数的图象．
二、恒成立问题解决的基本策略
大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题．等式中的恒成立
问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来解
决问题的．
（一）两个基本思想解决“恒成立问题”
m≥f(x)在x ∈D上恒成立⇔m≥[f(x)]
思路1． maxm≤f(x)在x ∈D上恒成立⇔m≤[f(x)]
思路2． min
如何在区间D上求函数f(x)的最大值或者最小值问题，我们可以通过习题的实际,采取合理
有效的方法进行求解，通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法
三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数 的最值．1．（2023春•海淀区期末）已知函数 ．
（Ⅰ）当 时，求曲线 在点 ， （1） 处的切线方程；
（Ⅱ）当 时，求函数 的零点个数；
（Ⅲ）若对任意的 ， ，都有 ，求实数 的最大值．2．（2023•青羊区校级模拟）已知函数 ，其中 为实数．
（1）若 在区间 上单调递增，求 的取值范围；
（2）求证：对任意的实数 ，方程 均有解．3．（2023春•通州区期末）已知函数 ， ．
（Ⅰ）若 在区间 上恰有一个极值点，求实数 的取值范围；
（Ⅱ）求 的零点个数；
（Ⅲ）若 ，求证：对于任意 ，恒有 ．4．（2023春•渝中区校级期末）（1）不等式 对任意的 恒成立，求 的取
值范围．
（2）当 ，求证： （参考数据： ， ．5．（2023•宜章县二模）已知函数 ， 为常数，且 ．
（1）判断 的单调性；
（2）当 时，如果存在两个不同的正实数 ， 且 ，证明：
．6．（2023•河南开学）已知函数 ， ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）当 时，若存在 ，使得 成立，求 的取值范围．7．（2023春•西城区期末）已知函数 ，其中 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 存在两个不同的极值点 ， ，证明： ．8．（2023春•东城区校级月考）设函数 ， ．
（1）当 时，求函数 的单调增区间；
（2）若函数 在区间 上为减函数，求 的取值范围；
（3）若函数在区间 内存在两个极值点 ， ，且 ，求
的取值范围．9．（2023春•朝阳期末）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实
数 的取值范围．10．（2023春•大连期末）已知函数 ．
（1）判断函数 在区间 上零点和极值点的个数，并给出证明；
（2）若 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．11．（2023春•滨海新区校级月考）已知函数 （a R）．
（1）a＝0时，求函数f（x）的单调性； ∈
（2）a≠0时，讨论函数f（x）的单调性；
（ 3 ） 若 对 任 意 的 a [﹣ 2 ， ﹣ 1 ） ， 当 x ， x [1 ， e] 时 恒 有
1 2
∈ ∈
成立，求实数m的取值范围．12．（2023春•咸阳期末）已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，求曲线 在点 ， （2） 处的切线方程；
（2）若对于任意 ， ，都有 成立，求 的取值范围．13．（2023•乌鲁木齐模拟）已知 在 处的切线方程为 ．
（1）求函数 的解析式；
（2） 是 的导函数，证明：对任意 ， ，都有 ．14．（2023 春•朝阳区校级期末）已知函数 ， （其中
．
（1）若 ，求函数 的单调区间；
（2）若对于任意 ，都有 成立，求 的取值范围．15．（2023 春•鼓楼区校级期末）已知定义在 上的奇函数 和偶函数 满足
．
（1）求函数 的值域；
（2）若存在 ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围．16．（2023春•芗城区校级月考）已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）当 ， 时 恒成立，求实数的 的取值范围．17．（2023春•驻马店月考）已知函数 ．
（1）求曲线 在点 ， （4） 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．18．（2023春•运城期末）已知 ，
（1）证明： 关于 对称；
（2）若 的最小值为3
（ⅰ）求 ；
（ⅱ）不等式 恒成立，求 的取值范围19．（2023春•湖北期末）已知函数 ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）若曲线 在 处的切线方程为 ．
（ⅰ）求实数 的值；
（ⅱ）关于 的不等式 对任意的 恒成立，求正实数 的值．20．（2023春•肥西县期中）已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的极小值；
（Ⅱ）若对任意的 ， ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．21．（2023•福建模拟）已知函数 ， ．
（1）讨论 在 的单调性；
（2）是否存在 ， ， ，且 ，使得曲线 在 和 处有相同的切
线？证明你的结论．22．（2023春•昆明期末）已知函数 在 处取得极值0．
（1）求 ， ；
（2）若过点 存在三条直线与曲线 相切，求实数 的取值范围．23．（2023春•大余县校级期末）已知函数 ， ．
（1）设 ，求函数 的极大值点；
（2）若对 ，不等式 恒成立，求 的取值范围．24．（2023春•日照期末）已知函数 ， 为自然对数的底数．
（1）求曲线 在 处的切线方程；
（2）对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的值；
（3）若关于 的方程 有两个实根 ， ，求证： ．25．（2023春•高台县校级月考）已知函数 ， 为 的导数．
（1）求曲线 在点 ， 处的切线方程；
（2） ，若对任意 ， ，均存在 ， ，使得
，求实数 的取值范围．26．（2023春•朝阳区期末）已知函数 ， ．
（Ⅰ）当 时，证明 ；
（Ⅱ）若直线 是曲线 的切线，设 ，求证：对任意的
，都有 ．27．（2023春•平度市期末）已知函数 ．
（1）若 在 ， 上单调递增，求 的取值范围；
（2）若函数 在 上存在零点，求 的取值范围．28．（2023春•滨海新区期末）已知函数f（x）＝lnx﹣mx2+（1﹣2m）x+1，（m R）．
（1）若f（1）＝﹣1，求m的值及函数f（x）的极值； ∈
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）若对定义域内的任意x，都有f（x）≤0恒成立，求整数m的最小值．29．（2023春•台江区校级期末）已知函数 ， ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若对任意的 ，都有 恒成立，求 的取值范围．30．（2023春•天津期末）已知函数 ．
（1）证明：当 时， 恒成立；
（ 2 ） 若 且 ， 证 明 ： ， ，
．
