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2025二轮复习专项训练8
恒成立问题与能成立问题
[考情分析] 恒成立问题(能成立问题)多与参数的取值范围问题联系在一起，是近几年高考
的热门题型，难度大，一般为高考题中的压轴题．
【练前疑难讲解】
一、恒成立问题
(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略
①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题．
②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x) 或a0有唯一整数解，进一步求出a的取值范围.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
令 ，解得 ，f'(x)， 的变化情况如下表所示．
x 1
f'(x)
+ 0
单调递
单调递增 1
减
所以， 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
当 时， 有极大值 ，也是 的最大值.
又因为 ， ，而 ，
所以 ，所以 为 的最小值.
（2）解法一：因为 ，所以不等式 可化为 ，
由（1）可知 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
因为 的最大值 ， ， ， ，
，
学科网（北京）股份有限公司所以 ， 时， 最大，所以不等式 ，
即 存在唯一的整数解只能为1，所以 ，所以a的取值范围为
.
解法二：令 ，由题意可知g(x)>0有唯一整数解，
，当 时， ，所以 在(0,+∞)单调递增，
而 ，所以 ，与题意矛盾；
当 时，由 可得 或 （舍去），
当 时， ， 时， ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 时， 取最大值为 ，
由题意可知 ，解得 ，
因为 ，所以当 即 时，
由g(x)>0有唯一整数解知 ，解得 ，
若 ，由 在 单调递增知 ，矛盾
所以 ，由 在 单调递减可知 ，
学科网（北京）股份有限公司所以 符合题意；
当 时， ， ，
由 在 单调递减可知 ， ，不符合题意；
综上所述，a的取值范围为 .
【能力提升训练】
一、单选题
1．（2024·陕西·模拟预测）当 时， 恒成立，则实数 最大值为
（ ）
A． B．4 C． D．8
2．（2024·湖南·一模）若不等式 对 恒成立，其中 ，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若关于 的不等式 在 内有解，
则正实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（2025·广东·一模）已知定义在 上的函数 的图象连续不间断，当
，且当x>0时， ，则下列说法正确的
学科网（北京）股份有限公司是（）
A．
B． 在 上单调递增，在 上单调递减
C．若 ，则
D．若 是 在 内的两个零点，且 ，则
5．（2023·全国·模拟预测）已知 ， 恒成立，则下列说法正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．
C． 恒成立 D． 的最大值为
6．（2023·重庆·模拟预测）已知 ，当 时，存在b， ，使得
成立，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
7．（2024·浙江台州·二模）已知关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值
范围是 .
8．（2022高三·全国·专题练习）已知 ，不等式 对任意的实数 恒
成立，则实数a的最小值为： ．
9．（22-23高三上·全国·阶段练习）若关于x的不等式 有且只有一个整数
解，则实数a的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司四、解答题
10．（2024·福建厦门·二模）若 ，都存在唯一的实数 ，使得 ，则称函数
存在“源数列” .已知 .
(1)证明： 存在源数列；
(2)（ⅰ）若 恒成立，求 的取值范围；
（ⅱ）记 的源数列为 ，证明： 前 项和 .
11．（2023·浙江·模拟预测）已知 为正实数，函数 .
(1)若 恒成立，求 的取值范围；
(2)求证： （ ）.
12．（2023·北京海淀·一模）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间；
(3)若存在 ，使得 ，求a的取值范围．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A A ACD ACD ABC
1．B
【分析】本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，根据题意易于分离参数得
，再利用切线放缩化简求出 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 ，由 ，得 .令
令 ，则 在 上恒成立，
故函数 在 上单调递增，所以 即 ，
由 ，得 ，所以 .
当且仅当 时，取“=”，
此时 ，由 与 图象可知 使 ，此时 .
所以 ，即 有最大值为4.
故选：B.
2．A
【分析】先讨论 的范围，当 时，利用导数求最值，根据最小值大于等于0可得
，然后将二元化一元，令 ，利用导数求最值可解.
【详解】令 ，即 ，
当 时，由函数 与 的图象可知，两函数图象有一个交点，记为
，
则当 时， ，即 ，不满足题意；
学科网（北京）股份有限公司当 时，令 ，则 ，
令 ，则 ，因为 单调递增，
所以当 时，f'(x)<0， 单调递减，
当 时，f'(x)>0， 单调递增，
所以 时， 有最小值 ，
又 对 恒成立，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立.
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， ，
所以 ，即 ，当且仅当 ， 时等号成立，
所以 的取值范围为 .
故选：A
【点睛】方法点睛：本题属于恒成立问题，难点在于将恒成立转化为最值问题，以及利用
的不等关系将二元化一元，此处应注意保证任何时候都能取到等号.
3．A
【分析】将由不等式转化为 ，令 ，得到 ，令
学科网（北京）股份有限公司函数 ，问题转化为存在 ，使得 ，利用导数求得函
数 的单调性，结合 ，得到 且 ，即可求解.
【详解】由不等式 ，即 ，
令 ，即有 ，
又由 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
令 ，问题转化为存在 ，使得 ，
因为 ，令 ，可得 ；令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，
若存在 ，使得 成立，只需 且 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用
方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定
参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结
学科网（北京）股份有限公司合求解.
结论拓展：与 和 相关的常见同构模型
① ，构造函数 或 ；
② ，构造函数 或 ；
③ ，构造函数 或 .
4．ACD
【分析】 选项，令x=0，可求 ； 选项，对 两边求导，结合
得 ， ，可判断 单调性；C选项，
的大小关系进行分类讨论，利用函数单调性，证明不等式；D选项，证明
，利用函数单调性，证明 且 ，可得结论.
【详解】 选项，令x=0，则有 ，所以 ，故 正确.
选项，对 两边求导，得 ，
所以 ，代入 ，
得当x>0时， ，所以 .
又因为 ，所以， .
因此，当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增.
故 错误.
C选项，对 的大小关系进行分类讨论：
学科网（北京）股份有限公司①当 时， 在 上单调递减，所以 ，显然有 ；
②当 时， 在 上单调递增，不符合题意；
③当 时，当 时， .
令 ，
又因为 ，所以 ，
因此 .
因为 ，由 的单调性得， .
故C正确.
选项，因为 ，
所以 .
先证 ，即证 ，即 ，
只需证 ，即证 .
事实上， ，因此 得证.
此时有 .
因为 ，又 ，所以
，
因为 ，又 ，所以 .
学科网（北京）股份有限公司综上， ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等
式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转
化为函数的单调性、极(最)值问题处理．证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单
调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明
快的思路，有着非凡的功效.
5．ACD
【分析】构造 ，则原命题等价为 ， 恒成立.由导数法判
断 ，可求得 为最小值点，即有a与b的关系.
对A，由a与b的关系求范围；对B，由a与b的关系直接判断；对CD，由a与b的关系化
简式子，结合导数法求最值判断.
【详解】对B，令 ，则 ， 恒成立等价为 ，
恒成立.
单调递增，由 ，且
， 单调递减； ， 单调递增.
又 ，∴ ，B错；
对A， ， ，A对；
对C， ，令 ，由 .
故 ， 单调递减； ， 单调递增.
学科网（北京）股份有限公司故 ，C对；
对D， ，令 ，由 .
故 ， 单调递增； ， 单调递减.
故 ，D对.
故选：ACD.
【点睛】含指对数式不等式恒成立问题，一般需构造函数，通过导数法研究函数单调性及
最值，结合命题，从而得到相关结论
6．ABC
【分析】对A，构造函数 ，求导，再设 ，利用其单调
性得到 ，然后对 分类讨论即可；对B，计算出 在 时的切线方程
即可得到 ，即可得到 的范围，对于C,D，代入 得 ，则可确定 和
的范围，
【详解】对A，由 ,令 ,
所以 ,
令 ,其对称轴为 ,故函数 在 上单调递增,
所以 ,
当 时,即 时, ,
则函数 单调递增,所以 .
当 时,即 时,存在 ,使得 ,即 ,
当 时, ,则函数 单调递减,
学科网（北京）股份有限公司所以 0,与 矛盾,综上, ，A正确;
对B，由 可得 与 在 上存在分隔直线,
， ， ， ， ， ，
则 在 处的切线方程分别为: ,
所以 ,可得 ,故B正确;
对C，取 得 ,所以 ,得 ,故C正确,
对D，由C知 ，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题A选项的关键是构造函数 ，然后求导，对 进
行分类讨论，对B关键是得到 在 处的切线方程的斜率，从而得到不等式
，对C和D通过代入 得到 ，即可进行判断.
7．
【分析】原不等式变形转化为 ，构造函数 ，
转化为 恒成立，利用导数研究 ，可得 ，再分离参数即可得
学科网（北京）股份有限公司解.
【详解】原不等式 ，
构造函数 ，则 ，
则 ，令 ，解得 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
若 ，则当 时， ，此时 恒不成立，
故 ，所以 ，
所以 成立，只需 成立即可，
即 恒成立，令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对不等式结构的观察，同构出函数
，转化为研究函数大致变化情况，再由对 的分类讨论确定 ，且能
得出 ，即可脱去“ ”，转化为 恒成立，分参即可得解.
8．
学科网（北京）股份有限公司【分析】将不等式化简后，构造函数，根据单调性转化为恒成立问题求解
【详解】 ，∴ ，
构造函数 ，显然 在 上单调递增，
故 等价于 ，即 任意的实数 恒成立，．
令 ， 则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增， ，得 ．
故答案为：
9．
【分析】令 ，求导计算函数的单调区间，题目转化为 ，计算
，得到 ，计算得到答案.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
且当 时， ，当 时， ， ，
原不等式等价于 或 （不存在整数解），
有且只有一个整数解， ，
故 ，即实数a的取值范围为 ．
学科网（北京）股份有限公司故答案为：
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决方程的解的个数问题，意在考查学生的计算
能力，转化能力和综合应用能力，其中构造函数确定单调性，将题目转化为
是解题的关键.
10．(1)证明见解析
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，结合 ，根据数列的新定义，即可证明
结论；
（2）（i）由 恒成立，可得 恒成立，构造函数，利用导数求解
函数的最值，即可求得答案；
（ii）由（i）可得 ，从而由 ，推得 ，可得到 ，继而
可利用放缩法以及裂项求和法，证明不等式.
【详解】（1）由 ，得 ，
即 在 上单调递减，又 ，
当 且x无限趋近于0时， 趋向于正无穷大，
即 的值域为 ，且函数在 上单调递减，
对于 可以取到任意正整数，且在 上都有存在唯一自变量与之对应，
故对于 ，令 ，其在 上的解必存在且唯一，不妨设解为 ，
即 ，则都存在唯一的实数 ，使得 ，
即 存在源数列；
学科网（北京）股份有限公司（2）（i） 恒成立，即 恒成立，
令 ，即 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，仅在 时取等号，
即 在 上单调递减，故 ，即 在 上单调递增，、
故 ，故 ；
（ii）由（i）得 ，故 ，即 ，
故 ，
当 时， ，
当 时， ，
即 前 项和 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的新定义以及数列不等式恒成立以及证明不等式问
题，综合性较强，解答的关键在于证明不等式时，得到 后，即可推出 ，此
时要用放缩法得到 ，从而再用裂项法求和，证明不等式.
11．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求导，分类讨论判断单调性，结合恒成立问题运算求解；
学科网（北京）股份有限公司（2）根据（1）可得不等式 可证 ，构建
，利用导数证明 ，结合裂项相消法可证
.
【详解】（1） ，
①若 ，即 ， ，函数 在区间 单调递增，故
，满足条件；
②若 ，即 ，当 时， ，函数 单调递减，则
，矛盾，不符合题意.
综上所述： .
（2）先证右侧不等式，如下：
由（1）可得：当 时，有 ，则
，
即 ，即 ，
则有
学科网（北京）股份有限公司即 ，右侧不等式得证.
下证左侧不等式，如下：
构建 ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，则 ，
即 ，可得 ，即 ，
则有 ，
即 ，
∵ ，则
，
故 ，左侧得证.
综上所述：不等式 成立.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：
(1)作差或变形．
(2)构造新的函数h(x)．
(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端
两个函数的最值问题．
学科网（北京）股份有限公司12．(1)
(2)当 时， 的减区间为 ，无增区间；当 时， 的减区间为
，增区间为
(3)
【分析】（1）当 时，求出函数 的导数，求出曲线 在点 处切线
的斜率，然后求解切线的方程即可；
（2）先求出函数 的导数，分 和 两种情况讨论即可得到单调区间；
（3）将题中条件转化为若 ，使得 成立，再结合函数放缩得到若
，使得 成立，再根据（2）中的单调情况可知 为 与
中的较大者，从而得到当 或 即可满足题意，进而求解即可．
【详解】（1）
当 时， ，则 ，
得 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
（2）
由 ，则 ，
当 时， 恒成立，此时 在R上单调递减；
当 时，令 ，解得 ，
此时 与 的变化情况如下：
学科网（北京）股份有限公司- 0 +
极小
↘ ↗
值
由上表可知， 的减区间为 ，增区间为 ，
综上，当 时， 的减区间为 ，无增区间；
当 时， 的减区间为 ，增区间为 ．
（3）
将 在区间 上的最大值记为 ，最小值记为 ，
因为存在 ，使得 ，
所以 ，使得 成立，即 或 ，
当 时， ，
若 ，使得 成立，只需 ，
由（2）可知 在区间 上单调或先减后增，
故 为 与 中的较大者，
所以只需当 或 即可满足题意，
即只需 或 ，
解得 或 ，
综上所述， 的取值范围是 ．
【点睛】关键点点睛：函数不等式恒成立问题，要进行适当转化．解答小问（3）的关键在
学科网（北京）股份有限公司于转化为若 ，使得 成立，再结合函数放缩得到若 ，使得
成立，再根据（2）中的单调情况求解 即可得到 的取值范围．
学科网（北京）股份有限公司
