文档文本内容
第2单元 一元二次函数、方程与不等式（强化篇）
基础知识讲解
一．不等式定理
【基础知识】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差
比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
二．不等式大小比较
【技巧方法】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
三．基本不等式
【基础知识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几
何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤
（ ）2或者a+b≥2 ．常常用于求最值和值域．
四、基本不等式的应用
【基础知识】
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【技巧方法】
技巧一：凑项
需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式
求最大值．
技巧三：分离
技巧四：换元
一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．
总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些
变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
五．二次函数的性质
【基础知识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因
变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【技巧方法】
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称
轴x＝ ；最值为：f（ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一
个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝ ，
1 2 1 2
x •x ＝ ；
1 2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝ ，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
六．一元二次不等式
【基础知识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形
式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【技巧方法】
（1） 当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
（2） 当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
（3） 当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
二.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
七．一元二次方程根与系数的关系
【基础知识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）
有解时，不妨设它的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即
1 2 1 2 1 2
x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．关于x的不等式 的解集为 ，且： ，则a=
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
因为关于x的不等式 的解集为 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
解得 ，因为 ，所以 .
故选：A.
2．已知a，b为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A不正确，如 ， ，显然 不成立，
B不正确，如 ， 时，显然 不成立，
C不正确，如 ， 时，显然 不成立.
∵函数 在定义域R上是个减函数，
∴ .所以D选项正确.故选：D
3．若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
取 排除 与 ；
函数 是 上的增函数，当 时， 必定成立，
即 ，所以A正确
函数 在 上递减，在 上递增，当 时，
不一定成立，所以 不成立
故选：A
4．两个正实数 ， 满足 ， ， 成等差数列，则不等式 恒成立时
实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解： 两个正实数 ， 满足 ， ， 成等差数列，
， ， ， ．
不等式 恒成立，即 恒成立，
即 恒成立．
，求得 ，
故选：C．
5．设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵， ．
所以
当且仅当 即 时取等号，∴ 的最小值为9．
6．已知 ，则 的最小值为（ ）.
A．9 B． C．5 D．
【答案】B
【解析】
.
， 且 ，
，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值2.
的最小值为 .
故选B.
7．若 ， ， ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
设
原式
当 即 时有最大值为
故答案选C
8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】B
【解析】
解：正实数 满足 ，
则 ，，
即： ，
当且仅当 且 ，即 时取等号，
所以 的最小值为11.
故选：B.
9．关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
不等式 ，即 ，若 ，不等式解集为 ；若
，不等式解集为 ，要保证恰含有两个整数，则 或 ，所以
正确选项为C．10．已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则
（ ）
A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<6
【答案】C
【解析】
由 ，整理可得（1－ ） －2bx+ >0，由于该不等式的解集中的整数
恰有3个，则有1－ <0，此时 >1，而0<b<1+a，故a>1，
由不等式 <0解得
即 要使该不等式的解集中的整数恰有3
个，那么－3< <－2，由 <－2得－b<－2（a－1），则有a< +1，即a< +1<
+1，解得a<3，由－3< 得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3．
11．若存在正实数y，使得 ，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
【答案】A
【解析】∵ ，
∴4xy2+（5x2﹣1）y+x＝0，
∴y•y 0，
1 2
∴y+y 0，
1 2
∴ ，或 ，
∴0＜x 或x ①，
△＝（5x2﹣1）2﹣16x2≥0，
∴5x2﹣1≥4x或5x2﹣1≤﹣4x，
解得：﹣1≤x ②，
综上x的取值范围是：0＜x ；
x的最大值是 ，
故选：A．
12．若 、 、 均大于0，且 ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
解： 、 、 均大于0,
当且仅当 时取“=”,
的最大值为 .
故选:C
二．填空题（共6小题）
13．已知正数 满足： ，则 的最小值是_____________．
【答案】2.
【解析】因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，取等号时 ，
所以 ，所以 ，
当 时， 符合条件，所以 .
故答案为： .
14对于实数x，y，若 ， ，则 的最大值为 .
【答案】5
【解析】
此题，看似很难，但其实不难，首先解出x的范围， ，再解出y的范围，
，最后综合解出x-2y+1的范围 ，那么绝对值最大，就去5
15．设 ， ， 是三个正实数，且 ，则 的最大值为______.
【答案】3
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以
所以 的最大值为3
故答案为：3
16．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______.
【答案】【解析】
由正实数 ， 满足 ，所以 ，
则
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，
即 的最小值是 .
故答案为： .
17．设 ,则 的最大值为 ________．
【答案】
【解析】
由 两边同时加上得 两边同时开方即得： （ 且当且仅
当 时取“=”），
从而有 （当且仅当 ,即
时，“=”成立）
故填： .
【名师点睛】
本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式 转化为
（a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属
于中档题，注意等号成立的条件.
18．已知实数x，y满足 ， ，且 ，则 的最小值为
________．
【答案】3
【解析】
因为 ，
所以 ，当且仅当 时，取等号.
上式可化为 ，
解得 ，
所以 的最小值为3.
故答案为：3
三．解析题（共6小题）
19．已知 ，不等式 的解集是 ．
（1）求 的值；
（2）若 存在实数解，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
解：（1）由 ，
得 ，
即 ，
当 时， ，不合题意，当 时， ，
则 ，
解得 ，符合题意，
当 时， ，
则 ，无解，
综上， ；
（2）因为 ，
要使 存在实数解，只需 ，
实数 的取值范围为 ．
20．已知 ，且 ．
（1）求证： ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．【答案】（1）见证明；（2） .
【解析】
解：（1）由柯西不等式得 ．
∴ ，当且仅当 时取等号．
∴ ；
（2） ，
要使得不等式 恒成立，即可转化为 ，
当 时， ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
∴ 的取值范围为： ．
21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x，使得f（x）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足
0 0
a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．
【答案】(1) ;(2)证明见解析.
【解析】
(1) 解： ，则 ，
由绝对值的几何意义可得 和 时使得等号成立，所以 解集为
(2)证明：由绝对值的几何意义已知 的最小值为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，由 得，
，
则 ，综上所述， .
22．设函数 ,（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值．
（3）若 求不等式 的解集.
【答案】（1）2；（2） ；（3）分类讨论，详见解析.
【解析】
（1）由不等式 的解集为 可得：方程 的两根为 ，
3且 ,
由根与系数的关系可得： ，
所以
（2）由已知得 ,则
，
当 时， ，所以 （当且仅当 时等号成立）；
当 时， ，所以 （当且仅当 时等号成立）；
所以 的最小值为 ；（3）由 得 ，
又因为 所以不等式 化为 ，即
，
当 时， ，原不等式 或
若 ，原不等式 此时原不等式的解的情况应由 与1的大小关系
决定，故
（1）当 时，不等式 的解集为 ；
（2）当 时， ，不等式 ；
（3）当 时， ，不等式 .
综上所述，不等式的解集为：
①当 时， 或 ；
②当 时， ；
③当 时， ；④当 时， .
故得解.
23．已知函数y=ax2−(2a+1)x+a+1．
(1)若a=2，解不等式y≥0；
(2)若对于a∈[−2,2]，函数值y<0恒成立，求实数x的取值范围.
3 3
【答案】(1){x|x≤1或x≥ }；(2){x|1<x< }.
2 2
【解析】
(1)a=2，则y≥0，即2x2−5x+3≥0⇒(2x−3)(x−1)≥0，对应抛物线开口向上，不等
3
式解集为“两根之外（含两根）”，所以y≥0的解集为{x|x≤1或x≥ }；
2
(2)a∈[−2,2]，ax2−(2a+1)x+a+1<0恒成立，将左边代数式整理成关于a的式子，
即(x2−2x+1)a+(−x+1)<0，
则左边是关于a的一次函数，记作t=(x2−2x+1)a+(−x+1)，
题意变为对a∈[−2,2]，函数t=(x2−2x+1)a+(−x+1)的函数值t<0恒成立
由于一次函数图象为一条直线，要使函数值t<0恒成立，则a=−2和a=2时都有函数值
3 3
t<0，得¿，化简¿，解得¿，得1<x< ，所以实数x的取值范围{x|1<x< }.
2 2
24．已知函数 ．(1)求函数在区间 上的最大值 ；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)当 时, ；当 时, ；(2) .
【解析】
(1)函数 的图象开口向上，对称轴为 ，
在区间 上的最大值，分两种情况：
① （ ）时，根据图象知，当 时，函数取得最大值 ；
② （ ）时，当 时，函数取得最大值 .
所以，当 时, ；当 时, .
(2) 恒成立，只需在区间 上的最大值 即可，所以 ，
得 ，所以实数 的取值范围是 .
