文档内容
北师大版七年级数学下学期期末压轴精选 30 题
考试范围：全册的内容，共30小题.
一、选择题
1．（2022·湖南娄底·七年级期中）已知： ，则 的值为
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．12
【答案】A
【解析】
【分析】
把 、 看成整体来处理即可．
【详解】
∵
∴
故选：A．
【点睛】
本题考查完全平方公式的变形应用，把 、 看成整体，则题目变成已知两数积和差，求
平方和是解题的关键．
2．（2022·河北保定·七年级期中）如图，某购物广场从一楼到二楼有一部自动扶梯．右图是自动扶梯的侧
面示意图，自动扶梯 上方的直线 上有一点 ，连接 ， ．已知 ，
， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据 ，可得∠BAP=∠ABD，∠CBD+∠BCN=180°，从而得到∠ABD=147°，∠CBD=88°，即
可求解．
【详解】
解：∵ ，∴∠BAP=∠ABD，∠CBD+∠BCN=180°，
∵ ， ，
∴∠ABD=147°，∠CBD=88°，
∴∠CBA=360°-∠ABD-∠CBD=125°．
故选：C
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
3．（2022·河南洛阳·八年级期末）根据等式： ， ，
， ，…的规律，则可以推算得出
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题目给出的规律即可得出 的答案，再根据等式的性质得出答案即可．
【详解】
由题目中等式的规律可得：
故选：D．
【点睛】
本题考查了数字类规律探索，发现并能够灵活运用n次方差公式的规律是解题的关键．
4．（2022·福建省福州教育学院附属中学八年级期末）如图，点 为 内一点，分别作点 关于 、
的对称点 ， ，连接 交 于 ，交 于 ， ，则 的周长为（ ）
A．16 B．15 C．14 D．13
【答案】B
【解析】【分析】
根据轴对称的性质可得PM＝PM，PN＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出 PMN的周长为PP，从
1 2 1 2
而得解．
△
【详解】
解：∵点 关于 、 的对称点 ， ，
∴ ， ，
∴ PMN的周长 ，
∵△
∴ PMN的周长为 ．
故选： ．
△
【点睛】
本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个
对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
5．（2022·河北保定·八年级期末）如图，C为线段AE上一动点（不与点 ， 重合），在AE同侧分别作
等边三角形ABC和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结
PQ．以下结论错误的是（ ）
A．∠AOB=60° B．AP=BQ
C．PQ∥AE D．DE=DP
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，得出A正确；根据△CQB≌△CPA（ASA），得出B正确；
由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△CQB≌△CPA（ASA），再根据
∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，得出C正确；
根据∠CDE=60°，∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，可知∠DQE≠∠CDE，得出D错误．
【详解】
解：∵等边△ABC和等边△CDE，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE=∠DAC，
又∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，即∠ACP=∠BCQ，
又∵AC=BC，
在△CQB与△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ，
又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC=∠DCE=60°，
∴PQ∥AE，
故C正确，
∵△CQB≌△CPA，
∴AP=BQ，
故B正确，
∵AD=BE，AP=BQ，
∴AD-AP=BE-BQ，
即DP=QE，
∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ，∠CDE=60°，
∴∠DQE≠∠CDE，故D错误；
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∵等边△DCE，
∠EDC=60°=∠BCD，
∴BC∥DE，
∴∠CBE=∠DEO，
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，
故A正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．
6．（2021·四川绵阳·八年级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分
线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面正确的结论有（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；
②AF＝AG；
③∠FAG＝ ∠ACF
④BH＝CH
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据三角形中线定义和三角形面积公式可对①进行判断；根据等角的余角相等得到∠ABC=∠DAC，再根据
角平分线的定义和三角形外角性质可对②进行判断；根据等角的余角相等得到∠BAD=∠ACB，再根据角平
分线的定义可对③进行判断．
【详解】
解：∵BE是中线得到AE=CE，
∴S△ABE=S△BCE，故①正确；
∵∠BAC=90°，AD是高，
∴∠ABC=∠DAC，
∵CF是角平分线，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠AFG=∠FBC+∠BCF，∠AGF=∠GAC+∠ACF，
∴∠AFG=∠AGF，
∴AF=AG，故②正确；
∵∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACB=90°，
∴∠BAD=∠ACB，
而∠ACB=2∠ACF，
∴∠FAG=2∠ACF，故③正确．
根据已知条件不能推出∠HBC=∠HCB，即不能推出BH=CH，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
7．（2022·广东·佛山市南海石门实验中学七年级阶段练习）下列有四个结论，其中正确的是（ ）
①若 ，则 只能是-1；
②若 的运算结果中不含 项，则 ；
③若 ， ，则 ；
④若 ， ，则 可表示为
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．②④
【答案】D
【解析】
【分析】
当x=2时， ，故可判断①错误；按照多项式乘多项式的法则展开可求得a的值，从而可判
断②；利用两个完全平方公式的变形即可判断③；逆用同底数幂的除法及逆用幂的乘方即可判断④，因而
可得到正确的答案．
【详解】
当x=2时， ；故①错误；
∵ ，
∴当 项系数a-1=0时，不含 项，
∴a=1．
故②正确；
∵ ，
∴ ，
故③错误；
∵ ，
故④正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了多项式的乘法，幂的运算，完全平方公式的变形应用等知识，掌握它们是解答本题的关键．
8．（2022·河北·保定市第十七中学七年级期中）如图，正方形 的边长为2，动点 从点 出发，在
正方形的边上沿 的方向运动到点 停止，设点 的运动路程为 ，在下列图象中，能表示
的面积 关于 的函数关系的图象是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
分 、 两种情况，分别求出函数表达式，即可求解．
【详解】
解：当 时，如图，
则 ，为常数；
当 时，如下图，
则 ，为一次函数；
故选：D．
【点睛】
本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围，注意分类讨论．
二、填空题
9．（2022·广东茂名·七年级阶段练习）计算20222﹣2023×2021＝_____．
【答案】1
【解析】
【分析】
把2023化为(2022+1)，2021化为(2022-1)，而后用平方差公式计算．
【详解】．
故答案为1
【点睛】
本题考查了平方差公式，熟练把数据适当变形，运用平方差公式计算，是解决此类问题的关键．
10．（2022·山西大附中一模）若 ，则 的值为______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
根据 ，可求出 ，即 ，再整体代入即可．
【详解】
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ．
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查运用完全平方公式进行运算．利用整体代入的思想是解题关键．
11．（2022·福建三明·模拟预测）已知实数a满足 ，则 的值为________．
【答案】11
【解析】
【分析】
先把已知条件的两边都除以a，把得到的常数项移项，然后等号两侧平方，利用完全平方公式计算即可．
【详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：11．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的运用，两边都除以a构造出a与其倒数的差是解题的关键，另外还要注意
乘积的二倍项不含字母a也非常重要．
12．（2022·江苏苏州·模拟预测）从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志
的图案是轴对称图形的卡片的概率是 ____．
【答案】
【解析】
【分析】
先由轴对称图形的定义判断轴对称图形的个数，再根据概率公式计算概率即可；
【详解】
解：由图可得第一个图形不是轴对称图形，第二个、第三个、第四个都是轴对称图形，
∴从如图的四张印有品牌标志图案的卡片中任取一张，取出印有品牌标志的图案是轴对称图形的卡片的概
率是 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个
图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；概率=所求事件的结果数÷总的结果数；掌握相关定义是
解题关键．
13．（2022·浙江台州·八年级期末）如图，在等边 中， 是 的平分线，点 是 的中点，
点 是 上的一个动点，连接 ， ，当 的值最小时， 的度数为__________．
【答案】60°##60度
【解析】
【分析】
由题意可知点A、点C关于BD对称，连接AE交BD于点P，由对称的性质可得，PA＝PC，由两点之间线
段最短可知，AE即为PE+PC的最小值，然后根据等边三角形的性质求出∠EPB＝60°，再通过BPE≌△CPE得出∠EPC＝∠EPB＝60°．
【详解】
△
解：∵△ABC是等边三角形，BD是∠ABC的平分线，
∴点D为AC的中点，BD⊥AC，
∴点A、点C关于BD对称，
如图，连接AE，交BD于P，线段AE的长即为PE+PC最小值，
∵点E是边BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠ABC＝60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠PBE＝30°，
∴∠BPE＝60°，
∵在 BPE和 CPE中，
△ △
，
∴△BPE≌△CPE（SAS），
∴∠EPC＝∠BPE＝60°．
故答案为：60°．
【点睛】
本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．
14．（2022·河北·石家庄二十三中七年级期中）如图（1），在 中， ， 边绕点C按逆时
针方向旋转一周回到原来的位置．在旋转的过程中（图（2）），当 ________时， ．
【答案】42°或138°
【解析】【分析】
根据平行线的判定，分两种情况：当CB′与AB第一次平行时，∠A与∠ACB'构成同旁内角，即
∠A+∠ACB'=180°，当CB′与AB第二次平行时，∠A与∠ACB'构成内错角，即∠ACB'=∠A=42°．
【详解】
解：当CB′与AB第一次平行时，
∴∠A+∠ACB'=180°，
∵∠A=42°，
∴∠ACB'=180°-∠A=138°，
当CB′与AB第二次平行时，
∴∠ACB'=∠A=42°，
综上所述：∠A=42°或138°，
故答案为：42°或138°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，运用分类讨论思想是解决问题的关键．
15．（2021·全国·八年级专题练习）如图（a）所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，
DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x， 的面积为y，如果y关于x的关系如图（b）所示，则
m的值是________．
【答案】5
【解析】
【分析】
先根据点（2，3）在图象上得出BC的长，然后利用三角形的面积求出AB的长，进而可得答案．
【详解】
解：由图象上的点 可知： ，
由三角形面积公式，得： ，解得： ．
， ．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了利用图象表示变量之间的关系，属于常见题型，根据题意和图象得出BC和AB的长是解题关键．16．（2022·山东泰安·七年级期末）添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在Rt 中，
， 是高， 是 外一点， ， ，若 ， ， ，
求 的面积．同学们可以先思考一下……，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在 上截取
，（如图2）．同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得 的面积为______．
【答案】36
【解析】
【分析】
先通过等量代换推出 ，再利用“边角边”证明 ，再通过 求出
的面积即可．
【详解】
解： 是 的高，
，
，
，
，
，
，
．
在 和 中，
，
，
．
， ， ，，
，
．
故答案为：36．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，根据题中所给提示，通过证明三角形全等，将求 的面积转化
为求 的面积是解题的关键．
三、解答题
17．（2022·上海·七年级期末）完全平方公式： 适当的变形，可以解决很多的数学问
题．例如：若 ，求 的值；
解：因为 ，所以 ，即： ，又因为 ，所以 ＝7．根据上面的
解题思路与方法，解决下列问题：
(1)若 ，求 的值；
(2)填空：①若 ，则 ＝ ；
②若 ，则 ＝ ．
(3)如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和
，求图中阴影部分面积．
【答案】(1)12
(2)①6；②17
(3)
【解析】
【分析】
（1）利用完全平方公式即可求解；
（2）注意整体法的运用，将（4-x）、（5-x）看成一个整体去求解；
（3）表示两个正方形的面积 、 ，得到 ，结合 ，推出 ，再去计
算阴影部分面积．(1)
∵ ，∴ ， ，
又∵ ，
∴ ＝64－40＝24，
∴ ；
(2)
① ＝16－10＝6；
② ＝ ＝17；
(3)
∵AB＝6，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵BC＝CF，
∴ ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的灵活运用，其中既要注意整体法的运用，又要注意数形结合思维的培养．
18．（2021·四川省南充市白塔中学八年级阶段练习）仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方式 以及 的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求
的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式= ．
∵无论 取什么数，都有 ≥0，∴ 的最小值为0，此时 ，进而 的最小值
是 ，∴当 时，原多项式的最小值是 ．
请根据上面的解题思路，探求：
(1)多项式 的最小值是多少，并写出对应的 的取值；
(2)多项式 的最大值是多少，并写出对应的 的取值．
【答案】(1)当 时，原多项式的最小值是 ；
(2)当 时，原多项式的最大值是14
【解析】【分析】
（1）先利用配方法将式子进行整理得到 ，即可求解；
（2）先利用配方法将式子进行整理得到 ，即可求解．
(1)
．
当 时，原多项式的最小值是 ；
(2)
．
当 时，原多项式的最大值是14．
【点睛】
本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
19．（2021·重庆市黔江区教育科学研究所九年级期末）把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运
用完全平方式的非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方
程，最值问题等都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解： ．
原式
②若 ，利用配方法求 的最小值：
，
当 时， 有最小值 ．
请根据上述材料解决下列问题：
(1)用配方法因式分解： ；
(2)若 ，求 的最小值．
(3)已知 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)5
【解析】
【分析】
（1）先配方，然后根据平方差公式进行因式分解即可；（2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最值即可；
（3）由 得 ，即 ， ，
，求出 的值，然后代入求解即可．
(1)
解：原式 ．
(2)
解： ，
∵ ，
∴ 的最小值为 ．
(3)
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了运用公式法进行因式分解，完全平方的非负性，代数式求值．解题的关键在于理解题意并正确
的运算．
20．（2022·福建省漳州第一中学七年级期中）如图1， ， ， ，求 的
度数．
小明的思路：过点 作 ，通过平行线的性质来求 ．
(1)按照小明的思路，易求得 的度数为______．
(2)如图2， ，射线 与射线 交于点 ，直线 分别交射线 ，射线 于点 ， ，直线 分别交射线 ，射线 于点 ， ．点 在射线 上运动（点 与点 ， ， 三点不重合），
记 ， ，问 与 ， 之间有何数量关系？
【答案】(1)62°
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质可得 ， ，根据 计
算求解可得 的值；
（2）如图2，作 ，根据平行线的性质可得 ， ，根据
计算求解可得 与 的关系．
(1)
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
(2)
解： ．
如图2，作 ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质．解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等．
21．（2022·上海·七年级期中）如图，已知AM∥BN，∠A=60°，点P是射线AM上一动点（与A不重合），
BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D，（推理时不需要写出每一步的理由）(1)求∠CBD的度数．
(2)当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，
请找出变化规律．
(3)当点P运动到使∠ACB=∠ABD时，求∠ABC的度数．
【答案】(1)60°
(2)不变，∠APB：∠ADB＝2：1
(3)∠ABC＝30°
【解析】
【分析】
（1）由平行线的性质可求得∠ABN，再根据角平分线的定义和整体思想可求得∠CBD；
（2）由平行线的性质可得∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，再由角平分线的定义可求得结论；
（3）由平行线的性质可得到∠ACB＝∠CBN＝60°+∠DBN，结合条件可得到∠DBN＝∠ABC，且
∠ABC+∠DBN＝60°，可求得∠ABC的度数．
(1)
∵AM∥BN，
∴∠ABN+∠A＝180°，
∴∠ABN＝180°﹣60°＝120°，
∴∠ABP+∠PBN＝120°，
∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN，
∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP，
∴2∠CBP+2∠DBP＝120°，
∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝60°；
(2)
不变，∠APB：∠ADB＝2：1．
∵AM∥BN，
∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN，
∵BD平分∠PBN，
∴∠PBN＝2∠DBN，
∴∠APB：∠ADB＝2：1；
(3)
∵AM∥BN，
∴∠ACB＝∠CBN，
当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD，∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN，
∴∠ABC＝∠DBN，
由（1）可知∠ABN＝120°，∠CBD＝60°，
∴∠ABC+∠DBN＝60°，
∴∠ABC＝30°．
【点睛】
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，①同位角相等 两直线平行，
②内错角相等 两直线平行，③同旁内角相等 两直线平行④a∥b，b∥c a∥c．
⇔
22．（2022·广西
⇔
钦州·七年级期中）如图1，已知
⇔
直线 ，点A在直线
⇒
PQ上，点B，C在直线MN
上，连接AB，AC， ， ，AD平分 ，BD平分 ，AD与BD相交于点
D．
(1)求 的度数；
(2)若将图1中的线段AC沿MN向右平移到 ，如图2，此时 平分 ， 平分 ， 与
BD相交于点D， ， ，求 的度数；
(3)若将图1中的线段AC沿MN向左平移到 ，如图3，其他条件与（2）相同，求此时 的度数．
【答案】(1)130°
(2)130°
(3)40°
【解析】
【分析】
（1）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠DBA以及∠BAD的度数，进而得出答案；
（2）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠BAQ以及∠ABD的度数，进而得出答案；
（3）直接利用角平分线的性质结合平行线的性质得出∠ABN和∠ABD的度数，进而得出答案．
(1)
如图1所示，∵直线 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ，
可得 ，.
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
(2)
如图2所示，
∵ ，线段AC沿MN向右平移到 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
(3)
如图3所示，过点 作 ，∵ ，线段AC沿MN向左平移到 ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ， ，
∴ ，
∴ ，
【点睛】
此题主要考查了角平分线的定义以及平行线的性质等知识，正确应用平行线的性质是解题关键．
23．（2022·山西大同·八年级期末）如图， 是经过 顶点 的一条直线， ， 、 分别是
直线 上两点，且 ．
(1)若直线 经过 的内部，且 、 在射线 上．
①如图1，若 ， ，则 ________ ．
②如图2，若 ，请添加一个关于 与 关系的条件________，使①中的结论仍然成立，
并说明理由；
(2)如图3．若线 经过 的外部， ，请提出关于 ， ， 三条线段数量关系的合理
猜想，并简述理由．
【答案】(1)① =；② ，理由见解析
(2) ，理由见解析
【解析】【分析】
（1）①由∠BCA＝90°，∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，可得∠CBE＝∠ACF，从而可证 BCE≌△CAF，故BE＝
CF；②若BE＝CF，则可使得 BCE≌△CAF．根据题目已知条件添加条件，再使得一对角相等，
△
BCE≌△CAF便可得证；
△
（2）题干已知条件可证 BCE≌△CAF，故BE＝CF，EC＝FA，从而可证明EF＝BE＋AF．
△
(1)
△
解：①∵∠BEC＝∠CFA＝α＝90°，
∴∠BCE＋∠CBE＝180°−∠BEC＝90°，
又∵∠BCA＝∠BCE＋∠ACF＝90°，
∴∠CBE＝∠ACF，
在△BCE和 CAF中， ，
△
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF．
②α＋∠BCA＝180°，理由如下：
∵∠BEC＝∠CFA＝α，
∴∠BEF＝180°−∠BEC＝180°−α，
又∵∠BEF＝∠EBC＋∠BCE，
∴∠EBC＋∠BCE＝180°−α，
又∵α＋∠BCA＝180°，
∴∠BCA＝180°−α，
∴∠BCA＝∠BCE＋∠ACF＝180°−α，
∴∠EBC＝∠FCA，
在 BCE和 CAF中，
△ △
，
∴△BCE≌△CAF（AAS）
∴BE＝CF；
(2)
解：EF＝BE＋AF，理由如下：
∵∠BCA＝α，
∴∠BCE＋∠ACF＝180°−∠BCA＝180°−α，
又∵∠BEC＝α，
∴∠EBC＋∠BCE＝180°−∠BEC＝180°−α，∴∠EBC＝∠FCA，
在 BEC和 CFA中，
△ △
，
∴△BEC≌△CFA（AAS）
∴BE＝CF，EC＝FA，
∴EF＝EC＋CF＝FA＋BE，即EF＝BE＋AF．
【点睛】
此题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
24．（2021·河南·开封市第二十七中学八年级期中）如图1，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在线段AC上，
过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，交BC的延长线于点P．
(1)求证：△ACP≌△BCD；
(2)如图2，若点D在线段AC的延长线上，过点A作BD的垂线，交BC于点P，垂足为点E，试探索线段
AC，BP，CD三者之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，若AC＝BC＝8cm，点D从点A出发，以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点B出发，
以2cm/s的速度沿射线BC方向作匀速运动，设运动时间为ts，（ ），直接写出t为何值时，
．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据等角的余角相等可得 ，继而根据 直接证明△ACP≌△BCD；
（2）同（1）方法证明可得△ACP≌△BCD，得出 ，进而根据线段的和差关系即可求解；
（3）根据题意先用代数式表示出 ，根据面积关系列出方程，解方程即可，根据已知条件 ，
取舍结果即可
(1)证明： ∠ACB＝90°，
，
又
△ACP≌△BCD；
(2)
，理由如下，
同（1）可得
即
(3)
如图，
点D从点A出发，以1cm/s的速度向点C匀速运动，同时点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿射线BC
方向作匀速运动，
（ ）
由（1）可知，即
解得： 或
即 时，
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形面积公式，用方程的思想解决问题是解题的关键．
25．（2021·福建省华安县第一中学八年级期中）如图，AB=12cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=9cm，点P
在线段AB上以3cm/s的速度，由A向B运动，同时点Q在线段BD上由B向D运动；设点P的运动时间
为t秒．
(1) PB=________ cm．（用含t的代数式表示）
(2)如图1，若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=1秒时， ACP与 BPQ是否全等？
并说明理由．
△ △
(3)如图2，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA”，其余条件不变；设点Q的运动速度为xcm/s，是
否存在实数x，使得 ACP与 BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)（12-3t）
△ △
(2)△CAP≌△PBQ，理由见解析
(3)满足条件的点Q的速度为3或 cm/s．
【解析】
【分析】
（1）求出AP，再根据题意写出PB的值即可；
（2）求出AP，PB，BQ的值，根据SAS证明△CAP≌△PBQ（SAS）即可；
（3）分两种情形分别求解：①由（1）可知，Q的速度为3cm/s时，△ACP≌△BPQ，这种情形符合题意．
②当PA=PB，AC=BQ时，△APC≌△BPQ（SAS），首先确定运动时间，再求出点Q的运动速度即可．
(1)解：由题意：PA=3t（cm），
∵AB=12cm，
∴PB=AB-AP=12-3t（cm），
故答案为：（12-3t）；
(2)
解：△CAP≌△PBQ，理由如下：
由题意：t=1（s）时，PA=BQ=3（cm），
∵AB=12cm，
∴PB=AB-AP=12-3=9（cm），
∵AC=9cm，
∴AC=BP，
∵∠CAP=∠PBQ=90°，PA=BQ，
∴△CAP≌△PBQ（SAS）；
(3)
解：①由（2）可知，Q的速度为3cm/s时，△ACP≌△BPQ，这种情形符合题意．
②当PA=PB，AC=BQ时， APC≌△BPQ（SAS），
△
∵t= =2（s），
∴点Q的运动速度为 cm/s．
∴满足条件的点Q的速度为3或 cm/s．
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵
活运用是解题的关键．
26．（2022·江苏徐州·模拟预测）（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别
是边BC、CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是 ；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF
＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，
并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且
∠EAF＝ ∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关
系，并证明．【答案】（1）EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，见解析；（3）结论不成立，EF＝BE﹣FD，
见解析
【解析】
【分析】
（1）延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，证明 ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，
∠BAG＝∠DAF，再证明 GAE≌△FAE，根据全等三角形的性质得出EF＝EG，结合图形计算，证明结论；
△
（2）延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，仿照（1）的证明方法解答；
△
（3）在EB上截取BH＝DF，连接AH，仿照（1）的证明方法解答．
【详解】
解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，
在 ABG和 ADF中，
△ △
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在 GAE和 FAE中，
△ △
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案为：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在 ABM和 ADF中，
△ △
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝ ∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在 MAE和 FAE中，
△ △
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
27．（2022·云南昭通·八年级期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
(1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______．
(2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）
(3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．
【答案】(1)3
(2)CD=a－b(3) =14
【解析】
【分析】
（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；
（2）利用ASA证明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再证明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到
结论；
（3）利用ASA证明△AGB≌△AGH，得出BG=HG，即可得出△ABC的面积．
(1)
解：（1）∵AD是△ABC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，
∴∠CFA＝∠EFA，
∵在△AEF和△ACF中 ，
∴△AEF≌△ACF（ASA），
∴AE＝AC＝5，
∵AB=8，
∴BE＝AB−AC＝8−5＝3，
故答案为：3；
(2)
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC
∴∠C=∠AED，DC=DE
又∵∠C=2∠B，∠AED=∠B+∠BDE
∴∠B=∠BDE
∴DE=BE，
∴DC=DE=BE=AB－AE=AB－AC=a－b；
(3)
如图，分别延长AC，BG交于点H，∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AG⊥BH，
∴∠AGB=∠AGH=90°，
∵在△AGB和△AGH中
，
∴△AGB≌△AGH，
∴BG=HG，
∴ ，
又∵
∴ =14．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
28．（2019·江苏·盐城市大丰区城东实验初级中学八年级阶段练习）如图，已知：∠AOB＝90°，OC平分
∠AOB，点P在射线OC上．点E在射线OA上，点F在射线OB上，且∠EPF＝90°．
（1）如图1，求证：PE＝PF；（2）如图2，作点F关于直线EP的对称点F′，过F′点作FH⊥OF于H，连接EF′，F′H与EP交于点M．
连接FM，图中与∠EFM相等的角共有 个．
【答案】（1）见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，判定△PEH≌△PFG（AAS），即可得出PE＝PF；
（2）依据轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质，即可得到与∠EFM相等的角．
【详解】
解：（1）如图1，过P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，则∠PGF＝∠PHE＝90°，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，
∴PH＝PG，
∵∠AOB＝∠EPF＝90°，
∴∠PFG+∠PEO＝180°，
又∵∠PEH+∠PEO＝180°，
∴∠PEH＝∠PFG，
∴△PEH≌△PFG（AAS），
∴PE＝PF；
（2）由轴对称可得，∠EFM＝∠EF′M，
∵F′H⊥OF，AO⊥OB，
∴AO∥F′F，
∴∠EF′M＝∠AEF′，
∵∠AEF′+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠AEF′＝∠OFE，
由题可得，P是FF′的中点，EF＝EF′，
∴EP平分∠FEF′，
∵PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝45°＝∠PEF′，
又∵∠AOP＝ ∠AOB＝45°，且∠AEP＝∠AOP+∠OPE，
∴∠AEF′+45°＝45°+∠OPE，
∴∠AEF′＝∠OPE，
∴与∠EFM相等的角有4个：∠EF′M，∠AEF′，∠EFO，∠EPO．
故答案为4．【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质以及角平分线的性质的综合运用，解决问题的关
键是作辅助线构造全等三角形．
29．（2022·湖南岳阳·八年级期末）直线l经过点A， 在直线l上方， ．
（1）如图1， ，过点B，C作直线l的垂线，垂足分别为D、E．求证：
（2）如图2，D，A，E三点在直线l上，若 （ 为任意锐角或钝角），猜想线
段DE、BD、CE有何数量关系？并给出证明．
（3）如图3， 过点B作直线l上的垂线，垂足为F，点D是BF延长线上的一个动点，连结
AD，作 ，使得 ，连结DE，CE．直线l与CE交于点G．求证：G是CE的中点．
【答案】（1）见解析；（2）猜想： ，见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先证明 和 ，再根据 证明 即可；
（2）根据AAS证明 得 ， ，进一步可得出结论；
（3）分别过点C、E作 ， ，同（1）可证 ， ，得出CM=EN，
证明 得 ，从而可得结论．
【详解】
解：（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴
∵ ，
∴∴ ，
在 与 中
，
∴
（2）猜想： ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 与 中
∴ ，
∴ ， ，
∴
（3）分别过点C、E作 ， ，
同（1）可证 ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴
在 与 中
∴ ，
∴ ，
∴G为CE的中点．【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、垂线的定义、角的互余关系，证得△ABD≌△CAE是解决问题的关键．
30．（2021·湖北孝感·八年级期中）（1）如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过
点A，BD⊥l，CE⊥l垂足分别为点D、E．证明：
①∠CAE＝∠ABD；
②DE＝BD＋CE．
（2）如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝
∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD＋CE是否成立？如成立，请你给出证
明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA
交EG于点I，求证：I是EG的中点．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）成立，见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）①由∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°根据等角的余角相等即可求得∠CAE＝∠ABD；
②根据AAS直接证明△ADB≌△CEA，可得 进而即可得出DE＝BD＋CE;
（2）方法同（1）证明△ADB≌△CEA即可；
（3）过E作EM⊥HI于M，过G作GN⊥HI的延长线于N，由（1）和（2）的结论可知EM=AH=GN，进而
证明△EMI≌△GNI， 可得EI=GI ，可得I是EG的中点．
【详解】
解：（1）①∵BD⊥直线l，CE⊥直线l
∴∠BDA=∠CEA=90°∵∠BAC=90°
∴∠BAD+∠CAE=90°
∵∠BAD+∠ABD=90°
∴∠CAE=∠ABD
②在△ADB和△CEA中
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AE=BD，AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（2）成立：DE=BD+CE证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α
∴∠DBA=∠CAE
在△ADB和△CEA中
∴△ADB≌△CEA（AAS）
∴AE=BD、AD=CE
∴DE=AE+AD=BD+CE；
（3）如图，过E作EM⊥HI于M，过G作GN⊥HI的延长线于N
∴∠EMI=GNI=90°，由题意可得 ，
由（1）和（2）的结论可知
∴EM=GN
在△EMI和△GNI中∴△EMI≌△GNI（AAS）
∴EI=GI
∴I是EG的中点．
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质与判定，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．
