文档内容
第2单元 一元二次函数、方程与不等式（基础篇）
基础知识讲解
一．不等式定理
【基础知识】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差
比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
二．不等式大小比较
【技巧方法】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
三．基本不等式
【基础知识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几
何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤
（ ）2或者a+b≥2 ．常常用于求最值和值域．
四、基本不等式的应用
【基础知识】
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【技巧方法】
技巧一：凑项
需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式
求最大值．
技巧三：分离
技巧四：换元
一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．
总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些
变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
五．二次函数的性质
【基础知识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因
变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【技巧方法】
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称
轴x＝ ；最值为：f（ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一
个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝ ，
1 2 1 2
x •x ＝ ；
1 2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝ ，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
六．一元二次不等式
【基础知识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形
式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【技巧方法】
（1） 当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
（2） 当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
（3） 当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
二.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
七．一元二次方程根与系数的关系
【基础知识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）
有解时，不妨设它的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即
1 2 1 2 1 2
x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．若a，b，c 是是实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A【解析】
对于A，若 ，则 ， ，故A正确；
对于B，若 ， ，则 ，故B错误；
对于C，若 ， ，则满足 ，但此时 ，故C错误；
对于D，若 ， ，则满足 ，但此时 ，故D错误.
故选：A.
2．下列不等式中，正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】A
【解析】
若 ，则 ,故B错，
设 ,则 ， 所以C、D错，故选A
3．如果实数 满足： ，则下列不等式中不成立的是 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】
，则 ， ，A正确；
由 两边同除以 得 ，B正确；
由 得 ，C正确；
，则 ， ，D错误．
故选：D．
4．下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， 则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】
当 时，满足 ，但 不成立，所以A错；
当 时，满足 ，但 不成立，所以B错；
当 时，满足 ，但 不成立，所以D错；因为 所以 ，又 ，因此同向不等式相加得 ，即C对；
故选：C
5．函数 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】
因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故选：C.
6．函数 的最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】解：因为 ，
所以 ，
取等号时 ，即 ，
所以 .
故选：C
7．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．16 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ， ， ，
则 ，
当且仅当 且 即 ， 时取等号．
故选：C．8．不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
解：不等式 ，即 ，
求得 ，
所以原不等式的解集为
故选： ．
9．已知不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
欲使不等式 的解集为空集，即函数 的图像与 轴无交点或只有一个交点，
则 ，
解得 ，
故选A项.
10．若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是（
）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，不等式 ，可化为 ，
当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意；
当 时，要使不等式恒成立，需 ，
解得 ，
综上所述，所以 的取值范围为 ，
故选： .11．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【解析】
集合 ，
则
故选：C
12．已知集合 ，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由 ，解得 ，所以 .
.，所以 .
故选：A
二．填空题（共6小题）
13．不等式 的解集为____________．【答案】
【解析】
由 得 ，
所以不等式 的解集为 ．
故答案为： .
14．已知 ， ，且 ，则 的最小值为_____.
【答案】9
【解析】
，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
15．已知 ，则 的取值范围是________．
【答案】
【解析】因为 ，则 ，
又由 ，根据不等式的基本性质，可得 ，
所以 的取值范围是 .
16．已知正数a，b满足 ，则 的最小值为__________．
【答案】49
【解析】
因为正数a，b满足 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立．
故答案为：49
17．已知 ， ，且 ，则 的最小值为______.
【答案】4
【解析】
， ，，
可得 ，当且仅当 时取等号．
，或 （舍去），
．
故 的最小值为4.
故答案为：4．
18．关于 的不等式 的解集是 ，则 ______．
【答案】
【解析】
因为关于 的不等式 的解集是 ，
所以关于 的方程 的解是 ，
由根与系数的关系得 ，解得 ，
所以 .
三．解析题（共6小题）
19．已知不等式 的解集是 ．（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 ，求不等式 的解集．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
试题分析：（1）由2是解集中的元素可知其满足不等式，代入可得 的取值范围；（2）
结合三个二次关系可得到 值，代入不等式 可求解其解集
试题解析：（1）∵ ，∴ ，∴
（2）∵ ，∴ 是方程 的两个根，
∴由韦达定理得 解得
∴不等式 即为：
其解集为 ．
20．已知函数 ．
（1）若关于 的不等式 的解集为 ，求 的值；（2）当 时，解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ；（2）当 时，不等式的解集为 ；当 时，
不等式的解集为 ．
【解析】
（1）由条件知，关于 的方程 的两个根为1和2，
所以 ，解得 ．
（2）当 时， ，即 ，
当 时，解得 或 ；当 时，解得 ；
当 时，解得 或 ．
综上可知，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
21．已知关于 的不等式：
（1）若不等式的解集为 ，求 的值；
（2）若不等式的解集为 ，求 的取值范围．【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1）因为关于 的不等式： 的解集为 ，
所以 和1是方程 的两个实数根，
由韦达定理可得: ，得 ．
（2）因为关于 的不等式 的解集为 ．
当 时，-3<0恒成立.
当 时，由 ，解得：
故 的取值范围为 ．
22．设函数 ．
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值
（2）若 ， ， ，求 的最小值．
【答案】（1） （2）9．
【解析】（1）因为不等式 的解集为 ，
所以 和 是方程 的两实根，
从而有 ，即 ，
解得 ．
（2）由 ，得 ．
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立．
所以 的最小值为9．
23．已知 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）解关于 的不等式 ．
【答案】（1） ；（2）答案见解析.
【解析】（1） 时，不等式 化为 ，
解得 ， 不等式的解集为
（2）关于 的不等式 ，即 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，解不等式 ，得 或 ；
当 时，解不等式 ，得 或 ；
综上所述，当 时，不等式解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ．
24．已知函数 ，其中 ．
（1）若 ，求不等式 的解集；
（2）求 的最小值．
【答案】（1） ；（2）最小值为 .
【解析】（1）当 时， ，解得 ，
不等式 的解集为
（2）
当且仅当 ，即 时取等号.
故 的最小值为 .
