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河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 是虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
2． 的值等于（ ）
A． B．1 C．0 D．
3．已知向量 ， 的夹角为 ，且 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 ， 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． 和 D． 和
5．已知向量 ， 满足 ， ，且 ，则 （ ）
A． B．4 C．5 D．
6．已知函数 ，则下列说法错误的是（ ）
A．函数 的最小正周期为B．函数 的定义域为
C．函数 的图象的对称中心为 ，
D．函数 的单调递增区间为 ，
7．将函数 图象上所有点的横坐标缩小为原来的 （纵坐标不变），
再将所得曲线上所有的点向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，若 的
图象关于 轴对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且面积为 .若
， ，则角 等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知 是虚数单位，复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 的虚部为 B．
C． D． 在复平面内对应的点在第二象限
10．信阳是中国十佳宜居城市之一，气候宜人，环境优美.如图是信阳市夏季某一天的温度
变化曲线，若该曲线近似地满足函数 ， 的部分图象，则下
列说法正确的是（ ）A．该函数的周期是
B．该函数的解析式是 ，
C．该函数图象的对称中心是
D．该函数图象的对称轴是直线
11．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则满足条件的三角形有两个
B．若 ，则
C．若 ， ，则 的最大值为
D．若 ，且 ，则 为等边三角形
三、填空题
12．如图，在 中， 是 上靠近 的一个三等分点， ， ，则 可以
用 ， 表示为 .13．若 是三角形的一个内角，且函数 在区间 上单调递增，则
的取值范围为 .
14．已知函数 的图象关于直线 对称，若方程
在 上恰有1个实数根，则 的取值范围是 .
四、解答题
15．已知向量 ， ， .
(1)若 ，求 的值；
(2)记 ，求 的最大值和最小值以及对应的 的值.
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角 与钝角 的终边与单
位圆分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知 ，点B的纵坐标
是 ．
（1）求 的值；（2）求 的值．
17．近年来，西安市长安区认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好
的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖
为主方向，为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域 内修建矩形
水池 ，矩形一边 在 上，点C在圆弧 上，点D在边 上，且 ，
米，设 .
(1)求扇形 的面积；
(2)求矩形 的面积 ；当 为何值时， 取得最大值，并求出这个最大值.
18．在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
(1)求A；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围．
19．若函数 在定义域区间 上连续，对任意 恒有
，则称函数 是区间 上的上凸函数，若恒有 ，
则称函数 是区间 上的下凸函数，当且仅当 时等号成立，这个性质称为函数
的凹凸性．上述不等式可以推广到取函数定义域中的任意n个点，即若 是上凸函数，
则对任意 恒有 ，若 是下凸函数，则对任意 恒有 ，
当且仅当 时等号成立．应用以上知识解决下列问题：
(1)判断函数 （ ， ）， ， 在定义域上是上凸
函数还是下凸函数；（只写出结论，不需证明）
(2)利用（1）中的结论，在 中，求 的最大值；
(3)证明函数 是上凸函数．河南省信阳市2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B A C A C A D BC ABD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】 ，
故选：C.
2．B
【详解】 ，
故选：B.
3．A
【详解】 在 上的投影向量为 .
故选：A
4．C
【详解】 ，
令 ，
函数 的单调递减区间为 .
由 ，
得 ，
而 ，所以所求单调递增区间是 和 .
故选：C.
5．A【详解】因为 ， ， ，
所以 ，则 ，故 ，
所以 ，则 ．
故选：A.
6．C
【详解】对于A，函数 的最小正周期 ，A正确；
对于B，由 ， ，得 ， ，
所以函数 的定义域为 ，B正确；
对于C，由 ， ，得 ， ，
所以函数 的对称中心为 ， ，C错误；
对于D，由 ， ，得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，D正确.
故选：C
7．A
【详解】 可化为 ，
所以 ，
由条件可得 ，因为函数 的图象关于 轴对称，所以函数 为偶函数，
所以 ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 的最小值为 ，
故选：A.
8．D
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ,
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：D
9．BC
【详解】因为 ，
所以复数 的虚部为 ，A错误；
因为 ，所以 ，B正确，
因为 ，所以 ，C正确；复数 在复平面内对应的点的坐标为 ，该点位于复平面的第一象限内，D错误；
故选：BC.
10．ABD
【详解】对于A选项，由图象可知，该函数的最小正周期为 ，A选项正
确；
对于B选项，由图象可得 ，解得 ，
，
图象经过点 ，
，
.
， ，则 ， ，
所以，函数解析式为 ， ，B选项正确；
对于C选项，令 ， ，可得 ， ，
所以函数 图象的对称中心为 ，C选项错误；
对于D选项，令 ， ，可得 ， ，
所以函数 图象的对称轴是直线 ，故D选项正确.
故选：ABD.
11．ACD【详解】A选项，若 ， ， ，
则 ，所以 ，
所以满足条件的三角形有两个，所以A选项正确.
B选项，若 ，如 ， ， ， ，
则 ， ，故 ，所以B选项错误.
C选项， ， ，
余弦定理得 ，故
，
即 ，当且仅当 时等号成立，
由于三角形中， ，所以 ，
则 ，又 ，
即 ，整理得 ，
记得 ，所以 的最大值为 ，所以C选项正确.
D选项， 表示 方向的单位向量； 表示 方向的单位向量，
根据平面向量加法的几何意义可知 与 的角平分线共线，
由 可知 的角平分线与 垂直，
所以三角形 是等腰三角形.而 ，所以 为锐角，且 ，
所以 是等边三角形.
故选：ACD
12．
【详解】因为 是 上靠近 的一个三等分点，所以 ，
又 ， ，
所以 ，
故答案为： .
13．
【详解】由 ，可得 ，
又 是三角形的一个内角，所以 ，
故 ， ，
因为函数 在区间 上单调递增，
，解得 ，又 ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为： .14．
【详解】因为 ，其中 ,
又函数 的图像关于直线 对称，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
当 时，令 ，
因为方程 在 上恰有1个实数根，且函数 在 上单调递
增，在 上单调递减，
，
所以 .
故答案为：
15．(1)
(2) 时， 的最大值为4； 时， 的最小值为
【详解】（1）因为 ， ， ，所以 ．
若 ，则 ，与 矛盾，
故 ，于是 ．又 ，
所以 ．
（2）
．
因为 ，所以 ，从而 ．
所以 ，
于是，当 ，即 时， 取到最大值 ；
当 ，即 时， 取到最小值 ．
16．（1） ；（2） .
【详解】解：（1）由题意， ．
， 为锐角，
， ．
又点B的纵坐标是 且 为钝角，
， ．．
（2） ，
，
， ， ．
又 ，
故 ．
17．(1) 平方米；
(2) ，当 时， 取得最大值 平
方米.
【详解】（1）依题意， ，扇形半径即 米，
则扇形OMN的面积为 平方米.
（2）在 中， ， ，
在 中， ，则 ，
于是 ，
则矩形 面积， ，
所以 ；
由 ，得 ，则当 时，即 时， ，
所以当 时， 取得最大值，最大值为 平方米.
18．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，由正弦定理得
，
又在 中，有 ，所以 ，
所以 ，所以 ．
（2）结合（1）可得 ， ，
由 ，则根据正弦定理有 ，得 ， ，
根据余弦定理有 ，得 ，
所以
，
又 为锐角三角形，则有 ， ，得 ，所以 ，所以 ，
故 ．
19．(1)答案见解析；
(2) ；
(3)证明见解析.
【详解】（1）函数 ， ， ，
，
当 时， ， 是下凸函数；
当 时， ， 是上凸函数，
，
，显然 ，则 ，
因此 ，函数 是上凸函数.
（2）由（1）知函数 ， 是上凸函数，
在 中， ，
即 ，当且仅当 取等号，
所以 的最大值是 .（3）函数 的定义域是 ，
要证函数 是上凸函数，即证 ， ，
因为
＝ ，
显然 ，则 ，
而 ，即 ，则 ，
又 ，有 ，则 ， ，
