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第2单元 一元二次函数、方程与不等式（强化篇）
基础知识讲解
一．不等式定理
【基础知识】
①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差
比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
二．不等式大小比较
【技巧方法】
不等式大小比较的常用方法
（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；
（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函数的单调性；
（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．
三．基本不等式
【基础知识】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几
何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为ab≤
（ ）2或者a+b≥2 ．常常用于求最值和值域．
四、基本不等式的应用
【基础知识】
1、求最值
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【技巧方法】
技巧一：凑项
需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
遇到无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式
求最大值．
技巧三：分离
技巧四：换元
一般，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．技巧五：结合函数f（x）＝x+ 的单调性．
技巧六：整体代换
多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造条件．
总结我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些
变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
五．二次函数的性质
【基础知识】
二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因
变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）
【技巧方法】
①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称
轴x＝ ；最值为：f（ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0时，函数与x轴只有一
个交点；△＞0时，与x轴有两个交点；当△＜0时无交点．
②根与系数的关系．若△≥0，且x 、x 为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x +x ＝ ，
1 2 1 2
x •x ＝ ；
1 2③二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0， ），准线方程为y＝ ，
含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．
④平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；
六．一元二次不等式
【基础知识】
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形
式是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a不等于0）其中ax2+bx+c是实数域内的二次三项式．
【技巧方法】
（1） 当△＝b2﹣4ac＞0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）（x﹣x ）
1 2
（2） 当△＝b2﹣4ac＝0时，
一元二次方程ax2+bx+c＝0仅有一个实根，那么ax2+bx+c可写成a（x﹣x ）2．
1
（3） 当△＝b2﹣4ac＜0时．
一元二次方程ax2+bx+c＝0没有实根，那么ax2+bx+c与x轴没有交点．
二.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）．
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解．
特例：
①一元一次不等式ax＞b 解的讨论；
②一元二次不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论．
（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，．（3）无理不等式：转化为有理不等式求解．
（4）指数不等式：转化为代数不等式
（5）对数不等式：转化为代数不等式
（6）含绝对值不等式
①应用分类讨论思想去绝对值；
②应用数形思想；
③应用化归思想等价转化．
七．一元二次方程根与系数的关系
【基础知识】
一元二次方程根与系数的关系其实可以用一个式子来表达，即当ax2+bx+c＝0（a≠0）
有解时，不妨设它的解为x ，x ，那么这个方程可以写成ax2﹣a（x +x ）x+ax •x ＝0．即
1 2 1 2 1 2
x2﹣（x +x ）x+x •x ＝0．它表示根与系数有如下关系：x +x ＝﹣ ，x •x ＝ ．
1 2 1 2 1 2 1 2
习题演练
一．选择题（共12小题）
1．关于x的不等式 的解集为 ，且： ，则a=
（ ）
A． B． C． D．
2．已知a，b为非零实数，且 ，则下列命题成立的是（ ）A． B． C． D．
3．若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．两个正实数 ， 满足 ， ， 成等差数列，则不等式 恒成立时
实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 的最小值为（ ）.
A．9 B． C．5 D．
7．若 ， ， ，则 的最大值为（ ）A． B． C． D．
8．已知正实数 满足 ，则 的最小值为（ ）
A．10 B．11 C．13 D．21
9．关于 的不等式 的解集中恰有两个整数，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
10．已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则
（ ）
A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<6
11．若存在正实数y，使得 ，则实数x的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．4
12．若 、 、 均大于0，且 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）13．已知正数 满足： ，则 的最小值是_____________．
14对于实数x，y，若 ， ，则 的最大值为 .
15．设 ， ， 是三个正实数，且 ，则 的最大值为______.
16．已知正实数 ， 满足 ，则 的最小值是______.
17．设 ,则 的最大值为 ________．
18．已知实数x，y满足 ， ，且 ，则 的最小值为
________．
三．解析题（共6小题）
19．已知 ，不等式 的解集是 ．
（1）求 的值；
（2）若 存在实数解，求实数 的取值范围．
20．已知 ，且 ．
（1）求证： ；（2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围．
21．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．
（1）求不等式f（x）≤5的解集；
（2）若存在实数x，使得f（x）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足
0 0
a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．
22．设函数 ,
（1）若不等式 的解集为 ，求 的值；
（2）若 ，求 的最小值．
（3）若 求不等式 的解集.
23．已知函数y=ax2−(2a+1)x+a+1．
(1)若a=2，解不等式y≥0；
(2)若对于a∈[−2,2]，函数值y<0恒成立，求实数x的取值范围.
24．已知函数 ．
(1)求函数在区间 上的最大值 ；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围.
