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1．比较数(式)的大小
依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a＜b；a－b＝0⇔a＝b.
适用范围：若数(式)的大小不明显，作差后可化为积或商的形式．
步骤：①作差；②变形；③判断差的符号；④下结论．
变形技巧：①分解因式；②平方后再作差；③配方法；④分子(分母)有理化．
2．利用基本不等式证明不等式
(1)充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时
成立．
(2)利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，其实质就是
从已知的不等式入手，借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步的逻辑推理，
最后推得所证结论，其特征是“由因导果”．
(3)证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．
3．利用基本不等式求最值(1)利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件：一正、二定、三
相等．
即：①x，y都是正数．
②积xy(或和x＋y)为常数(有时需通过“配凑、分拆”凑出定值)．
③x与y必须能够相等(等号能够取到)．
(2)构造定值条件的常用技巧
①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式．
4．解一元二次不等式的步骤
当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不
等式的一般步骤如下：
(1)确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；
(2)画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象的简图；
(3)由图象写出不等式的解集．
特别提醒：(1)在通过图象获取解集时，注意不等式中的不等号方向、是否为
严格不等关系及Δ＝0时的特殊情况．
(2)当a＜0时，解不等式可以从两个方面入手：①画出对应图象进行直接判
定(此时图象开口向下)；②两边同乘以－1，把a转变为－a再进行求解．
5．一元二次不等式的实际应用
不等式在解决生活、生产中的一些实际问题中有着广泛的应用，主要有范围
问题、最值问题等．解一元二次不等式的应用问题的关键在于构造一元二次不等
式模型．解题的一般步骤是：
(1)理清题意：弄清问题的实际背景和意义，用数学语言来描述问题．
(2)简化假设：精选问题中的关键变量．
(3)列出关系式：建立变量间的不等关系式．
(4)求解：运用数学知识解相应不等式．
(5)检验并作答：将所得不等式的解集放回原题中检验是否符合实际情况，
然后给出问题的答案．
学科思想培优
一、常数代换法
[典例1] 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A．5 B. C. D．2
解析 因为x＋y＝1，所以x＋(1＋y)＝2，则2＝[x＋(1＋y)]＝＋＋5≥2＋5＝
9，所以＋≥，当且仅当即时，等号成立，因此＋的最小值为.故选C.
答案 C
二、消元法
[典例2] 设x，y，z为正实数，满足x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．
解析 解法一：由x－2y＋3z＝0，得y＝，故＝＝≥＝3，当且仅当x＝y＝3z时取等号，即的最小值为3.
解法二：由x－2y＋3z＝0，得x＝2y－3z，＝2－＞0.
＝＝≥＝3.当且仅当x＝y＝3z时取等号，即的最小值为3.
答案 3
三、配凑法
1．从和或积为定值的角度入手配凑
某些不等式的约束条件可看成若干变元的和或积的定值，在不等式的变形中，
配凑出这些定值，可使问题巧妙获解．常见的配凑变形有化积为和、常数的代换、
加法结合律等常规运算和技巧．
[典例3] 设x>0，y>0，x2＋＝1，求x的最大值．
解 ∵x>0，y>0，x2与的和为定值，
∴x＝＝≤·＝·＝，当且仅当x2＝，即x＝，y＝时取等号，即x的最大值为.
[典例4] 已知x，y，z为正数，且满足xyz(x＋y＋z)＝1，求(x＋y)(y＋z)的最
小值．
解 由条件得x＋y＋z＝，则(x＋y)(y＋z)＝xy＋xz＋y2＋yz＝y(x＋y＋z)＋xz＝
y·＋xz＝＋xz≥2，当且仅当＝xz，即xz＝1时取等号，故(x＋y)(y＋z)的最小值为
2.
[典例5] 设a ，a ，a ，…，a 均为正实数，求证：＋＋…＋＋≥a ＋a ＋a
1 2 3 n 1 2 3
＋…＋a .
n
证明 为了约去中的分母，可考虑配上一项 a ，于是有＋a ≥2a ，＋
k＋1 2 1
a ≥2a ，…，＋a ≥2a ，＋a ≥2a ，当且仅当a ＝a ＝…＝a 时取等号．以上
3 2 n n－1 1 n 1 2 n
不等式相加，化简，可得原不等式成立．
2．从取等号的条件入手配凑
在题中约束条件下，各变元将取某个特定值，这就提示我们可考虑用这些值
来进行配凑．
[典例6] 设a，b，c＞0，a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值．
解 ·≤＝，·≤，·≤.
以上三式相加，并利用a＋b＋c＝1，得(＋＋)≤6，故＋＋的最大值为3.
四、判别式法在“三个二次”问题中的应用
一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系十分密切，习惯上称为
“三个二次”问题．根据判别式法在解一元二次方程中的作用，可见判别式法在
“三个二次”问题中的重要性．
1．求变量的取值范围
[典例7] 不等式(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立，求实数
m的取值范围．
解 (m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成立．①若m2－2m－3＝0，则m＝－1或m＝3.
当m＝－1时，不符合题意；当m＝3时，符合题意．
②若m2－2m－3≠0，设y＝(m2－2m－3)x2－(m－3)x－1<0对任意x∈R恒成
立．
则m2－2m－3<0，Δ＝b2－4ac＝5m2－14m－3<0，
解得－0恒成立．
证明 不等式可变形为y2＋2xy＋2x2－4x＋5>0，将不等式左边看作关于 y的
二次函数，令z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，则关于y的一元二次方程y2＋2xy＋2x2－
4x＋5＝0的根的判别式Δ＝4x2－4(2x2－4x＋5)＝－4(x－2)2－4<0，即Δ<0.则对
于二次函数z＝y2＋2xy＋2x2－4x＋5，其图象开口向上，且在x轴上方，所以z>0
恒成立，即2x2＋2xy＋y2－4x＋5>0恒成立．
五、含变量的不等式恒成立问题
[典例10] 对于满足0≤p≤4的一切实数，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，
试求x的取值范围．
解 原不等式可化为x2＋px－4x－p＋3＞0，
令y＝x2＋px－4x－p＋3
＝(x－1)p＋(x2－4x＋3)．
由题设得
解得x＞3或x＜－1.故x的取值范围是x<－1或x>3.
