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第 8 节 不等式的性质、一元二次不等式与基本不等式
基础知识要夯实
1.实数的大小顺序与运算性质的关系
(1)a>b a－b>0；
(2)a＝b a－b＝0；
⇔
(3)ab，c<0 acb>0，m>0，则 ； (b－m>0).(2)若ab>0，且a>b .
⇔
2.对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形.
3.当Δ<0时，不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别.
4.基本不等式： ≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.
(3)其中 称为正数a，b的算术平均数， 称为正数a，b的几何平均数.
5.两个重要的不等式
(1)a2＋b2≥ 2 ab (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
(2)ab≤ (a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号.
6.利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y有最小值是2 (简记：积定和最
小).
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy有最大值是 (简记：和定积最大).
[微点提醒]
1. ≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号.
2.ab≤ ≤ .3. (a>0，b>0).
典型例题剖析
考点一 不等式的性质
角度1 比较大小及不等式性质的简单应用
【例1－1】 (1)已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，
b，c的大小关系是( )
A.c≥b>a B.a>c≥b
C.c>b>a D.a>c>b
(2)(一题多解)若 ＜0，给出下列不等式：① ；②|a|＋b＞0；③a－ ＞b
－ ；④ln a2＞ln b2.其中正确的不等式是( )
A.①④ B.②③ C.①③ D.②④
角度2 利用不等式变形求范围
【例1－2】 (一题多解)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则f(－2)的取
值范围是________.
规律方法 1.比较两个数(式)大小的两种方法
2.与充要条件相结合问题，用不等式的性质分别判断 p q和q p是否正确，要注意特
⇒ ⇒
殊值法的应用.
3.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.
4.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会
导致范围扩大.
【训练1】 (1)(2022·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的(
)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)(2022·天一测试)已知实数a∈(1，3)，b∈ ，则 的取值范围是________.
考点二 一元二次不等式的解法
【例2－1】 (1)(2022·河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>0时，
f(x)＝x2－2x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________.
(2)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是{x|－ 0的解集是( )
A.(－∞，－1)∪(3，＋∞) B.(1，3)
C.(－1，3) D.(－∞，1)∪(3，＋∞)
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数R上恒成立
【例3－1】 (2018·大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－
4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，2) B.(－∞，2]
C.(－2，2) D.(－2，2]
角度2 在给定区间上恒成立
【例3－2】 (一题多解)设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m
＋5恒成立，则m的取值范围是________.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
【例3－3】 已知a∈[－1，1]时不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范
围为( )
A.(－∞，2)∪(3，＋∞) B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞) D.(1，3)
规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在
给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主
元，求谁的范围，谁就是参数.
【训练3】 (2022·河南豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意
x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A.[0，1] B.(0，1]
C.(－∞，0)∪(1，＋∞) D.(－∞，0]∪[1，＋∞)
[思维升华]
1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作
差法的主要步骤为作差——变形——判断正负.
2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于
有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单.
[易错防范]
1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础；一般可把 a＜0的情况转化为
a＞0时的情形.
2.含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论.
考点四 利用基本不等式求最值 多维探究
角度1 通过配凑法求最值
【例4－1】 (2022·乐山一中月考)设00，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直
线mx＋ny－1＝0上，且m，n为正数，则 的最小值为________.
【规律方法】在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、
和为常数的形式，主要有两种思路：
(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、
变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.
(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值.
【训练4】 (1)(2022·济南联考)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则 的最小值为( )
A.2 B. C.4 D.
(2)已知x< ，则f(x)＝4x－2＋ 的最大值为______.
考点五 基本不等式在实际问题中的应用
【例 5】 运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制
50≤x≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油
升，司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式；
(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.【规律方法】1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
【训练5】 网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一
个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从 2019年1月起开展网络销售与实体
店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x万件与投入实体店
体验安装的费用t万元之间满足函数关系式 x＝3－ .已知网店每月固定的各种费用
支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的
150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和， 则该公司最大月利
润是________万元.
考点六 基本不等式的综合应用
【例6】 (1)(2019·河南八校测评)已知等差数列{a }中，a ＝7，a ＝19，S 为数列{a }
n 3 9 n n
的前n项和，则 的最小值为________.
(2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC
＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________.
【规律方法】基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决
这类问题的策略是：
1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为
用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.
3.检验等号是否成立，完成后续问题.
【训练6】 (2022·厦门模拟)已知f(x)＝32x－(k＋1)3x＋2，当x∈R时，f(x)恒为正值，则
k的取值范围是( )
A.(－∞，－1) B.(－∞，2 －1)
C.(－1，2 －1) D.(－2 －1，2 －1)
[思维升华]
1.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，
常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特
点，选择好利用基本不等式的切入点.
2.对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆
用等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件.
3.对使用基本不等式时等号取不到的情况，可考虑使用函数y＝x＋ (m>0)的单调性.
[易错防范]
1.使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.
2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.
达标检测要扎实
一、单选题1．关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．若00.若a<0且p
是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
19．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（1）求当 时， 的解析式；
（2）请问是否存在这样的正数 ， ，当 时， ，且 的值域为 ？若
存在，求出 ， 的值；若不存在，请说明理由.
20．已知函数 .
（1）若 ，关于 的不等式 在区间 上恒成立，求 的取值范围；
（2）若 ，解关于 的不等式 .
21．解关于x的不等式 .
22．已知关于 一元二次不等式 的解集为 .(1)求函数 的最小值；
(2)求关于 的一元二次不等式 的解集.
