专题15直线与圆10种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

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2021-2025高考真题分类 直线与圆10种常见考法归类
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2021-2025高考真题分类 直线与圆10种常见考法归类1
一 直线与直线的夹角1
二 两点间的距离1
三 求点到直线的距离2
四 求圆的方程2
五 由圆的方程确定圆心和半径4
六 直线与圆的位置关系4
七 圆的弦长问题6
八 圆的切线问题9
九 圆的对称问题12
十 圆的最值问题12
~ ~
一 直线与直线的夹角
1. (2021·上海·高考真题)求直线x=-2与直线 3x-y+1=0的夹角为 .
π
【答案】
6
【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角．
π
【解析】解：∵直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为 ，
2
π
直线 3x-y+1=0的斜率为 3，倾斜角为 ，
3
π π π
故直线x=-2与直线 3x-y+1=0的夹角为 - = ，
2 3 6
π
故答案为： ．
6
二 两点间的距离
1. (2024·北京·高考真题)已知M= x,y  y=x+tx2-x    ,1≤x≤2,0≤t≤1  是平面直角坐标系中的点
集.设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 ( )
A. d=3，S<1 B. d=3，S>1 C. d= 10，S<1 D. d= 10，S>1
【答案】C
y≤x2

【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ，结合图形分析求解即可.
1≤x≤2
【解析】对任意给定x∈1,2  ，则x2-x=xx-1  ≥0，且t∈0,1  ，
可知x≤x+tx2-x  ≤x+x2-x=x2，即x≤y≤x2，
y≤x2

再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ，
1≤x≤2
如图阴影部分所示，其中A1,1  ,B2,2  ,C2,4  ，
数学试题 第 1 页 共 15 页可知任意两点间距离最大值d=AC  = 1-2  2+1-4  2= 10，
1
阴影部分面积S<S = ×1×2=1.
△ABC 2
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，
见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确
把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
三 求点到直线的距离
1. (2024·北京·高考真题)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为 ( )
A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 2
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可.
【解析】由题意得x2+y2-2x+6y=0，即x-1  2+y+3  2=10，
则其圆心坐标为1,-3 
1--3
，则圆心到直线x-y+2=0的距离为
  +2 
12+-1 
=3 2.
2
故选：D.
四 求圆的方程
1. (2022·全国甲卷·高考真题)设点M在直线2x+y-1=0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，则⊙M的方
程为 ．
【答案】(x-1)2+(y+1)2=5
【分析】设出点M的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在⊙M上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.
【解析】[方法一]：三点共圆
∵点M在直线2x+y-1=0上，
∴设点M为(a,1-2a)，又因为点(3,0)和(0,1)均在⊙M上，
∴点M到两点的距离相等且为半径R，
∴ (a-3)2+(1-2a)2= a2+(-2a)2=R，
a2-6a+9+4a2-4a+1=5a2，解得a=1，
∴M(1,-1)，R= 5，
⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5
[方法二]：圆的几何性质
由题可知，M是以(3，0)和(0，1)为端点的线段垂直平分线 y=3x-4与直线2x+y-1=0的交点(1
,-1).R= 5, ⊙M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
数学试题 第 2 页 共 15 页故答案为：(x-1)2+(y+1)2=5
2. (2022·全国乙卷·高考真题)过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为 ．
【答案】x-2  2+y-3  2=13或x-2  2+y-1 
4
2=5或x-
3

2 7
+y-
3

2 65 8
= 或x-
9 5

2
+
y-1 
169
2= ．
25
【分析】方法一：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；
【解析】[方法一]：圆的一般方程
依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
(1)若过0,0  ，4,0  ，-1,1 
F=0 F=0
 
，则16+4D+F=0 ，解得D=-4，
1+1-D+E+F=0 E=-6
所以圆的方程为x2+y2-4x-6y=0，即x-2  2+y-3  2=13；
(2)若过0,0  ，4,0  ，4,2 
F=0 F=0
 
，则16+4D+F=0 ，解得D=-4，
16+4+4D+2E+F=0 E=-2
所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0，即x-2  2+y-1  2=5；
(3)若过0,0  ，4,2  ，-1,1 
F=0
F=0 
  8
D=-
，则1+1-D+E+F=0 ，解得  3 ，
16+4+4D+2E+F=0  14
E=-
 3
8 14 4
所以圆的方程为x2+y2- x- y=0，即x-
3 3 3

2 7
+y-
3

2 65
= ；
9
(4)若过-1,1  ，4,0  ，4,2 
16
1+1-D+E+F=0
 F=-
5
 
，则16+4D+F=0 ，解得 D=- 16 ，所以圆的方程为x2+y2
16+4+4D+2E+F=0  5

E=-2
16 16 8
- x-2y- =0，即x-
5 5 5

2
+y-1 
169
2= ；
25
故答案为：x-2  2+y-3  2=13或 x-2  2+y-1 
4
2=5或 x-
3

2 7
+y-
3

2 65 8
= 或x-
9 5

2
+
y-1 
169
2= ．
25
[方法二]：【最优解】圆的标准方程(三点中的两条中垂线的交点为圆心)
设点A0,0  ，B4,0  ，C-1,1  ，D4,2 
(1)若圆过A、B、C三点，圆心在直线x=2，设圆心坐标为(2,a)，
则4+a2=9+a-1  2⇒a=3,r= 4+a2= 13，所以圆的方程为(x-2)2+(y-3)2=13；
(2)若圆过A、B、D三点，设圆心坐标为(2,a)，则4+a2=4+(a-2)2⇒a=1,r= 4+a2= 5，所
以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5；
(3)若圆过 A、C、D三点，则线段AC的中垂线方程为y=x+1，线段AD 的中垂线方程 为y=-2x+
4 7 65 4
5，联立得x= ,y= ⇒r= ，所以圆的方程为x-
3 3 3 3

2 7
+y-
3

2 65
= ；
9
(4)若圆过B、C、D三点，则线段BD的中垂线方程为y=1，线段BC中垂线方程为 y=5x-7，联立
8 13 8
得x= ,y=1⇒r= ，所以圆的方程为x-
5 5 5

2
+y-1 
169
2= ．
25
故答案为：x-2  2+y-3  2=13或 x-2  2+y-1 
4
2=5或 x-
3

2 7
+y-
3

2 65 8
= 或x-
9 5

2
+
数学试题 第 3 页 共 15 页y-1 
169
2= ．
25
【整体点评】方法一；利用圆过三个点，设圆的一般方程，解三元一次方程组，思想简单，运算稍繁；
方法二；利用圆的几何性质，先求出圆心再求半径，运算稍简洁，是该题的最优解．
五 由圆的方程确定圆心和半径
1. (2023·上海·高考真题)已知圆x2+y2-4x-m=0的面积为π，则m= ．
【答案】-3
【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.
【解析】圆x2+y2-4x-m=0化为标准方程为：(x-2)2+y2=4+m，
∵圆的面积为S=πr2=π，∴圆的半径为r=1，
∴4+m=1，解得m=-3．
故答案为：-3
2. (2023·全国乙卷·高考真题)设O为平面坐标系的坐标原点，在区域 x,y    1≤x2+y2≤4   内随机取一
π
点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于 的概率为 ( )
4
1 1 1 1
A. B. C. D.
8 6 4 2
【答案】C
【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.
【解析】因为区域 x,y   |1≤x2+y2≤4  表示以O0,0  圆心，外圆半径R=2，内圆半径r=1的圆环，
π π
则直线OA的倾斜角不大于 的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON= ，
4 4
1
3π×
4 1
结合对称性可得所求概率P= = .
3π 4
故选：C.
六 直线与圆的位置关系
1. 【多选】(2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2，点A(a,b)，
则下列说法正确的是 ( )
A. 若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B. 若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C. 若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D. 若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】转化点与圆、点与直线的位置关系为a2+b2,r2的大小关系，结合点到直线的距离及直线与圆的
数学试题 第 4 页 共 15 页位置关系即可得解.
【解析】圆心C0,0 
r2
到直线l的距离d= ，
a2+b2
若点Aa,b 
r2
在圆C上，则a2+b2=r2，所以d= =r
a2+b2
 ，
则直线l与圆C相切，故A正确；
若点Aa,b 
r2
在圆C内，则a2+b2<r2，所以d= >r
a2+b2
 ，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点Aa,b 
r2
在圆C外，则a2+b2>r2，所以d= <r
a2+b2
 ，
则直线l与圆C相交，故C错误；
若点Aa,b  在直线l上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2，
r2
所以d= =r
a2+b2
 ，直线l与圆C相切，故D正确.
故选：ABD.
2. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+
3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是 ．
1 3
【答案】  ,
 3 2

【分析】首先求出点A关于y=a对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于
等于半径得到不等式，解得即可；
【解析】解：A-2,3  关于y=a对称的点的坐标为A-2,2a-3  ，B0,a  在直线y=a上，
a-3
所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即a-3
-2
 x+2y-2a=0；
圆C:x+3  2+y+2  2=1，圆心C-3,-2  ，半径r=1，
-3a-3
依题意圆心到直线l的距离d=
  -4-2a 
a-3 
≤1，
2+22
即5-5a  2≤a-3 
1 3 1 3
2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈  ,
3 2  3 2
 ；
1 3
故答案为：  ,
 3 2

3. (2022·上海·高考真题)在平面直角坐标系中，已知关于点集Ω= x,y  x-k  2+y-k2  2=4k    ,k∈Z 
的两个结论：
①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧；
②存在直线l，使得集合Ω中存在无数个点在直线上.
则下列判断正确的是 ( )
A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立
【答案】B
【分析】
对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思
想考虑.
【解析】对于①，取直线y=20.5,
则对于任意的0<k  ≤4，有k2+2 k  ≤16+4=20<20.5，
数学试题 第 5 页 共 15 页故圆x-k  2+y-k2  2=4k  均在直线y=20.5的下方，
而对任意的k  ≥4，有k2+2 k  >25>20.5，
故圆x-k  2+y-k2  2=4k  均在直线y=20.5的上方，
而当k=0时，x-k  2+y-k2  2=4k  表示原点，它在直线y=20.5的下方，
故此时集合Ω中所有的点均不在直线y=20.5上，且存在点在直线y=20.5的两侧.
所以①成立.
对于②，设直线l的方程为y=mx+t，则圆心k,k2 
mk-k2+t
到直线l的距离为d=

1+m2
mk-k2+t
当k→+∞时d=

>2 k
1+m2
 =r所以直线l只能与有限个圆相交，所以②不成立.
故选：B
七 圆的弦长问题
1. (2021·北京·高考真题)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M，N，当k变化时，若
|MN|的最小值为2，则m=
A. ±1 B. ± 2 C. ±\sqrt3 D. ±2
【答案】C
【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m
【解析】由题可得圆心为0,0  ，半径为2，
m
则圆心到直线的距离d=

，
k2+1
m2
则弦长为|MN|=2 4- ，
k2+1
则当k=0时，MN  取得最小值为2 4-m2=2，解得m=± 3.
故选：C.
2. (2024·全国甲卷·高考真题)已知直线ax+by-a+2b=0与圆C：x2+y2+4y-1=0交于A,B两点，
则AB  的最小值为 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点P1,-2  ，从而可得当PC⊥AB时，AB  的最小，结合勾股
定理代入计算，即可求解.
【解析】因为直线ax+by-a+2b=0，即ax-1  +by+2  =0，令x-1=0，
则x=1,y=-2，所以直线过定点1,-2  ，设P1,-2  ，
将圆C：x2+y2+4y-1=0化为标准式为x2+y+2  2=5，
所以圆心C0,-2  ，半径r= 5，PC  =1
当PC⊥AB时，AB  的最小，
此时AB  =2 r2-PC  2=2× 5-1=4.
故选：C
3. (2024·全国甲卷·高考真题)已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交
于A,B两点，则AB  的最小值为 ( )
数学试题 第 6 页 共 15 页A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 5
【答案】C
【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.
【解析】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得
ax+by+2b-a=0，即ax-1  +by+2 
x-1=0 x=1
=0，令  得  ，
y+2=0 y=-2
故直线恒过1,-2  ，设P1,-2  ，圆化为标准方程得：C:x2+y+2  2=5，
设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，AB  最小，
PC  =1,AC  =r  = 5，此时AB  =2AP  =2 AC2-PC2=2 5-1=4.
故选：C
4. (2025·天津·高考真题)l :x-y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2交于
1
C、D两点，|AB|=3|CD|，则r= ．
【答案】2
【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|=6 2，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式|CD|=
2 r2-d2列等式求解即可.
【解析】因为直线l 1 :x-y+6=0与x轴交于A-6,0  ，与y轴交于B0,6  ，所以|AB|= 62+62=
6 2，所以CD  =2 2，
圆(x+1)2+y-3 
|-1-3+6|
2=r2的半径为r，圆心(-1,3)到直线l :x-y+6=0的距离为d= = 1 2
2，
故CD  =2 r2-d2=2 r2- 2  2=2 2，解得r=2；
故答案为：2.
5. (2022·天津·高考真题)若直线x-y+m=0m>0  被圆x-1  2+y-1  2=3截得的弦长为m，则m的
值为 ．
【答案】2
数学试题 第 7 页 共 15 页【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值.
【解析】圆x-1  2+y-1  2=3的圆心坐标为1,1  ，半径为 3，
圆心到直线x-y+m=0m>0 
1-1+m
的距离为
 m
= ，
2 2
m
由勾股定理可得
2

2 m
+
2

2
=3，因为m>0，解得m=2.
故答案为：2.
6. (2021·天津·高考真题)若斜率为 3的直线与y轴交于点A，与圆x2+y-1  2=1相切于点B，则AB  =
．
【答案】 3
【分析】设直线AB的方程为y= 3x+b，则点A0,b  ，利用直线AB与圆x2+y-1  2=1相切求出b
的值，求出AC  ，利用勾股定理可求得AB  .
【解析】设直线AB的方程为y= 3x+b，则点A0,b  ，
由于直线AB与圆x2+y-1  2=1相切，且圆心为C0,1  ，半径为1，
b-1
则

=1，解得b=-1或b=3，所以AC
2
 =2，
因为BC  =1，故AB  = AC  2-BC  2= 3.
故答案为： 3.
7. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-1  2+y2=4交于A，B两点，写出
8
满足“△ABC面积为 ”的m的一个值 ．
5
1 1
【答案】2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)
2 2
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB  ，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解
出．
【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB  =2 4-d2，
1 8 4 5 2 5
所以S = ×d×2 4-d2= ，解得：d= 或d= ，
△ABC 2 5 5 5
1+1
由d=
 2 2 4 5 2 2 5 1
= ，所以 = 或 = ，解得：m=±2或m=± ．
1+m2 1+m2 1+m2 5 1+m2 5 2
1 1
故答案为：2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)．
2 2
八 圆的切线问题
1. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)过点0,-2  与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα
= ( )
15 10 6
A. 1 B. C. D.
4 4 4
【答案】B
【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，
结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合
夹角公式运算求解.
【解析】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即x-2  2+y2=5，可得圆心C2,0  ，半径r= 5，
过点P0,-2  作圆C的切线，切点为A,B，
数学试题 第 8 页 共 15 页因为PC  = 22+-2  2=2 2，则PA  = PC  2-r2= 3，
5 10 3 6
可得sin∠APC= = ,cos∠APC= = ，
2 2 4 2 2 4
10 6 15
则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2× × = ，
4 4 4
6
cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC=
4

2 10
-
4

2 1
=- <0，
4
即∠APB为钝角，
所以sinα=sinπ-∠APB 
15
=sin∠APB= ；
4
法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0  ，半径r= 5，
过点P0,-2  作圆C的切线，切点为A,B，连接AB，
可得PC  = 22+-2  2=2 2，则PA  =PB  = PC  2-r2= 3，
因为PA  2+PB  2-2PA  ⋅PB  cos∠APB=CA  2+CB  2-2CA  ⋅CB  cos∠ACB
且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cosπ-∠APB  ，
1
即3-cos∠APB=5+5cos∠APB，解得cos∠APB=- <0，
4
即∠APB为钝角，则cosα=cosπ-∠APB 
1
=-cos∠APB= ，
4
15
且α为锐角，所以sinα= 1-cos2α= ；
4
方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0  ，半径r= 5，
若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0，
2k-2
则

= 5，整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0
k2+1
设两切线斜率分别为k ,k ，则k +k =-8,kk =1，
1 2 1 2 1 2
可得k 1 -k 2  = k 1 +k 2  2-4kk =2 15， 1 2
所以tanα= k 1 -k 2  sinα sinα = 15，即 = 15，可得cosα= ，
1+kk cosα 15
1 2
sin2α
则sin2α+cos2α=sin2α+ =1，
15
且α∈0,π 
15
，则sinα>0，解得sinα= .
4
故选：B.
2. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方
程 ．
数学试题 第 9 页 共 15 页3 5 7 25
【答案】y=- x+ 或y= x- 或x=-1
4 4 24 24
【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.
【解析】[方法一]：
显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0，
|c| |3+4b+c|
于是 =1， =4.
1+b2 1+b2
故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c，
24 4
b=- b=
再结合①解得  b c = = 0 1 或   2 7 5 或   3 5 ，
c=- c=-
7 3
所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x-24y-25=0，3x+4y-5=0.
(填一条即可)
[方法二]：
设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r =1，
1
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4)，半径r =4，
2
则|OC|=5=r +r ，因此两圆外切，
1 2
由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意；
又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0，
即为过两圆公共切点的切线方程，
又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0，
4
直线OC与直线x+1=0的交点为-1,-
3
 ，
4
k- 
4 3 7
设过该点的直线为y+ =k(x+1)，则 =1，解得k= ，
3 k2+1 24
从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可)
[方法三]：
圆x2+y2=1的圆心为O0,0  ，半径为1，
圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4，
1
两圆圆心距为 32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，
如图，
数学试题 第 10 页 共 15 页4 3 3
当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y=- x+t(t>0)
OO1 3 l 4 4
|t| 5 3 5
O到l的距离d= =1，解得t= ，所以l的方程为y=- x+ ，
9 4 4 4
1+
16
当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0，
p
由题意
 =1 1+k2
3k+4+p 
  7   k=- 24 7 25

，解得
25
，y=
24
x-
24   =4 p= 24
 1+k2
当切线为n时，易知切线方程为x=-1，
3 5 7 25
故答案为：y=- x+ 或y= x- 或x=-1.
4 4 24 24
九 圆的对称问题
1. (2022·北京·高考真题)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a= ( )
1 1
A. B. - C. 1 D. -1
2 2
【答案】A
【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解．
【解析】由题可知圆心为a,0  ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0，解得a=
1
．
2
故选：A．
十 圆的最值问题
1. (2023·全国乙卷·高考真题)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是 ( )
3 2
A. 1+ B. 4 C. 1+3 2 D. 7
2
【答案】C
【分析】法一：令x-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得x-2  2+y-1  2=9，利用三角换元法
即可，法三：整理出圆的方程，设x-y=k，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.
数学试题 第 11 页 共 15 页【解析】法一：令x-y=k，则x=k+y，
代入原式化简得2y2+2k-6  y+k2-4k-4=0，
因为存在实数y，则Δ≥0，即2k-6  2-4×2k2-4k-4  ≥0，
化简得k2-2k-17≤0，解得1-3 2≤k≤1+3 2，
故x-y 的最大值是3 2+1，
法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得x-2  2+y-1  2=9，
令x=3cosθ+2，y=3sinθ+1，其中θ∈0,2π  ，
π
则x-y=3cosθ-3sinθ+1=3 2cosθ+
4
 +1，
∵θ∈0,2π 
π π 9π
，所以θ+ ∈  , 4  4 4 
π 7π
，则θ+ =2π，即θ= 时，x-y取得最大值3 2+1， 4 4
法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9，
|2-1-k|
设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d= ≤3，
2
解得1-3 2≤k≤1+3 2
故选：C.
2. (2025·全国一卷·高考真题)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅
有2个，则r的取值范围是 ( )
A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞)
【答案】B
【分析】先求出圆心E0,-2  到直线y= 3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【解析】由题意，
在圆x2+y+2  2=r2r>0  中，圆心E0,-2  ，半径为r，
到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有 2个，
∵圆心E0,-2 
0× 3--2
到直线y= 3x+2的距离为：d=
  ×1+2 
 3  2+-1 
=2，
2
故由图可知，
当r=1时，
圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有一个点(A点)到直线y= 3x+2的距离等于1；
当r=3时，
圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y= 3x+2的距离等于1；
当则r的取值范围为1,3  时，
圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有两个点到直线y= 3x+2的距离等于1.
数学试题 第 12 页 共 15 页故选：B.
3. 【多选】(2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知点P在圆x-5  2+y-5  2=16上，点A4,0  、B0,2  ，
则 ( )
A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2
C. 当∠PBA最小时，PB  =3 2 D. 当∠PBA最大时，PB  =3 2
【答案】ACD
【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正
误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【解析】圆x-5  2+y-5  2=16的圆心为M5,5  ，半径为4，
x y
直线AB的方程为 + =1，即x+2y-4=0，
4 2
5+2×5-4
圆心M到直线AB的距离为
 11 11 5
= = >4，
12+22 5 5
11 5 11 5
所以，点P到直线AB的距离的最小值为 -4<2，最大值为 +4<10，A选项正确，B选
5 5
项错误；
如下图所示：
当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB，
BM  = 0-5  2+2-5  2= 34，MP  =4，由勾股定理可得BP  = BM  2-MP  2=3 2，CD选项
正确.
故选：ACD.
【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线
l的距离的取值范围是d-r,d+r  .
x+2,x<-a,

4. (2023·北京·高考真题)设a>0，函数f(x)= a2-x2,-a≤x≤a,，给出下列四个结论：
- x-1,x>a.
①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减；
②当a≥1时，f(x)存在最大值；
③设M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  ，则|MN|>1；
④设P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a 
1
．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是0, 2  ．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】先分析fx 
1
的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a= ，结合图像即可判断；对于②，分段讨
2
数学试题 第 13 页 共 15 页论fx  的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 
4
的范围；对于④，取a= ，结合图像可知此
5
时PQ  存在最小值，从而得以判断.
【解析】依题意，a>0，
当x<-a时，fx  =x+2，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2，易知其图像是，圆心为0,0  ，半径为a的圆在x轴上方的图像(即
半圆)；
当x>a时，fx  =- x-1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
1
对于①，取a= ，则fx
2
 的图像如下，
1
显然，当x∈(a-1,+∞)，即x∈- ,+∞
2
 时，fx 
1
在- ,0
2
 上单调递增，故①错误；
对于②，当a≥1时，
当x<-a时，fx  =x+2<-a+2≤1；
当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2显然取得最大值a；
当x>a时，fx  =- x-1<- a-1≤-2，
综上：fx  取得最大值a，故②正确；
对于③，易知当-a≤x 1 ≤a时，在x 1 =a，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,
N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小，
当x 1 =a时，y=fx 1  =0，当x 2 >a且接近于x=a处，y 2 =fx 2  <- a-1，
此时，MN  >y -y > a+1>1， 1 2
当x 1 <-a时，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小，
此时MN 
a+ a+1+2
≥

>1；故③正确；
2
4
对于④，取a= ，则fx
5
 的图像如下，
数学试题 第 14 页 共 15 页因为P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  ，
结合图像可知，要使PQ  取得最小值，则点P在fx 
4
=x+2x<-
5
 上，点Q在fx  =
16 4 4
-x2- ≤x≤
25 5 5
 ，
同时PQ  的最小值为点O到fx 
4
=x+2x<-
5
 的距离减去半圆的半径a，
此时，因为fx 
4
=y=x+2x<-
5
 的斜率为1，则k =-1，故直线OP的方程为y=-x，
OP
y=-x x=-1
联立  ，解得  ，则P-1,1
y=x+2 y=1
 ，
显然P-1,1  在fx 
4
=x+2x<-
5
 上，满足PQ  取得最小值，
4
即a= 也满足PQ
5

1
存在最小值，故a的取值范围不仅仅是0,
2
 ，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得fx  的图像，特别是当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2的
图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
数学试题 第 15 页 共 15 页