专题15直线与圆10种常见考法归类（全国通用）（解析版）_高中三年全科资料_高中_高中1_2021-2025高考数学五年真题分类汇编

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 2021-2025高考真题分类 直线与圆10种常见考法归类 ~ ~ 2021-2025高考真题分类 直线与圆10种常见考法归类1 一 直线与直线的夹角1 二 两点间的距离1 三 求点到直线的距离2 四 求圆的方程2 五 由圆的方程确定圆心和半径4 六 直线与圆的位置关系4 七 圆的弦长问题6 八 圆的切线问题9 九 圆的对称问题12 十 圆的最值问题12 ~ ~ 一 直线与直线的夹角 1. (2021·上海·高考真题)求直线x=-2与直线 3x-y+1=0的夹角为 . π 【答案】 6 【分析】先求出直线的斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． π 【解析】解：∵直线x=-2的斜率不存在，倾斜角为 ， 2 π 直线 3x-y+1=0的斜率为 3，倾斜角为 ， 3 π π π 故直线x=-2与直线 3x-y+1=0的夹角为 - = ， 2 3 6 π 故答案为： ． 6 二 两点间的距离 1. (2024·北京·高考真题)已知M= x,y  y=x+tx2-x    ,1≤x≤2,0≤t≤1  是平面直角坐标系中的点 集.设d是M中两点间距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则 ( ) A. d=3，S<1 B. d=3，S>1 C. d= 10，S<1 D. d= 10，S>1 【答案】C y≤x2  【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ，结合图形分析求解即可. 1≤x≤2 【解析】对任意给定x∈1,2  ，则x2-x=xx-1  ≥0，且t∈0,1  ， 可知x≤x+tx2-x  ≤x+x2-x=x2，即x≤y≤x2， y≤x2  再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域y≥x ， 1≤x≤2 如图阴影部分所示，其中A1,1  ,B2,2  ,C2,4  ， 数学试题 第 1 页 共 15 页可知任意两点间距离最大值d=AC  = 1-2  2+1-4  2= 10， 1 阴影部分面积Sr a2+b2  ， 则直线l与圆C相离，故B正确； 若点Aa,b  r2 在圆C外，则a2+b2>r2，所以d= <r a2+b2  ， 则直线l与圆C相交，故C错误； 若点Aa,b  在直线l上，则a2+b2-r2=0即a2+b2=r2， r2 所以d= =r a2+b2  ，直线l与圆C相切，故D正确. 故选：ABD. 2. (2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题)设点A(-2,3),B(0,a)，若直线AB关于y=a对称的直线与圆(x+ 3)2+(y+2)2=1有公共点，则a的取值范围是 ． 1 3 【答案】  ,  3 2  【分析】首先求出点A关于y=a对称点A的坐标，即可得到直线l的方程，根据圆心到直线的距离小于 等于半径得到不等式，解得即可； 【解析】解：A-2,3  关于y=a对称的点的坐标为A-2,2a-3  ，B0,a  在直线y=a上， a-3 所以AB所在直线即为直线l，所以直线l为y= x+a，即a-3 -2  x+2y-2a=0； 圆C:x+3  2+y+2  2=1，圆心C-3,-2  ，半径r=1， -3a-3 依题意圆心到直线l的距离d=   -4-2a  a-3  ≤1， 2+22 即5-5a  2≤a-3  1 3 1 3 2+22，解得 ≤a≤ ，即a∈  , 3 2  3 2  ； 1 3 故答案为：  ,  3 2  3. (2022·上海·高考真题)在平面直角坐标系中，已知关于点集Ω= x,y  x-k  2+y-k2  2=4k    ,k∈Z  的两个结论： ①存在直线l，使得集合Ω中不存在点在直线l上，而存在点在l的两侧； ②存在直线l，使得集合Ω中存在无数个点在直线上. 则下列判断正确的是 ( ) A. ①成立，②成立 B. ①成立，②不成立 C. ①不成立，②成立 D. ①不成立，②不成立 【答案】B 【分析】 对于①只需要找一条直线，使得一部分圆在直线的方程，余下圆在直线的下方即可.对于②从极限的思 想考虑. 【解析】对于①，取直线y=20.5, 则对于任意的0<k  ≤4，有k2+2 k  ≤16+4=20<20.5， 数学试题 第 5 页 共 15 页故圆x-k  2+y-k2  2=4k  均在直线y=20.5的下方， 而对任意的k  ≥4，有k2+2 k  >25>20.5， 故圆x-k  2+y-k2  2=4k  均在直线y=20.5的上方， 而当k=0时，x-k  2+y-k2  2=4k  表示原点，它在直线y=20.5的下方， 故此时集合Ω中所有的点均不在直线y=20.5上，且存在点在直线y=20.5的两侧. 所以①成立. 对于②，设直线l的方程为y=mx+t，则圆心k,k2  mk-k2+t 到直线l的距离为d=  1+m2 mk-k2+t 当k→+∞时d=  >2 k 1+m2  =r所以直线l只能与有限个圆相交，所以②不成立. 故选：B 七 圆的弦长问题 1. (2021·北京·高考真题)已知直线y=kx+m(m为常数)与圆x2+y2=4交于点M，N，当k变化时，若 |MN|的最小值为2，则m= A. ±1 B. ± 2 C. ±\sqrt3 D. ±2 【答案】C 【分析】先求得圆心到直线距离，即可表示出弦长，根据弦长最小值得出m 【解析】由题可得圆心为0,0  ，半径为2， m 则圆心到直线的距离d=  ， k2+1 m2 则弦长为|MN|=2 4- ， k2+1 则当k=0时，MN  取得最小值为2 4-m2=2，解得m=± 3. 故选：C. 2. (2024·全国甲卷·高考真题)已知直线ax+by-a+2b=0与圆C：x2+y2+4y-1=0交于A,B两点， 则AB  的最小值为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点P1,-2  ，从而可得当PC⊥AB时，AB  的最小，结合勾股 定理代入计算，即可求解. 【解析】因为直线ax+by-a+2b=0，即ax-1  +by+2  =0，令x-1=0， 则x=1,y=-2，所以直线过定点1,-2  ，设P1,-2  ， 将圆C：x2+y2+4y-1=0化为标准式为x2+y+2  2=5， 所以圆心C0,-2  ，半径r= 5，PC  =1 当PC⊥AB时，AB  的最小， 此时AB  =2 r2-PC  2=2× 5-1=4. 故选：C 3. (2024·全国甲卷·高考真题)已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交 于A,B两点，则AB  的最小值为 ( ) 数学试题 第 6 页 共 15 页A. 1 B. 2 C. 4 D. 2 5 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【解析】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得 ax+by+2b-a=0，即ax-1  +by+2  x-1=0 x=1 =0，令  得  ， y+2=0 y=-2 故直线恒过1,-2  ，设P1,-2  ，圆化为标准方程得：C:x2+y+2  2=5， 设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，AB  最小， PC  =1,AC  =r  = 5，此时AB  =2AP  =2 AC2-PC2=2 5-1=4. 故选：C 4. (2025·天津·高考真题)l :x-y+6=0，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与(x+1)2+(y-3)2=r2交于 1 C、D两点，|AB|=3|CD|，则r= ． 【答案】2 【分析】先根据两点间距离公式得出|AB|=6 2，再计算出圆心到直线的距离d，根据弦长公式|CD|= 2 r2-d2列等式求解即可. 【解析】因为直线l 1 :x-y+6=0与x轴交于A-6,0  ，与y轴交于B0,6  ，所以|AB|= 62+62= 6 2，所以CD  =2 2， 圆(x+1)2+y-3  |-1-3+6| 2=r2的半径为r，圆心(-1,3)到直线l :x-y+6=0的距离为d= = 1 2 2， 故CD  =2 r2-d2=2 r2- 2  2=2 2，解得r=2； 故答案为：2. 5. (2022·天津·高考真题)若直线x-y+m=0m>0  被圆x-1  2+y-1  2=3截得的弦长为m，则m的 值为 ． 【答案】2 数学试题 第 7 页 共 15 页【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于m的等式，即可解得m的值. 【解析】圆x-1  2+y-1  2=3的圆心坐标为1,1  ，半径为 3， 圆心到直线x-y+m=0m>0  1-1+m 的距离为  m = ， 2 2 m 由勾股定理可得 2  2 m + 2  2 =3，因为m>0，解得m=2. 故答案为：2. 6. (2021·天津·高考真题)若斜率为 3的直线与y轴交于点A，与圆x2+y-1  2=1相切于点B，则AB  = ． 【答案】 3 【分析】设直线AB的方程为y= 3x+b，则点A0,b  ，利用直线AB与圆x2+y-1  2=1相切求出b 的值，求出AC  ，利用勾股定理可求得AB  . 【解析】设直线AB的方程为y= 3x+b，则点A0,b  ， 由于直线AB与圆x2+y-1  2=1相切，且圆心为C0,1  ，半径为1， b-1 则  =1，解得b=-1或b=3，所以AC 2  =2， 因为BC  =1，故AB  = AC  2-BC  2= 3. 故答案为： 3. 7. (2023·新课标Ⅱ卷·高考真题)已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-1  2+y2=4交于A，B两点，写出 8 满足“△ABC面积为 ”的m的一个值 ． 5 1 1 【答案】2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以) 2 2 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长AB  ，以及点C到直线AB的距离，结合面积公式即可解 出． 【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB  =2 4-d2， 1 8 4 5 2 5 所以S = ×d×2 4-d2= ，解得：d= 或d= ， △ABC 2 5 5 5 1+1 由d=  2 2 4 5 2 2 5 1 = ，所以 = 或 = ，解得：m=±2或m=± ． 1+m2 1+m2 1+m2 5 1+m2 5 2 1 1 故答案为：2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)． 2 2 八 圆的切线问题 1. (2023·新课标Ⅰ卷·高考真题)过点0,-2  与圆x2+y2-4x-1=0相切的两条直线的夹角为α，则sinα = ( ) 15 10 6 A. 1 B. C. D. 4 4 4 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长， 结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得k2+8k+1=0，利用韦达定理结合 夹角公式运算求解. 【解析】方法一：因为x2+y2-4x-1=0，即x-2  2+y2=5，可得圆心C2,0  ，半径r= 5， 过点P0,-2  作圆C的切线，切点为A,B， 数学试题 第 8 页 共 15 页因为PC  = 22+-2  2=2 2，则PA  = PC  2-r2= 3， 5 10 3 6 可得sin∠APC= = ,cos∠APC= = ， 2 2 4 2 2 4 10 6 15 则sin∠APB=sin2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2× × = ， 4 4 4 6 cos∠APB=cos2∠APC=cos2∠APC-sin2∠APC= 4  2 10 - 4  2 1 =- <0， 4 即∠APB为钝角， 所以sinα=sinπ-∠APB  15 =sin∠APB= ； 4 法二：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0  ，半径r= 5， 过点P0,-2  作圆C的切线，切点为A,B，连接AB， 可得PC  = 22+-2  2=2 2，则PA  =PB  = PC  2-r2= 3， 因为PA  2+PB  2-2PA  ⋅PB  cos∠APB=CA  2+CB  2-2CA  ⋅CB  cos∠ACB 且∠ACB=π-∠APB，则3+3-6cos∠APB=5+5-10cosπ-∠APB  ， 1 即3-cos∠APB=5+5cos∠APB，解得cos∠APB=- <0， 4 即∠APB为钝角，则cosα=cosπ-∠APB  1 =-cos∠APB= ， 4 15 且α为锐角，所以sinα= 1-cos2α= ； 4 方法三：圆x2+y2-4x-1=0的圆心C2,0  ，半径r= 5， 若切线斜率不存在，则切线方程为x=0，则圆心到切点的距离d=2>r，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为y=kx-2，即kx-y-2=0， 2k-2 则  = 5，整理得k2+8k+1=0，且Δ=64-4=60>0 k2+1 设两切线斜率分别为k ,k ，则k +k =-8,kk =1， 1 2 1 2 1 2 可得k 1 -k 2  = k 1 +k 2  2-4kk =2 15， 1 2 所以tanα= k 1 -k 2  sinα sinα = 15，即 = 15，可得cosα= ， 1+kk cosα 15 1 2 sin2α 则sin2α+cos2α=sin2α+ =1， 15 且α∈0,π  15 ，则sinα>0，解得sinα= . 4 故选：B. 2. (2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方 程 ． 数学试题 第 9 页 共 15 页3 5 7 25 【答案】y=- x+ 或y= x- 或x=-1 4 4 24 24 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【解析】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为x+by+c=0， |c| |3+4b+c| 于是 =1， =4. 1+b2 1+b2 故c2=1+b2①，|3+4b+c|=|4c|.于是3+4b+c=4c或3+4b+c=-4c， 24 4 b=- b= 再结合①解得  b c = = 0 1 或   2 7 5 或   3 5 ， c=- c=- 7 3 所以直线方程有三条，分别为x+1=0，7x-24y-25=0，3x+4y-5=0. (填一条即可) [方法二]： 设圆x2+y2=1的圆心O(0,0)，半径为r =1， 1 圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心C(3,4)，半径r =4， 2 则|OC|=5=r +r ，因此两圆外切， 1 2 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然x+1=0符合题意； 又由方程(x-3)2+(y-4)2=16和x2+y2=1相减可得方程3x+4y-5=0， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为4x-3y=0， 4 直线OC与直线x+1=0的交点为-1,- 3  ， 4 k-  4 3 7 设过该点的直线为y+ =k(x+1)，则 =1，解得k= ， 3 k2+1 24 从而该切线的方程为7x-24y-25=0.(填一条即可) [方法三]： 圆x2+y2=1的圆心为O0,0  ，半径为1， 圆(x-3)2+(y-4)2=16的圆心O 为(3,4)，半径为4， 1 两圆圆心距为 32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 数学试题 第 10 页 共 15 页4 3 3 当切线为l时，因为k = ，所以k =- ，设方程为y=- x+t(t>0) OO1 3 l 4 4 |t| 5 3 5 O到l的距离d= =1，解得t= ，所以l的方程为y=- x+ ， 9 4 4 4 1+ 16 当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p>0，k<0， p 由题意  =1 1+k2 3k+4+p    7   k=- 24 7 25  ，解得 25 ，y= 24 x- 24   =4 p= 24  1+k2 当切线为n时，易知切线方程为x=-1， 3 5 7 25 故答案为：y=- x+ 或y= x- 或x=-1. 4 4 24 24 九 圆的对称问题 1. (2022·北京·高考真题)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴，则a= ( ) 1 1 A. B. - C. 1 D. -1 2 2 【答案】A 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【解析】由题可知圆心为a,0  ，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即2a+0-1=0，解得a= 1 ． 2 故选：A． 十 圆的最值问题 1. (2023·全国乙卷·高考真题)已知实数x,y满足x2+y2-4x-2y-4=0，则x-y的最大值是 ( ) 3 2 A. 1+ B. 4 C. 1+3 2 D. 7 2 【答案】C 【分析】法一：令x-y=k，利用判别式法即可；法二：通过整理得x-2  2+y-1  2=9，利用三角换元法 即可，法三：整理出圆的方程，设x-y=k，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 数学试题 第 11 页 共 15 页【解析】法一：令x-y=k，则x=k+y， 代入原式化简得2y2+2k-6  y+k2-4k-4=0， 因为存在实数y，则Δ≥0，即2k-6  2-4×2k2-4k-4  ≥0， 化简得k2-2k-17≤0，解得1-3 2≤k≤1+3 2， 故x-y 的最大值是3 2+1， 法二：x2+y2-4x-2y-4=0，整理得x-2  2+y-1  2=9， 令x=3cosθ+2，y=3sinθ+1，其中θ∈0,2π  ， π 则x-y=3cosθ-3sinθ+1=3 2cosθ+ 4  +1， ∵θ∈0,2π  π π 9π ，所以θ+ ∈  , 4  4 4  π 7π ，则θ+ =2π，即θ= 时，x-y取得最大值3 2+1， 4 4 法三：由x2+y2-4x-2y-4=0可得(x-2)2+(y-1)2=9， |2-1-k| 设x-y=k，则圆心到直线x-y=k的距离d= ≤3， 2 解得1-3 2≤k≤1+3 2 故选：C. 2. (2025·全国一卷·高考真题)若圆x2+(y+2)2=r2(r>0)上到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅 有2个，则r的取值范围是 ( ) A. (0,1) B. (1,3) C. (3,+∞) D. (0,+∞) 【答案】B 【分析】先求出圆心E0,-2  到直线y= 3x+2的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【解析】由题意， 在圆x2+y+2  2=r2r>0  中，圆心E0,-2  ，半径为r， 到直线y= 3x+2的距离为1的点有且仅有 2个， ∵圆心E0,-2  0× 3--2 到直线y= 3x+2的距离为：d=   ×1+2   3  2+-1  =2， 2 故由图可知， 当r=1时， 圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有一个点(A点)到直线y= 3x+2的距离等于1； 当r=3时， 圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有三个点(B,C,D点)到直线y= 3x+2的距离等于1； 当则r的取值范围为1,3  时， 圆x2+y+2  2=r2r>0  上有且仅有两个点到直线y= 3x+2的距离等于1. 数学试题 第 12 页 共 15 页故选：B. 3. 【多选】(2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题)已知点P在圆x-5  2+y-5  2=16上，点A4,0  、B0,2  ， 则 ( ) A. 点P到直线AB的距离小于10 B. 点P到直线AB的距离大于2 C. 当∠PBA最小时，PB  =3 2 D. 当∠PBA最大时，PB  =3 2 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线AB的距离，可得出点P到直线AB的距离的取值范围，可判断AB选项的正 误；分析可知，当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【解析】圆x-5  2+y-5  2=16的圆心为M5,5  ，半径为4， x y 直线AB的方程为 + =1，即x+2y-4=0， 4 2 5+2×5-4 圆心M到直线AB的距离为  11 11 5 = = >4， 12+22 5 5 11 5 11 5 所以，点P到直线AB的距离的最小值为 -4<2，最大值为 +4<10，A选项正确，B选 5 5 项错误； 如下图所示： 当∠PBA最大或最小时，PB与圆M相切，连接MP、BM，可知PM⊥PB， BM  = 0-5  2+2-5  2= 34，MP  =4，由勾股定理可得BP  = BM  2-MP  2=3 2，CD选项 正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线l与半径为r的圆C相离，圆心C到直线l的距离为d，则圆C上一点P到直线 l的距离的取值范围是d-r,d+r  . x+2,x<-a,  4. (2023·北京·高考真题)设a>0，函数f(x)= a2-x2,-a≤x≤a,，给出下列四个结论： - x-1,x>a. ①f(x)在区间(a-1,+∞)上单调递减； ②当a≥1时，f(x)存在最大值； ③设M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  ，则|MN|>1； ④设P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  1 ．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是0, 2  ． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析fx  1 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取a= ，结合图像即可判断；对于②，分段讨 2 数学试题 第 13 页 共 15 页论fx  的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN  4 的范围；对于④，取a= ，结合图像可知此 5 时PQ  存在最小值，从而得以判断. 【解析】依题意，a>0， 当x<-a时，fx  =x+2，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2，易知其图像是，圆心为0,0  ，半径为a的圆在x轴上方的图像(即 半圆)； 当x>a时，fx  =- x-1，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 1 对于①，取a= ，则fx 2  的图像如下， 1 显然，当x∈(a-1,+∞)，即x∈- ,+∞ 2  时，fx  1 在- ,0 2  上单调递增，故①错误； 对于②，当a≥1时， 当x<-a时，fx  =x+2<-a+2≤1； 当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2显然取得最大值a； 当x>a时，fx  =- x-1<- a-1≤-2， 综上：fx  取得最大值a，故②正确； 对于③，易知当-a≤x 1 ≤a时，在x 1 =a，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  , N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小， 当x 1 =a时，y=fx 1  =0，当x 2 >a且接近于x=a处，y 2 =fx 2  <- a-1， 此时，MN  >y -y > a+1>1， 1 2 当x 1 <-a时，x 2 >a且接近于x=a处，M x 1 ,fx 1    x 1 ≤a  ,N x 2 ,fx 2    x 2 >a  的距离最小， 此时MN  a+ a+1+2 ≥  >1；故③正确； 2 4 对于④，取a= ，则fx 5  的图像如下， 数学试题 第 14 页 共 15 页因为P x 3 ,fx 3    x 3 <-a  ,Q x 4 ,fx 4    x 4 ≥-a  ， 结合图像可知，要使PQ  取得最小值，则点P在fx  4 =x+2x<- 5  上，点Q在fx  = 16 4 4 -x2- ≤x≤ 25 5 5  ， 同时PQ  的最小值为点O到fx  4 =x+2x<- 5  的距离减去半圆的半径a， 此时，因为fx  4 =y=x+2x<- 5  的斜率为1，则k =-1，故直线OP的方程为y=-x， OP y=-x x=-1 联立  ，解得  ，则P-1,1 y=x+2 y=1  ， 显然P-1,1  在fx  4 =x+2x<- 5  上，满足PQ  取得最小值， 4 即a= 也满足PQ 5  1 存在最小值，故a的取值范围不仅仅是0, 2  ，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得fx  的图像，特别是当-a≤x≤a时，fx  = a2-x2的 图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 数学试题 第 15 页 共 15 页