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解题技巧专题：勾股定理与面积问题
——全方位求面积，一网搜罗
类型一 直角三角形中，利用面积求斜边上
的高
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝
10，点D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为点
E，则DE的长为( )
A. B.
C. D.
2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝
5，BC＝3，CD⊥AB，垂足为D，则CD的长
为________． 6．(2016－2017·西华县期末)如图，已知AB
＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，
求四边形ABCD的面积．
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝
7cm，c＝5cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．6cm2 B．9cm2
C．12cm2 D．15cm2
4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，P是BC
边上除B，C点外的任意一点，则代数式AP2
＋PB·PC等于(提示：过点A作AD⊥BC)(
)
A．25 B．15 类型四 “勾股树”及其拓展类型求面积
C．20 D．30 7．如图，所有三角形都是直角三角形，
所有四边形都是正方形，已知S＝4，S＝9，
1 2
S＝8，S＝10，则S＝( )
3 4
A．25 B．31 C．32 D．40
类型三 巧妙割补求面积
5．如图所示是一块地，已知AD＝8米，CD
＝6米，∠D＝90°，AB＝26米，BC＝24米，
求这块地的面积．【方法5②】 8．“赵爽弦图”是四个全等的直角三
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角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如
图，每一个直角三角形的两条直角边的长分
别是3和6，则大正方形与小正方形的面积
差是( )
A．9 B．36 C．27 D．34
9．如图所示的大正方形是由八个全等
的直角三角形和一个小正方形拼接而成，记
图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形
MNKT的面积分别为S 、S 、S.若正方形
1 2 3
EFGH 的边长为 2，则 S ＋S ＋S ＝
1 2 3
________．
10．★五个正方形按如图放置在直线l
上，其中第1，2，4个正方形的面积分别为
2，5，4，则第 5 个正方形的面积 S ＝
5
________．
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参考答案与解析
1．C 2.2.4 ×(12×5＋10×12)＝90.
3．A 解析：∵∠C＝90°，∴a2＋b2＝ 7．B 解析：由题意得AB2＝S ＋S ＝
1 2
c2.∵a＋b＝7cm，∴(a＋b)2＝49，∴2ab＝49 13，AC2＝S＋S＝18，∴BC2＝AB2＋AC2＝
3 4
－(a2＋b2)＝49－c2＝24，∴ab＝6，故面积为 31，∴S＝BC2＝31.
6cm2. 8．B 解析：大正方形的面积为32＋62
4．A 解析：首先过点A作AD⊥BC于 ＝45，小正方形的面积为(6－3)2＝9，则面积
D，可得∠ADP＝∠ADB＝90°.由AB＝AC， 差为45－9＝36.
根据三线合一的性质，可得BD＝CD.由勾股 9．12 解析：∵图中的八个直角三角形
定理可得AP2＝PD2＋AD2，AD2＋BD2＝AB2. 全等，∴设每个三角形的面积为S，则S－S
1 2
则AP2＋PB·PC＝AP2＋(BD＋PD)(BD－PD) ＝4S，S－S＝4S，∴S－S＝S－S，∴S＋
2 3 1 2 2 3 1
＝AP2＋BD2－PD2＝AP2－PD2＋BD2＝AD2 S ＝2S.由题意得S ＝22＝4，∴S ＋S ＝8，
3 2 2 1 3
＋BD2＝AB2＝25. ∴S＋S＋S＝4＋8＝12.
1 2 3
5．解：连接AC.∵AD＝8米，CD＝6米， 10．1 解析：如图所示：
∠D＝90°，∴AC2＝CD2＋AD2，即AC＝10
米．在△ABC中，∵AC2＋BC2＝102＋242＝
262＝AB2，∴△ABC 为直角三角形，且
∠ACB＝90°，∴S＝S －S ＝AC·BC－
△ABC △ACD
AD·CD＝×10×24－×8×6＝96(平方米)． 由正方形的性质得AC＝CE，∠ABC＝
6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交 ∠CDE＝90°，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝
AD 于点 E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在 90°，∴∠1＝∠3.在△ABC和△CDE中，∠1
Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝AB2＋BC2 ＝∠3，∠ABC＝∠CDE，AC＝CE，
＝169，∴AC＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD， ∴△ABC≌△CDE(AAS)．∴AB＝CD.同理
即△ACD是等腰三角形．∵CE⊥AD，∴AE 可得△FGH≌△HMN.∴FG2＝HM2＝NH2－
＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定 MN2＝5－2＝3.∴DE2＝FG2＝3.∴CD2＝CE2
理得CE2＝AC2－AE2，解得CE＝12.∴S －DE2＝4－3＝1.∴AB2＝1.∴S＝AB2＝1.
四边形 5
＝S ＋S ＝AB·BC＋AD·CE＝
ABCD △ABC △CAD
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