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专题 13.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线及构造等腰三角形
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】................................................................................................7
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................16
【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】........................................................................................19
【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】......................................................................................24
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................28
【典型例题】
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 为线段 的中点， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在 中， ，E，F分别在三边上，且 ，
，G为 的中点．(1)若 ，求 的度数；
(2)试说明： 垂直平分 ．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ， 是 边上的点， 于 ，
于 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）在 中， ， ， ， ，
的两边分别交直线 、 于点 、 ．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当 时，问线段 、 、 之间有何数量关系，并证明；
(3)如图3，当 时，问线段之间 、 、 有何数量关系？并证明．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在 中， ，且 ，作等腰 ，
使得 ．(1)如图1，若 与 互余，则 ___________；（用含 的代数式表示）
(2)如图2，若 与 互补，过点C作 于点H，求证： ；
(3)若 与 的面积相等，请直接写出 的度数．（用含 的式子表示）
【变式训练】
1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在 中， ，过点C作射线 ，使 （点
与点B在直线 的异侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且
．
(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
2．如图， 与△BCA均为等腰三角形， ，且 ， 为 延长线上一点，
．
(1)若 ，求 的度数；(2)求证： ；
(3)若 ， ， ，求 的面积（用含 ， ， 的式子表示）．
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交
于点D，过B作 ，垂足为F，延长 交 于点E．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)已知 ， ，求 的长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在 中， 平分 ，且 ，
(1)若 ，求 的长；
(2)如图2，若 交 于 ，交 于 ，且 为等腰三角形，求 的长．
【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；(2)求 的周长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分 交
于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交
于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间
有怎样的关系，并说明理由；
（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】
例题：（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知在等边三角形 中，点 在AB上，点 在CB的延
长线上， ．(1)【特殊情况，探索结论】
如图（1），当点 为AB的中点时，确定线段 与DB的大小关系： ______DB（填“ ”“ ”或
“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】
如图（2），当点 为AB边上任意一点时，确定线段 与DB的大小关系，并说明理由（提示：过点 作
，交 于点 ）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形 中，点 在线段AB的延长线上，点 在线段CB的延长线上，且 ，若
的边长为 ， ，求CD的长（请根据题意画出相应图形，并直接写出结果）．
【变式训练】
1.（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线 ， 上的点，
，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，运动过程中始
终满足 ．
(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，
并说明理由．
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明．
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
如图1，在 中， ，怎样证明 呢？如图2，把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以，点C落在 上的点 处．于是，由
， ，可得 ．
感悟与应用：
（1）如图3， 是 的高， ．若 ， ，求 的长．小龙同学的解法是：将
沿 折叠，点C落在 边上的点 处……，画出图形并写出完整的解题过程；
（2）如图4， 是 的角平分线， ．线段 、 、 之间有怎样的数量关系？写出
你的猜想并证明．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在 中，AD平分 ， ，
探究 ，AB，BD之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：
方法1：如下图，在 上截取 ，使得 ，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长AB到点 ，使得 ，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题(1)根据探究，直接写出 ，AB，BD之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如下图，在 中， 是 上一点， ， 于 ，探究CD，AB，BD之间的数量
关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如下图， 为等边三角形，点 为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边
，点 是DE的中点，连接 并延长，交CD的延长线于点 ．若 ，求证：
；
