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专题 13.5 解题技巧专题：利用等腰三角形的'三线合一'作辅助
线及构造等腰三角形
目录
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】................................................................................................1
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】................................................................................................7
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】................................................................................16
【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】........................................................................................19
【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】......................................................................................24
【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】......................................................................................................28
【典型例题】
【考点一 等腰三角形中底边有中点时，连中线】
例题：（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交
于点 为线段 的中点， ．
(1)求证： ．
(2)若 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用、三角形的外角
的定义及性质
【分析】（1）连接 ，由线段垂直平分线的性质得到 ，得到 ，根据等腰三角形的三线
合一证明；（2）根据等腰三角形的性质得到 ，由三角形外角的性质得到
，然后利用等边对等角得到 ，最后利用等腰三角形三线合一性质及
三角形内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，如图所示：
， 是 的垂直平分线，
，
，
，即 是等腰三角形，
为线段 的中点，
；
（2）解： ， ，
，
，
由（1）知 是等腰三角形， ，
由等腰三角形三线合一性质可知 是 的角平分线，
．
【点睛】本题考查了证明及求角度，涉及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角
性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【变式训练】
1．（23-24七年级下·辽宁阜新·期末）如图，在 中， ，E，F分别在三边上，且 ，
，G为 的中点．(1)若 ，求 的度数；
(2)试说明： 垂直平分 ．
【答案】(1)
(2)见解析
【知识点】三角形内角和定理的应用、等腰三角形的性质和判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA
或者AAS）、线段垂直平分线的判定
【分析】该题主要考查了等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定及其性质，
垂直平分线的判定，解题的关键是灵活运用等腰三角形的判定及其性质、三角形的内角和定理等几何知识
点来分析、判断、解答．
（1）如图，首先证明 ，运用三角形的内角和定理即可解决问题；
（2）如图，作辅助线；首先证明 ，得到 ，运用等腰三角形的性质证明 ，
即可解决问题．
【详解】（1）解：因为 所以 ，
因为 ，所以 ；
（2）如图，连接 ，
在 和 中，，
所以 ，
所以 ，
因为G为 的中点，所以 ，
所以 垂直平分 ．
2．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在 中， ， 是 边上的点， 于 ，
于 ．
(1)若 ，求证： ；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】角平分线的性质定理、根据三线合一证明、含30度角的直角三角形
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，角平分线的性质，含 度角的直角三角形的性质
（1）连接AD．根据等腰三角形三线合一的特性，可知AD也是 的角平分线，根据角平分线上的点
到角两边的距离相等，那么 ；
（2）由 可求得 ，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得BD、 的长，即可
求解．
【详解】（1）证明：连接AD．
， ，
∴点 是 边上的中点，
平分 ，、 分别垂直AB、 于点 和 ．
；
（2）解： ， ，
，
于 ， 于 ．
，
，
．
3．（24-25八年级上·广东广州·期中）在 中， ， ， ， ，
的两边分别交直线 、 于点 、 ．
(1)如图1，当 时，求证： ；
(2)如图2，当 时，问线段 、 、 之间有何数量关系，并证明；
(3)如图3，当 时，问线段之间 、 、 有何数量关系？并证明．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅
助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）如图1，连接 ，由等腰直角三角形可得 ， ，
，由“ ”可证 ，可得 ；
（2）如图2，在 上截取 ，连接 ， ，由“ ”可证 ，可得 ，
，由“ ”可证 ，可得 ，则 ；
（3）如图3，过点 作 ，连接 ，由“ ”可证 ，可得 ， ，由“ ”可证 ，可得 ，则 ．
【详解】（1）证明：如图1，连接 ，
， ， ，
， ， ，
，
，且 ， ，
，
；
（2）解： ，
理由如下：如图2，在 上截取 ，连接 ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
，
， ，
，
，且 ，
，且 ， ，
，
，
；
（3）解： ，理由如下：如图3，过点 作 ，连接 ，
， ， ，
， ， ，
，
，
，
，且 ， ，
，
， ，
， ， ，
，
，
．
【考点二 等腰三角形中底边无中点时，作高线】
例题：（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知在 中， ，且 ，作等腰 ，
使得 ．
(1)如图1，若 与 互余，则 ___________；（用含 的代数式表示）(2)如图2，若 与 互补，过点C作 于点H，求证： ；
(3)若 与 的面积相等，请直接写出 的度数．（用含 的式子表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、等边对等
角、根据三线合一证明
【分析】（1）根据 与 互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得
，即可求出 的度数；
（2）作 ，根据AAS证明 ，则 ，由等腰三角形三线合一可得 ，
因此 ，问题得证；
（3）由 与 的面积相等得高相等.情况①：作 于 ， 于 ,根据 可得
，则可得 ；情况②: 是钝角三角形，作 于 ，作 垂直于
的延长线于 ，根据 可得 ，则可得 ，由于 与 互补，因
此 与 互补，即可得出结果．
【详解】（1）解： 中， ，且 = ,
， ，
，
，
，
；故答案为： ；
（2）证明：如图，过A点作 于E点，
中， ， ，
，
中， ，
，
，
, = ，
，
，
，
，
．
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；（3）解：①如图，作 于 ， 于 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
；
②如图，作 于 ，作 垂直于 的延长线于 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相
等，.熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）在 中， ，过点C作射线 ，使 （点
与点B在直线 的异侧），点D是射线 上一个动点（不与点C重合），点E在线段 上，且
．
(1)如图1，当点E与点C重合时，在图中画出线段 ．若 ，则 的长为 （用含a的式子表示）；
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①求证： ；
②用等式表示线段 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)①详见解析；② ，详见解析
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三线
合一证明
【分析】（1）根据各角之间的关系得出 ，即可确定位置关系，画出 ；再由全等
三角形的判定和性质得出 ，即可得出结果；
（2）①过点A作 于点 点N，根据各角之间的关系及全等三角形的判定得出
，再由其性质即可得出结果；②在 上截取 ，连接 ，由各角之间的关
系得出 ，再由全等三角形的判定和性质得出 ，，即可得出结果．
【详解】（1）当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
若 ，过点A作 于点M，如图1：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为： ；
（2）①证明：过点A作 于点M、 点N，如图2：则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
② ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图3：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，理解题意，作出相应辅助线，熟练运
用全等三角形的判定和性质是解决本题的关键．
2．如图， 与△BCA均为等腰三角形， ，且 ， 为 延长线上一点，
．(1)若 ，求 的度数；
(2)求证： ；
(3)若 ， ， ，求 的面积（用含 ， ， 的式子表示）．
【答案】(1)20°
(2)见解析
(3)
【分析】（1）先，是等腰三角形性质与三角形内角和定理求出 ，即可由
求解；
（2）过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，证明 ，得出 ，
，进而求得 ， ，即可得出 ，从而得出结论；
（3）由（2）可知 ， ，从而有 ，再根据
，则有
，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
（2）证明：过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，∴ ，
又∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
设 、 交于点 ，则
又 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：由（2）可知 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，
全等三角形的判定与性质，三角形面积，属三角形综合题目，难度适中．
【考点三 巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】
例题：（24-25八年级上·福建南平·期中）如图，在 中， ， 的平分线 交
于点D，过B作 ，垂足为F，延长 交 于点E．
(1)求证： 为等腰三角形；
(2)已知 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的
性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
（1）由垂直的定义得到 ，由角平分线的定义得到 ，根据三角形的内角
和得到 ，得到 ，于是得到结论；
（2）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 垂直平分 ，得到 ，由等腰三角形的性质得到
，等量代换得到 ，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
又∵在 和 中
∴ ，
∴ ，∴ 为等腰三角形；
（2）连接 ，
∵ ， 平分 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
又∵ 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南常德·期末）如图1：在 中， 平分 ，且 ，
(1)若 ，求 的长；
(2)如图2，若 交 于 ，交 于 ，且 为等腰三角形，求 的长．
【答案】(1)10
(2)【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．
（1）延长 交 于点 ．证明 ，由 即可得出结论；
（2）根据题意得到 ，由 为等腰直角三角形，证明 即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，延长 交 于点 ．
平分 ，
，
，
又 ，
，
，即 ，
在 中，
，
，
；
（2）解：如图， （对顶角），
，
，
又 为等腰直角三角形，
， ，
在 与 中，，
，
，即 ．
【考点四 利用平行线+角平分线构造新等腰三角形】
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图 中 ， ， 平分 ，
平分 ，过 作直线平行于 ，交 ， 于 ， ．
(1)求证： 是等腰三角形；
(2)求 的周长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等．
（1）首先根据平行线的性质可得 ，再根据角平分线的定义可得 ，可得
，据此即可证得；
（2）同理（1）可得 ，根据 的周长 ，求解即可．
【详解】（1）证明：∵ ，
，
平分 ，
，
，
，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：∵ ，，
平分 ，
，
，
，
∵ ， ，
∴ 的周长为：
．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在 中， ， 平分 交
于点D．过点A作 ，交 的延长线于点E．
(1)求 的度数；
(2)求证： 是等腰三角形；
(3)若 ，求 的长（用含m，n的式子表示）．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三
角形的性质和判定
【分析】（1）根据 和 平分 ，可以求出 和 ，然后利用三角形外角即可求解；
（2）根据条件证明 ，再根据等角对等边即可证明；
（3）根据题意和（1）（2）问的结论证明 ， ， 是等腰三角形即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：由（1）得： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（2）得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性
质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质和判定是解决问题的关键．
2．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）（1）如图1， 中， ， ， 的平分线交
于O点，过O点作 交 ， 于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想： 与 ， 之间
有怎样的关系，并说明理由；（2）如图2，若 ，其他条件不变，图中有 个等腰三角形； 与 ， 间的关系是 ；
（3）如图3， ，若 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，过点O作
交 于E，交 于F．图中有 个等腰三角形． 与 ， 间的数量关系是 ．
【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5， （3）2，
【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定
【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平
行线性质得到角相等，再进行等量代换得到 ， ，再利用等角对等边，得到
， ，即可解题．
（2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，
再进行等量代换得到 、 、 、 ，再利用等角对
等边，得到对应线段相等，即可解题．
（3）本题解法与（1）类似．
【详解】（1）解： ，理由如下：
， 的平分线交于O点，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2．
（2）解： ，即 为等腰三角形，
，
， 的平分线交于O点，
，，即 为等腰三角形，
，
， ， ，
， ， ，即 为等腰三角形，
， ，
和 为等腰三角形，
．
综上所述，共有5个等腰三角形，
故答案为：5， ．
（3）解： 的角平分线与 外角 的角平分线交于点O，
， ，
，
， ，
， ，
， ，
和 为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形．
．
故答案为：2， ．
【考点五 过腰或底作平行线构造新等腰(边)三角形】
例题：（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）已知在等边三角形 中，点 在AB上，点 在CB的延
长线上， ．
(1)【特殊情况，探索结论】
如图（1），当点 为AB的中点时，确定线段 与DB的大小关系： ______DB（填“ ”“ ”或
“=”）．
(2)【特例启发，解答题目】如图（2），当点 为AB边上任意一点时，确定线段 与DB的大小关系，并说明理由（提示：过点 作
，交 于点 ）．
(3)【拓展结论，设计新题】
在等边三角形 中，点 在线段AB的延长线上，点 在线段CB的延长线上，且 ，若
的边长为 ， ，求CD的长（请根据题意画出相应图形，并直接写出结果）．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
(3)3
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质：
（1）由等腰三角形的性质得 ，再由等边三角形的性质得 ，然后证
，得 ，即可得出结论；
（2）过点E作 ，交 于点F，证 为等边三角形，得 ，再证
，得 ，即可得出结论；
（3）过点E作 ，交 于点F，同（2 ）得 是等边三角形， ，则
，即可得出答案．
【详解】（1）解：： ，理由如下：
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）解： ，理由如下：
过点 作 ，交 于点 ，
则 ， ， ，
是等边三角形，
， ，
， ，
为等边三角形， ，
， ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
；
（3）解：过点 作 ，交 的延长线于点 ，如图3所示：
同（2 ）得： 是等边三角形， ，， ，
，
．
【变式训练】
1.（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）已知直线 ， 相交于点 ，点 ， 分别为直线 ， 上的点，
，且 ，点 是直线 上的一个动点，点 是直线 上的一个动点，运动过程中始
终满足 ．
(1)如图1，当点 运动到线段 的中点，点 在线段 的延长线上时，求 的长．
(2)如图2，当点 在线段 上运动，点 在线段 的延长线上时，试确定线段 与 的数量关系，
并说明理由．
【答案】(1)
(2) ，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；
（1）证明 为等边三角形，得出 ，由等边三角形的性质得出
，由等腰三角形的性质得出 ，由三角形的外角性质得出 ，
即可得出结论；
（2）过点E作 交 于点F，由平行线的性质得出 ，证出
，得出 ，证出 ，由 证明 ，得出
，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵ ，
为等边三角形，
∴ ，
∵点E是线段 的中点，∴ ，
，
，
∵
，
；
（2）解： ，理由如下：
过点E作 交 于点F，如图，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
，
，
，
∴ ，
，
，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
，
∵ ，
．【考点六 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（23-24八年级上·江苏泰州·期末）数学活动：折纸与证明．
折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法．
如图1，在 中， ，怎样证明 呢？
如图2，把 沿 的平分线 翻折，因为 ，所以，点C落在 上的点 处．于是，由
， ，可得 ．
感悟与应用：
（1）如图3， 是 的高， ．若 ， ，求 的长．小龙同学的解法是：将
沿 折叠，点C落在 边上的点 处……，画出图形并写出完整的解题过程；
（2）如图4， 是 的角平分线， ．线段 、 、 之间有怎样的数量关系？写出
你的猜想并证明．
【答案】（1）图见解析， ；（2） ，理由见解析
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、折叠问题
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，掌握折叠的性质是解题
的关键．
（1）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出 ，根据等角对等边得出 ，
进而计算可得结论；
（2）根据折叠的性质与三角形外角的性质得出 ，根据等角对等边得出 ，进而根据
等量代换可得结论．
【详解】解：（1）将 沿 折叠，点C落在 边上的点 处，如图，∵ ，
∴ 点落在 上的点 处，
∴ ， ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2） ，理由如下，
证明：把 沿 的平分线 翻折，使点C落在 上的点 处．
∴ ，
∵ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）【方法探究】如下图，在 中，AD平分 ， ，
探究 ，AB，BD之间的数量关系；
嘉铭同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如下图，在 上截取 ，使得 ，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决此问题
方法2：如下图，延长AB到点 ，使得 ，连接DE，可以得到等腰三角形，进而解决此问题
(1)根据探究，直接写出 ，AB，BD之间的数量关系；
【迁移应用】
(2)如下图，在 中， 是 上一点， ， 于 ，探究CD，AB，BD之间的数量
关系，并证明．
【拓展延伸】
(3)如下图， 为等边三角形，点 为AB延长线上一动点，连接CD．以CD为边在CD上方作等边
，点 是DE的中点，连接 并延长，交CD的延长线于点 ．若 ，求证：
；
【答案】(1) ；(2)CD ，证明见解析；(3)证明见解析．
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质；
（1）方法一：证明 得到 ， ，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得 ，则 ，进而可得结论；
方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得 ，再证明 得到 ，
进而可得结论；
（2）在CD上取 ，连接 ，根据等边对等角得出 ，根据三角形的外角的中得出
，进而得出 ，即可得证；
（3）先证明 ，过 作 ，交 于点 ，证明 ，根据等角
对等边得出 ，即可得出结论．
【详解】（1）证明：方法一：∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中， ， ， ，
∴
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
方法二：延长 到点E，使得 ，连接 ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）在CD上取 ，连接 ，
∵ 于
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ；
（3）如图所示，∵ ， 为等边三角形，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∴
∴
∴
过 作 ，交 于点 ，
∴ ，∵ 是 的中点，
∴ ，
又
∴
∴ ， ，
而 ，
∴ ，
又∵
∴
∴
即 ．
