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第三章 代数式压轴训练
01 压轴总结
目录
压轴题型一 用代数式表示数字类的规律................................................................................................................1
压轴题型二 用代数式表示图形类的规律................................................................................................................6
压轴题型三 程序流程图与代数式求值..................................................................................................................13
压轴题型四 已知式子的值，求代数式的值..........................................................................................................18
压轴题型五 用代数式解决实际应用中的方案问题..............................................................................................23
02 压轴题型
压轴题型一 用代数式表示数字类的规律
例题：（23-24七年级上·河北保定·期中）观察下列各式：
第1个式子： ，
第2个式子： ，
第3个式子： ．
…
根据其规律，解答下列问题：
(1) ．
(2)第n个式子为 ．
(3)利用以上规律计算： ．
巩固训练1．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）试探索代数式 与 的关系．
(1)当 ， 时，分别求代数式 与 的值；
(2)当 ， 时，分别求代数式 与 的值；
(3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当 ， 时，请利用你发现的规律求代数式
的值．
2．（22-23六年级上·山东威海·期末）观察下面的等式：
；
；
；
；
．
回答下列问题：
(1)填空：______ ；
(2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式．
3．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）根据表格，回答问题：
x … 0 1 2 …… 9 7 5 3 a …
… 2 5 8 11 b …
(1)【初步感知】 ______； ______；
(2)【归纳规律】表中－2x＋5的值的变化规律是：x的值每增加1时， 的值就减少______．类似地，
请写出 的值的变化规律：______．
(3)【问题解决】请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当 时，
代数式的值为 ．
4．（23-24七年级上·湖北随州·期末）观察以下等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第 （ 取正整数）个等式：______（用含 的等式表示）；
(2)利用以上规律计算 的值．
压轴题型二 用代数式表示图形类的规律
例题：（2024·安徽宣城·一模）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①，
正方形的个数为8，周长为18．(1)推测第4个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；
(2)推测第n个图形中，正方形的个数为___________，周长为___________；（都用含n的代数式表示）．
巩固训练
1．（23-24七年级上·四川达州·期末）找规律：
(1)小马利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
请问：当小马输入数据8时，输出的数据是（ ）
(2)一张长方形桌子可坐6人，按下图方式讲桌子拼在一起．
①2张桌子拼在一起可坐______人，3张桌子拼在一起可坐____人，n张桌子拼在一起可坐______人．
②一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8
张大桌子，共可坐多少人．
2．（2024七年级上·江苏·专题练习）观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n个图中小黑点的个数为y．
①填表：
n 1 2 3 4 5 …
y 1 3 13 …
②当 时， ．
③你能发现n与y之间的关系吗？
3．（2024·安徽马鞍山·二模）【观察思考】
用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3
个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．
【规律发现】
（1）第6个图形中有____________个圆形棋子；
（2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示）
【规律应用】
（3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不
能，请说明理由．4．（23-24七年级上·山西阳泉·期中）用火柴棒按图中所示的方法搭图形．
(1)发现：搭第①个图形用7根火柴棒，搭第②个图形用 根火柴棒，搭第③个图形用 根火柴棒；
搭第n个图形需 根火柴棒；
(2)应用：搭第202个图形用 根火柴棒；若使用2023根火柴， （填“能”或“不能”）搭建完整的正方
形组建的图形；
(3)尝试：按照这种方式搭图形，会产生若干个正方形，第①个图形产生2个正方形，第②个图形产生5个
正方形，若使用187根火柴搭图形，图中会产生多少个正方形？
5．（2024·安徽合肥·一模）将字母“ ”，“ ”按照如图所示的规律摆放，其中第 个图形中有 个字母
，有 个字母 ；第 个图形中有 个字母 ，有 个字母 ；第 个图形中有 个字母 ，有 个字母
；……根据此规律解答下面的问题：
(1)第 个图形中有______个字母 ，有______个字母 ；
(2)第 个图形中有______个字母 ，有______个字母 （用含 的式子表示）；
(3)第 个图形中有______个字母 ，有______个字母 ．
压轴题型三 程序流程图与代数式求值
例题：（23-24七年级上·陕西西安·期末）按如图所示的运算程序，能使运算输出的结果为1的是（ ）A． ， B． ， C． ， D． ，
巩固训练
1．（22-23七年级上·云南昆明·期中）按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为 ，则最后输
出的结果是（ ）
A．231 B．156 C．21 D．3
2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）按下面的程序计算：
如果输入x的值是正整数，输出结果是150，那么满足条件的x的值为 ．
3．（22-23七年级上·河南平顶山·期中）如图，是一个有理数混合运算程序的流程图，请根据这个程序回
答问题：当输入的x为 时，最后输出的结果y是多少？（写出计算过程）
4．（23-24七年级上·河南信阳·期末）按下列程序计算，把答案填写在表格内，然后观察有什么规律，想
一想：为什么会有这个规律？
(1)填写表内空格：输入 0 …
输出答案 9 1
(2)发现的规律是：输入数据x，则输出的答案是_____．
(3)请验证你发现的规律．
5．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）下面是一组数值转换机的示意图．
(1)写出图（b）中的转化步骤：①_____，②_____，③_____；
(2)图（b）中，若 ，求输出的值；
(3)图（a）中，若 ，求x的值．
压轴题型四 已知式子的值，求代数式的值
例题：（23-24七年级上·山西吕梁·期末）[阅读理解]
若代数式 的值为9，求代数式 的值．小明采用的方法如下：
由题意得：
∴
∴；
∴代数式 的值为11．
[方法运用]
（1）若代数式 的值为6，求代数式 的值；
（2）当 时，代数式 的值为7，当 时，求代数式 的值；
[拓展应用]
（3）若 ，则 的值为_________．
巩固训练
1．（23-24七年级上·河南商丘·期末）洛阳某初中数学小组学完“整式的加减”章节后对一道题进行了交
流，请仔细阅读，并完成任务．
试题：已知 ，求 的值．
小强：对于 这个方程的求解，我们还没有学，常规方法不适合解决．
小丽：我知道一种“整体代换”的思想方法：将 作为一个整体代入，则原式 ．
小强：你的方法很巧妙，值得学习．
……
任务：
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的值．2．（23-24七年级上·山东聊城·阶段练习）（1）【探究】若 ，则
．
【类比】若 ，则 的值为______．
（2）【应用】当 时， 的值是 ，求当 时， 的值．
（3）【推广】当 时， 的值为 ，则当 时， 的值为______
（含 的式子表示）．
3．（23-24七年级上·安徽芜湖·期中）阅读材料：“如果代数式 的值为3，那么代数式
的值是多少？”我们可以这样来解：原式 ．把式子
两边同乘以2，得 ．所以代数式 的值是6．仿照上面的解题方法，
完成下面的问题：
(1)已知 ，求 的值；
(2)已知 ，求 的值；
(3)已知 ， ，求 的值．
4．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：
若 ，则 ；
我们将 作为一个整体代入，则原式 ．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：
(1)如果 ，求 的值；
(2)如果 ，求 的值；
(3)若 ， ，求 的值．
压轴题型五 用代数式解决实际应用中的方案问题
例题：（23-24七年级上·云南文山·阶段练习）某商场销售一种电脑和配件，电脑每台3000元，配件每套
600元．“ 国庆 ”期间商场决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案：方案一：买一台电
脑送一套配件；方案二： 电脑和配件都按定价 付款．现某公司要到该商场购买电脑 20台，配件 x
套 ．
(1)用含 x 的代数式表示该客户需付的款额；
(2)若 ，则按哪种方案购买更省钱；
(3)当 时，你能设计一个更优的购买方案吗？
巩固训练
1．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）为了参加校园文化艺术节，书画社计划买一些宣纸和毛笔，现了解
情况如下：甲、乙两家文具商店出售同样的毛笔和宣纸，毛笔每支20元，宣纸每张4元．甲商店的优惠办
法是：买1支毛笔送1张宣纸；乙商店的优惠办法是：全部商品按定价的9折出售．书画社想购买毛笔10
支，宣纸x张 ．
(1)若到甲商店购买，应付_____________元；若到乙商店购买，应付_____________元（用含x的代数式表
示）；
(2)若 时，去哪家商店购买较合算？请计算说明；
(3)若 时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并求出此时需付多少元？2．（22-23七年级上·山东济宁·期中）甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各
自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购物超出200元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购物
超出100元，超出部分按原价的八五折优惠．已知某顾客累计购物 元．
(1)请用含x的代数式分别表示该顾客在两家超市购物所付的费用；
(2)当该顾客累计购物300元时在哪个超市购物合算？
3．（22-23七年级下·湖南常德·期中）甲乙两家体育用品店出售同款羽毛球拍和羽毛球．每副羽毛球拍定
价80元，每个羽毛球2元．甲商店推出的优惠方案是：买一副球拍赠送5个羽毛球；乙商店的优惠方案是：
按总价的九折优惠．某学校想购买20副羽毛球拍和x个羽毛球（其中 ）．
(1)若到甲商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示）
(2)若到乙商店购买，应付多少元？（用含x的代数式表示）
(3)当 时，应选择去哪家商店购买更合算？为什么？
4．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）今年冬天，南方游客在哈尔滨得到了一个可爱的昵称：“南方
小土豆”．萧萧是来自广东的小土豆，他们一家在尔滨玩了 天，就舍不得走了，在我市购买了一套房．
这是萧萧画的新房建筑平面图：（单位：米）
(1)求地面面积（不考虑墙体厚度）；
(2)萧萧想把所有房间的地面都铺上地砖．他在 、 两个商场看到同一款地砖，零售价都为 元/平方米．
A商场规定：购买面积不超过 平米，按总价的 优惠；购买面积超过 平米按总价的 优惠；超过 平米按总价的 优惠．
商场规定如表：
面积范围（平方米） 以上～ 以上
此范围费用按 收
价格（元） 此范围费用按 收取 此范围费用按 收取
取
当 ， 时，你能通过计算帮助他选择在哪个商场购买更优惠？
