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第七章 解答题书写步骤专练 30 道
【人教版2024】
1．（2024春•淮安区校级期中）如图，∠1＝80°，∠2＝100°，且AC∥DF．若∠C：∠A＝3：2，求∠D
的度数．
【分析】由∠1+∠2＝180°，推出BD∥CM，得到∠ABD＝∠C，求出∠A+∠ABD＝180°﹣80°＝100°，
3
由∠C：∠A＝3：2，得到∠ABD：∠A＝3：2，求出∠ABD= ×100°＝60°，由平行线的性质推出
3+2
∠D＝∠ABD＝60°．
【解答】解：∵∠1＝80°，∠2＝100°，
∴∠1+∠2＝180°，
∴BD∥CM，
∴∠ABD＝∠C，
∵∠ANB＝∠1＝80°，
∴∠A+∠ABD＝180°﹣80°＝100°，
∵∠C：∠A＝3：2，
∴∠ABD：∠A＝3：2，
3
∴∠ABD= ×100°＝60°，
3+2
∵AC∥DF，
∴∠D＝∠ABD＝60°．2．（2024春•虹口区校级月考）如图，已知∠BAE+∠AED＝180°，∠1＝∠2，那么∠F＝∠G吗？为什
么？
【分析】根据平角定义可得∠AED+∠AEC＝180°，从而利用同角的补角相等可得∠BAE＝∠AEC，然后
利用等式的性质可得∠FAE＝∠AEG，从而可得AF∥EG，再利用平行线的性质可得∠F＝∠G，即可解
答．
【解答】解：∠F＝∠G，
理由：∵∠BAE+∠AED＝180°，∠AED+∠AEC＝180°，
∴∠BAE＝∠AEC，
∵∠1＝∠2，
∴∠BAE﹣∠1＝∠AEC﹣∠2，
∴∠FAE＝∠AEG，
∴AF∥EG，
∴∠F＝∠G．
3．（2024秋•玄武区校级期末）如图，∠DEG+∠EGF＝180°，DE平分∠BDF，∠C＝∠A．请判断AB与
DF的位置关系并说明理由．
【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【解答】解：AB∥DF，理由如下：
∵∠DEG+∠EGF＝180°，
∴DE∥AC，
∴∠BDE＝∠C，∠FDE＝∠DFC，
∵DE平分∠BDF，
∴∠BDE＝∠FDE，
∴∠C＝∠DFC，
∵∠C＝∠A，
∴∠DFC＝∠A，
∴AB∥DF．
4．（2024秋•西安期末）如图，点B，E分别在AC，DF上，连接BD，CE，AF，AF分别交BD，CE于点
M，N，若∠1＝∠2，∠C＝∠D，试说明：∠A＝∠F．
【分析】先由对顶角相等，得到：∠1＝∠DMF，然后根据等量代换得到：∠2＝∠DMF，然后根据同
位角相等两直线平行，得到BD∥CE，然后根据两直线平行，同位角相等，得到∠C＝∠DBA，然后根
据等量代换得到：∠D＝∠DBA，最后根据内错角相等两直线平行，即可得到DF与AC平行，再利用平
行线的性质解答即可．
【解答】解：∠A＝∠F，理由如下：
∵∠1＝∠DMF，∠1＝∠2，
∴∠2＝∠DMF，
∴BD∥CE，
∴∠C＝∠DBA，
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠DBA，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．
5．（2024秋•城关区期末）如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3＝∠C．求证：∠1＝∠2．【分析】先根据垂直的定义得∠ADF＝∠EFC＝90°，则可判断AD∥EF，根据平行线的性质得∠2＝
∠DAC，再根据平行线的判定方法，由∠3＝∠C可得DG∥AC，则利用平行线的性质得∠1＝∠DAC，
然后根据等量代换即可得到结论．
【解答】证明：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADF＝∠EFC＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠2＝∠DAC，
又∵∠3＝∠C，
∴DG∥AC，
∴∠1＝∠DAC，
∴∠1＝∠2．
6．（2024秋•西山区校级期末）已知：如图，CD⊥AB，GF⊥AB，∠1＝∠2．
求证：∠FEC+∠ECB＝180°．
【分析】依据“同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相垂直”可得CD∥GF由平行线的性质和
已知可得∠1＝∠FGB，从而证明EF∥BC，从而得到结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，GF⊥AB，
∴CD∥GF，
∴∠2＝∠FGB
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGB，∴EF∥BC，
∴∠FEC+∠ECB＝180°．
7．（2024秋•泉港区期末）如图，AC与BD相交于点E，∠1＝65°，∠D＝65°．
（1）若∠A＝30°，试求∠ACD的度数；
（2）取线段AB的中点F，连结EF．若∠AFE+∠BCD＝180°，∠A＝∠AEF．求证：CA平分∠BCD．
【分析】（1）由∠1＝65°，∠D＝65°得AB∥CD，根据两直线平行内错角相等得∠ACD＝∠A＝30°；
（2）由 AB∥CD 得∠ABC+∠BCD＝180°，由∠AFE+∠BCD＝180°，得∠AFE＝∠ABC，进而得
EF∥BC，根据∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，可得CA平分∠BCD．
【解答】（1）解：∵∠1＝65°，∠D＝65°，
∴∠1＝∠D，
∴AB∥CD，
∴∠ACD＝∠A＝30°；
（2）证明：如图，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠AFE+∠BCD＝180°，
∴∠AFE＝∠ABC，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠ACB，
∵∠A＝∠AEF，∠A＝∠ACD，
∴∠ACD＝∠ACB，
即CA平分∠BCD．8．（2024秋•扬州期末）如图，∠ENC+∠CMG＝180°，AB∥CD．
（1）判断ED与FG的位置关系，并说明理由；
（2）∠2与∠3相等吗？为什么？
（3）若∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，求∠B的大小．
【分析】（1）由对顶角相等得到∠CMG＝∠FMN，等量代换得到∠ENC+∠FMN＝180°，即可判定
FG∥ED；
（2）再根据平行线的性质即可求解；
（3）由平行线的性质得到∠A+∠ACD＝180°，再根据已知条件得出∠1＝34°，最后根据平行线的性质
即可得解．
【解答】解：（1）ED∥FG，理由如下：
∵∠ENC+∠CMG＝180°，∠CMG＝∠FMN，
∴∠ENC+∠FMN＝180°，
∴ED∥FG；
（2）∠2＝∠3，理由如下：
∵ED∥FG，
∴∠2＝∠D，
∵AB∥CD，
∴∠3＝∠D，
∴∠2＝∠3；
（3）∵AB∥CD，
∴∠A+∠ACD＝180°，
∵∠A＝∠1+70°，∠ACB＝42°，
∴（∠1+70°）+（∠1+42°）＝180°，
∴∠1＝34°，
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠1＝34°．9．（2024秋•鄠邑区期末）如图，已知AB∥CD，∠B＝∠D，AE交BC的延长线于点E．
（1）求证：AD∥BE；
（2）若∠1＝∠2＝60°，∠BAC＝2∠EAC，求∠B的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质定理和判定定理即可得到结论；
（2）根据AB∥CD，∠2＝60°，得到∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，进而得出∠CAE+∠BAC＝
60°，又根据∠BAC＝2∠EAC，得到∠BAC＝∠ACD＝40°，最后根据平角的定义可求出∠DCE的度
数，从而可求得∠B的度数．
【解答】解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DCE，
∵∠B＝∠D，
∴∠DCE＝∠D，
∴AD∥BE；
（2）∵AB∥CD，∠2＝60°，
∴∠BAE＝∠2＝60°，∠BAC＝∠ACD，∠B＝∠DCE，
∴∠EAC+∠BAC＝60°，
∵∠BAC＝2∠EAC，
∴∠EAC＝20°，
∴∠BAC＝∠ACD＝40°，
∵∠1+∠ACD+∠DCE＝180°，
∴∠DCE＝180°﹣∠1﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∴∠B＝∠DCE＝80°．
10．（2024秋•黔江区期末）如图，已知BC∥DF，∠B＝∠D，A，F，B三点共线，连接AC与DF相交于
点E．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若FG∥AC，∠A+∠B＝110°，求∠EFG的度数．【分析】（1）依据题意，由BC∥DF，可得∠B＝∠AFD，又∠B＝∠D，故∠AFD＝∠D，进而可以判
断得解；
（2）依据题意，由∠A+∠B+∠ACB＝180°，且∠A+∠B＝110°，从而可得∠ACB＝180°﹣110°＝70°，
结合FG∥AC，从而∠FGB＝∠ACB＝70°，又BC∥DF，进而∠EFG＝∠FGB＝70°，从而可以得解．
【解答】（1）证明：∵BC∥DF，
∴∠B＝∠AFD．
∵∠B＝∠D，
∴∠AFD＝∠D．
∴AB∥CD．
（2）解：由题意，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，且∠A+∠B＝110°，
∴∠ACB＝180°﹣110°＝70°．
∵FG∥AC，
∴∠FGB＝∠ACB＝70°．
∵BC∥DF，
∴∠EFG＝∠FGB＝70°．
11．（2024秋•沈河区期末）如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，
∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB；
（1）AD是否平行于BC？并说明理由；
（2）试说明AE⊥EF．
【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件推出∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论；1
（2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到 ∠DAB+∠ABC=150°，结合
2
∠DAB+∠ABC＝180°，求出∠EAF的度数，进一步求出∠AEF的度数，即可得出结论．
【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下：
∵DC∥AB，
∴∠DCB+∠ABC＝180°，
∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵AE平分∠DAB，
1
∴∠EAF= ∠DAB，
2
∵∠AGB＝30°，
1
∴ ∠DAB+∠ABC=180°−30°=150°，
2
又∵∠DAB+∠ABC＝180°，
1
∴ ∠DAB=30°，
2
即：∠EAF＝30°，
∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝90°，
即：AE⊥EF．
12．（2024秋•高陵区期末）如图，点G在AB上，点E在CD上，BE与DG交于点F，且∠2＝∠C．
（1）若∠GBE＝∠C，求证：∠1＝∠2．
（2）若∠GBF+∠BFG＝130°，∠1＝55°，求∠DFE的度数．
【分析】（1）先证得∠2＝∠GBE，即可得出AB∥CD，于是推出∠1＝∠C，从而问题得证；
（2）先求出∠BGF的度数，即可求出∠CGD的度数，再证得CG∥EB，问题即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠2＝∠C，∠GBE＝∠C，
∴∠2＝∠GBE，∴AB∥CD，
∴∠1＝∠C，
∴∠1＝∠2；
（2）解：∵∠GBF+∠BFG＝130°，
∴∠BGF＝180°﹣（∠GBF+∠BFG）＝180°﹣130°＝50°，
∵∠1＝55°，
∴∠CGD＝180°﹣∠1﹣∠BGF＝180°﹣55°﹣50°＝75°，
∵∠2＝∠C，
∴CG∥EB，
∴∠DFE＝∠CGD＝75°．
13．（2024秋•府谷县期末）如图，三角形 ABC中，D是AB上一点，E是BC上一点，点F，G在AC
上，∠AFD＝∠DEB，∠DFC+∠C＝180°．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若∠C＝38°，EG平分∠DEC，求∠EGC的度数．
【分析】（1）利用平行线的判定及性质即可求证结论．
（2）利用平行线的性质及角平分线的定义即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠DFC+∠C＝180°，
∴DF∥BC，
∴∠DEB＝∠EDF，
∵∠AFD＝∠DEB，
∴∠EDF＝∠AFD，
∴DE∥AC．
（2）解：∵DE∥AC，
∴∠C+∠DEC＝180°，
∵∠C＝38°，
∴∠DEC＝180°﹣38°＝142°，∵EG平分∠DEC，
1
∴∠DEG= ∠DEC=71°，
2
∵DE∥AC，
∴∠EGC＝∠DEG＝71°．
14．（2024秋•余江区期末）如图，已知AC∥DE，∠D+∠BAC＝180°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD．若AB⊥BC，∠CED＝35°，求∠ACB的度数．
【分析】（1）由AC∥DE得∠D+∠ACD＝180°，结合已知条件可得出∠ACD＝∠BAC，据此可得出结
论；
（2）由AC∥DE得∠ACE＝∠CED＝35°，再根据角平分线的定义得∠ACD＝2∠ACE＝70°，然后由
（1）知AB∥CD，进而可得∠BAC＝∠ACD＝70°，然后再利用三角形的内角和定理可求出∠ACB的度
数．
【解答】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠D+∠ACD＝180°，
又∵∠D+∠BAC＝180°，
∴∠ACD＝∠BAC，
∴AB∥CD．
（2）解：连接CE，
∵AC∥DE，∠CED＝35°，
∴∠ACE＝∠CED＝35°，
∵CE平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠ACE＝70°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝70°，
又∵AB⊥BC，
∴∠B＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣90°﹣70°＝20°．
15．（2024秋•姑苏区校级期末）已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD
上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠AGE+∠AHF＝180°，求证：∠B＝∠C；
（3）在（2）的条件下，若∠BFC：∠C＝2：1，则∠D＝ 6 0 度．
【分析】（1）由对顶角相等可得∠AGE＝∠DGC，从而可得∠AEG＝∠C，则可判定AB∥CD；
（2）由平角的定义可得∠AGE+∠EGH＝180°，从而可求得∠EGH＝∠AHF，则可判定EC∥BF，则有
∠B＝∠AEG，从而可求证；
（3）由（2）得BF∥EC，则有∠C+∠BFC＝180°，从而可求∠C的度数，利用三角形的内角和即可求
∠D的度数．
【解答】（1）证明：∵∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC，∠AGE＝∠DGC，
∴∠AEG＝∠C，
∴AB∥CD；
（2）证明：∵∠AGE+∠EGH＝180°，∠AGE+∠AHF＝180°，
∴∠EGH＝∠AHF，
∴EC∥BF，
∴∠B＝∠AEG，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠AEG，∴∠B＝∠C；
（3）解：∵BF∥EC，
∴∠C+∠BFC＝180°，
∵∠BFC＝2∠C，
∴∠C+2∠C＝180°，
解得∠C＝60°，
∵∠C＝∠DGC，
∴∠DGC＝60°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠DGC＝60°．
故答案为：60．
16．（2024春•临高县期末）已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°．
（1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由．
（2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数．
【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到
∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA．
（2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，
即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数．
【解答】解：（1）GD∥CA．
理由：∵EF∥CD，
∴∠1+∠ACD＝180°，
又∵∠1+∠2＝180°，
∴∠ACD＝∠2，
∴GD∥CA；
（2）∵GD∥CA，
∴∠2＝∠ACD＝40°，∵DG平分∠CDB，
∴∠BDG＝∠2＝40°，
∵GD∥CA，
∴∠A＝∠BDG＝40°．
17．（2023秋•商水县期末）如图，已知DE∥CB，∠B＝∠D．
（1）判断AB、CD是否平行，并说明理由．
（2）若∠B+∠F＝102°，求∠DEF的度数．
【分析】（1）由平行线的性质可得∠D＝∠BCF，从而可求得∠BCF＝∠B，即可判定AB∥CD；
（2）由平行线的性质可得∠B+∠BED＝180°，∠F＝∠BEF，结合条件即可求解．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵DE∥CB，
∴∠D＝∠BCF，
∵∠B＝∠D，
∴∠BCF＝∠B，
∴AB∥CD；
（2）∵DE∥CB，
∴∠B+∠BED＝180°，
∴∠B+∠BEF+∠DEF＝180°，
∵AB∥CD，
∴∠F＝∠BEF，
∴∠B+∠F+∠DEF＝180°，
∵∠B+∠F＝102°，
∴∠DEF＝78°．
18．（2024春•宁江区校级月考）如图，点F在线段AB上，点E，G在线段CD上，FG∥AE，∠1＝∠2．
（1）请判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）若BC平分∠ABD，∠D＝112°，求∠C的度数．【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可进行证明；
（2）根据BC平分∠ABD，∠D＝112°，即可求∠C的度数．
【解答】解：（1）AB∥CD，理由如下：
∵FG∥AE，
∴∠FGC＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠FGC，
∴AB∥CD；
（2）∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠D＝180°，
∵∠D＝112°，
∴∠ABD＝180°﹣112°＝68°，
∵BC平分∠ABD，
1
∴∠ABC= ∠ABD＝34°，
2
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠ABC＝34°．
所以∠C的度数为34°．
19．（2024春•江津区校级月考）下列如图，BC∥EF，E是直线FD上的一点，∠ABC＝140°，∠CDF＝
40°．
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接BD，若BD∥AE，∠BAE＝110°，请写出所有与∠BAE互补的角．【分析】（1）根据平行线的性质和判定，可以证明结论成立；
（2）根据平行线的性质，可以得到与∠BAE互补的角．
【解答】（1）证明：∵BC∥EF，
∴∠BCD＝∠CDF，
∵∠CDF＝40°，
∴∠BCD＝40°，
∵∠ABC＝140°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD；
（2）解：∵BD∥AE，∠BAE＝110°，
∴∠BAE+∠ABD＝180°，∠ABD＝70°，
由（1）知AB∥CD，
∴∠ABD＝∠BDC＝70°，
∵∠CDF＝40°，
∴∠BDF＝110°，
∴∠BDE＝70°，
∵BD∥AE，
∴∠BDE＝∠AEG＝70°，
∵BC∥EF，∠BDE＝70°，
∴∠CBD＝∠BDE＝70°，
由上可得，与∠BAE互补的角是∠ABD、∠BDC、∠BDE、∠AEG和∠CBD．
20．（2024春•秀山县校级月考）如图，AE⊥BC，FG⊥BC，垂足分别是M、N，且∠1＝∠2．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠CBD＝70°，∠D﹣∠3＝56°，求∠C的度数．【分析】（1）先由垂线的定义得到∠AMB＝∠CNF＝90°，则AE∥EF，由平行线的性质和已知条件可
证明∠A＝∠2，即可证明AB∥CD；
（2）先由平行线的性质得到∠D+∠ABD＝180°，再由已知条件得到70°+∠3+∠3+56°＝180°，据此求
出∠3＝27°，则由平行线的性质可得∠C＝∠3＝27°．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC，
∴∠AMB＝∠CNF＝90°，
∴AE∥EF，
∴∠1＝∠A，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠2，
∴AB∥CD；
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠D+∠ABD＝180°，
∵∠CBD＝70°，∠ABD＝∠CBD+∠3，
∴70°+∠3+∠D＝180°，
∵∠D﹣∠3＝56°，即∠D＝∠3+56°，
∴70°+∠3+∠3+56°＝180°，
∴∠3＝27°，
∵AB∥CD，
∴∠C＝∠3＝27°．
21．（2024春•浉河区期末）如图，直线EA，DB交于点F，点C在AD的左侧，且满足∠BDC＝∠ABF，
∠BAD+∠DCE＝180°．
（1）判断AD与EC是否平行？并说明理由；
（2）若DA平分∠BDC，CE⊥EA于点E，∠BAF＝52°，求∠ABF的度数．【分析】（1）根据平行线的性质与判定求解即可；
（2）根据垂直的定义及角的和差求出∠BAD＝38°，结合（1）得出∠CDA＝∠BAD＝38°，再根据角平
分线定义求解即可．
【解答】解：（1）AD∥EC，理由如下：
∵∠BDC＝∠ABF，
∴AB∥CD，
∴∠BAD＝∠CDA，
∵∠BAD+∠DCE＝180°，
∴∠CDA+∠DCE＝180°，
∴AD∥EC；
（2）∵CE⊥EA于点E，
∴∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∵∠BAF＝52°，
∴∠BAD＝38°，
∴∠CDA＝∠BAD＝38°，
∵DA平分∠BDC，
∴∠BDC＝2∠CDA＝76°，
∴∠ABF＝∠BDC＝76°．
22．（2024春•南宁期末）如图，D，E，F，G分别是三角形ABC边上的点，∠1+∠2＝180°，∠B＝∠3．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠C＝76°，∠AED＝2∠B，求∠AEF的度数．【分析】（1）根据∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4得∠1+∠4＝180°，进而得AB∥EF，则∠B＝∠EFC，再
根据∠B＝∠3，得∠EFC＝∠3，据此可得出结论；
（2）先由（1）的结论得∠AED＝∠C＝76°，进而得∠B＝∠3＝38°，由此可得∠AEF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝∠4，
∴∠1+∠4＝180°，
∴AB∥EF，
∴∠B＝∠EFC，
∵∠B＝∠3，
∴∠EFC＝∠3，
∴DE∥BC；
（2）解：由（1）可知：DE∥BC，
∴∠AED＝∠C＝76°，
又∠AED＝2∠B，
∴2∠B＝76°，
∴∠B＝38°，
∴∠3＝∠B＝38°，
∴∠AEF＝∠AED+∠3＝76°+38°＝114°．
23．（2024春•潼关县期末）如图，AB∥CD，连接BC，过点D作DE∥BC，BM平分∠ABC交DC的延长
线于点M，点F在CD的延长线上，DN平分∠EDF．求证：BM∥DN．【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ABC＝∠BCD，∠ABM＝∠BMC，根据两直线平行，同位
角相等可得∠EDF＝∠BCD，推得∠ABC＝∠EDF，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成
1 1
两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABM= ∠ABC，∠NDF= ∠EDF，推得
2 2
∠BMC＝∠NDF，根据同位角相等，两直线平行即可证明．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD，∠ABM＝∠BMC，
又∵BC∥ED，
∴∠EDF＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠EDF．
∵BM、DN分别平分∠ABC、∠EDF，
1 1
∴∠ABM= ∠ABC，∠NDF= ∠EDF，
2 2
∴∠BMC＝∠NDF，
∴BM∥DN．
24．（2024春•仪征市期末）如图，在△ABC中，点E在AC上，点F在BC上，点D、G在AB上．
EG∥CD，且∠CDF+∠CEG＝180°．
（1）求证：DF∥AC；
（2）若DF是△BDC的角平分线，∠AGE＝100°，求∠A的度数．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠ACD+∠CEG＝180°，根据同角的补角相等求出∠CDF＝
∠ACD，从而利用内错角相等，两直线平行可得DF∥AC；
（2）利用平行线的性质可得∠AGE＝∠ADC＝100°，根据邻补角定义求出∠BDC＝80°，再利用角平分线的定义可得∠BDF＝40°，再根据平行线的性质可求出∠A＝∠BDF＝40°．
【解答】（1）证明：∵EG∥CD，
∴∠ACD+∠CEG＝180°，
∵∠CDF+∠CEG＝180°，
∴∠CDF＝∠ACD，
∴DF∥AC；
（2）解：∵EG∥CD，
∴∠AGE＝∠ADC＝100°，
∴∠BDC＝180°﹣100°＝80°，
∵DF平分∠BDC，
1
∴∠BDF= ∠BDF＝40°，
2
∵DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF＝40°．
25．（2024春•新抚区期末）如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，∠AMD＝∠AGF，∠1＝∠2＝
23°．
（1）求∠GFC的度数；
（2）求证：DM∥BC．
【分析】（1）由垂直的定义得到∠CFE＝∠BDF＝90°，判定BD∥EF，推出∠EFG＝∠1＝23°，即可
求出∠GFC＝23°+90°＝113°；
（2）由同位角相等，两直线平行判定 MD∥FG，由∠2＝∠EFG＝23°，判定 FG∥BC，推出
DM∥BC．
【解答】（1）解：∵BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，
∴∠CFE＝∠BDF＝90°，∴BD∥EF，
∴∠EFG＝∠1＝23°，
∴∠GFC＝23°+90°＝113°；
（2）证明：∵∠AMD＝∠AGF，
∴MD∥FG，
由（1）知∠EFG＝23°，
∴∠2＝∠EFG＝23°，
∴FG∥BC，
∴DM∥BC．
26．（2023秋•宽甸县期末）如图，在△ABC中，点D、F在BC边上，点E在AB边上，点G在AC边
上，EF与GD的延长线交于点H，∠CDG＝∠B，∠1+∠FEA＝180°．
求证：（1）EH∥AD；
（2）∠BAD＝∠H．
【分析】（1）先证DG∥AB，得出∠1＝∠BAD，则∠BAD+∠FEA＝180°，再根据平行线的判定即可得
出结论；
（2）根据平行线的性质得出∠1＝∠H，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵∠CDG＝∠B，
∴DG∥AB，
∴∠1＝∠BAD，
∵∠1+∠FEA＝180°，
∴∠BAD+∠FEA＝180°，
∴EH∥AD；
（2）由（1）得：∠1＝∠BAD，EH∥AD，
∴∠1＝∠H，
∴∠BAD＝∠H．27．（2024春•西城区校级期中）如图，已知∠ADB＝∠BCE，∠CAD+∠E＝180°．
（1）判断AC与EF的位置关系，并证明；
（2）若CA平分∠BCE，EF⊥AF于点F，∠ADB＝70°，求∠BAD的度数．
【分析】（1）根据平行线的判定得出 AD∥CE，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠ACE，求出
∠E+∠ACE＝180°，根据平行线的判定得出即可；
1
（2）根据∠ADB＝∠BCE求出∠BCE＝80°，根据角平分线的定义求出∠ACE= ∠BCE＝40°，根据平
2
行线的性质得出∠CAD＝∠ACE＝40°，∠BAC＝∠EFA＝90°，即可得出答案．
【解答】解：（1）AC∥EF，
证明：∵∠ADB＝∠BCE，
∴AD∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE，
∵∠CAD+∠E＝180°，
∴∠E+∠ACE＝180°，
∴AC∥EF；
（2）∵∠ADB＝∠BCE，∠ADB＝70°，
∴∠BCE＝70°，
∵AC平分∠BCE，
1
∴∠ACE= ∠BCE＝35°，
2
∵AD∥CE，
∴∠CAD＝∠ACE＝35°，
∵FE⊥AB，
∴∠EFA＝90°，∵AC∥EF，
∴∠BAC＝∠EFA＝90°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣35°＝55°．
28．（2024春•嘉祥县期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，
点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，AD∥EF．
（1）求证：∠BDA+∠CEG＝180°；
（2）若点H在FE的延长线上，且∠F＝∠H，则∠EDH与∠C相等吗？请说明理由．
【分析】（1）利用平行线的性质可得：∠BDA＝∠BEF，再利用平角定义可得∠BEF+∠CEG＝180°，
然后利用等量代换可得∠BDA+∠CEG＝180°，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得：∠BAD＝∠CAD，然后利用平行线的性质可得∠BAD＝∠F，∠DAC＝
∠EGC，从而利用等量代换可得∠F＝∠EGC，进而可得∠H＝∠EGC，最后根据内错角相等，两直线
平行可得HD∥AC，从而利用平行线的性质可得∠EDH＝∠C，即可解答．
【解答】（1）证明：∵AD∥EF（已知），
∴∠BDA＝∠BEF（两直线平行，同位角相等）
∵∠BEF+∠CEG＝180°（已知），
∴∠BDA+∠CEG＝180°（同角的补角相等）；
（2）解：∠EDH＝∠C，
理由如下：
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵AD∥EF，
∴∠BAD＝∠F，∠DAC＝∠EGC，
∴∠F＝∠EGC，
∵∠H＝∠F，
∴∠H＝∠EGC，∴HD∥AC，
∴∠EDH＝∠C．
29．（2024春•西城区校级期中）如图1，点C，D在直线AB上，∠ACE+∠BDF＝180°，EF∥AB．
（1）求证：CE∥DF；
（2）如图2，∠DFE的角平分线 FG交AB于点G，过点F作FM⊥FG交CE的延长线于点 M．若
∠CMF＝55°，求∠CDF的度数．
【分析】（1）根据平角的性质进行等量代换，得到∠BDF＝∠BCE，利用同位角相等两直线平行即
可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补得到∠DFM＝125°，进而得到∠DFG＝35°，再根据角平分线的定
义，得到∠DFE＝2∠DFG＝70°，最后利用平行线的性质，即可求出∠CDF的度数．
【解答】（1）证明：∵∠ACE+∠BDF＝180°，∠ACE+∠BCE＝180°
∴∠BDF＝∠BCE
∴CE∥DF；
（2）解：∵CE∥DF
∴∠CMF+∠DFM＝180°
∵∠CMF＝55°
∴∠DFM＝125°
∵FM⊥FG
∴∠GFM＝90°
∴∠DFG＝∠DFM﹣∠GFM＝125°﹣90°＝35°
∵FG是∠DFE的角平分线，
∴∠DFE＝2∠DFG＝70°
∵EF∥AB
∴∠CDF+∠DFE＝180°
∴∠CDF＝110°．
30．（2024春•工业园区校级期末）如图，∠ADM＝∠CBN，∠AMD+∠ANB＝180°．（1）求证：AD∥BC；
（2）若BD平分∠ABC，∠DBN＝3∠CBN，2∠BAE﹣∠BDE＝60°，求∠BDE的度数．
【分析】（1）由题意得∠AMD+∠DMN＝180°，从而求得∠ANB＝∠DMN，则可判定DM∥BN，即有
∠BDM＝∠DBN，可求得∠ADB＝∠CBD，即可判定AD∥BC；
（2）由角平分线的定义得∠CBD＝∠ABD，由（1）可得∠ABC+∠BAE＝180°，∠BDE+∠CBD＝
180°，结合所给的条件即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠AMD+∠DMN＝180°，∠AMD+∠ANB＝180°，
∴∠ANB＝∠DMN，
∴DM∥BN，
∴∠BDM＝∠DBN，
∵∠ADM＝∠CBN，
∴∠BDM+∠ADM＝∠DBN+∠CBN，
即∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAE＝180°，∠BDE+∠CBD＝180°，
∴∠CBD＝180°﹣∠BDE，
∴∠ABC＝2∠CBD＝360°﹣2∠BDE，
∴∠BAE＝180°﹣∠ABC＝2∠BDE﹣180°，
∵2∠BAE﹣∠BDE＝60°，
∴2（2∠BDE﹣180°）﹣∠BDE＝60°，
解得：∠BDE＝140°．
