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八年级下第一章三角形的证明检测
班级___________姓名_____________考号____________
一．选择题（共12小题）
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．11 B．16 C．17 D．16或17
2．如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线EF∥BC，交AB
于E，交AC于F，图中等腰三角形的个数共有（ ）
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A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，若CD⊥AB，DE⊥BC垂足分别是D、E．
则图中全等的三角形共有（ ）
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A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，图中与∠A互余的角有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
6．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，则CD的长是（ ）A．20 B．10 C．5 D．
7．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA=5，则线段PB
的长度为（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
8．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为
（ ）
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A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（ ）
A．35° B．45° C．55° D．60°
10．如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，则△EFM的周长是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．21 B．18 C．13 D．15
11．如图，在△ABC中，∠C=90°，点E是AC上的点，且∠1=∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，如
果EC=3cm，则AE等于（ ）
A．3cm B．4cm C．6cm D．9cm
12．如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足
为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为（ ）
A．3 B．5 C．6 D．不能确定
二．填空题（共8小题）
13．如图，AB、CD相交于点O，AC⊥CD于点C，若∠BOD=38°，则∠A= ．
14．若一腰上的中线把一个等腰三角形的周长分为 12cm和21cm两部分，则其底边长为
cm．
15．在△ABC和△MNP中，已知AB=MN，∠A=∠M=90°，要使△ABC≌△MNP，应添加的条件是．（只添加一个）
16．如图，△ABC中AB的垂直平分线交AC、AB于点P、Q，若PC=2PA，AB= ，∠A=45°，则
PC= ，BC= ．
17．在△ABC中，AB﹦AC，∠A=90°，BD是角平分线，若D点到BC的距离为2，D点在AC上，则
DA= ．
18．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB=10cm，则阴影部分的面积是 cm2．
19．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，∠2=30°，那么∠1、∠A、∠B的度
数分别是 ．
20．在△ABC中，∠B=80°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC=1：3，则∠C= 度．
三．解答题（共8小题）
21．如图，已知∠A=∠D=90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF．求证：
Rt△ABF≌Rt△DCE．22．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．
求证：（1）∠B=∠C．
（2）△ABC是等腰三角形．
23．按要求完成下列各小题．
（1）已知a，b表示的是等腰三角形两条边的长度，且|4﹣a|+（b﹣8）2=0，求该三角形的周长；
（2）如图，在△ABC中，AD是高，∠BAC=3x°，求∠DAC的度数．
24．如图，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D．
（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AE⊥AB于A，∠BAC=120°，AE=3cm．
求：BC的长．26．如图，在△ABC中，M、N分别是BC与EF的中点，CF⊥AB，BE⊥AC．
求证：MN⊥EF．
27．如图，△ABC中，∠BAC=110°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求∠DAF的度数；
（2）如果BC=10cm，求△DAF的周长．
28．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、
N．试说明：PM=PN．参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．分析:分6是腰长和底边两种情况，利用三角形的三边关系判断，然后根据三角形的周长
的定义列式计算即可得解．
解：①6是腰长时，三角形的三边分别为6、6、5，
能组成三角形，
周长=6+6+5=17；
②6是底边时，三角形的三边分别为6、5、5，
能组成三角形，
周长=6+5+5=16．
综上所述，三角形的周长为16或17．
故选D．
2．分析:先由已知运用角平分线及平行线的性质找出相等的角，再根据等角对等边找出等腰
三角形．
解：∵AB=AC，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点D，
∴∠ABD=∠DBC=∠BCD=∠DCF，
∴△EBD、△DBC、△FDC是等腰三角形，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，且△ABC是等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE=∠ABC，
∴△AEF是等腰三角形．
所以共有△EBD、△DBC、△FDC、△ABC、△AEF5个等腰三角形．
故选C．
3．分析:有两对．分别为△CDE≌△BDE，△CAD≌△CBD．
解：∵∠ACB=90°，AC=BC，CD⊥AB，CD=CD，
∴△CAD≌△CBD．（HL）
同理可证明△CDE≌△BDE．故选A．
4．分析:由“直角三角形的两锐角互余”，结合题目条件，找出与∠A互余的角．
解：∵∠ACB=90°，CD是AB边上的高线，
∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACD=90°，
∴与∠A互余的角有2个，
故选C．
5．分析:根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
解：∵直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，
∴斜边的长为2×2=4cm．
故选B．
6．分析:由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出CD的长．
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，CD是AB边上的中线，
∴CD= AB=5，
故选C．
7．分析:由直线CD是线段AB的垂直平分线可以得到PB=PA，而已知线段PA=5，由此即可求出
线段PB的长度．
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解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA，
而已知线段PA=5，
∴PB=5．
故选B．
8．分析:过点P作PE⊥OB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PD，从
而得解．
2·1·c·n·j·y
解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，
∴PE=PD，
∵PD=6，
∴PE=6，
即点P到OB的距离是6．
故选：A．
9．分析:由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角
形两底角相等的性质即可得出结论．
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解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C= （180°﹣70°）=55°．
故选C．
10．分析:根据“BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点”得到FM=EM= BC，所以△EFM的
周长便不难求出．
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解：∵BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，
∴在Rt△BCE中，EM= BC=4，
在Rt△BCF中，FM= BC=4，
∴△EFM的周长=EM+FM+EF=4+4+5=13．
故选C．11．分析:求出AE=BE，推出∠A=∠1=∠2=30°，求出DE=CE=3cm，根据含30度角的直角三角
形性质求出即可．
2-1-c-n-j-y
解：∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠1=∠2，
∵∠C=90°，
∴∠A=∠1=∠2=30°，
∵∠1=∠2，ED⊥AB，∠C=90°，
∴CE=DE=3cm，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠A=30°，
∴AE=2DE=6cm，
故选C．
12．分析:作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，根据角平分线的性质得到PF=PE=3，PG=PE=3，根据平
行线间的距离的求法计算即可．
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解：作PF⊥AD于F，PG⊥BC于G，
∵AP是∠BAD的角平分线，PF⊥AD，PE⊥AB，
∴PF=PE=3，
∵BP是∠ABC的角平分线，PE⊥AB，PG⊥BC，
∴PG=PE=3，
∵AD∥BC，
∴两平行线AD与BC间的距离为PF+PG=6，
故选：C．二．填空题（共8小题）
13．分析:利用对顶角相等得到∠AOC的度数，然后利用直角三角形两锐角互余求得角A即可．
解：∵∠BOD=38°，
∴∠AOC=38°，
∵AC⊥CD于点C，
∴∠A=90°﹣∠AOC=90°﹣38°=52°．
故答案为52°．
14．分析:根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨
论，即可得出结论．
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解：设等腰三角形的腰长是xcm，底边是ycm．根据题意，得：
，
解得 或 ．
再根据三角形的三边关系，知：8，8，17不能组成三角形，应舍去．
所以它的底边是5cm．
故答案为：5．
15．分析:根据直角三角形的判定定理HL，题目中以经给出了一条直角边对应边，再添加一个
斜边相等的条件，或再加一个锐角相等的条件也可，总之此题答案不唯一．
解：根据直角三角形的判定定理HL，
已知AB=MN，∠A=∠M=90°，
再加上BC=NP，即可使△ABC≌△MNP，
故填：BC=NP
16．分析:根据线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等及已知条件
“∠A=45°”证明△APB是等腰直角三角形，然后在△PAB中利用勾股定理求得PA的长度是
2，从而求得PC=4；在直角三角形PCB中，根据勾股定理求BC的长度．解：∵AB的垂直平分线交AC、AB于点P、Q，
∴PA=PB（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等），
∴∠A=∠PBA（等边对等角）；
又∠A=45°，
∴∠APB=90°（三角形内角和定理），即PB⊥AC，
∵AB= ，
∴AB= PA=2 ，
∴PA=PB=2；
∵PC=2PA=4；
在直角三角形PBC中，
BC2=PC2+PB2=16+4=20，
∴BC=2 ；
故答案是：4、2 ．
17．分析:根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到
AB的距离=点D到BC的距离=DE=2．
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解：∵在△ABC中，∠A=90°，BD是角平分线，DE⊥BC，
∴DA=DE；
又∵DE=2，
∴DA=2；
故答案是：2．
18．分析:由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC
的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算
方法求出阴影部分的面积．
解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=10cm，∴AC=5cm．
由题意可知BC∥ED，
∴∠AFC=∠ADE=45°，
∴AC=CF=5cm．
故S = ×5×5=12.5（cm2）．
△ACF
故答案为12.5．
19．分析:∠A与∠2和∠B和∠1互余，可求出∠A、∠B、∠1的度数，
解：根据题意可得：∠A与∠2和∠B与∠1互余，
∴∠A=∠1=90°﹣30°=60°
∠B=30°．
故答案为：60°、60°、30°．
20． 分析:先根据线段垂直平分线的性质求出∠DAC=∠C，再根据三角形内角和定理及
∠BAD：∠BAC=1：3，∠B=70°列出方程求解即可．
解：∵DE是AC的垂直平分线，∠B=80°，
∴AD=CD，∠DAC=∠C，
∵∠BAD：∠BAC=1：3，
∴∠BAC=3∠BAD，∠DAC=2∠BAD，
∴设∠BAD=x，则∠DAC=∠C=2x，∠BAC=3X，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，即80°+3x+2x=180°，
∴x=20°，
∴∠C=2x=40°．
故填40．
三．解答题（共8小题）
21．分析:由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明．
证明：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，
∵∠A=∠D=90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中， ，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）．
22．分析:由条件可得出DE=DF，可证明△BDE≌△CDF，可得出∠B=∠C，再由等腰三角形的判
定可得出结论．
证明：（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴∠B=∠C；
（2）由（1）可得∠B=∠C，
∴△ABC为等腰三角形．
23．分析:（1）由已知条件、绝对值和偶次方的非负性质得出a=4，b=8，由三角形的三边关系
得出a为底边长，b为腰长，即可得出结果；
（2）由三角形内角和定理得出方程，解方程求出x=36，得出∠C的度数，再由直角三角形的两
个锐角互余即可得出结果．
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解：（1）∵|4﹣a|+（b﹣8）2=0，
∴4﹣a=0，b﹣8=0，
∴a=4，b=8，
∵4+4=8，
∴a为底边长，b为腰长，
∴等腰三角形的周长=8+8+4=20；
（2）由三角形内角和定理得：x°+x°+3x°=180°，解得：x=36，
∴∠C=36°，
∵AD是高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=54°．
24．分析:（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°﹣∠CAF，∠AED=90°﹣∠DAE，再根据角平
分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．
证明：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°﹣∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°﹣∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
25．分析:首先由AB=AC，∠BAC=120°得∠B=∠C=30°，则在直角三角形BAE中求出AB，再过
点A作AF⊥BC交BC于F，则由已知得：
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BC=2BF，在直角三角形AFB中求出BF，从而求出BC．
解：过点A作AF⊥BC交BC于F，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
BC=2BF，
在Rt△BAE中，
BE=2AE=6
AB= = =3
在Rt△AFB中，AF= AB=
BF= = = ，
∴BC=2BF=2× =9．
26．分析:连接ME、MF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=ME= BC，再根
据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
证明：如图，连接MF、ME，
∵MF、ME分别为Rt△FBC是和Rt△EBC斜边上的中线，
∴MF=ME= BC，
在△MEF中，MF=ME，点N是EF的中点，
∴MN⊥EF．
27．分析:（1）根据三角形内角和定理可求∠B+∠C；根据垂直平分线性质，DA=BD，FA=FC，则
∠EAD=∠B，∠FAC=∠C，得出∠DAF=∠BAC﹣∠EAD﹣∠FAC=110°﹣（∠B+∠C）求出即可．
（2）由（1）中得出，AD=BD，AF=FC，即可得出△DAF的周长为BD+FC+DF=BC，即可得出答案．
解：（1）设∠B=x，∠C=y．
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴110°+∠B+∠C=180°，∴x+y=70°．
∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴∠EAD=∠B，∠FAC=∠C．
∴∠DAF=∠BAC﹣（x+y）=110°﹣70°=40°．
（2）∵AB、AC的垂直平分线分别交BA于E、交AC于G，
∴DA=BD，FA=FC，
∴△DAF的周长为：AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=10（cm）．
28．分析:根据角平分线的性质以及已知条件证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的
对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再由垂直的性质和全等三角形的判定定理 AAS 判定
△PMD≌△PND，最后根据全等三角形的对应边相等推知PM=PN．
【出处：21教育名师】
证明：在△ABD和△CBD中，AB=BC（已知），
∠ABD=∠CBD（角平分线的性质），
BD=BD（公共边），
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB（全等三角形的对应角相等）；
∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°；
又∵PD=PD（公共边），
∴△PMD≌△PND（AAS），
∴PM=PN（全等三角形的对应边相等）．
