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上海市徐汇区 2023 届初三一模数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，共24分）
1. 在 中， ．下列四个选项，正确的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列命题中假命题是（ ）
A. 任意两个等腰直角三角形都相似
B. 任意两个含36°内角的等腰三角形相似
C. 任意两个等边三角形都相似
D. 任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似
3. 如图， ，若 ，则下面结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
4. 二次函数 的图像如图所示，点 在 轴的正半轴上，且 ，下列选项中正
确的是（ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 将抛物线 经过下列平移能得到抛物线 的是（ ）
A. 向右 个单位，向下 个单位 B. 向左 个单位，向下 个单位
C. 向右 个单位，向上 个单位 D. 向左 个单位，向上 个单位
6. 如图，点 在 边 上， ，点 是 的角平分线 与 的交点，且
，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、 填空题（本大题共12题，每题4分，共48分）
.
7 已知 ，则 ________________．
8. 计算： __________________．
9. 两个相似三角形的对应边上的中线之比 ，则这两个三角形面积之比为_____________．
10. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图， 为 的黄金分割点
，如果 的长度为 ，那么 的长度是_____________．
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学科网（北京）股份有限公司11. 如图，已知 为 的重心，过点 作 的平行线交边 和 于点 、 ，设 、
．用 （ 为实数）的形式表示向量 ____________．
12. 小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头
顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离 为 米，凉亭的高度 为
米，小明到凉亭的距离 为 米，凉亭与观景台底部的距离 为 米，小杰身高为 米．那么
观景台的高度为________________米．
13. 已知点 、 在抛物线 上，则 _____________ （填“ ”、“
”或“ ”）．
14. 小球沿着坡度为 的坡面滚动了 ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________ ．
15. 计算： _________________
16. 如图，在由正三角形构成的网格图中， 三点均在格点上，则 的值为___________．
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学科网（北京）股份有限公司17. 如图，点 是矩形 纸片边 上一点，如果沿着 折叠矩形纸片，恰好使点 落在边 上
的点 处，已知 ，那么折痕 的长是_____________ ．
18. 规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三
角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为
这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在 中， ， 是斜边
上的高，其中 是等腰三角形，且 和 相似，所以 是“和谐三角形”，直线
为 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知 是“和谐三角形”， ，当
直线 是 的“和谐分割线”时， 的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）
三、解答题（本大题共7题，共 分）
19. 如图，在 中，已知 ．点 为边 上一点， ，求
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学科网（北京）股份有限公司的长．
20. 如图，点 在平行四边形 的边 的延长线上，且 ， 与 交于点 ．设
．
（1）用向量 、 表示向量 ；
（2）求作：向量 分别在向量 、 方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指
出所作图中表示结论的分向量）
21. 已知二次函数 ．
（1）用配方法把二次函数 化为 的形式，并指出这个函数图像的开口
方向、对称轴和顶点的坐标；
的
（2）如果将该函数图像向右平移2个单位，所得 新函数的图像与 轴交于点 （点 在点 左侧），
与 轴交于点 ，顶点为 ，求四边形 的面积．
22. 如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高 为 ，宽 为 ，点 是
的中点，连杆 的长度分别为 和 ， ，且连杆 与 始
终在同一平面内．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求点 到水平桌面的距离；
（2）产品说明书提示，若点 与 的水平距离超过 的长度，则该支架会倾倒．现将 调节为
，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶ ）
的
23. 如图，已知 是等边三角形， 分别是边 上 点，且 ．在
的延长线上取点 ，使得 ，联结 ．
（1）求证： ；
（2）求证： ．
24. 已知在平面直角坐标系 中，抛物线 经过点 、 与 轴相交于点 ．
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学科网（北京）股份有限公司的
（1）求抛物线 表达式；
（2）点 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点 作直线 轴，垂足为点 ，直线 与直线
相交于点 ．
的
①当 时，求点 坐标；
②联结 ，过点 作直线 的平行线，交 轴于点 ，当 时，求点 的坐标．
25. 如图1，已知菱形 ，点 在边 上， ， 交对角线 于点 ．
（1）求证 ；
（2）如图2，联结 ．
①当 为直角三角形时，求 的大小；
②如图3，联结 ，当 时，求 的值．
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