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2025 年 3 月月考数学试卷
命题：戴金娜 审核：徐庆明 试做：尚玉柱 黄亚楠
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式求值.
【详解】 .
故选：D
2. 已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可代入求值.
【详解】扇形的半径 ，所以扇形的面积为 ，
故选：D.
3. 已知点 在角 的终边上，若 ，则（ ）
A. B. 为第二象限的角
C. D.
【答案】D
【解析】【分析】根据终边上的点及已知函数值得 ，即 ，再结合三角函数的定义判断各项的正误.
【详解】由题设 ，可得 ，A错；
所以 ，则 为第三象限的角，B错；
，C错；
，D对.
故选：D
4. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度
C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断.
【详解】因为 ，
所以把 的图象上所有的点向左平行移动 个单位长度可得
的图象，故B正确；
经检验，ACD错误.
故选：B.
5. 已知函数 的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）A.
B. 将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象
C. ，都有
D. 函数的单调递减区间为 ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.
【详解】由图知， ，即 ，
所以 ，由题意 ，根据 为下降零点，
则 ，则 ，
又因为 ，所以 ，
所以 的解析式为： ，
对A， ，故A正确；对B，将 的图象向右平移 个单位，得 的图象，故B错
误；
对C，由三角函数的性质知， ，所以 ，都有 ，故C正确；
对D，由 ，得 ，
所以函数 的单调递减区间为 ，故D正确.
故选：B.
6. 函数 满足 ，且在区间 上， 则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易知函数是以4为一个周期的周期函数， ，结合分段函数表达式求值即可.
【详解】因为 ，所以4是函数 的一个周期，
又因为 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.7. 已知某摩天轮的最高点到地面的距离为 ，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为 ，
每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法来求三角函数解析式，从而问题即可求解.
详解】
【
由题意可设距离地面的高度 与时间 所满足的三角函数关系式为： ，
因为摩天轮的直径为 ，可知 ，
又因为摩天轮的最高点到地面的距离为 ，可知 ，
由每30分钟转动一周，可知 ，
由于从最低点开始计时，即当 时， ，
所以有 ，
则当 时，有 ，
.
故选：C
8. 已知函数 在区间 上单调递增，且在区间 上恰好取得一次最大
值，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数图象及性质，借助相位整体思想分析正弦函数的单调性与最大值，从而可得参数的
范围.
【详解】因为 ，所以 ，
由于 在 递增，
所以 ，
又由 可得： ，
由 在 上恰好取得一次最大值，
则 ，
所以综合上述可得： ，
故选：A.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 对于平面向量 ，下列命题不正确的是（ ）
A. 若向量 与 不相等，则
B. 若 ，则向量C. 若向量 与 不共线，则 与 都是非零向量
D. 若向量 与 共线，向量 与 共线，则向量 与 也共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可；
【详解】对于A，当向量 与 互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确；
对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确；
对于C，由于零向量与任意向量共线，向量 与 不共线，则 与 都是非零向量，该命题正确；
对于D, 与 共线， 与 共线时， 与 也共线，当 时命题不一定成立，该命题不正确，
故选：ABD.
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A.
B.
C. 的图象与 轴的交点坐标为
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象求周期，然后可判断 A；根据正切函数定义域可判断 B；代入验证可判断C；判断关于点 对称，然后由图象的对称变换可判断D.
【详解】对A，由图可知， 的最小正周期 ，则 ，A正确；
对B，由图象可知 时，函数无意义，故 ，
由 ，得 ，即 ，B错误；
对C， ，C正确；
对D，由 ，则 的图象关于点 对称，
由图象对称变换可得函数 的图象关于直线 对称，D正确.
故选：ACD
11. 关于函数 下列说法正确的有（ ）
A.
B. 不等式 的解集是
C. 若方程 有3个实数根，则
D. 若存在实数 满足 ，则 的最小值为7
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式，求出 的值，即可判断A选项；作出分段函数的图像，利用图像可得到不等式 的解集，可判断B选项；结合图像数形结合可得 有3个根的 的取值范围，
可判断C选项；利用余弦函数的对称性得到 ，再求出 的取值范围，利用基本不等式可判断D选
项.
【详解】函数 ，作出图像如图所示，
，故选项A正确；
当 时，若 ，则 ，即 ，解得 或 ，当 时，若
，则 ，即 ，解得 ，
结合 的图像可得，不等式 的解集是 ，故选项B正确；
由函数 可知， 与 的图像有三个不同的交点时， ，故选项C错误；
设存在实数 满足 ，则函数 与 图的像有三个不同
的交点，其中 和 关于 的对称轴 对称，故 ，
当 时， ，故 的取值范围是 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 的最小值为8，故选项D错误.
故选：AB.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知函数f(x)＝2sin 是偶函数，则θ的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数f(x)为偶函数可得 ，结合 ，求出 的值.
【详解】∵函数f(x) 为偶函数，∴ ，
解得：
又 ，
∴当 时， .
故答案为： .
13. ，若 是奇函数， 是偶函数，则 的最
小值_____.
【答案】 ##
【解析】【分析】通过 是奇函数可得 ，通过 是偶函数可得最后结果.
【详解】因为 是奇函数且 ，所以 ，即 ，
又因为 偶函数，
是
所以 ， ，即 ，
又因为 ，所以 的最小值 ，
故答案为： .
14. 若函数 图象的相邻对称轴距离为 ，且 .若存在
，使得不等式 成立，则实数 的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据相邻对称轴距离可求出周期 ，进而求出 ，再根据 求出 ,从而可得函数解析
式，再求出 在 上的最大值，然后解关于 的不等式即可.
【详解】因为函数 图象的相邻对称轴距离为 ，
所以 ，则 ，那么 ，则 .又因为 ，即 .
由于 ， ，所以 ，解得 .
则 .
当 时， .
当 ，即 时， 取得最大值 .
因为存在 ，使得不等式 成立，所以 .
即 ，解得不等式解集为 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为：
四.解答题（共5小题，77分）
15. 在平面直角坐标系 中，角 是第二象限角，且终边与单位圆交于点 .
（1）求实数 及 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ； ；
（2） .
【解析】【分析】（1）由题意列式 即可求解m，再由正切函数定义即可得解；
（2）由 结合诱导公式和齐次式弦化切即可计算得解.
【小问1详解】
由题意可得 ，所以 .
【小问2详解】
由（1）得 ，
所以 .
16. 已知两个非零向量 与 不共线.
（1）若 ，求证： 三点共线；
（2）试确定实数 ，使 和 共线.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；
（2）利用共线定理构造方程组即可解得.
【小问1详解】
由 可得 ；
显然 ，即 共线，
又因为它们有公共点 ，所以可得 三点共线；
【小问2详解】
若 和 共线，且向量 与 不共线，
则存在实数 满足 ，因此 ，
解得 ；
即存在 ，使 和 共线.
17. 已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求函数 的解析式.
（2）将 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 倍，再将所得图象上各点向右平移
个单位长度，得到 的图象，求 图像的对称中心及单调增区间.
【答案】（1）
（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式；（2）利用图象变换求出 ，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
【小问1详解】
由图形可知 ， ，得
过点 ， ，即 ，
，
函数 的解析式
【小问2详解】
将 图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的 倍，
得到 的图象，再将所得图象上各点向右平移 个单位长度，
得到 的图象，
即 ，
由 ，得
所以 的对称中心为 ，
令 ，得 ，所以 的单调递增区间为 .
18. 已知函数 ， ．
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数 在区间 上的最小值和最大值，并求出取得最值时 的值；
（3）求不等式 的解集．
【答案】（1） ；单调递减区间是 ，
（2） ， ； ，
（3）
【解析】
【分析】（1）由 的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；
（2）求出 的范围，再结合余弦函数的性质得最值；
（3）由余弦函数的性质解不等式．
【小问1详解】
的最小正周期 ，
当 ，即 ， 时， 单调递减，
∴ 的单调递减区间是 ， .【小问2详解】
∵ ，则 ，
故 ，
∴ ，此时 ，即 ，
，此时 ，即 ．
【小问3详解】
，即 ，
所以 或 ， ，
即 或 ， ，
所以不等式的解集为 ．
19. 已知函数 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，且经过点
．
（1）求函数 的解析式；
（2）当 ，方程 有解，求实数 的取值范围；
（3）若方程 在区间 上恰有三个实数根 ，且 ，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得 ，求出周期，再利用周期公式可求出 ，然后将点 代入 中可求
出 的值，从而可求出函数解析；
（2）求得 ，则将问题转化为 有解，然后由 求出
的范围，从而可求出实数 的取值范围；
（3）设 ，则将问题转化为方程 在区间上恰有三个实数根 ，然后结合正弦函数
的图象可求出 的范围，从而可求出 ，进而可求出 的取值范围．
【小问1详解】
设 的最小正周期为 ，由题意得 ，得周期 ，
所以 ，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
因为 的图象过点 ，所以 ，得 ，因为 ，所以 ，
故 ．
【小问2详解】
，
即 有解，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ．
【小问3详解】
，设 ，则 ，
由“方程 在区间 上恰有三个实数根 ”，
得“方程 在区间上恰有三个实数根 ”，
则 的图象如下：
即 ，由图得， ， ，
即 ，
综上 ．
【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考
查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程
在区间上恰有三个实数根 ，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属
于较难题.
