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虹ロ区 2022 学年第二学期期中学生学习能力诊断测试
高三数学试卷
考生注意：
1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.
2.本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上
作答一律不得分.
一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在
答题纸的相应位置直接填写结果.
1. 已知集合 ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】由交集运算求解.
【详解】 .
故答案为：
2. 函数 的定义域为________.
【答案】
【解析】
【分析】函数定义域满足 ，解得答案.
【详解】函数 的定义域满足 ，解得 ，即
故答案为：
3. 复数 ， 在复平面上对应的点分别为 ， ，则 ________.
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【答案】 ##-i+3
【解析】
【分析】求出复平面内的点 对应的复数，利用复数的加法法则计算得出答案．
【详解】因为复数 ， 在复平面上对应的点分别为 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故答案为： .
4. 抛物线 上的点 到其焦点的距离为________.
【答案】5
【解析】
【分析】确定抛物线的准线为 ， ，再计算距离即可.
【详解】抛物线 的准线为 ，则 ，故 ，
到焦点的距离等于到准线的距离，为 .
故答案为：
5. 已知 是第二象限的角，且 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】确定 ， ， ，再根据和差公式计算得到答案.
【详解】 ， 是第二象限的角，则 ，
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则 ，
.
故答案为：
6. 某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是________.
【答案】32.5
【解析】
【分析】根据百分位数的定义计算得解.
【详解】由茎叶图知数据小到大排列为： ，
因为 ，
所以第25百分位数是 ，
故答案为：
7. 在 中，已知 ， ， ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理即可求解.
【详解】在 中， ， ， ，
由余弦定理得 ，即 ，解得 或
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（舍），
所以 .
故答案为： .
8. 对于定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则该函数的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求得 ，再结合基本不等式求 时其 的取值范围，再结合
奇函数的性质求 时函数值的范围，由此可得函数值域.
【详解】因为 为 上的奇函数，
所以 ，所以 ，
又当 时， ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，
即当 时， ，
因为 为 上的奇函数，
所以函数 的图象关于原点对称，
所以 时， ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
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9. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.一盘中放有10个外观完全相同的粽子，其中豆沙粽3个，肉粽3个，
白米粽4个，现从盘子任意取出3个，则取到白米粽的个数的数学期望为________.
【答案】 ##1.2
【解析】
【分析】设取到白米粽的个数为随机变量 ，求出对应的概率，利用期望公式求解.
【详解】设取到白米粽的个数为随机变量 ，则 ，
所以 ， ，
， ，
所以
故答案为：
10. 已知 是球 的球面上两点， ， 为该球面上的动点，若三棱锥 体积的最大
值为6，则球 的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】当 平面 时，三棱锥的体积最大，设球 的半径为 ，列方程求解即可.
【详解】如图所示，当 平面 时，三棱锥的体积最大，
设球 的半径为 ，此时 ，
故 ，则球 的表面积为 .
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故答案为： .
11. 过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 ， 两点， 为
的右焦点，若 ，且 ，则双曲线 的方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，则 ， ，解得
，得到 ， ，得到答案.
【详解】如图所示：设双曲线的左焦点为 ，连接 ， ，
，则 ，四边形 为矩形， .
故 ， ，则 ，
，故 ， .
双曲线 的方程为 .
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故答案为：
12. 已知平面向量 ， ， ， 满足 ， ， ， ，且对任意的实数 ，
均有 ，则 的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】作 ， ，建立平面直角坐标系，作 ，作 ，由条件确定点 的轨迹，
由此确定 即 的最小值.
【详解】如图作 ， ，
的
如图，以点 为原点， 为 正方向建立平面直角坐标系，
因为 ， ， ，
所以点 的坐标为 ，点 的坐标为
作 ，设点 的坐标为 ，
因为 ，
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所以 ，所以 ，
所以点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，
因为对任意的实数 ，均有 ，
所以 ，又 ，
所以 恒成立，
所以 ，
所以 ，即 ，
作 ，设点 的坐标为 ，
则 ，即 ，
所以点 在直线 上，
因为 ，
又点 在圆 上一动点，
点 在直线 上一动点，
所以点 到点 的最小距离为点 到点 的距离减去圆的半径 ，
即 ，当且仅当点 为线段 与圆的交点时等号成立，
因为点 到直线 的距离 ，
所以点 到点 的距离大于等于 ，即 ，
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所以 ，
当且仅当 垂直于直线 且点 为线段 与圆的交点时等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为： .
【点睛】本题解决的关键在于建立平面直角坐标系，利用条件结合向
量的坐标运算及性质确定点的轨迹，由此结合直线与圆的性质求解.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题
有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.
13. 已知复数 （ 为虚数单位），则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数运算公式求 的代数形式，再求 及 的值.
【详解】因为 ，
所以 ，
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所以 .
故选：A.
14. 某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为 ，则该同学在
上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，遇绿灯服从二项分布 ，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上
至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】4次均不是绿灯的概率为 ，
3次不是绿灯的概率为 ，
∴至少遇到2次绿灯的概率为 .
故选：D.
15. 对于函数 ，给出下列结论：
（1）函数 的图像关于点 对称；
（2）函数 在区间 上的值域为 ；
（3）将函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数 的图像；
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（4）曲线 在 处的切线的斜率为1.
则所有正确的结论是（ ）
A. （1）（2） B. （2）（3） C. （2）（4） D. （1）（3）
【答案】C
【解析】
【分析】化简函数解析式可得 ，计算当 时， 值，由此判断命题
的
（1），计算 时， 的范围，利用正弦函数性质求函数 的值域，判断命题
（2），根据图象平移结论判断命题（3），利用导数求切线的斜率，判断命题（4）.
【详解】因为 ，
所以 ，
当 时， ，
所以 不是函数 的对称中心，（1）错误；
由 可得 ，所以 ，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
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所以函数 在区间 上的值域为 ，（2）正确；
函数 的图像向左平移 个单位长度得到函数
的图象，（3）错误；
由 可得 ，
所以 ，
曲线 在 处的切线的斜率为1，（4）正确；
所以正确的命题有（2）（4），
故选：C.
16. 在数列 中，若有 （ ， 均为正整数，且 ），就有 ，则称数列 为
“递等数列”.已知数列 满足 ，且 ，将“递等数列” 前 项和记为 ，若
， ， ，则 （ ）
A. 4720 B. 4719 C. 4718 D. 4716
【答案】B
【解析】
【分析】确定 ，得到 ，计算确定数列 为周期为 的周期数列，计算得到答案.
【详解】 ，则 ，则 ，故 ，
， ，故 ，
，故 ， ，
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则 ， ， ，故数列 为周期为 的周期数列，
.
故选：B
三、解答题（本大题共 5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要
的步聚.
17. 记 为数列 的前 项和，已知 ， （ 为正整数）.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，若 ，求正整数 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）计算 ，确定数列 从第2项开始构成以 为首项，2为公比的等比数列，得到
通项公式.
（2）验证 时不成立，当 时，确定 ，代入计算得到 ，解得答案.
【小问1详解】
由 ， ，得 ，
且当 时， ，即 .
故数列 从第2项开始构成以 为首项，2为公比的等比数列， ，
故数列 的通项公式为 ，
【小问2详解】
当 时， ，又 .
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当 时， ，不满足条件；
当 时，
由 ，
解得 .
18. 如图，在圆锥 中， 是底面的直径， 是底面圆周上的一点，且 ， ，
， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）确定 ，根据中点得到 ， 得到 平面 ，得到面
面垂直.
（2）建立空间直角坐标系，得到各点坐标，平面 的一个法向量为 ，
是平面 的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案.
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【小问1详解】
由 是底面的直径，点 是底面圆周上的点，得 .
又因 ， 分别为 ， 的中点，所以 ，故 .
因 是圆锥的轴，所以 底面 ，又 平面 ，故 .
于是 与平面 内的两条相交直线 ， 都垂直，从而 平面 ；
而 平面 ，故由平面与平面垂直的判定定理，得平面 平面 .
【小问2详解】
在圆锥底面，过圆心 作直径 的垂线，交圆周于点 ，则直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则 ， ， ， ， .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
取 ，得 .
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又 是平面 的一个法向量，
故 .
平面 与平面 所成的二面角是锐角，故二面角 的余弦值为 .
19. 电解电容是常见的电子元件之一.检测组在 的温度条件下对电解电容进行质量检测，按检测结果将
其分为次品、正品，其中正品分合格品、优等品两类
（1）铝䈹是组成电解电容必不可少的材料.现检测组在 的温度条件下，对铝箵质量与电解电容质量进
行测试，得到如下 列联表，那么他们是否有 的把握认为电解电容质量与铝䇚质量有关？请说明
理由；
电解电容为次品 电解电容为正品
铝箔 为次品 174 76
铝箔为正品 108 142
（2）电解电容经检验为正品后才能装箱，已知两箱电解电容（每箱50个），第一箱和第二箱中分别有优
等品8件与9件.现用户从两箱中随机挑选出一箱，并从该箱中先后随机抽取两个元件，求在第一次取出的
是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率.附录：
，其中 .
0.05
0.100 0.025 0.010 0.001
0
3.84
2.706 5.024 6.635 10.828
1
【答案】（1）有 的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关，理由见解析
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（2）0.846
【解析】
【分析】（1）计算 ，与临界值比较，得出结论；
（2）根据全概率公式计算 ，再由条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
提出原假设 ：电解电容质量与铝䈹质量无关.
由题意及 列联表，可得
.
由于 ，而 ，
因此，根据检测组的数据，原假设不成立，并且有 的把握认为电解电容质量与铝箔质量有关.
【小问2详解】
设第一次取出的元件是优等品的事件为 ，第二次取出的元件是合格品的事件为 .取出的元件是第一箱、
第二箱的事件分别为 ， .
则由全概率公式，得
，
于是，由条件概率公式，得 .
因此，在第一次取出的是优等品的情况下，第二次取出的是合格品的概率约为0.846.
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20. 已知动点 到点 的距离和它到直线 的距离之比等于 ，动点 的轨迹记为曲线
，过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点.
（1）求曲线 的方程；
（2）若 ，求直线 的方程；
（3）已知 ，直线 ， 分别与直线 相交于 ， 两点，求证：以 为直径的圆
经过点 .
【答案】（1） ；
（2） 或 ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）由条件，列方程化简可得曲线 的方程；
（2）先考虑直线 的斜率为零时，是否满足要求，当斜率不为零时，设直线 的方程为 ，联立
方程组，结合设而不求法列方程求 即可；
（3）利用点斜式表示直线 ， 的方程，分别与 联立，求 ， 的坐标，通过证明
，证明结论.
【小问1详解】
因为动点 到点 的距离和它到直线 的距离之比等于 ，
所以
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所以 ，
化简，得曲线 的方程： .
【小问2详解】
过点 的斜率为 的直线方程为 ，
直线 与椭圆 的交点坐标为 或 ，
因为 ，故 ， ，
所以 ， ，
所以 ，矛盾，
所以可设直线 的方程为 ，
联立 ，
消 ，得 ，
方程 的判别式 ，
设 ， ，
于是 ， ①
由 ，即 ，得 ②
②代入①，解得 ，即 .
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所以，直线 的方程为 或 ；
小问3详解】
【
因点 ，故 ， ，
从而直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ，
由 ，得 .
由 ，得 .
因为
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将①代入上式，得
所以 .
故由“圆的直径所对的圆周角是直角”得：以 为直径的圆经过点 .
【点睛】关键点点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或 )建立一
元二次方程，
然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
21. 设 ， ， .
（1）求函数 ， 的单调区间和极值；
（2）若关于 不等式 在区间 上恒成立，求实数 的值；
（3）若存在直线 ，其与曲线 和 共有3个不同交点 ， ，
，求证： 成等比数列.
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【答案】（1）函数 在 上的增区间为： 与 ；
减区间为： 与 .当 时， 取极小值，极小值为 ，当 时，函数
取极大值，极大值为 ，当 时，函数 取极大值，极大值为 ；
（2） ；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求函数 的导函数，解不等式 可得函数 的单调递增区间，解不等
式 可得
函数 的单调递减区间，解方程 ，由此确定函数的极值点；
（2）令 ，由已知可得 在区间 上恒成立，证明当
时，
函数 单调递增，再判断 时，不满足要求，由此确定 的范围；
（3）利用导数研究函数 ， 的单调性，作出函数的图象，证明曲线 与
有
唯一交点 ，结合图象证明 ，再证明 ， ， ，由此完成证明.
【小问1详解】
由题设，有 ，可得
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令 可得 ，所以 ，
所以函数 在区间 上单调递增；
令 可得 ，解得 ，.
函数 在区间 上单调递增；
令 可得 ，所以 ，
所以，函数 在 上的递增区间为： 与 ；
递减区间为： 与 .
当 时，函数 取极大值，极大值为 ，
当 时，函数 取极小值，极小值为 ，
当 时，函数 取极大值，极大值为 ；
【小问2详解】
关于 不等式 在区间 恒成立，
即： 在区间 上恒成立.
令 ，
则 ，
令
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则 ，
由（1）知： 在 上的极大值为 ，
又 ，
从而 在 上的最大值为1，
即 在 上恒成立.
于是 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增；
从而 ，
当 时， ，当且仅当 时等号成立，
所以 在 上单调递增；
从而 在 上恒成立.
所以，当 时 在 上恒成立.
当 时，存在 ，使得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，与已知矛盾，
综合上述，得： .
【小问3详解】
对于函数 ，令 ，则 .
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从而当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
故当 时， 取最大值，最大值为 .
对于函数 ，令 ，则 .
从而当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减；
故当 时， 取最大值，最大值为 .
因此，函数 与 有相同的最大值.其图像如下图所示.
下面先证明：曲线 与 有唯一交点.
由 ，得 ，即证明方程 有唯一实数根 .
令 ，则 .
所以 在 上恒为负数.
因为当 时， ， ，
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所以曲线 与 在区间 上没有交点.
而在区间 上，函数 单调递减，函数 单调递增，
所以函数 在 上单调递减，
进而函数 在 上单调递减，
由 ， 及零点存在定理得：
函数 在 上存在唯一零点，
从而方程 在 上有唯一实数根 ，且 .
由于直线 与曲线 ， 共有3个不同交点，
故直线 必过点 ，
且 ， ，
由 ，得 ，即 ，
而函数 在 上严格增， ， ，
故 ①
由 ，得 ，
即 ，
而函数 在 上严格减， ， ，
故 ②
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由①，②得 . ③
由 ，得 ，
故有 ④
因此，由③，④得 ，即 成等比数列.
【点睛】关键点点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化
为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数
的单调性、极(最)值问题处理．
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