文档内容
2023 学年度初三年级第一次学生学习能力诊断练习
数学 练习卷
（满分150分，时间100分钟）
注意：
1．本练习卷含三个大题，共25题；
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本练习卷上答题一律无
效；
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如 、 、 为常数, 的函数，叫二次
函数，对照函数的解析式，根据函数的定义逐一判断即可．
【详解】A． 是一次函数，不是二次函数，故选项A不符合题意；
B． 不是二次函数，故选项B不符合题意；
C． 是二次函数，故选项C符合题意；
D． 不是二次函数，故选项D不符合题意．
故选：C．
2. 将抛物线 向左平移4个单位长度，所得到抛物线的表达式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，根据“左加右减，上加下减”的法则解答即可．
【详解】解：将抛物线 向左平移4个单位长度，得到的抛物线是 ．
故选：A．
3. 如图，在 中，已知 ， ， ，那么 的长为（ ）
A. B. C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确理解锐角三角函数的定义是解决问题的关键．先根据
余弦的定义计算出 ，然后利用勾股定理计算出 的长．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
4. 如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动．已知细绳从悬挂点O到球心的长度为50厘米，小球在左、
右两个最高位置时，细绳相应所成的角∠AOB为40°，那么小球在最高位置和最低位置时的高度差为（
）A. 厘米 B. 厘米
C. 厘米 D. 厘米
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，三角函数的基本概念，
当小球在最高位置时，过小球作小球位置最低时细绳的垂线，在构建的直角三角形中，可根据偏转角的度
数和细绳的长度，求出小球最低位置时的铅直高度，进而可求出小球在最高位置与最低位置时的高度差．
【详解】解：如图：过 作 于 ，
中， 厘米， ，
．
（厘米）．
故选：D．
的
5. 如图，点G是 重心， 交 于点E．如果 ，那么 的长为（ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是重心的概念和性质、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的重心是三角形三条中
线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．连接 并延长交 于
D，根据点G是 的重心，得到 ， ，根据相似三角形的判定和性质
即可得到结论．
【详解】解：连接 并延长交 于D，
∵点G是 的重心，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
故选：B．
6. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边
对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可．
【详解】解：设每个小正方形的边长为1，
则已知四边形的四条边分别为1， ，2， ．
选项 中的四边形的四条边分别为 ，2，2， ，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意；
选项 中的四边形的四条边分别为2， ， ，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项 中
的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项 中的四边形的四条边分别为2， ， ，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项 中
的四边形与已知四边形不相似，不符合题意；
选项 中的四边形的四条边分别为2， ，4， ，两个四边形的四条边对应成比例．
将已知四边形表示为四边形 ，将选项 中的四边形表示为 ．如图，连接 、 ，则 ， ．
在 与 中，
，
，
， ， ．
在 与 中，
，
，
， ， ，
， ， ， ，
又 ，
四边形 四边形 ．
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 已知 ，那么 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例 的性质，表示出y是解题的关键．先用x表示出y，再代入比例式进行计算即可得
解．【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
8. 如果向量 、 和 满足 ，那么 ____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案．
【详解】解： ，
∴ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
9. 已知抛物线 开口向下，那么a的取值范围是____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数 决定抛物线的开口方向和大小．当
时，抛物线开口向上；当 时，抛物线开口向下．根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二
次项系数 ．
【详解】解： 抛物线 的开口向下，，解得， ．
故答案为： ．
10. 如果点 在抛物线 上，那么m的值是____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据次函数图象上点的坐标满足二次函数解析式，把
点 代入 即可求出 ．
【详解】解： 点 在抛物线 上，
，
解得 ，
故答案为：0．
11. 将抛物线y＝2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是
_____．
【答案】y＝2（x+3）2+1
【解析】
【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y＝2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y＝2（x+3）
2+1．
故答案为y＝2（x+3）2+1
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后
的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出
解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
12. 已知点 和 都在抛物线 上，那么 和 的大小关系为 ____
（填“ ”或“ ”或“ ”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据图象上点的坐标适合解析式将点 ， 坐标代入解析式求解．
【详解】解：将 ， 代入 得 ， ，
．
故答案为： ．
13. 已知抛物线 如图所示，那么点 在第____象限．
【答案】二
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴位置确定 的符号，抛物线与
轴的交点确定 的符号，即可确定点 所在的象限．
【详解】解：由抛物线的图象得， ， ，
，
在第二象限．
故答案为：二．
14. 一个三角形框架模型的边长分别为3分米、4分米和5分米，木工要以一根长6分米的木条为一边，做
与模型相似的三角形，那么做出的三角形中，面积最大的是____平方分米．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的性质，勾股定理的逆定理，由相似三角形的判定：三组对应边的比相等的
两个三角形相似求出三角形最大的三边，根据勾股定理的逆定理判断新三角形是直角三角形，根据三角形
的面积公式计算即可．
【详解】解：当长是6分米的木条与三角形框架模型的边长最短的3分米一条边是对应边时，做出的三角
形的三边最大，面积最大，设长是4分米，5分米的边的对应边的长分别是 分米， 分米，
，
， ，
其他两条边的长分别是8分米，10分米，
，
做出的三角形是直角三角形，直角边分别是6分米，8分米，
做出的三角形的面积为 （平方分米）．
故答案为：24．
15. 如图，已知 ， ， ， ，那么用 表示 ____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质，连接 ，交 于点G，先根据
求得 ， ， ，根据相似三角形的性质可得
， ，即可得出 ，由此即可得．
【详解】解：连接 ，交 于点G，∵ ， ，
∴ ， ， ，
， ，
∴ ， ，
，
∴
∴
，
故答案为： ．
16. 如图，在平行四边形 中，点 是 上的点， ，直线 与 相交于点 ，交
的延长线于点 ，若 ，则 的值为________．【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例，设 ，则 ， ，根
据平行四边形的性质可得 ， ， ，根据平行线分线段成比例即可解决
问题．
【详解】解：设 ，
由 ，则 ， ，
四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
17. 定义：如果以一条线段为对角线作正方形，那么称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，
图①中正方形 即为线段 的“对角线正方形”．如图②，在 中， ，
， ，点P在边 上，如果线段 的“对角线正方形”有两边同时落在 的边上，
那么 的长是____．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是
解题的关键．根据正方形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：当线段 的“对角线正方形”有两边同时落在 的边上时，设正方形的边长为x，则
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，∴ ， ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 如图，在 中， ， ，点M在边 上， ，点 是射线 上一
动点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，联结 ，如果 ，那么
的长是____．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形折叠与解直角三角形，过 M点作 ， ，
垂 足 分 别 为 、 、 ， 由 ， ， 求 出 ， ，
， ，得出 、 、 三点在同一直线上，进而可得
，再求出 ，由 解题．
【详解】解：过M点作 ， ， 垂足分别为 、 、 ，设 ，
∵ ，
∴
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，∴ ，即 与 点重合，
∴ 、 、 三点在同一直线上，
∴ ，
由折叠可知： ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为6
【点睛】本题涉及了解三角形、折叠性质、等腰三角形性质、勾股定理等，解题关键是通过计算点M到
的距离等于 得出 、 、 三点在同一直线上．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案．
【详解】解：．
【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值．
20. 画二次函数 的图像时，在“列表”的步骤中，小明列出如下表格（不完整）．请补全表
格，并求该二次函数的解析式．
x … 0 2 4 5 …
y … 4 …
【答案】见解析，
【解析】
【分析】此题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，求二次函数的值，熟练掌握待定系数法求二次
函数的解析式是解决问题的关键．由表格中的对应值得当 时， ，当 时， ，然后
将其代入二次函数 中求出a，b的值可得该二次函数的解析式，然后再分别求出当 时，
时对应的y的值即可．
【详解】解：由表格中的对应值可知：当 时， ，当 时， ，
∴ ，
解得： ，
∴该二次函数的解析式为： ，
∴当 时， ，当 时， ，
填表如下：
x … 0 2 4 5 …
y … 0 4 0 …21. 如图①是某款智能磁吸键盘，如图②是平板吸附在该款设备上的照片，图③是图②的示意图．已知
， ， ．当 与 形成的 为 时，求 的长．（参考
数据： ， ， ； ， ， ）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过 作 于 ，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过 作 于 ，
在 中， ， ，
， ，
在 中， ，
，
，
，，
答： 的长为 ．
在
22. 如图①，已知线段a、b和 ．如图②，小明 射线 上顺次截取 ， ，在
射线 上顺次截取 ， ．连接 、 和 ， ， ．
（1）求 的长；
（2）小明继续作图，如图③，分别以点B、D为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧分别相交于点
、 ，连接 ，分别交 、 于点 、 ．如果 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及基本作图.
（1）由两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似证明 ，在相似三角形性质即可求解；
（2）在 由勾股定理求出 ，再根据作法可知 是 的垂直平分线，证
明 ，由相似三角形性质即可求解.
【小问1详解】
解：∵ ， ， ，∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∴ ，
【小问2详解】
∵ ， ， ，
∴ ，
由作法可知， 是 的垂直平分线，即 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴
23. 如图，在 中，已知点D、E分别在边 上， 和 相交于点F，
， ．（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定
理是解题的关键．
（1）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由（1）知， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
取 的中点G，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由（1）知， ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中．已知抛物线 经过点 ，与y轴交于点C，连
接 交该抛物线的对称轴于点 ．
（1）求m的值和点E的坐标；
（2）点M是抛物线的对称轴上一点且在直线 的上方．
①连接 、 ，如果 ，求点M的坐标；
②点 是抛物线上一点，连接 ，当直线 垂直平分 时，求点 的坐标．
【答案】（1） ，点
（2）①点 ， ，②点 ，
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，求出 ，求出抛物线的对称轴，在用待定系数法求出直线 的解析式，可得点 的坐标．
（2）①设 ，证明 ，得到 ，利用勾股定理得出 ， ， 的
长，列方程求 ，可求 的坐标．
②连接 ，求出 ， 的纵坐标为 ，在代入二次函数解析式求横坐标．
【小问1详解】
解： 抛物线 经过点 ，
，
解得 ，
，抛物线的解析式为 ，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
设直线 的解析式为 ，
，
，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ；
【小问2详解】
①如图，设 ，， ， ，
，
，
，
， ，
，
，
，
，
（不合题意舍去）， ．
点 的坐标为 ， ；
②连接 ．， ，
，
，
直线 垂直平分 ，
， ，
．
∵点 的纵坐标为 ，
点 的纵坐标为 ，
，
，
，不合题意舍去． ．
所以点 的坐标为 ， ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和应用，待定系数法求一次函式的解析式，相似三角形的判定和性质，
垂直平分线的性质，关键是二次函数和三角形知识的综合运用．
25. 如图①，在 中， ， ，点D在边 的延长线上，连接 ，点
在线段 上， ．（1）求证： ；
（2）点F在边 的延长线上， 与 的延长线交于点M（如图②）．
①如果 ，且 是以 为腰的等腰三角形，求 的值；
②如果 ， ， ，求AF的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）① 或2；②
【解析】
【分析】（1）证明 ，从而得出 ，进而得出 ；
（2）①由两种情形：当 时，可推出 ，可设 ， ， ，则
， 中勾股定理得： ，从而 ，进而得出 ，
在
，从而求得 ；当 时，根据 得出 ，
从而 ，进一步得出结果；
②根据（1）可设 ， ，设 ， ， ，先由条件 ，
确定 ，进而表示出 和 ，作 ，交 的延长线于点 ，设 与 的交点为，可得出 ，从而 ，从而得出 ，可证得 ，
从而得出 ， ，从而表示出 ， ，进而
得出 ，根据 得出 ，进而根据 列出方程
，从而求得 的值，进一步得出结果．
【小问1详解】
证明： ， ，
，
，
；
【小问2详解】
解：①当 时，
由（1）知： ，
，
设 ， ， ，则 ，
则 中， ， ， ，
由勾股定理得： ，
，
，，
，
，
，
当 时，
由（1）知： ，
，
，
，
，
，
，
综上所述： 或2；
②如图，
由（1）知： ，
，
，设 ， ，设 ， ， ，
，
在 中，
由勾股定理得， ，
，
， （舍去），
， ， ，
，
由（1）知： ，
，
，
，
，
，
，
作 ，交 的延长线于点 ，设 与 的交点为 ，
， ，
，
，
，，
， ，
， ，
，
，
，
由 得，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问
题的关键是作辅助线，构造相似三角形．
