精品解析：上海市虹口区2022-2023学年九年级上学期期中数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_九年级_上学期_2：期中

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2022-2023 学年上海市虹口区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（共 6题，每题 4分，满分 24分）． 1. 下列各组中的四条线段（单位：厘米）成比例线段的是（ ） A. 1、2、3、4 B. 2、3、4、5 C. 4、5、5、6 D. 1、2、10、20 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答 案． 【详解】解：A、4123，故本选项不符合题意； B、2534，故本选项不符合题意； C、4655，故本选项不符合题意； D、120210，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，熟练掌握对于给定的四条线段 ，如果其中两条线段的长度之 比等于另外两条线段的长度之比，则这四条线段叫做成比例线段是解题的关键． 2. 甲、乙两地的实际距离是20千米，在比例尺为1：500000的地图上甲乙两地的距离（ ） A. 40cm B. 400cm C. 0.4cm D. 4cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据实际距离×比例尺＝图上距离，代入数据计算即可． 1 【详解】20千米＝2000000厘米，2000000× ＝4（cm）．故选D． 500000 【点睛】本题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题． 3. 已知 ABC与 DEF 相似，又A40，B=60，那么D不可能是（ ）   A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形的内角和定理即可求出∠C，然后根据相似三角形的性质和对应情况分类讨论即可得 出∠D可能的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵ ABC中，A40，B=60  ∴∠C=180°－∠A－∠B=80° 第 1 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵ ABC与 DEF 相似   ∴∠D=∠A=40°或∠D=∠B=60°或∠D=∠C=80° ∴D不可能是100° 故选：D． 【点睛】此题考查的是相似三角形的性质和三角形内角和定理，根据相似三角形的性质分类讨论是解题关 键． 4. 如图，在6×6的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点A、B，如果线段AB与网格线的其中两个交 点为M、N，那么AM:MN:NB的值是（ ） A. 3:5:4 B. 3:6:5 C. 1:3:2 D. 1:4:2 【答案】C 【解析】 【分析】过A点沿网格线作AE⊥BE，交于点E，C,D为两个格点，联结MC、ND，根据已知条件得出 MC∥ND∥BE，再根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：如图，过A点作AE⊥BE，交于点E，C,D为两个格点，联结MC、ND， ∵正方形网格中均为小正方形，AE⊥MC, AE⊥ND, ∴MC∥ND∥BE， ∴AM：MN：NB=AC：CD：DE=1：3：2， 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例，作出辅助线，找准对应关系是解决本题的关键． 第 2 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 5. 下列说法正确的是（ ） r r     A. a(a)0 B. 如果a和b都是单位向量，那么a b      1     C. 如果|a||b |，那么a b D. a  b （b 为非零向量），那么a//b 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量，单位向量，平行向量的概念，性质及向量的运算逐个进行判断即可得出答案. r r 【详解】解：A、a(a)等于0向量，而不是0，故A选项错误；   B、如果a和b都是单位向量，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故B选项错误；   C、如果|a||b |，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，故C选项错误；  1     D、如果a b （b 为非零向量），可得到两个向量是共线向量，可得到a//b ，故D选项正确. 2 故选：D. 【点睛】本题考查向量的性质及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量 的加减结果都是一个向量. 6. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD＝∠B，那么下列判断中，不正确 的是（ ） A. △ADE∽△ABC B. △CDE∽△BCD C. △ADE∽△ACD D. △ADE∽△DBC 【答案】D 【解析】 【分析】若是两个三角形中两组角对应相等，那么这两个三角形相似，根据此判定作判断即可． 【详解】∵点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC，故A正确，不符合题意； ∵DE∥BC， ∴∠BCD=∠EDC， 第 3 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD，故B正确，不符合题意； ∵∠ACD=∠B，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∴△ADE∽△ACD，故C正确，不符合题意； △ADE与△DBC不一定相似，故D不正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，要熟记这些判定定理才能灵活运用． 二、填空题（本大题共 12题，每题 4分，满分 48 分） a 7. 已知3a2b(b0)，那么 ___________． b 2 【答案】 3 【解析】 【分析】根据等式的性质求解即可． a 2 【详解】解：根据等式性质2，等式的两边同除以3b，则  ． b 3 2 故答案为： ． 3 【点睛】本题考查了等式的性质，等式两边同时加上(或减去)同一个整式，等式仍然成立；等式两边同时乘 或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．    1  8. 计算：2(ab)3(a b)＝__________________． 3   【答案】﹣a﹣3b 【解析】 【分析】根据向量的计算法则求解即可．首先去括号，再将同一向量的系数相加减即可求得答案．    1  【详解】解：2(ab)3(a b) 3     ＝2a﹣2b ﹣3a﹣b   ＝﹣a﹣3b ．   故答案为：﹣a﹣3b ． 【点睛】此题考查了向量的运算．题目比较简单，先去括号，再加减运算即可． 9. 两个相似三角形的面积比为4：9，那么它们对应中线的比为______． 第 4 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】2：3． 【解析】 【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可； 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为4：9， 4 2 ∴它们对应中线的比  ． 9 3 故答案为：2：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键. 10. 设点P是线段AB的黄金分割点(APBP)，AB 2厘米，那么线段BP的长是___________厘米． 【答案】( 51)##(1 5) 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义可知BP2  ABAP，由此列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：  点P是线段AB的黄金分割点，AP BP， BP2  ABAP，即BP2  ABABBP ， 令BP x，则x2 22x 即x2 2x40，  22 414200， 2 22 414 2 22 414 x   51，x  1 5（舍） 1 2 2 2 线段BP的长是( 51)厘米． 故答案为：( 51)． 【点睛】本题考查黄金分割点、解一元二次方程，根据黄金分割点的定义列出一元二次方程是解题的关键． 3 11. 已知 ABC中，C 90，cosA ，AC 6，那么AB的长是 ___________．  5 【答案】10 【解析】 【分析】根据余弦的定义：即邻边与斜边的比，进行解答即可． 【详解】在Rt ABC 中，  AC 3  cosA  ，AC 6， AB 5 第 5 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) AB10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟知余弦的定义是解本题的关键． 12. 如图，已知直线a//b//c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC 3， CE 5，DF 4，那么BD______． 12 【答案】 5 【解析】 AC BD 【分析】由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理,即可得  ,又由AC＝3，CE＝5，DF＝4， CE DF 即可求得BD的长. 【详解】解：由直线a∥b∥c,根据平行线分线段成比例定理, AC BD 即可得  CE DF , 又由AC＝3，CE＝5，DF＝4 3 BD 可得：  5 4 12 解得：BD= . 5 12 故答案为 . 5 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理.题目比较简单,解题的关键是注意数形结合思想的应用. AE 3 AE 13. 如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，如果 ＝ ，那么 ＝________________． EC 4 AB 4 【答案】 7 【解析】 第 6 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) DE CE 【分析】由DE∥AB可得  ，进而结合题干中的条件得到AE＝DE，即可求解． AB AC 【详解】解：∵DE∥AB， ∴ CDE ~ CBA，   DE CE ∴  ， AB AC AE 3 又∵ ＝ ， EC 4 DE CE 4 ∴  ＝ ， AB AC 7 又∵AD为△ABC的角平分线，DE∥AB， ∴∠ADE＝∠BAD＝∠DAE， ∴AE＝DE， AE DE CE 4 ∴   ＝ ， AB AB AC 7 4 故答案为： ． 7 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、角平分线的定义；熟练掌握相似三角形的判定与性质 是解决问题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中有一点P6,8 ，那么OP与x轴的正半轴的夹角的余弦值为________． 3 【答案】 5 【解析】 【分析】分解点P的坐标，求得OP的长，根据三角函数的定义计算即可 【详解】过点P作PA⊥x轴，垂足为A， 第 7 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵P（6，8） ∴OA=6，PA=8， ∴OP= AO2 PA2  62 82 =10， OA 6 3 ∴cosα=  = ; OP 10 5 3 故答案为： ． 5 【点睛】本题考查了点的坐标的意义，勾股定理，三角函数，正确分解坐标，构造直角三角形是运用勾股 定理和求三角函数的关键． 15. 如图，在平行四边形ABCD中，BD是对角线，点E在边AD上，CE与BD相交于点F ，已知 EF:FC 3:4，BC 8，那么AE ___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得DE∥BC ，从而得到△DEF∽△BCF ，根据相似三角形的性质可 得DE6，进而得出AE的长． 【详解】  四边形ABCD是平行四边形， DE∥BC ，AD BC 8，  DEF∽ BCF ，   DE EF 3    ， BC FC 4 DE 6， AE ADDE862， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质得出DE 的长度是解本题的关键． 16. 如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，S ＝9，S ＝16，则△AOB的 △AOD △BOC 面积为 ___． 第 8 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】12 【解析】 AO S 3 【分析】由题意易证△AOD∽△COB，然后可得  AOD  ，进而根据同底等高三角形的面积关 OC S 4 BOC 系可求解． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴△AOD∽△COB， ∵S ＝9，S ＝16， △AOD △BOC AO S 3 ∴  AOD  ， OC S 4 BOC ∵△AOB与△BOC的高相同， 3 ∴𝑆 △𝐴𝑂𝐵= 𝑆 △𝐵𝑂𝐶=12， 4 故答案为12． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 17. 如图，已知花丛中的电线杆AB上有一盏路灯A．灯光下，小明在点C处时，测得他的影长CD＝3 米，他沿BC方向行走到点E处时，CE＝2米，测得他的影长EF＝4米，如果小明的身高为1.6米，那么 电线杆AB的高度等于_____米． 24 【答案】 5 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定,由AB//CG得三角形相似，利用相似比即可解答. 第 9 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】 根据AB//CG得△ABD∽△GCD， AB BD AB BC3 即  ，即  ， GC CD 1.6 3 同理可得△ABF∽△HEF， AB BF AB BC6 即  ，即  ， HE EF 1.6 4 AB BC3 AB BC6 24 根据  和  得AB= . 1.6 3 1.6 4 5 【点睛】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三 角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 18. 如图，将矩形ABCD绕点A按逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B′C交CD边于点G，如果当 CC AB′＝B′G时量得AD＝7，CG＝4，连接BB′、CC′，那么 ＝_____． BB 74 【答案】 5 【解析】 【分析】先连接 AC，AG，AC'，构造直角三角形以及相似三角形，根据△ABB'∽△ACC'，可得到 CC AC  ，设AB=AB'=x，则AG= 2 x，DG=x-4，Rt△ADG中，根据勾股定理可得方程72+（x-4）2= BB AB （ 2 x）2，求得AB的长以及AC的长，即可得到所求的比值． 【详解】解：如图，连接AC，AG，AC'， 第 10 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 由旋转可得，AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAB'＝∠CAC'， AB AB ∴  ， AC AC ∴△ABB'∽△ACC'， CC AC ∴  ， BB AB ∵AB'＝B'G，∠AB'G＝∠ABC＝90°， ∴△AB'G是等腰直角三角形， ∴AG＝ 2 AB'， 设AB＝AB'＝x，则AG＝ 2 x，DG＝x﹣4， ∵Rt△ADG中，AD2+DG2＝AG2， ∴72+（x﹣4）2＝（ 2 x）2， 解得x ＝5，x ＝﹣13（舍去）， 1 2 ∴AB＝5， ∴Rt△ABC中，AC＝ AB2 BC2  52 72  74 ， CC AC 74 ∴   ， BB AB 5 74 故答案为 ． 5 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程 以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及相似三角形，依据直角三角 形的勾股定理列方程求解，从而得出矩形的宽，这也是本题的难点所在． 三、解答题（本大题共 7题，满分 78分） 第 11 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) a b c 19. 已知： ＝ ＝ ≠0，且a+b+c＝36，求a、b、c的值． 2 3 4 【答案】a＝8，b＝12，c＝16 【解析】 a b c 【分析】可设 ＝ ＝ ＝k（k≠0），可得a＝3k，b＝4k，c＝5k，再根据a+b+c＝36可得关于k的方 2 3 4 程，解方程求出k，进一步求得a、b、c的值． a b c 【详解】解：设 ＝ ＝ ＝k≠0，则a＝2k，b＝3k，c＝4k， 2 3 4 ∵a+b+c＝36， ∴2k+3k+4k＝36， 解得k＝4， 则a＝2k＝8，b＝3k＝12，c＝4k＝16． 【点睛】此题考查了比例的性质，设k法得到关于k的方程是解题的关键． 2 20. 如图，已知梯形ABCD中，AB//CD，对角线AC、BD相交于点O，CO AC． 5 CD （1）求 的值； AB uuur r uuur r    （2）若AC a,BC b，用向量a与b表示DC ． CD 2  2  2  【答案】（1）  ；（2）DC  a b AB 3 3 3 【解析】 【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；       2  （2）根据AB ACCB，AC a ，BC b ,可得ABa  b 再根据DC= AB，即可求出DC ． 3 2 【详解】解：（1）∵CO= AC， 5 ∴CO：OA=2：3， ∵CD∥AB， CD OC 2 ∴   ． AB OA 3     （2）∵AB ACCB，AC a ，BC b ， 第 12 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )   ∴ABa  b 2 ∵DC= AB， 3  2  2  ∴DC  a b ． 3 3 【点睛】本题考查平面向量、梯形的性质、平行线的性质、三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基 本知识，属于中考常考题型． 21. 如图，在ABC中，AC、BC边上的中线BE、AD交于点F ，且ADBE，AC=20，AD=12. （1）求BE 的长. （2）求ABE 的余弦值. 3 【答案】（1）BE 的长为18；（2）ABE 的余弦值为 13. 13 【解析】 2 【分析】由BE、AD是AC、BC的中线，根据重心的性质可得AF= AD，BE=2EF，即可求出AF的长， 3 利用勾股定理可求出EF的长，进而求出BF的长，利用BE=BF+EF即可得答案；（2）利用勾股定理可求 出AB的长，根据余弦的定义即可得答案. 【详解】（1）∵中线BE、AD交于点F ∴点F 是ABC的重心， 2 ∴AF= AD，BE=2EF， 3 ∵AD=12， ∴AF=8， ∴DF=AD-AF=12-8=4， ∵BE是边AC的中线， 1 ∴AE  AC 10， 2 ∵AD⊥BE， ∴EF= AE2 AF2 = 102 82 =6， 第 13 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴BF=2EF=12， ∴BE=BF+EF=18. （2）在RtABF 中，AFB90， ∴AB AF2 BF2 4 13 BF 3 ∴cosABE   13 AB 13 【点睛】本题考查三角形重心的性质及三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交点，重心到 顶点的距离是重心到对边中点的距离的2倍；在直角三角形中，正弦是锐角的对边与斜边的比值；余弦是 邻边与斜边的比值；正切是对边与邻边的比值；余切是邻边与对边的比值；熟练掌握三角形重心的性质是 解题关键. 22. 如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点 F． （1）求证：AF2=EF•FG； 3 8 BE （2）如果EF= ，FG= ，求 的值． 2 3 EC BE 【答案】（1）详见解析；（2） =3． EC 【解析】 【分析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形可得 AB∥DC，AD∥BC，从而可得△GDF∽△ABF， FD FG AF FD FG AF △AFD∽△EFB，则有 = ，  ，就有  ，即AF2=EF•FG． FB FA EF FB FA EF （2）根据比例的性质解答即可． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AD∥BC， ∴△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB， FD FG AF FD ∴ = ，  ， FB FA EF FB FG AF ∴  ， FA EF ∴AF2=EF•FG； 第 14 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）∵△GDF∽△ABF，AFD∽△EFB， 3 8 ∵由（1）得出AF2=EF•FG=  =4， 2 3 ∴AF=2， 3 BE EF 3 ∴ = = 2 = ， AD AF 4 2 BE 3 ∴ = =3． EC 43 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、等量代换等知识，把证明 FG AF FD FG AF FD  转化为证明 = ，  是解决本题的关键． FA EF FB FA EF FB 23. 如图，已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，CD⊥BD． （1）求证：VAOD: VBOC； 2 （2）若sinABO ，S ＝4，求S 的值． △AOD △BOC 3 【答案】（1）见解析； （2）9． 【解析】 AO BO AO DO 【分析】（1）可证明VAOB: VDOC，可得到  ，从而  ，即可求证； DO CO BO CO 2 AO 2 （2）利用sinABO ，可得  ，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 3 BO 3 【详解】（1）证明：  AB⊥AC，CD⊥BD，  BAC BDC 90 ，  AOBCOD ， VAOB: VDOC ， AO BO   ， DO CO AO DO   ， BO CO 又  AODCOB， VAOD: VBOC ； 第 15 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 （2）解：在Rt AOB 中，sinABO ，  3 AO 2   ， BO 3  VAOD: VBOC， 2 2 S  AO 2 4  AOD        ， S  BO 3 9 BOC S △AOD ＝4， S 9 ． △BOC 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及三角函数的定义，解题的关键是要注意相似三角形的 面积比等于相似比的平方，有两角对应相等的三角形相似与有两边对应成比例且夹角相等三角形相似的性 质的应用． 24. 如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAE＝∠BAC． （1）求证：△DAF∽△CAE． DF CE （2）求证： ＝ ． DE CB 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明△EAF∽△EAB，得∠AEF＝∠B，再利用三角形内角和定理知∠D＝∠C，从而证明结 论； AD DF ED DA （2）先证明△DAE∽△CAB，再根据△DAF∽△CAE，从而可得  ，  ，等量代换即 AC EC BC AC 可． 【小问1详解】 证明： AE2＝AF•AB， EA FA ∴  ， BA AE ∴∠EAF＝∠BAE， 第 16 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴△EAF∽△BAE， ∴∠AEF＝∠B， 又∵∠DAE＝∠BAC， ∴∠D＝∠C， 又∵∠DAF＝∠CAE， ∴△DAF∽△CAE； 【小问2详解】 ∵∠DAE＝∠BAC，∠D＝∠C， ∴△DAE∽△CAB， ED DA ∴  ， BC AC ∵△DAF∽△CAE， AD DF ∴  ， AC EC DE DF ∴  ， BC EC DF CE ∴  ． DE CB 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判 定与性质是解题的关键． 25. 如图，在矩形ABCD中，AB 4，BC 5，P是射线BC上的一个动点，作PE  AP，PE交射 线DC 于点E，射线AE交射线BC于点F ，设BP x，CF  y． 4 （1）当sinAPB 时，求CE的长； 5 （2）如图，当点P在边BC上时（点P与点B、C不重合），求y关于x的函数关系式，并写出它的定义 域； PE 1 （3）当  时，求CF 的长． AP 2 3 【答案】（1）CE  2 第 17 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 25x5x2 （2）y (0x5) x2 5x16 7 （3）3或 3 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质和垂直的性质即可证明△PCE∽△ABP，再由相似三角形对应边成比例即可求 得CE的长； （2）根据EC∥AB，求得△ECF∽△ABF ，得出FC:FB EC:AB，再利用（1）中相似三角形的性 质即可证明CE:BP PC:AB，从而求得y关于x的函数关系式； PC CE PE 1 （3）根据△PCE∽△ABP，得出    ，求得PC 2，然后再份情况讨论，从而求得CF AB BP AP 2 的长． 【小问1详解】 解：  四边形ABCD是矩形， B90， 4 在RtAPB中，AB 4，sinAPB ， 5 AB 4 sinAPB  ， AP 5 AP5， PB AP2 AB2  52 42 3， PC BCPB532， QPE  AP， APE 90， CPEAPB90， BAPAPB90，  CPEBAP， ECPB90，  △PCE∽△ABP， CE PC   ， BP AB CE 2 即  ， 3 4 3 解得：CE  ； 2 【小问2详解】 第 18 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 解：  四边形ABCD是矩形， ∴EC∥AB， △ECF∽△ABF， CF CE   ， BF AB y CE 即  ， 5 y 4 4y 解得：CE ， 5 y △PCE∽△ABP，  CE PC   ， BP AB CE 5x 即  ， x 4 x(5x) 解得：CE ， 4 4y x(5x)   ， 5 y 4 25x5x2 整理得：y (0x5)． x2 5x16 25x5x2 即y关于x的函数关系式为y (0x5)； x2 5x16 【小问3详解】 解：①当点P在线段BC上时，E在线段CD上， △PCE∽△ABP，  PC CE PE 1     ， AB BP AP 2 1 1 PC  AB2，CE  BP， 2 2 BPBCPC 523， 3 CE  ， 2 ∵AB∥CD， △CEF∽△BAF ， CF CE   ， BF AB 3 即 CF 2 ，  5CF 4 解得：CF 3； 第 19 页 共 20 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ②当P在BC的延长线上时，如图： EPCBPA90，BPABAP90，  EPC BAP， BPCE，  △ABP∽△PCE， PC CE PE 1     ， AB BP AP 2 1 1 PC  AB2，CE  BP， 2 2 1 7 BPBCPC 7，CE BP ， 2 2 AFBCFE，BFCE，  △ABF∽△ECF， AB BF   ， EC CF 4 5CF   7 CF ， 2 7 解得：CF  ； 3 7 综上所述，CF 的长为3或 ． 3 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义、勾 股定理以及分类讨论等知识．本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于 中考常考题型． 第 20 页 共 20 页