精品解析：上海市罗南中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_上学期_1：月考

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 罗南中学 2023 学年第一学期八年级数学 练习 1 一、填空题（每题 3分，满分 36分） P1,2 Q2,3 PQ 1. 在平面直角坐标平面内，已知 、 ，则 ______. 【答案】 2 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式进行计算，即A（x，y）和B（a，b），则AB= (xa)2 (yb)2 进行计 算． 【详解】∵P1,2 、Q2,3 ， ∴PQ= (-1+2)2(2-3)2= 2， 故答案为 2 ． 【点睛】此题考查坐标平面内两点间的距离公式，解题关键在于能够熟练运用公式进行计算． 2. 在RtABC中，C 90，AB13，AC 5，BC ______. 【答案】12 【解析】 【分析】根据勾股定理进行计算即可. 【详解】在RtABC中，∠C=90°，C 90， AB13，AC 5， 则BC= AB2 AC2 12， 故答案为12． 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键在于画出图形. 3. 在RtABC中，若斜边AB的长度为6cm，则AB上的中线的长为______. 【答案】3cm 【解析】 【分析】直接根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】∵在Rt△ABC中，斜边AB的长为6cm， 1 ∴斜边AB上的中线为 AB=3cm． 2 故答案为3． 第 1 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】此题考查直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题 的关键． 4. 在RtABC中，若ÐB=90°，AC 10cm，AB 5cm，则A______°. 【答案】60 【解析】 【分析】根据勾股定理求出BC的长度，然后求出∠A的度数． 【详解】在Rt△ABC中， ∵∠B=90°，AC=10，AB=5， ∴BC= 10252 5 3， 1 即AB= AC， 2 ∴∠A=60°． 故选答案为60． 【点睛】此题考查含30度角的直角三角形，勾股定理，解题的关键是根据勾股定理求出BC的长度． 5. 定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：______ 【答案】到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：到线段两端的距离相等的点 在线段的垂直平分线上． 故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质的逆定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质的逆 定理． 6. 到点P的距离等于3cm的点的轨迹是________． 【答案】以P为圆心，以3cm为半径的圆 【解析】 【分析】根据到定点的距离等于定长的点都在圆上，反过来圆上各点到定点的距离等于定长，得出结论到 点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以4cm为半径的圆． 【详解】解：到点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以3cm为半径的圆． 故答案为：以P为圆心，以3cm为半径的圆． 【点睛】本题考查了学生的理解能力,理解到点P的距离等于3cm的点的轨迹是以P为圆心，以3cm为半 第 2 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 径的圆是解题的关键． 7. ABC中，B，C的平分线交于点O，如果点O到BC边的距离为5，则点O到AB边的距离为 ______. 【答案】5 【解析】 【分析】根据角平分线的性质解答即可． 【详解】∵△ABC中，∠B，∠C的平分线交于点O， ∴点O到AB边的距离=点O到BC边的距离=5， 故答案为5 【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 8. 在Rt△ABC 中，若ACB90，CD AB于D，ACD30，AD2，则AB__________． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据直角三角形两锐角互余计算出A，B，再根据含30度角的直角三角形的性质求解． 【详解】解：如图所示，  在  ACD中， CD AB，ACD30，AD2， A90ACD60，AC 2AD4， 又  在Rt△ABC 中，ACB90， B90A30，  AB2AC 8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握含30 度角的直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半． 9. 在ABC中，AB AC，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，若ABE的周长为10， BC 6，则AC=______. 第 3 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】4 【解析】 【分析】由△ABE的周长为10，BC=6，可得AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=10，推出AB=AC=4； 【详解】∵AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E， ∴EA=EC， ∵△ABE的周长为10，BC=6， ∴AB+BE+AE=AB+BE+EC=AB+BC=10， ∴AB=AC=4， 故答案为4. 【点睛】此题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问 题． 10. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，连接AD， 若DE=2cm，则BC=______cm 【答案】12 【解析】 【分析】作AFBC ，由线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质可得AC，再根据勾股定理即可求 解； 【详解】解：如图，作AFBC ， 第 4 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴BC 30， ∵DE垂直平分AC， ∴DEAC， ∵DE=2（cm）， ∴CD2DE 4cm， ∴EC  CD2 DE2  42 22 2 3cm， ∵AE  EC ， ∴AC  AB2EC 4 3cm， ∵AFBC ，B 30， 1 ∴AF  AB2 3cm， 2  2  2 ∴BF  AB2 AF2  4 3  2 3 6cm， ∴BC 2BF 12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵 活应用是解题的关键． 11. 在Rt△ABC 中，C 90， AD平分BAC，交 BC于D，如果 BD:CD2:1，那么B __________． 【答案】30##30度 【解析】 【分析】先画出图形，作DEAB，于点E，根据角平分线的性质得CDDE，再根据BD:CD2:1， 得BD: DE 2 : 1，根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】如图所示，过点D作DEAB，于点E， ∵AD平分BAC，C=90， ∴CDDE． ∵BD:CD2:1， ∴BD: DE 2 : 1， 在Rt△BDE中，BD: DE 2 : 1， ∴B=30． 第 5 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含30的直角三角形的性质等，构 造直角三角形是解题的关键． 12. ABC中，AB13，AC 15，BC边上的高AD12，则BC长为__________．  【答案】4或14##14或4 【解析】 【分析】根据题意， ABC可能是锐角三角形或者钝角三角形，分两种情况进行讨论作图，然后利用勾股  定理即可求解． 【详解】解；在 ABC中，AB13，AC 15，BC边上高AD12，  如图所示，当 ABC为锐角三角形时，  在Rt△ABD中,AB13，AD12，由勾股定理得： BD2  AB2 AD2 132 122 25， ∴BD5， 在Rt△ACD中AC 15，AD12，由勾股定理得： CD2  AC2 AD2 152 122 81， ∴CD9， ∴BC的长为：BC  BDDC 5914； 如图所示，当 ABC为钝角三角形时，  在Rt△ABD中AB13，AD12，由勾股定理得： 第 6 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) BD2  AB2 AD2 132 122 25， ∴BD5， 在Rt△ACD中AC 15，AD12，由勾股定理得： CD2  AC2 AD2 152 122 81， ∴CD9， ∴BC的长为：BC CDBD954； 综上可得：BC的长为：4或14． 故答案为：4或14． 【点睛】题目主要考查勾股定理，进行分类讨论作出图象运用勾股定理解直角三角形是解题关键． 二、选择题（每题 3分，满分 18分） 13. 已知等边三角形的边长为1，则它的高等于（ ）. 3 3 1 A. 3 B. C. D. 2 4 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求得BD的长，再进一步根据勾股定理求解． 【详解】∵AB=AC，AD⊥BC， 1 1 ∴BD= BC  ． 2 2 在直角三角形ABD中，根据勾股定理，得 1 3 AD= 1 = ． 4 2 故选B． 【点睛】此题考查等边三角形的性质和勾股定理，解题关键在于画出图形． 14. 等腰直角三角形，ABC中，C 90，D是BC上一点，AD2CD，则DAB的度数是 （ ）. A. 22.5° B. 20° C. 15° D. 30° 第 7 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】C 【解析】 CD 1 【分析】在Rt△ADC中，由  得到∠ADC=60°，而∠ADC=45°=∠B+∠DAB，根据等腰直角三角形 AD 2 即可求出∠ADC． 【详解】：在Rt△ADC中 CD 1 ∵  ， AD 2 ∴∠CAD=30°， ∴∠ADC=60° 而∠ADC=∠B+∠DAB ∵△ABC为等腰直角三角形 ∴∠B=45° ∴∠DAB=15°． 故选C． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，解题关键在于掌握其性质定义． 15. 在RtABC中，ACB=90，CD、CE是斜边上的高和中线，AC CE 10cm，则BD长为 （ ）. A. 25cm B. 5cm C. 15cm D. 10cm 【答案】C 【解析】 1 【分析】根据条件可求得AC=AE=CE=BE，可证得△ACE为等边三角形，可求得DE= AE，可求得DE， 2 则可求得BD． 【详解】∵∠ACB=90°，CE为斜边上的中线， ∴AE=BE=CE=AC=10cm， ∴△ACE为等边三角形， 第 8 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CD⊥AE， 1 ∴DE= AE=5cm， 2 ∴BD=DE+BE=5cm+10cm=15cm， 故选C． 【点睛】此题考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，根据直角三角形的性质求得BE、根据等边三 角形的性质求得DE是解题的关键． 16. 如图，EA⊥AB，CB⊥AB，AE=AB=2BC，D是的中点AB的中点，那么下列结论中不正确的是 （ ） A. DE  AC B. DEAC C. CAB30 D. EAF ADE 【答案】C 【解析】 【分析】已知EA=AB=2BC，且D是AB中点，那么AD=BC，进而可证得△AED、 BAC全等，可根  据这个条件进行判断． 【详解】∵EA=AB=2BC，AB=2AD， ∴AD=BC； 又∵EA AB，CB AB，即EADB90， ∴RtVEAD≌RtVABC， ∴DE=AC； 又∠EAF、∠ADF同为∠FAD的余角， ∴EAF ADE； 故A、B、D的结论都正确； Rt△CAB中，AB=2BC，而不是AC=2BC（含30度角的直角三角形，直角边等于斜边的一半），所以 CAB 30，因此C的结论是错误的． 故选：C． 【点评】此题考查三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形，解题关键在于掌 第 9 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 握各性质定义． 17. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 凡直角都相等 B. 在一个三角形中，等边对等角 C. 角平分线上的点到角的两边的距离都相等 D. 在Rt△ABC 中，30角所对的边是斜边的一半 【答案】A 【解析】 【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的判定和平 行线的判定定理判断即可． 【详解】解：A、凡直角都相等的逆命题是相等的角都是直角，逆命题是假命题； B、一个三角形中，等边对等角的逆命题是同一个三角形中，等角对等边，逆命题是真命题； C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命 题； D、在Rt△ABC 中，30角所对的边是斜边的一半的逆命题是在Rt△ABC 中，一个锐角的对边是斜边的 一半补，则这个锐角等于30，逆命题是真命题； 故选A． 【点睛】本题主要考查真假命题的判定，解决本题的关键是要正确写出各个命题的逆命题、熟练掌握等腰 三角形，角平分线，含30直角三角形的性质和判定定理． 18. 在RtABC中，A90，B与C的平分线交于点O，那么BOC等于（ ）. A. 100° B. 120° C. 135° D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的两个锐角互余和角平分线定义，可得∠1+∠2=45°，从而根据三角形的内角和定 理求解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠A=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， 第 10 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 又∠B与∠C的平分线相交于点O， 1 1 ∴∠1+∠2= ∠ABC+ ∠ACB=45°， 2 2 ∴∠BOC=135°． 故选C． 【点睛】此题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题关键在于画出图形． 三、简答题：（第 19题 6分，第 20、21题 8分，满分 22分） 19. 已知：如图ABC，求作：ABC内一点P，使PB PC ，且点P到ABC两边的距离相等.（要 求正确画出图形，保留作图痕迹，并简单写出作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】以点B为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠ABC两边于点M，N,分别以点M，N为圆心，以 1 1 大于 MN的长度为半径画弧，两弧交于点P,作射线BP．分别以B,C,为圆心，以大于 BC的长为半径画 2 2 弧，得到弧的两个交点，连接交点即为垂直平分线，与角平分线的交点即为点P． 【详解】如图，点P即为所求． 【点睛】此题考查角平分线的性质与作法，线段垂直平分线的性质和作法，熟练掌握相关性质是解题关 键． 20. 已知：如图，在四边形ABCD中，A90，AB  AD 2，BC1，CD3． 第 11 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求B的度数． （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）135 （2）2 2 【解析】 【分析】对于（1），连接BD，根据勾股定理求出BD及ABD，再根据勾股定理逆定理说明△BCD是 直角三角形，即可求出答案； 对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可． 【小问1详解】 连接BD，如图所示． ∵AB AD=2，A=90， 18090 ∴ABDADB= =45， 2 根据勾股定理得BD= AD2  AB2=2 2， 在△BCD中，BD2  BC2  (2 2)2  12  9  CD2， ∴△BCD 是直角三角形，且CBD=90， ∴ABC=45+90=135； 【小问2详解】 1 1 S =S +S =  2 2+  2 2  1=2+ 2． 四边形ABCD ABD BCD 2 2 【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三 角形是解题的关键． 21. 已知：A2，1 ，B1，2 ，C5，y ，且 ABC为等腰三角形，求y的值．  【答案】y0或15 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得 AB= 10， AC  91 y2 ， BC  362 y2 ，然后进行分类讨论，即可列式作答． 第 12 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：∵A2，1 ，B1，2 ，C5，y ， ∴AB 212122  10， AC  252 1 y2  91 y2 ， BC  152 2 y2  362 y2 ， ∵ ABC为等腰三角形，  ∴当AB AC时，即 10  91 y2 ， 则1091 y2 解得y0； 或当AB BC时，即 10  362 y2 ， 因为2 y2 0， 所以10362 y2 此种情况不存在； 或当AC  BC时，即 91 y2  362 y2 ， 则91 y2 362 y2 ， 即2y 30， 那么y 15 综上所述，y0或15． 【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 四、证明题：（每小题 8分，满分 24分） 22. 如 图 ， 在 Rt△ABC 和 Rt ADC中 ， ABC ADC 90， E是 AC中 点 ． 求 证 ：  DEB2DCB． 【答案】见解析 第 13 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【解析】 【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，找出相等的边，再利用等边对等角、三角形外角 的性质得出AEB2BCE、AED2DCE，从而证明结论． 【详解】证明：在Rt△ABC 中，ABC 90，E是AC中点． ∴BE  EC  AE， ∴ACBCBE， ∴AEBCBEBCE 2BCE， 同理可得：AED2DCE， ∴AEDAED2DCE2BCE， ∴DEB2DCB． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质和等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识．熟练 掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 23. 如图，BAC 30，BAC的平分线上有一点P，PM∥AB，PD AB，PM 6，求AD的 长． 【答案】63 3 【解析】 【分析】过 P点作 PH  AC于 H ，如图，根据角平分线的性质得到BAPCAP15， PH  PD，再证明MAMP，计算出HMP30，则可计算出PH 3，HM 3 3，然后证明 Rt APH≌Rt APD，从而得到AD AH ，进而即可求解．   【详解】解：过P点作PH  AC于H ，如图， ∵P是BAC平分线上一点，PD AC，PH  AB， ∴BAPCAP15，PH  PD， ∵PM  AC， 第 14 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∴MPABAPCAP15， ∴MAMP6，PMC MPACAP30， 1 1 ∴PH  PM  63， HM  3PH 3 3， 2 2 ∴AH  AM MH MPMH 63 3， 在Rt APH 和Rt APD中，   AP AP ∵ ， PH  PD ∴Rt APH≌Rt APD（HL），   ∴AD AH 63 3． 故答案为63 3． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质 和含30度的直角三角形三边的关系． 24. 如图，AOB90，OP平分AOB，一个45角的顶点与P重合，角的两边分别与射线OA交于 点C、与射线OB交于点D． （1）设OC 4，OD3，求△COD的周长． （2）若OP a，当CPD在绕点P旋转过程中，△COD的周长是否会发生变化？若不变，求出 △COD的周长；若变化，请说明理由． 【答案】（1）12 （2）不变， 2a 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出CD即可； （2）作 PE OA于 E， PF OB于 F，先得到四边形 OEPF为正方形，根据正方形的性质得 2 2 OE OF  PE  PF  OP a，EPF PFO90，则可把 PEC绕点P逆时针旋转90  2 2 得到△PFG，根据旋转的性质得PFG PEC 90，FG  EC，COG 90，则FG在OF 的延 第 15 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 长线上，所以DG  DF FG，然后证明VCPD≌VDPG，得到CD DG，进一步可得结论 【小问1详解】 在Rt COD中，OD3，OC 4，  ∴CD OD2 OC2  32 42 5 , ∴△COD的周长OCODCD43512 【小问2详解】 作PE OA于E，PF OB于F，如图， ∵AOB90，OP平分AOB， ∴四边形OEPF为正方形， 2 2 ∴OE OF  PE  PF  OP a，EPF PFO90， 2 2 ∴把 PEC绕点P逆时针旋转90得到△PFG，如图，  ∴PFG PEC 90，FG  EC，COG 90， ∴FG在OF 的延长线上， ∴DG  DF FG， ∵CPD45， ∴DPG 45， 在△CPD和△DPG中， PC=PG  CPD=GPD，  PD=PD  ∴VCPD≌VDPGSAS ， ∴CD DG， ∴△COD 的周长OCODCD OCODDG OCODDF FG 第 16 页 共 17 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) OCFCODDF OEOF 2OE  2a 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质． 第 17 页 共 17 页