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2018 年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（在下列各题的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡中填涂符合题意的
选项,本大题共12个小题,每小题3分,共36分)
1. 的相反数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据相反数的性质可得结果.
【详解】因为-2+2=0，所以﹣2的相反数是2，
故选B．
【点睛】本题考查求相反数，熟记相反数的性质是解题的关键 .
为
2.据统计，2017年长沙市地区生产总值约 10200亿元，经济总量迈入“万亿俱乐部”，数据10200用科学
记数法表示为（ ）
A. 0.102×105 B. 10.2×103 C. 1.02×104 D. 1.02×103
【答案】C
【解析】
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原
数的绝对值＜1时，n是负数．
详解：10200=1.02×104，
故选C．
点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，
表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.下列计算正确的是（ ）
A. a2+a3=a5 B. C. （x2）3=x5 D. m5÷m3=m2
【答案】D
【解析】
分析：直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．详解：A、a2与a3不是同类项，无法计算，故此选项错误；
B、3 - =2 ，故此选项错误；
C、（x2）3=x6，故此选项错误；
D、m5÷m3=m2，正确．
故选D．
点睛：此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解
题关键．
4.下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A. 4cm，5cm，9cm B. 8cm，8cm，15cm C. 5cm，5cm，10cm D. 6cm，7cm，14cm
【答案】B
【解析】
分析：结合“三角形中较短的两边之和大于第三边”，分别套入四个选项中得三边长，即可得出结论．
详解：A、∵5+4=9，9=9，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
B、8+8=16，16＞15，
∴该三边能组成三角形，故此选项正确；
C、5+5=10，10=10，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
D、6+7=13，13＜14，
∴该三边不能组成三角形，故此选项错误；
故选B．
点睛：本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是：用较短的两边长相交与第三边作比较．本题属于基
础题，难度不大，解决该题型题目时，结合三角形三边关系，代入数据来验证即可．
5.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A选项：不是轴对称图形．是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B选项：是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
C选项：是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D选项：不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选B．
【点睛】考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后
可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
6.不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
详解：解不等式x+2＞0，得：x＞-2，
解不等式2x-4≤0，得：x≤2，
则不等式组的解集为-2＜x≤2，
将解集表示在数轴上如下：
故选C．
点睛：本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，
大大小小解不了．
7.将下列如图的平面图形绕轴l旋转一周，可以得到的立体图形是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据面动成体以及圆台的特点进行分析，能求出结果．
【详解】所给图形是直角梯形，绕直线l旋转一周，可以得到圆台，
故选D．
【点睛】本题考查立体图形的判断，关键是根据面动成体以及圆台的特点解答．
8.下列判断正确的是（ ）
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D. “a是实数，|a|≥0”是不可能事件
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【详解】A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；
D、“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率 的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
9.估算 的值在( )A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
根据被开方数越大算术平方根越大，可得答案．
【详解】∵3 4，
∴4 1＜5．
故选C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用被开方数越大算术平方根越大得出3 4是解题的关
键，又利用了不等式的性质．
10.小明家、食堂、图书馆在同一条直线上，小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，如图
的
反映了这个过程中，小明离家 距离y与时间x之间的对应关系．根据图象，下列说法正确的是（ ）
A. 小明吃早餐用了25min B. 小明读报用了30min
C. 食堂到图书馆的距离为0.8km D. 小明从图书馆回家的速度为0.8km/min
【答案】B
【解析】
分析：根据函数图象判断即可．
详解：小明吃早餐用了（25-8）=17min，A错误；
小明读报用了（58-28）=30min，B正确；
食堂到图书馆的距离为（0.8-0.6）=0.2km，C错误；
小明从图书馆回家的速度为0.8÷10=0.08km/min，D错误；
故选B．
点睛：本题考查的是函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型
和所需要的条件，结合题意正确计算是解题的关键．
11.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分
别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田
的面积为（ ）
A. 7.5平方千米 B. 15平方千米 C. 75平方千米 D. 750平方千米
【答案】A
【解析】
分析：直接利用勾股定理的逆定理进而结合直角三角形面积求法得出答案．
详解：∵52+122=132，
∴三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，
∴这块沙田面积为： ×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．
故选A．
点睛：此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出三角形的形状是解题关键．
12.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x﹣3，x2﹣16），则符合条件的点P（
0 0
）
A. 有且只有1个 B. 有且只有2个 C. 有且只有3个 D. 有无穷多个
【答案】B
【解析】
分析：根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数 a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P
（x-3，x2-16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
0 0
详解：∵对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax-2a总不经过点P（x-3，x2-16），
0 0
∴x2-16≠a（x-3）2+a（x-3）-2a
0 0 0
∴（x-4）（x+4）≠a（x-1）（x-4）
0 0 0 0
∴（x+4）≠a（x-1）
0 0
∴x=-4或x=1，
0 0
∴点P的坐标为（-7，0）或（-2，-15）
故选B．
点睛：本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
13.计算： .
【答案】1.【解析】
【详解】解： .
故答案为1
14.某校九年级准备开展春季研学活动，对全年级学生各自最想去的活动地点进行了调查，把调查结果制成
了如下扇形统计图，则“世界之窗”对应扇形的圆心角为_____度．
【答案】90
【解析】
【分析】
根据圆心角=360°×百分比计算即可；
【详解】解：“世界之窗”对应扇形的圆心角=360°×（1-10%-30%-20%-15%）=90°，
故答案为90．
【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分
占总体的百分比大小．
15.在平面直角坐标系中，将点A′（﹣2，3）向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么平移
后对应的点A′的坐标是_____．
【答案】（1，1）
【解析】
【分析】
直接利用平移的性质分别得出平移后点的坐标得出答案．
【详解】解：∵将点A′（-2，3）向右平移3个单位长度，
∴得到（1，3），
∵再向下平移2个单位长度，
∴平移后对应的点A′的坐标是：（1，1）．
故答案为（1，1）．
点睛：此题主要考查了平移，正确掌握平移规律：上加下减，左加右减，是解题关键．
16.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷得面朝上的点数为偶数的概
率是_____．【答案】
【解析】
【分析】
先统计出偶数点的个数，再根据概率公式解答．
【详解】正方体骰子共六个面，点数为1，2，3，4，5，6，偶数为2，4，6，
故点数为偶数的概率为 ，
故答案为 ．
【点睛】此题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
17.已知关于x方程x2﹣3x+a=0有一个根为1，则方程的另一个根为_____．
【答案】2
【解析】
分析：设方程的另一个根为m，根据两根之和等于- ，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出
结论．
详解：设方程的另一个根为m，
根据题意得：1+m=3，
解得：m=2．
故答案为2．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- 是解题的关键．
18.如图，点A，B，D在⊙O上，∠A=20°，BC是⊙O的切线，B为切点，OD的延长线交BC于点C，则
∠OCB=_____度．【答案】50
【解析】
【分析】
由圆周角定理易求∠BOC的度数，再根据切线的性质定理可得∠OBC=90°，进而可求出求出∠OCB的度
数.
【详解】解：∵∠A=20°，
∴∠BOC=40°，
∵BC是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBC=90°，
∴∠OCB=90°-40°=50°，
故答案为50．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理的运用，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第
22、23题每小题6分，第25、26题每小题6分，共66分。解答时写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤)
19.计算：（﹣1）2018﹣ +（π﹣3）0+4cos45°
【答案】2
【解析】
【分析】
本题涉及零指数幂、乘方、二次根式化简和特殊角的三角函数值4个考点．在计算时，需要针对每个考点
分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】解：原式=1-2 +1+4× ，
=1-2 +1+2 ，
=2．
【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
20.先化简，再求值：（a+b）2+b（a﹣b）﹣4ab，其中a=2，b=﹣ ．
【答案】5．
【解析】
分析：首先计算完全平方，计算单项式乘以多项式，然后再合并同类项，化简后，再代入a、b的值，进而
可得答案．
详解：原式=a2+2ab+b2+ab-b2-4ab=a2-ab，
当a=2，b=- 时，原式=4+1=5．
点睛：此题主要考查了整式的混合运算--化简求值，关键是先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值
代入求整式的值．
21.为了了解居民的环保意识，社区工作人员在光明小区随机抽取了若干名居民开展主题为“打赢蓝天保卫
战”的环保知识有奖问答活动，并用得到的数据绘制了如图条形统计图（得分为整数，满分为10分，最低
分为6分）
请根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了 名居民；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）社区决定对该小区500名居民开展这项有奖问答活动，得10分者设为“一等奖”，请你根据调查结果，
帮社区工作人员估计需准备多少份“一等奖”奖品？
【答案】（1）50；（2）众数为8分．中位数为8分；（3）需要一等奖奖品100份．
【解析】
分析：（1）根据总数=个体数量之和计算即可；
（2）根据平均数、众数、中位数的定义计算即可；
（3）利用样本估计总体的思想解决问题即可；
详解：（1）共抽取：4+10+15+11+10=50（人），（2）平均数= （4×6+10×7+15×8=11×9+10×10）=8.26；
众数：得到8分的人最多，故众数为8分．
中位数：由小到大排列，知第25，26平均分为8分，故中位数为8分；
（3）得到10分占10÷50=20%，
故500人时，需要一等奖奖品500×20%=100（份）．
点睛：本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信
息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百
分比大小．
22.为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有
一座山，汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．
已知BC=80千米，∠A= 45°，∠B=30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：
≈1.41， ≈1.73）
【答案】（1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；（2）汽车从A地到B地比原来少走
的路程为27.2千米
【解析】
【分析】
（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角 ACD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角 CBD中，解直角三角形求出BD，再△求出AD，进而求出汽车从A地到B地比原来少走多少
路程． △
【详解】解：（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，∵AB⊥CD，sin30°= ，BC=80千米，
∴CD=BC•sin30°=80× （千米），
AC= （千米），
AC+BC=80+40 ≈40×1.41+80=136.4（千米），
答：开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走136.4千米；
（2）∵cos30°= ，BC=80（千米），
∴BD=BC•cos30°=80× （千米），
∵tan45°= ，CD=40（千米），
∴AD= （千米），
∴AB=AD+BD=40+40 ≈40+40×1.73=109.2（千米），
∴汽车从A地到B地比原来少走多少路程为：AC+BC﹣AB=136.4﹣109.2=27.2（千米）．
答：汽车从A地到B地比原来少走的路程为27.2千米．
【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角
三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23.随着中国传统节日“端午节”的临近，东方红商场决定开展“欢度端午，回馈顾客”的让利促销活动，对部
分品牌粽子进行打折销售，其中甲品牌粽子打八折，乙品牌粽子打七五折，已知打折前，买6盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元．
（1）打折前甲、乙两种品牌粽子每盒分别为多少元？
（2）阳光敬老院需购买甲品牌粽子80盒，乙品牌粽子100盒，问打折后购买这批粽子比不打折节省了多
少钱？
【答案】（1）打折前甲品牌粽子每盒70元，乙品牌粽子每盒80元．（2）打折后购买这批粽子比不打折
节省了3120元．
【解析】
分析：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，根据“打折前，买6盒甲品牌粽子和3
盒乙品牌粽子需600元；打折后，买50盒甲品牌粽子和40盒乙品牌粽子需要5200元”，即可得出关于x、
y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据节省钱数=原价购买所需钱数-打折后购买所需钱数，即可求出节省的钱数．
详解：（1）设打折前甲品牌粽子每盒x元，乙品牌粽子每盒y元，
根据题意得：
，
解得： ．
答：打折前甲品牌粽子每盒40元，乙品牌粽子每盒120元．
（2）80×40+100×120-80×0.8×40-100×0.75×120=3640（元）．
答：打折后购买这批粽子比不打折节省了3640元．
点睛：本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程
组；（2）根据数量关系，列式计算．
24.如图，在 ABC中，AD是边BC上的中线，∠BAD=∠CAD，CE∥AD，CE交BA的延长线于点E，
BC=8，AD=△3．
（1）求CE的长；
（2）求证： ABC为等腰三角形．
（3）求 AB△C的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离．
△【答案】（1）CE=6；（2）证明见解析；（3） ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
△
【解析】
【分析】
（1）证明AD为 BCE的中位线得到CE=2AD=6；
（2）过B点作A△C的平行线，并与AD的延长线交于点F，证明△ACD≌△FBD，从而得到AC=BF，
∠CAD=∠BFD，再结合∠BAD=∠CAD，得到BA=BF，等量代换后即可证得结论；
（3）如图，连接BP、BQ、CQ，先利用勾股定理计算出AB=5，设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，在
Rt PBD中利用勾股定理得到（R-3）2+42=R2，解得R= ，则PD= ，再利用面积法求出r= ，即QD=
△
，然后计算PD+QD即可．
【详解】（1）解：∵AD是边BC上的中线，
∴BD=CD，
∵CE∥AD，
∴AD为 BCE的中位线，
∴CE=2A△D=6；
（2）证明：过B点作AC的平行线，并与AD的延长线交于点F，
则∠ACD=∠FBD, ∠ADC=∠FDB，
又∵BD=CD，
∴△ACD≌△FBD，
∴AC=BF，∠CAD=∠BFD，
又∵∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠BFD，
∴BA=BF,
∴AB=AC,
∴△ABC为等腰三角形．（3）如图，连接BP、BQ、CQ，
在Rt ABD中，AB= =5，
△
设⊙P的半径为R，⊙Q的半径为r，
在Rt PBD中，（R-3）2+42=R2，解得R= ，
△
∴PD=PA-AD= -3= ，
∵S +S +S =S ，
ABQ BCQ ACQ ABC
△ △ △ △
∴ ×r×5+ ×r×8+ ×r×5= ×3×8，解得r= ，
即QD= ，
∴PQ=PD+QD= + = ．答：△ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为 ．
【点睛】
本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的
连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y= （m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q
（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点
M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m=3，1＜x＜3时，存在点M使得 OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m=5时，矩形OAMB与 OPQ的重△叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
△
【答案】（1）∠OCD=45°；（2）M（2， ）；（3）不存在．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）想办法证明OC=OD即可解决问题；
（2）设M（a， ），由 OPM∽△OCP，推出 ，由此构建方程求出a，再分类求解即
△
可解决问题；
（3）不存在,分三种情形说明：①当1＜x＜5时，如图1中；②当x≤1时，如图2中；③当x≥5时.
【详解】详解：（1）设直线PQ的解析式为y=kx+b，则有 ，解得 ，
∴y=-x+m+1，
令x=0，得到y=m+1，∴D（0，m+1），
令y+0，得到x=m+1，∴C（m+1，0），
∴OC=OD，
∵∠COD=90°，
∴∠OCD=45°．
（2）设M（a， ），
∵△OPM∽△OCP，
∴ ，
∴OP2=OC•OM，
当m=3时，P（3，1），C（4，0），
OP2=32+12=10，OC=4，OM= ，
∴ ，
∴10=4 ，
∴4a4-25a2+36=0，
（4a2-9）（a2-4）=0，
∴a=± ，a=±2，
∵1＜a＜3，
∴a= 或2，当a= 时，M（ ，2），
PM= ，CP= ，
，（舍去）
当a=2时，M（2， ），PM= ，CP= ，
∴ ，成立，
∴M（2， ）．
（3）不存在．理由如下：
当m=5时，P（5，1），Q（1，5），设M（x， ），
OP的解析式为：y= x，OQ的解析式为y=5x，
①当1＜x＜5时，如图1中，∴E（ ， ），F（x， x），
S=S -S -S
矩形OAMB OAF OBE
△ △
=5- x• x- • • =4.1，
化简得到：x4-9x2+25=0，
＜O，
△∴没有实数根．
②当x≤1时，如图2中，
S=S ＜S =2.5，
OGH OAM
△ △
∴不存在，
③当x≥5时，如图3中，
S=S ＜S =2.5，
OTS OBM
△ △
∴不存在，综上所述，不存在．
【点睛】本题考查反比例函数综合题、矩形的性质、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题
的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
26.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．
（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有 ；
②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CB≠CD，则该四边形 “十字形”．（填“是”或“不是”）
（2）如图1，A，B，C，D是半径为1的⊙O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E，
∠ADB﹣∠CDB=∠ABD﹣∠CBD，当6≤AC2+BD2≤7时，求OE的取值范围；
（3）如图2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0，c＜0）与x轴交于
A，C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，﹣ac），记“十字
形”ABCD的面积为S，记 AOB， COD， AOD， BOC的面积分别为S，S，S，S．求同时满足下列
1 2 3 4
三个条件的抛物线的解析式△； △ △ △
① = ；② = ；③“十字形”ABCD的周长为12 ．
【答案】（1）①菱形，正方形；②不是；（2） （OE＞0）；（3）y=x2﹣9．
【解析】
【详解】分析：（1）利用“十字形”的定义判断即可；
（2）先判断出∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，进而判断出∠AED=∠AEB=90°，即：AC⊥BD，再判断
出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2- （AC2+BD2），即可得出结论；
（3）由题意得，A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），D（0，-ac），求出S=AC•BD=- （ac+c）× ，S= OA•OB=- ，S= OC•OD=- ，S= OA×OD=-
1 2 3
，S= OB×OC=- ，进而建立方程
4
，求出a=1，再求出b=0，进而判断出四边
形ABCD是菱形，求出AD=3 ，进而求出c=-9，即可得出结论．
详解：（1）①∵菱形，正方形的对角线互相垂直，
∴菱形，正方形是：“十字形”，
∵平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，
∴平行四边形，矩形不是“十字形”，
故答案为菱形，正方形；
②如图，
当CB=CD时，在 ABC和 ADC中，
△ △
，
∴ ABC≌△ADC（SSS），
∴△∠BAC=∠DAC，
∵AB=AD，
∴AC⊥BD，
∴当CB≠CD时，四边形ABCD不 是“十字形”，
故答案为不是；（2）∵∠ADB+∠CBD=∠ABD+∠CDB，∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB，
∴∠ADB+∠CAD=∠ABD+∠CAB，
∴180°﹣∠AED=180°﹣∠AEB，
∴∠AED=∠AEB=90°，
∴AC⊥BD，
过点O作OM⊥AC于M，ON⊥BD于N，连接OA，OD，
∴OA=OD=1，OM2=OA2﹣AM2，ON2=OD2﹣DN2，AM= AC，DN= BD，四边形OMEN是矩形，
∴ON=ME，OE2=OM2+ME2，
∴OE2=OM2+ON2=2﹣ （AC2+BD2），
∵6≤AC2+BD2≤7，
∴2﹣ ≤OE2≤2﹣ ，
∴ ≤OE2≤ ，
∴ ≤OE≤ ；
（3）由题意得，A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），D（0，﹣ac），
∵a＞0，c＜0，
∴OA= ，OB=﹣c，OC= ，OD=﹣ac，AC= ，BD=﹣ac﹣c，∴S= AC•BD=﹣ （ac+c）× ，S= OA•OB=﹣ ，S= OC•OD=﹣ ，
1 2
S= OA×OD=﹣ ，S= OB×OC=﹣ ，
3 4
∵ ， ，
∴ ，
∴ =2，
∴a=1，
∴S=﹣c ，S=﹣ ，S=﹣ ，
1 4
∵ ，
∴S=S +S +2 ，
1 2
∴﹣c =﹣ ，
∴
∴
∴b=0，
∴A（ ，0），B（0，c），C（ ，0），d（0，﹣c），
∴四边形ABCD是菱形，
∴4AD=12 ，
∴AD=3 ，
即：AD2=90，
∵AD2=c2﹣c，∴c2﹣c=90，
∴c=﹣9或c=10（舍），
即：y=x2﹣9．
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全等三角
形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=1是解本题的关键．本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（http://zujuan.xkw.com）专业教师团队编校出品。
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