文档内容
2015年湖南省长沙市中考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.2 B． C． D．﹣5
2．（3分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3+x=x4 B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通
压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×105 B．1.85×104 C．1.8×105 D．18.5×104
4．（3分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．六边形的内角和为360度 B．多边形的外角和与边数有关
C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如
下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
8．（3分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．
某种彩票的中奖概率为 ，说明每买1000张，一定有一张中奖
C．
抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查9．（3分）（2015•长沙）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米
的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A． B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
米
12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电
器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那
么获得的纯利润为（ ）
A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、
质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则
摸出白球的概率是 ．
14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．
15．（3分）（2015•长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 （结果保留根
号）．
16．（3分）（2015•长沙）分式方程 = 的解是x= ．
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC， ，DE=6，则BC的长是
．18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，
OD⊥BC于点D，则OD的长为 ．
三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6
分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．
21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，
某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的
成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生
的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= ，b= ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中
成绩“优”等约有多少人？22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于
点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与
AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，
长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总
件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完
成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（ ，0）与点B
（0，﹣ ），点D在劣弧 上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为
“中国结”．（1）求函数y= x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相
应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两
个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有
多少个“中国结”？
26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴
交于两个不同的点A（x ，0），B（x ，0）（0＜x ＜x ），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点
1 2 1 2
O为坐标原点．
（1）当x =c=2，a= 时，求x 与b的值；
1 2
（2）当x =2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
1
（3）当x
1
=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S
1
，S
2
，若△BPO∽△PAO，且
S =S ，求m的值．
1 22015 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）
1．（3分）（2015•长沙）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.2 B． C． D．﹣5
考点：无理数．
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分析：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数，据此判
断出无理数有哪些即可．
解答：解：∵﹣5是整数，
∴﹣5是有理数；
∵0.2是有限小数，
∴0.2是有理数；
∵ ，0.5是有限小数，
∴ 是有理数；
∵ 是无限不循环小数，
∴ 是无理数．
故选：C．
点评：此题主要考查了无理数和有理数的特征和区别，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：有理数能写成有限小数和无限循环小数，而无理数只能写成无限不循环小数．
2．（3分）（2015•长沙）下列运算中，正确的是（ ）
A．x3+x=x4 B．（x2）3=x6 C．3x﹣2x=1 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；完全平方公式．
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分析：根据同类项、幂的乘方和完全平方公式计算即可．
解答：解：A、x3与x不能合并，错误；
B、（x2）3=x6，正确；
C、3x﹣2x=x，错误；
D、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，错误；
故选B
点评：此题考查同类项、幂的乘方和完全平方公式，关键是根据法则进行计算．
3．（3分）（2015•长沙）2014年，长沙地铁2号线的开通运营，极大地缓解了城市中心的交通
压力，为我市再次获评“中国最具幸福感城市”提供了有力支撑，据统计，长沙地铁2号线
每天承动力约为185000人次，则数据185000用科学记数法表示为（ ）
A．1.85×105 B．1.85×104 C．1.8×105 D．18.5×104
考点：科学记数法—表示较大的数．
分析：科学记数法的表示形式为a×10
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的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答：解：将185000用科学记数法表示为1.85×105．
故选A．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（3分）（2015•长沙）下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
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分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可直接得到答案．
解答：解：A、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．（3分）（2015•长沙）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．六边形的内角和为360度 B．多边形的外角和与边数有关
C．矩形的对角线互相垂直 D．三角形两边的和大于第三边
考点：命题与定理．
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分析：根据六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系判断即可．
解答：解：A、六边形的内角和为720°，错误；
B、多边形的外角和与边数无关，都等于360°，错误；
C、矩形的对角线相等，错误；
D、三角形的两边之和大于第三边，正确；
故选D．
点评：本题考查命题的真假性，是易错题．
注意对六边形的内角和、多边形的外角和、矩形的性质和三角形三边关系的准确掌握．
6．（3分）（2015•长沙）在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点：在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
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分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解
集表示在数轴上即可．本题解不等式组得： ，再分别表示在数轴上即可得解．
解答：解：由x+2＞0得x＞﹣2，
由2x﹣6≤0，得x≤3，
把解集画在数轴上为：
故选A．
点评：本题考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示不等式组的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上表示出来（＞，≥向右
画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集
的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在
表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
7．（3分）（2015•长沙）一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如
下表所示，你认为商家更应该关注鞋子尺码的（ ）
尺码/cm 22 22.5 23 23.5 24 24.5 25
销售量/双 4 6 6 10 2 1 1
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
考点：统计量的选择．
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分析：根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据．
解答：解：∵众数体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量，
∴鞋店最喜欢的是众数．
故选：C．
点评：此题主要考查了统计的有关知识，主要是众数的意义．反映数据集中程度的统计量有
平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当
的运用．
8．（3分）（2015•长沙）下列说法中正确的是（ ）
A．“打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
B．
某种彩票的中奖概率为 ，说明每买1000张，一定有一张中奖
C．
抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为
D．想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查
考点：概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式．
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分析：根据随机事件，可判断A；根据概率的意义，可判断B、C；根据调查方式，可判断D．
解答：解：A、“打开电视机，正在播放《动物世界》”是随机事件，故A错误；
B、某种彩票的中奖概率为 ，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故
B错误；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 ，故C错误；
D、想了解长沙市所有城镇居民的人均年收入水平，宜采用抽样调查，故D正确；
故选：D．
点评：本题考查了全面调查与抽样调查，正确区分全面调查与抽样调查是解题关键，注意概
率时事件发生可能性的大小，并不一定发生．
9．（3分）（2015•长沙）一次函数y=﹣2x+1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
考点：一次函数图象与系数的关系．
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分析：先根据一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结
论．
解答：解：∵一次函数y=﹣2x+1中k=﹣2＜0，b=1＞0，
∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．
故选C
点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．
10．（3分）（2015•长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是
（ ）
A． B． C． D．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
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分析：根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做
三角形的高线解答．
解答：解：为△ABC中BC边上的高的是A选项．
故选A．
点评：本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．
11．（3分）（2015•长沙）如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米
的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A． B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
米
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
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分析：根据题意，在Rt△ABO中，BO=30米，∠ABO为α，利用三角函数求解．
解答：解：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选C．
点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用
三角函数求解．
12．（3分）（2015•长沙）长沙红星大市场某种高端品牌的家用电器，若按标价打八折销售该电
器一件，则可获利润500元，其利润率为20%．现如果按同一标价打九折销售该电器一件，那
么获得的纯利润为（ ）
A．562.5元 B．875元 C．550元 D．750元
考点：一元一次方程的应用．
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分析：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，根据“按标价打八折销售该电器一件，则
可获利润500元”可以得到x的值；然后计算打九折销售该电器一件所获得的利润．
解答：解：设进价为x元，则该商品的标价为1.5x元，由题意得
1.5x×0.8﹣x=500，
解得：x=2500．
则标价为1.5×2500=3750（元）．
则3750×0.9﹣2500=875（元）．
故选：B．点评：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售中的基本数量关系是解决问题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）（2015•长沙）一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、
质地等完全相同，即除颜色外无其他差别．在看不到球的条件下，随机从袋中摸出1个球，则
摸出白球的概率是 ．
考点：概率公式．
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分析：由一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全
相同，即除颜色外无其他差别，直接利用概率公式求解即可求得答案．
解答：解：∵一个不透明的袋子中只装有3个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完
全相同，即除颜色外无其他差别，
∴随机从袋中摸出1个球，则摸出白球的概率是： = ．
故答案为： ．
点评：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．（3分）（2015•长沙）圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 π （结果保留π）．
考点：扇形面积的计算．
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分析：根据扇形的面积公式代入，再求出即可．
解答：
解：由扇形面积公式得：S= = π．
故答案为： π．
点评：本题考查了扇形面积公式的应用，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积为S=
．
15．（3分）（2015•长沙）把 + 进行化简，得到的最简结果是 2 （结果保留根号）．
考点：二次根式的混合运算．
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分析：先进行二次根式的化简，然后合并．
解答：解：原式= +
=2 ．
故答案为：2 ．
点评：本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简．
16．（3分）（2015•长沙）分式方程 = 的解是x= ﹣ 5 ．
考点：解分式方程．
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专题：计算题．
分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得方程最简公分母为x（x﹣2），去分母，化为整式
方程求解．解答：解：去分母，得5（x﹣2）=7x，
解得：x=﹣5，经检验：x=﹣5是原方程的解．
点评：解分式方程的关键是两边同乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程，易错点是忽
视检验．
17．（3分）（2015•长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC， ，DE=6，则BC的长是 1 8 ．
考点：相似三角形的判定与性质．
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分析：由平行可得到DE：BC=AD：AB，由DE=6可求得BC．
解答：解：∵DE∥BC，
∴DE：BC=AD：AB= ，
即6：BC=1：3，
∴BC=18．
故答案为：18．
点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解
题的关键．
18．（3分）（2015•长沙）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，
OD⊥BC于点D，则OD的长为 4 ．
考点：垂径定理；勾股定理．
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分析：根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
解答：解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD= BC=3，
∵OB= AB=5，
∴OD= =4．
故答案为4．
点评：题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．三、解答题（共8小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题6分，第23、24题每小题6
分，第25、26题每小题6分，满分66分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）（2015•长沙）计算：（ ）﹣1+4cos60°﹣|﹣3|+ ．
考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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分析：原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三
项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用算术平方根定义计算即可得到结果．
解答：
解：原式=2+4× ﹣3+3=4．
点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（6分）（2015•长沙）先化简，再求值：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy，其中x=（3﹣π）0，y=2．
考点：整式的混合运算—化简求值；零指数幂．
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分析：首先去掉括号，然后合并同类项，最后把x=1，y=2代入化简式进行计算即可．
解答：解：（x+y）（x﹣y）﹣x（x+y）+2xy
=x2﹣y2﹣x2﹣xy+2xy
=xy﹣y2，
∵x=（3﹣π）0=1，y=2，
∴原式=2﹣4=﹣2．
点评：本题主要考查了整式的化简求值的知识，解答本题的关键是掌握平方差公式以及单项
式乘以多项式的运算法则，此题难度不大．
21．（8分）（2015•长沙）中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广，为了传承优秀传统文化，
某校团委组织了一次全校3000名学生参加的“汉字听写”大赛，赛后发现所有参赛学生的
成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中200名学生
的成绩（成绩x取整数，总分100分）作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表：
成绩x/分 频数 频率
50≤x＜60 10 0.05
60≤x＜70 20 0.10
70≤x＜80 30 b
80≤x＜90 a 0.30
90≤x≤100 80 0.40
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）a= 6 0 ，b= 0.1 5 ；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）这次比赛成绩的中位数会落在 80≤ x ＜ 9 0 分数段；
（4）若成绩在90分以上（包括90分）的为“优”等，则该校参加这次比赛的3000名学生中
成绩“优”等约有多少人？考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．
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分析：（1）根据第一组的频数是10，频率是0.05，求得数据总数，再用数据总数乘以第四组频
率可得a的值，用第三组频数除以数据总数可得b的值；
（2）根据（1）的计算结果即可补全频数分布直方图；
（3）根据中位数的定义，将这组数据按照从小到大的顺序排列后，处于中间位置的数
据（或中间两数据的平均数）即为中位数；
（4）利用总数3000乘以“优”等学生的所占的频率即可．
解答：解：（1）样本容量是：10÷0.05=200，
a=200×0.30=60，b=30÷200=0.15；
（2）补全频数分布直方图，如下：
（3）一共有200个数据，按照从小到大的顺序排列后，第100个与第101个数据都落在
第四个分数段，
所以这次比赛成绩的中位数会落在80≤x＜90分数段；
（4）3000×0.40=1200（人）．
即该校参加这次比赛的3000名学生中成绩“优”等的大约有1200人．
故答案为60，0.15；80≤x＜90；1200．
点评：本题考查读频数（率）分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获
取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考
查了中位数和利用样本估计总体．
22．（8分）（2015•长沙）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC、BD相交于
点O，将对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α（0°＜α＜90°）后得直线l，直线l与
AD、BC两边分别相交于点E和点F．
（1）求证：△AOE≌△ COF；
（2）当α=30°时，求线段EF的长度．
考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质．
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分析：（1）首先证明AE=CF，OE=OF，结合AO=CO，利用SSS证明△AOE≌△COF；
（2）首先画出α=30°时的图形，根据菱形的性质得到EF⊥AD，解三角形即可求出OE的
长，进而得到EF的长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AO=OC，
∴ ，
∴AE=CF，OE=OF，
在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF．
（2）当α=30°时，即∠AOE=30°，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠OAD=60°，
∴∠AEO=90°，
在Rt△AOB中，
sin∠ABO= = = ，
∴AO=1，
在Rt△AEO中，
cos∠AOE=cos30°= = ，
∴OE= ，
∴EF=2OE= ．
点评：本题主要考查了菱形的性质以及解三角形的知识，解答本题的关键是熟练掌握菱形的
性质，解答（2）问时需要正确作出图形，此题难度不大．
23．（9分）（2015•长沙）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，
长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总
件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完
成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
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专题：增长率问题．
分析：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据“今年三月份与五月份完成
投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数
的增长率相同”建立方程，解方程即可；
（2）首先求出今年6月份的快递投递任务，再求出21名快递投递业务员能完成的快递
投递任务，比较得出该公司不能完成今年6月份的快递投递任务，进而求出至少需要
增加业务员的人数．解答：解：（1）设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得
10（1+x）2=12.1，
解得x =0.1，x =﹣2.2（不合题意舍去）．
1 2
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10%；
（2）今年6月份的快递投递任务是12.1×（1+10%）=13.31（万件）．
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员能完成的快递投递任务是：0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务
∴需要增加业务员（13.31﹣12.6）÷0.6=1 ≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需
要增加2名业务员．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条
件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
24．（9分）（2015•长沙）如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（ ，0）与点B
（0，﹣ ），点D在劣弧 上，连接BD交x轴于点C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半径；
（2）求证：BD平分∠ABO；
（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰好为⊙M的切线，求此时点E的坐标．
考点：圆的综合题．
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分析：（1）由点A（ ，0）与点B（0，﹣ ），可求得线段AB的长，然后由∠AOB=90°，可得
AB是直径，继而求得⊙M的半径；
（2）由圆周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分
∠ABO；
（3）首先过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于点
F，易得△AEC是等边三角形，继而求得EF与AF的长，则可求得点E的坐标．
解答：解：（1）∵点A（ ，0）与点B（0，﹣ ），
∴OA= ，OB= ，
∴AB= =2 ，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴⊙M的半径为： ；
（2）∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，
∴∠CBO=∠CBA，
即BD平分∠ABO；
（3）如图，过点A作AE⊥AB，垂足为A，交BD的延长线于点E，过点E作EF⊥OA于
点F，即AE是切线，∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = = ，
∴∠OAB=30°，
∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，
∴∠ABC=∠OBC= ∠ABO=30°，
∴OC=OB•tan30°= × = ，
∴AC=OA﹣OC= ，
∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，
∴∠EAC=60°，
∴△ACE是等边三角形，
∴AE=AC= ，
∴AF= AE= ，EF= AE= ，
∴OF=OA﹣AF= ，
∴点E的坐标为：（ ， ）．
点评：此题属于一次函数的综合题，考查了勾股定理、圆周角定理、等边三角形的判定与性质
以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
25．（10分）（2015•长沙）在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为
“中国结”．
（1）求函数y= x+2的图象上所有“中国结”的坐标；
（2）若函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”，试求出常数k的值与相
应“中国结”的坐标；
（3）若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到两
个不同的“中国结”，试问该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有
多少个“中国结”？
考点：反比例函数综合题．
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分析：（1）因为x是整数，x≠0时， x是一个无理数，所以x≠0时， x+2不是整数，所以
x=0，y=2，据此求出函数y= x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可．
（2）首先判断出当k=1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国
结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上最
少有4个“中国结”，据此求出常数k的值与相应“中国结”的坐标即可．（3）首先令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，则[（k﹣1）x+k [（k﹣2）x+（k﹣
1）=0，求出x 、x 的值是多少；然后根据x 、x 的值是整数，求出k的值是多少；最后
1 2 1 2
根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数]的图象与x轴所
围成] 的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．
解答：解：（1）∵x是整数，x≠0时， x是一个无理数，
∴x≠0时， x+2不是整数，
∴x=0，y=2，
即函数y= x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．
（2）①当k=1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，1）、（﹣1、﹣1）；
②当k=﹣1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：
（1，﹣1）、（﹣1，1）．
②当k≠1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上最少有4个“中国结”：
（1，k）、（﹣1，﹣k）、（k，1）、（﹣k，﹣1），这与函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且
只有两个“中国结”矛盾，
综上可得，k=1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，
1）、（﹣1、﹣1）；
k=﹣1时，函数y= （k≠0，k为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、
（﹣1、1）．
（3）令（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k=0，
则[（k﹣1）x+k [（k﹣2）x+（k﹣1） =0，
] ]
∴
∴k= ，
整理，可得
x x +2x +1=0，
1 2 2
∴x （x +2）=﹣1，
2 1
∵x 、x 都是整数，
1 2
∴ 或
∴ 或
①当 时，
∵ ，∴k= ；
②当 时，
∵ ，
∴k=k﹣1，无解；
综上，可得
k= ，x =﹣3，x =1，
1 2
y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k
=[ 2﹣3× +2 x2+[2×（ ）2﹣4× +1 x+（ ）2﹣
] ]
=﹣ x2﹣ x
①当x=﹣2时，
y=﹣ x2﹣ x
= ×（﹣2）2 ×（﹣2）+
=
②当x=﹣1时，
y=﹣ x2﹣ x
= ×（﹣1）2 ×（﹣1）+
=1
③当x=0时，y= ，
综上，可得
若二次函数y=（k2﹣3k+2）x2+（2k2﹣4k+1）x+k2﹣k（k为常数）的图象与x轴相交得到
两个不同的“中国结”，
该函数的图象与x轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣
3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．
点评：（1）此题主要考查了反比例函数问题，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握反比
例函数的图象和性质．
（2）此题还考查了对新定义“中国结”的理解和掌握，解答此题的关键是要明确：横
坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”．
26．（10分）（2015•长沙）若关于x的二次函数y=ax2+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴
交于两个不同的点A（x ，0），B（x ，0）（0＜x ＜x ），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点
1 2 1 2
O为坐标原点．
（1）当x =c=2，a= 时，求x 与b的值；
1 2
（2）当x =2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
1
（3）当x =mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S ，S ，若△BPO∽△ PAO，且
1 1 2
S =S ，求m的值．
1 2考点：二次函数综合题．
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分析：
（1）设ax2+bx+c=0的两根为x 、x ，把a、c代入得： x2+bx+2=0，根据x =2是它的一个
1 2 1
根，求出b，再根据 x2﹣ x+2=0，即可求出另一个根，
（2）根据x =2c时，x = ，得出b=﹣（2ac+ ），4ac=﹣2b﹣1，根据M的坐标为（﹣ ，
1 2
），得出当△ABM为等边三角形时 = （ ﹣2c），
求出b =﹣1，b =2 ﹣1（舍去），最后根据4ac=﹣2b﹣1=1，得出2c= ，A、B重合，
1 2
△ABM不可能为等边三角形；
（3）根据△BPO∽△PAO，得出 = ，ac=1，由S =S 得出b2=4a•2c=8ac=8，求出b=﹣2
1 2
，最后根据 x2﹣2 x+c=0得出x=（ ﹣1）c，从而求出m．
解答：解：（1）设ax2+bx+c=0的两根为x 、x ，
1 2
把a= ，c=2代入得： x2+bx+2=0，
∵x =2是它的一个根，
1
∴ ×22+2b+2=0，
解得：b=﹣ ，
∴方程为： x2﹣ x+2=0，
∴另一个根为x =3；
2
（2）当x =2c时，x = = ，
1 2
此时b=﹣a（x +x ）=﹣（2ac+ ），4ac=﹣2b﹣1，
1 2
∵M（﹣ ， ），
当△ABM为等边三角形时| |= AB，
即 = （ ﹣2c），∴ = • ，
∴b2+2b+1= （1+2b+1），
解得：b =﹣1，b =2 ﹣1（舍去），
1 2
此时4ac=﹣2b﹣1=1，即2c= ，A、B重合，
∴△ABM不可能为等边三角形；
（3）∵△BPO∽△PAO，
∴ = ，即x x =c2= ，
1 2
∴ac=1，
由S =S 得c=| |= ﹣c，
1 2
∴b2=4a•2c=8ac=8，
∴b =﹣2 ，b =2 （舍去），
1 2
方程可解为 x2﹣2 x+c=0，
∴x = = =（ ﹣1）c，
1
∴m= ﹣1．
点评：此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判
定与性质、等边三角形的性质、一元二次方程，关键是综合运用有关知识求解，注意把
不合题意的解舍去．
