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2012年长沙市中考数学试卷及参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意
的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．-相反数是（ ）
A． B．-3 C． - D．
3
2．．下列平面图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C.
3．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同，但甲的
成绩比乙的成绩稳定，那么两者的方差的大小关系是（ ）
A． ＜ B． ＞ C． = D．不能确定
4．一个不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示，则下列符合条件的不等式组为（ ）
A. B.
C. D.
5．下列四边形中，对角线一定不相等的是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 ● ○D．直角梯形
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
6．下列四个角中，最有可能与70°角互补的是（ ）
A B C D
7．小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时,自行车出了故障，只好停下
来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s
（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ）
s s s s
O O O O
t
t t t
A
8.如图，菱形ABCD中，对角线 BAC与BD相交于点OC ，OE∥DC且交BC于E，
D
AD=6cm,则OE的长为（ ）
A、6cm B、4cm
C、3cm D、2cm
第 8 题
图9. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流（I A）与电阻R（Ω）成反比例．如图表示的是该电
路中电流I与电阻R之间函数关系的图像，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）
A.I= B. I=
C. I= D. I=-
第9题图
10．现有3㎝，4㎝，7㎝，9㎝长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的
三角形的个数是（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个
二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．已知函数关系式：y= 则自变量x的取值范围是__________
12． ∠A=45°，∠B=60°，则外角∠ACD= 度．
如图，在△ABC中，
13．若实数a,b满足： ，则 = ．
第12题图
14. 如果一次函数y=mx+3的图象经过第一、二、四象限，则m的取值范围是
15．任意抛掷一枚硬币，则“正面朝上”是 事件
16. 在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是 cm;
17．如图，AB∥CD∥EF,那么∠BAC+∠ACE+∠CEF= 度；
A B
C D
第18题图
E F
第第1177题题图图
18. 如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=AD=2，∠B=60°，
则BC的长为 ；
三、解答题: （本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：20．（6分）先化简,再求值： ，其中 =-2,b=1。
四．解答题: （本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21． 某班数学科代表小华对本班上期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分）作了
统计分析，绘制成如下频数、频率统计表和频数分布直方图，请你根据图表提供的信息，解答
下列问题：
根据上述信息，完成下列问题：
(1) 频数、频率统计表中，a＝ ；b= ;
(2)请将频数分布直方图补充完整；
(3)小华在班上任选一名同学，该同学成绩不低于80分的概率是多少？
人数
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2 成绩（分）
0
49.5 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5
第21题图
分 49.5～ 59.5～ 69.5～ 79.5～ 89.5～ 合
组 59.5 69.5 79.5 89.5 100.5 计
频 2 a 20 16 4 50
数
频 0.04 0.16 0.40 0.32 b 1
率
A
P
22. 如图，A,P,B,C是半径为8的⊙O上的四点， 且满足∠BAC=∠APC=60°,
O
●
B C
D
第22题图(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)求圆心O到BC的距离OD；
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．以“开放崛起，绿色发展”为主题的第七届“中博会”已于2012年5月20日在湖南
长沙圆满落幕，作为东道主的湖南省一共签订了境外与省外境内投资合作项目共
348个，其中境外投资合作项目个数的2倍比省内境外投资合作项目多51个。
（1）求湖南省签订的境外，省外境内的投资合作项目分别有多少个？
（2）若境外、省内境外投资合作项目平均每个项目引进资金分别为6亿元，7.5亿元，求在
这次“中博会”中，东道湖南省共引进资金多少亿元？
24．如图，已知正方形ABCD中，BE平分 且交CD边与点E，将 绕点C顺时针
旋转到 的位置，并延长BE交DF于点G D
A
（1）求证: ;
（2）若EG·BG=4，求BE的长。
E G
B F
C
五、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25． 在长株潭建设两型社会的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司以25万
元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工。已知生产这种产品的成本价为每件20元。经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元
到30元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系
式为：
（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）
（1） 当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少万件？
（2） 求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说
明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，
最小亏损是多少？
（3） 第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两部分组成：一部分为
10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款。若
除去第一年的最大获利（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年
的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围;
26. 如图半径分别为 m,n 的两
圆⊙O 和⊙O 相交于P,Q两点，且点P
1 2
（4,1），两圆同时与两坐标轴相切，
⊙O 与x轴，y轴分别切于点M，点N，
1
⊙O 与x轴，y轴分别切于点R，点H。
2
（1）求两圆的圆心O，O 所在直线的
1 2解析式；
（2）求两圆的圆心O，O 之间的距离d；
1 2
（3）令四边形POQO 的面积为S,
1 2 1
四边形RMOO 的面积为S.
1 2 2
试探究：是否存在一条经过P,Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为 的抛物
线？若存在，亲、请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。
2012年长沙市中考数学试卷答案
1．D 2．A 3．A 4．C 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B
11.x 1 12.105 13.1 14.m﹤0 15.随机 16. 17.360 18.4
19.0
20. 2
21.（1）a=8 b=0.08
(2)图略
（3）40%22.（1）略
（2）OD=4
23.（1）境外投资合作项目为133个，省外境内投资合作项目为215个。
（2）133×6+215×7.5=2410.5（亿元）
24.（1）略
（2）BE=4
25.(1) 当x=28时，y=40-28=12(万件)
（2）
1°当 时，W=(40-x)(x-20)-25-100=-x2+60x-925=-（x-30）2-25
故当x=30时，W最大为-25，及公司最少亏损25万；
2°当30﹤x≤35时，W=(25-0.5x)(x-20)-25-100=- x2+35x-625=- （x-35）2-
12.5
故当x=35时，W最大为-12.5，及公司最少亏损12.5万；
对比1°，2°得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；
（3）
1°当 时，W=(40-x)(x-20-1)-12.5-10=-x2+61x-862.5
令W=67.5，则-x2+61x-862.5=67.5 化简得：x2-61x+930=0 x=30;x=31
1 2
结合函数图像可知：当两年的总盈利不低于67.5万元， ；
2°当30﹤x≤35时，W=(25-0.5x)(x-20-1)-12.5-10=- x2+35.5x-547.5
令 W=67.5，则- x2+35.5x-547.5=67.5 化简得：x2-71x+1230=0
x=30;x=41,
1 2
结合函数图像可知，此时，当两年的总盈利不低于67.5万元，30﹤x≤35；
26.(1) 由题意可知，两圆的圆心都在第一、三象限的角平分线上，故所求解析式为：
y=x
(2) ∵O(m,m),O(n,n)(m﹤n),两圆的半径分别为m,n，
1 2
∴OP=m,OP=n,由题意及勾股定理得：
1 2
解得：m= , n= 故d=OO=
1 2
(也可构造一元二次方程，利用韦达定理求解)
（3） 方法1；∵P(4,1)，根据对称性，Q(1,4),故PQ= ,∵PQ⊥OO;
1 2
∴S= S=
1 2
故 = ；∵P(4,1),即P到y轴的距离=4，P又在x轴上
方，故当抛物线开口向下时，且过P,Q两点时，抛物线在x轴上截得的距离不可
能为1，故不存在这样的抛物线；
方法2：同上求出 =1，设抛物线与x轴的两个交点坐标分别为（x,0）,
1
(x,0);
2
则 设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，于是有：
解得： ，求得 ﹥0，与题意矛盾，
故不存在这样的抛物线；
