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2016 年湖南省长沙市中考数学试卷
一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题
意的选项.本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2016•长沙）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．6
2．（3 分）（2016•长沙）大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于 2016 年年底通车，通车
后，从长沙到株洲只需 24 分钟，从长沙到湘潭只需 25 分钟，这条铁路全长 99500 米，
则数据 99500 用科学记数法表示为（ ）
A．0.995×105B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104
3．（3 分）（2016•长沙）下列计算正确的是（ ）
A． × = B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6
4．（3 分）（2016•长沙）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
5．（3 分）（2016•长沙）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
6．（3 分）（2016•长沙）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的
主视图是（ ）
A． B． C． D．
7．（3 分）（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（
）
A．6 B．3 C．2 D．11
8．（3 分）（2016•长沙）若将点 A（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得
到点 B，则点 B 的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
9．（3 分）（2016•长沙）下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
第1页（共21页）10．（3 分）（2016•长沙）已知一组数据 75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别
为（ ）
A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80
11．（3 分）（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B
处的仰角为 30°，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60°，热气球 A 处与楼的水平距离为
120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160 m B．120 m C．300m D．160 m
12．（3 分）（2016•长沙）已知抛物线 y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与 x 轴最多有一个交点，
现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；
②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④ 的最小值为 3．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．（3 分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y= ．
14．（3 分）（2016•长沙）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣m=0 有两个不相等的实
数根，则实数 m 的取值范围是 ．
15．（3 分）（2016•长沙）如图，扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，则该扇形的弧
长为 ．（结果保留 π）
16．（3 分）（2016•长沙）如图，在⊙O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离 OC=2，则
⊙O 的半径长为 ．
第2页（共21页）17．（3 分）（2016•长沙）如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交
AB 于点 D，交边 AC 于点 E，则△BCE 的周长为 ．
18．（3 分）（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的
点数互不相同”的概率是 ．
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第
23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明
证明过程或演算步骤）
19．（6 分）（2016•长沙）计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣ +（﹣1）2016．
20．（6 分）（2016•长沙）先化简，再求值： （ ﹣ ）+ ，其中 a=2，b= ．
21．（8 分）（2016•长沙）为积极响应市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长
沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解
社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种
树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不
完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的居民人数为： ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；
（4）已知该街道辖区内现有居民 8 万人，请你估计这 8 万人中最喜欢玉兰树的有多
少人？
22．（8 分）（2016•长沙）如图，AC 是 ▱ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若 AB=2，AC=2 ，求 ▱ABCD 的面积．
第3页（共21页）23．（9 分）（2016•长沙）2016 年 5 月 6 日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮
线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生
态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承
包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2
辆大型渣土运输车与 3 辆小型渣土运输车一次共运输土方 31 吨，5 辆大型渣土运输
车与 6 辆小型渣土运输车一次共运输土方 70 吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，
若每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2 辆，则有哪几种派
车方案？
24．（9 分）（2016•长沙）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 为⊙O 的直径，
过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF．
（1）求∠CDE 的度数；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线；
（3）若 AC=2 DE，求 tan∠ABD 的值．
25．（10 分）（2016•长沙）若抛物线 L：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc≠0）与直线 l
都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线
L 具有“一带一路”关系．此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线 L 叫做直
线 l 的“路线”．
（1）若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x2﹣2x+n 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；
（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数 y= 的图象上，它的“带线”l 的解析式为
y=2x﹣4，求此“路线”L 的解析式；
（3）当常数 k 满足 ≤k≤2 时，求抛物线 L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k 的“带线”l 与
x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．
26．（10 分）（2016•长沙）如图，直线 l：y=﹣x+1 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点
P，Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB 的周长；
（2）设 AQ=t＞0，试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；
（3）当动点 P，Q 在直线 l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记
tan∠AOQ=m，若过点 A 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当 m≤x≤m+2 时，函数 y 的最大值等于 ，求二次项系数 a 的值．
第4页（共21页）第5页（共21页）2016 年湖南省长沙市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题
意的选项.本大题共 12 小题，每小题 3 分，满分 36 分）
1．（3 分）（2016•长沙）下列四个数中，最大的数是（ ）
A．﹣2 B． C．0 D．6
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切
负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据有理数比较大小的方法，可得
6＞ ＞0＞﹣2，
故四个数中，最大的数是 6．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要
明确：①正数都大于 0；②负数都小于 0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值
大的其值反而小．
2．（3 分）（2016•长沙）大家翘首以盼的长株潭城际铁路将于 2016 年年底通车，通车
后，从长沙到株洲只需 24 分钟，从长沙到湘潭只需 25 分钟，这条铁路全长 99500 米，
则数据 99500 用科学记数法表示为（ ）
A．0.995×105B．9.95×105C．9.95×104D．9.5×104
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的
值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数
相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将 99500 用科学记数法表示为：9.95×104．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n的
形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
3．（3 分）（2016•长沙）下列计算正确的是（ ）
A． × = B．x8÷x2=x4C．（2a）3=6a3D．3a5•2a3=6a6
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则以及结合同底数幂的乘除运算法则分别化简
求出答案．
【解答】解：A、 × = ，正确；
B、x8÷x2=x6，故此选项错误；
C、（2a）3=8a3，故此选项错误；
D、3a5•2a3=6a8，故此选项错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式乘法运算以及结合同底数幂的乘除运算、积的乘方
运算等知识，正确掌握相关性质是解题关键．
第6页（共21页）4．（3 分）（2016•长沙）六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
【分析】利用多边形的内角和定理计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：（6﹣2）×180°=720°，
故选 B．
【点评】此题考查了多边形内角与外角，熟练掌握多边形内角和定理是解本题的关键．
5．（3 分）（2016•长沙）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）
A． B． C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，
不包括端点用空心”的原则即可得答案．
【解答】解： ，
解不等式 2x﹣1≥5，得：x≥3，
解不等式 8﹣4x＜0，得：x＞2，
故不等式组的解集为：x≥3，
故选：C．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟
悉在数轴上表示不等式解集的原则“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括
端点用空心”是解题的关键．
6．（3 分）（2016•长沙）如图是由六个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的
主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边一个小正方形，第三层左边
一个小正方形，
故选：B．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
第7页（共21页）7．（3 分）（2016•长沙）若一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三边长可能是（
）
A．6 B．3 C．2 D．11
【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断．
【解答】解：设第三边为 x，则 4＜x＜10，
所以符合条件的整数为 6，
故选 A．
【点评】本题考查三角形三边关系定理，记住两边之和第三边，两边之差小于第三边，
属于基础题，中考常考题型．
8．（3 分）（2016•长沙）若将点 A（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得
到点 B，则点 B 的坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣1，0） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，0）
【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解即可．
【解答】解：∵点 A（1，3）向左平移 2 个单位，再向下平移 4 个单位得到点 B，
∴点 B 的横坐标为 1﹣2=﹣1，纵坐标为 3﹣4=﹣1，
∴B 的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选 C．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，
左移减；纵坐标上移加，下移减．
9．（3 分）（2016•长沙）下列各图中，∠1 与∠2 互为余角的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果两个角的和等于 90°（直角），就说这两个角互为余角．依此定义结合图
形即可求解．
【解答】解：∵三角形的内角和为 180°，
∴选项 B 中，∠1+∠2=90°，即∠1 与∠2 互为余角，
故选 B．
【点评】本题考查了余角的定义，掌握定义并且准确识图是解题的关键．
10．（3 分）（2016•长沙）已知一组数据 75，80，80，85，90，则它的众数和中位数分别
为（ ）
A．75，80 B．80，85 C．80，90 D．80，80
【分析】根据众数和中位数的概念分别进行求解即可．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：75，80，80，85，90，
最中间的数是 80，
则中位数是 80；
在这组数据中出现次数最多的是 80，
则众数是 80；
故选 D．
【点评】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一
组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中
第8页（共21页）间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的
平均数就是这组数据的中位数．
11．（3 分）（2016•长沙）如图，热气球的探测器显示，从热气球 A 处看一栋楼顶部 B
处的仰角为 30°，看这栋楼底部 C 处的俯角为 60°，热气球 A 处与楼的水平距离为
120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160 m B．120 m C．300m D．160 m
【分析】首先过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，根据题意得∠BAD=30°，∠CAD=60°，
AD=120m，然后利用三角函数求解即可求得答案．
【解答】解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在 Rt△ABD 中，BD=AD•tan30°=120× =40 （m），
在 Rt△ACD 中，CD=AD•tan60°=120× =120 （m），
∴BC=BD+CD=160 （m）．
故选 A．
【点评】此题考查了仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解此题的关键．
12．（3 分）（2016•长沙）已知抛物线 y=ax2+bx+c（b＞a＞0）与 x 轴最多有一个交点，
现有以下四个结论：
①该抛物线的对称轴在 y 轴左侧；
②关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 无实数根；
③a﹣b+c≥0；
④ 的最小值为 3．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
第9页（共21页）【分析】从抛物线与 x 轴最多一个交点及 b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为 0，
对称轴在 y 轴左侧，并得到 b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由 x=﹣1 及 x=﹣2 时
y 都大于或等于零可以得到③④正确．
【解答】解：∵b＞a＞0
∴﹣ ＜0，
所以①正确；
∵抛物线与 x 轴最多有一个交点，
∴b2﹣4ac≤0，
∴关于 x 的方程 ax2+bx+c+2=0 中，△=b2﹣4a（c+2）=b2﹣4ac﹣8a＜0，
所以②正确；
∵a＞0 及抛物线与 x 轴最多有一个交点，
∴x 取任何值时，y≥0
∴当 x=﹣1 时，a﹣b+c≥0；
所以③正确；
当 x=﹣2 时，4a﹣2b+c≥0
a+b+c≥3b﹣3a
a+b+c≥3（b﹣a）
≥3
所以④正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确 a 的
符号决定了抛物线开口方向；a、b 的符号决定对称轴的位置；抛物线与 x 轴的交点个
数，决定了 b2﹣4ac 的符号．
二、填空题（共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分）
13．（3 分）（2016•长沙）分解因式：x2y﹣4y= y （ x+ 2 ）（ x﹣ 2 ） ．
【分析】先提取公因式 y，然后再利用平方差公式进行二次分解．
【解答】解：x2y﹣4y，
=y（x2﹣4），
=y（x+2）（x﹣2）．
故答案为：y（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因
式是解本题的难点，也是关键．
14．（3 分）（2016•长沙）若关于 x 的一元二次方程 x2﹣4x﹣m=0 有两个不相等的实
数根，则实数 m 的取值范围是 m ＞﹣ 4 ．
【分析】由方程有两个不相等的实数根可知，b2﹣4ac＞0，代入数据可得出关于 m 的
一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
【解答】解：由已知得：
△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）=16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案为：m＞﹣4．
第10页（共21页）【点评】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于 m 的一元一次不等式．本题
属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出不等
式（或不等式组）是关键．
15．（3 分）（2016•长沙）如图，扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，则该扇形的弧
长为 2 π ．（结果保留 π）
【分析】直接利用弧长公式列式计算即可．
【解答】解：∵扇形 OAB 的圆心角为 120°，半径为 3，
∴该扇形的弧长为： =2π．
故答案为：2π．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．
16．（3 分）（2016•长沙）如图，在⊙O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离 OC=2，则
⊙O 的半径长为 ．
【分析】根据垂径定理求出 AC，根据勾股定理求出 OA 即可．
【解答】解：∵弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离 OC 为 2，
∴AC=BC=3，∠ACO=90°，
由勾股定理得：OA= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解此题的关键是求出 AC 和 OA 的
长，题目比较好，难度适中．
17．（3 分）（2016•长沙）如图，△ABC 中，AC=8，BC=5，AB 的垂直平分线 DE 交
AB 于点 D，交边 AC 于点 E，则△BCE 的周长为 1 3 ．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到 EA=EB，根据三角形的周长公式计算即
可．
【解答】解：∵DE 是 AB 的垂直平分线，
第11页（共21页）∴EA=EB，
则△BCE 的周长=BC+EC+EB=BC+EC+EA=BC+AC=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线
段的两个端点的距离相等是解题的关键．
18．（3 分）（2016•长沙）若同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子朝上的
点数互不相同”的概率是 ．
【分析】画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：由题意作出树状图如下：
一共有 36 种情况，“两枚骰子朝上的点数互不相同”有 30 种，
所以，P= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点：概率=所求情况数与总情况数
之比．
三、解答题（本大题共 8 个小题，第 19、20 题每小题 6 分，第 21、22 题每小题 6 分，第
23、24 题每小题 6 分，第 25、26 题每小题 6 分，共 66 分。解答应写出必要的文字说明
证明过程或演算步骤）
19．（6 分）（2016•长沙）计算：4sin60°﹣|﹣2|﹣ +（﹣1）2016．
【分析】本题涉及特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、乘方 4 个考点．在计
算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：4sin60°﹣|﹣2|﹣ +（﹣1）2016
=4× ﹣2﹣2 +1
=2 ﹣2﹣2 +1
=﹣1．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解
决此类题目的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简、乘方等
考点的运算．
20．（6 分）（2016•长沙）先化简，再求值： （ ﹣ ）+ ，其中 a=2，b= ．
第12页（共21页）【分析】先对所求式子进行化简，然后根据 a=2，b= 可以求得化简后式子的值，本题
得以解决．
【解答】解： （ ﹣ ）+
=
=
= ，
当 a=2，b= 时，原式= ．
【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是会对所求的式子化简并求值．
21．（8 分）（2016•长沙）为积极响应市委政府“加快建设天蓝•水碧•地绿的美丽长
沙”的号召，我市某街道决定从备选的五种树中选购一种进行栽种．为了更好地了解
社情民意，工作人员在街道辖区范围内随机抽取了部分居民，进行“我最喜欢的一种
树”的调查活动（每人限选其中一种树），并将调查结果整理后，绘制成如图两个不
完整的统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）这次参与调查的居民人数为： 100 0 ；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）请计算扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数；
（4）已知该街道辖区内现有居民 8 万人，请你估计这 8 万人中最喜欢玉兰树的有多
少人？
【分析】（1）根据“银杏树”的人数及其百分比可得总人数；
（2）将总人数减去选择其它 4 种树的人数可得“樟树”的人数，补全条形图即可；
（3）用样本中“枫树”占总人数的比例乘以 360°可得；
（4）用样本中最喜欢“玉兰树”的比例乘以总人数可得．
【解答】解：（1）这次参与调查的居民人数有 =1000（人）；
（2）选择“樟树”的有 1000﹣250﹣375﹣125﹣100=150（人），
补全条形图如图：
第13页（共21页）（3）360°× =36°，
答：扇形统计图中“枫树”所在扇形的圆心角度数为 36°；
（4）8× =2（万人），
答：估计这 8 万人中最喜欢玉兰树的约有 2 万人．
故答案为：（1）1000．
【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图和用样本估计总体，解题的关键是
把条形统计图和扇形统计图的数据相结合求解．
22．（8 分）（2016•长沙）如图，AC 是 ▱ABCD 的对角线，∠BAC=∠DAC．
（1）求证：AB=BC；
（2）若 AB=2，AC=2 ，求 ▱ABCD 的面积．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠DAC=∠BCA，再由已知条件得出
∠BAC=∠BCA，即可得出 AB=BC；
（2）连接 BD 交 AC 于 O，证明四边形 ABCD 是菱形，得出 AC⊥BD，OA=OC=
AC= ，OB=OD= BD，由勾股定理求出 OB，得出 BD， ▱ABCD 的面积=
AC•BD，即可得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠BCA，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠BCA，
∴AB=BC；
（2）解：连接 BD 交 AC 于 O，如图所示：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，AB=BC，
∴四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC= AC= ，OB=OD= BD，
第14页（共21页）∴OB= = =1，
∴BD=2OB=2，
∴▱ABCD 的面积= AC•BD= ×2 ×2=2 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、菱形面积的计
算；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．
23．（9 分）（2016•长沙）2016 年 5 月 6 日，中国第一条具有自主知识产权的长沙磁浮
线正式开通运营，该路线连接了长沙火车南站和黄花国际机场两大交通枢纽，沿线生
态绿化带走廊的建设尚在进行中，届时将给乘客带来美的享受．星城渣土运输公司承
包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方，已知 2
辆大型渣土运输车与 3 辆小型渣土运输车一次共运输土方 31 吨，5 辆大型渣土运输
车与 6 辆小型渣土运输车一次共运输土方 70 吨．
（1）一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
（2）该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车共 20 辆参与运输土方，
若每次运输土方总量不少于 148 吨，且小型渣土运输车至少派出 2 辆，则有哪几种派
车方案？
【分析】（1）根据题意可以得到相应的二元一次方程，从而可以求得一辆大型渣土运
输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
（2）根据题意可以列出相应的关系式，从而可以求得有几种方案．
【解答】解：（1）设一辆大型渣土运输车一次运输 x 吨，一辆小型渣土运输车一次运输
y 吨，
，
解得 ．
即一辆大型渣土运输车一次运输 8 吨，一辆小型渣土运输车一次运输 5 吨；
（2）由题意可得，
设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为 x 辆、y 辆，
，
解得 或 或 ，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车 18 辆，小型运输车 2 辆；
第二种方案：大型运输车 17 辆，小型运输车 3 辆；
第15页（共21页）第三种方案：大型运输车 16 辆，小型运输车 4 辆．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是
明确题意，找出所求问题需要的条件．
24．（9 分）（2016•长沙）如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 为⊙O 的直径，
过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF．
（1）求∠CDE 的度数；
（2）求证：DF 是⊙O 的切线；
（3）若 AC=2 DE，求 tan∠ABD 的值．
【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE 的度数；
（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出
∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；
（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出 AD，DC 的长，再利用圆周角定理
得出 tan∠ABD 的值．
【解答】（1）解：∵对角线 AC 为⊙O 的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠EDC=90°；
（2）证明：连接 DO，
∵∠EDC=90°，F 是 EC 的中点，
∴DF=FC，
∴∠FDC=∠FCD，
∵OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC，
∵∠OCF=90°，
∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，
∴DF 是⊙O 的切线；
（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，
∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，
∴∠DCA=∠E，
又∵∠ADC=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△ADC，
∴ = ，
∴DC2=AD•DE
∵AC=2 DE，
第16页（共21页）∴设 DE=x，则 AC=2 x，
则 AC2﹣AD2=AD•DE，
期（2 x）2﹣AD2=AD•x，
整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，
解得：AD=4x 或﹣5x（负数舍去），
则 DC= =2x，
故 tan∠ABD=tan∠ACD= = =2．
【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股
定理等知识，根据题意表示出 AD，DC 的长是解题关键．
25．（10 分）（2016•长沙）若抛物线 L：y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，abc≠0）与直线 l
都经过 y 轴上的一点 P，且抛物线 L 的顶点 Q 在直线 l 上，则称此直线 l 与该抛物线
L 具有“一带一路”关系．此时，直线 l 叫做抛物线 L 的“带线”，抛物线 L 叫做直
线 l 的“路线”．
（1）若直线 y=mx+1 与抛物线 y=x2﹣2x+n 具有“一带一路”关系，求 m，n 的值；
（2）若某“路线”L 的顶点在反比例函数 y= 的图象上，它的“带线”l 的解析式为
y=2x﹣4，求此“路线”L 的解析式；
（3）当常数 k 满足 ≤k≤2 时，求抛物线 L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k 的“带线”l 与
x 轴，y 轴所围成的三角形面积的取值范围．
【分析】（1）找出直线 y=mx+1 与 y 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求
出 n 的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结
论；
（2）找出直线与反比例函数图象的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的
解析式找出直线与 x 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；
（3）由抛物线解析式找出抛物线与 y 轴的交点坐标，再根据抛物线的解析式找出其
顶点坐标，由两点坐标结合待定系数法即可得出与该抛物线对应的“带线”l 的解析
式，找出该直线与 x、y 轴的交点坐标，结合三角形的面积找出面积 S 关于 k 的关系上，
由二次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：（1）令直线 y=mx+1 中 x=0，则 y=1，
即直线与 y 轴的交点为（0，1）；
将（0，1）代入抛物线 y=x2﹣2x+n 中，
得 n=1．
∵抛物线的解析式为 y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，
第17页（共21页）∴抛物线的顶点坐标为（1，0）．
将点（1，0）代入到直线 y=mx+1 中，
得：0=m+1，解得：m=﹣1．
答：m 的值为﹣1，n 的值为 1．
（2）将 y=2x﹣4 代入到 y= 中有，
2x﹣4= ，即 2x2﹣4x﹣6=0，
解得：x =﹣1，x =3．
1 2
∴该“路线”L 的顶点坐标为（﹣1，﹣6）或（3，2）．
令“带线”l：y=2x﹣4 中 x=0，则 y=﹣4，
∴“路线”L 的图象过点（0，﹣4）．
设该“路线”L 的解析式为 y=m（x+1）2﹣6 或 y=n（x﹣3）2+2，
由题意得：﹣4=m（0+1）2﹣6 或﹣4=n（0﹣3）2+2，
解得：m=2，n=﹣ ．
∴此“路线”L 的解析式为 y=2（x+1）2﹣6 或 y=﹣ （x﹣3）2+2．
（3）令抛物线 L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k 中 x=0，则 y=k，
即该抛物线与 y 轴的交点为（0，k）．
抛物线 L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k 的顶点坐标为（﹣ ，
），
设“带线”l 的解析式为 y=px+k，
∵点（﹣ ， ）在 y=px+k 上，
∴ =﹣p +k，
解得：p= ．
∴“带线”l 的解析式为 y= x+k．
令“带线”l：y= x+k 中 y=0，则 0= x+k，
第18页（共21页）解得：x=﹣ ．
即“带线”l 与 x 轴的交点为（﹣ ，0），与 y 轴的交点为（0，k）．
∴“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积 S= |﹣ |×|k|，
∵ ≤k≤2，
∴ ≤ ≤2，
∴S= = = ，
当 =1 时，S 有最大值，最大值为 ；
当 =2 时，S 有最小值，最小值为 ．
故抛物线 L：y=ax2+（3k2﹣2k+1）x+k 的“带线”l 与 x 轴，y 轴所围成的三角形面积
的取值范围为 ≤S≤ ．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经二次函数的应用，解题的
关键是：（1）根据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标；（2）根据直线与反比例
函数的交点设出抛物线的解析式；（3）找出“带线”l 与 x 轴、y 轴的交点坐标．本题
属于中档题，（1）（2）难度不大；（3）数据稍显繁琐，解决该问时，借用三角形的面积
公式找出面积 S 与 k 之间的关系式，再利用二次函数的性质找出 S 的取值范围．
26．（10 分）（2016•长沙）如图，直线 l：y=﹣x+1 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点，点
P，Q 是直线 l 上的两个动点，且点 P 在第二象限，点 Q 在第四象限，∠POQ=135°．
（1）求△AOB 的周长；
（2）设 AQ=t＞0，试用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；
（3）当动点 P，Q 在直线 l 上运动到使得△AOQ 与△BPO 的周长相等时，记
tan∠AOQ=m，若过点 A 的二次函数 y=ax2+bx+c 同时满足以下两个条件：
①6a+3b+2c=0；
②当 m≤x≤m+2 时，函数 y 的最大值等于 ，求二次项系数 a 的值．
第19页（共21页）【分析】（1）先求出 A、B 坐标，再求出 OB、OA、AB 即可解决问题．
（2）由△PBO∽△OAQ，得 = ，求出 PB，再根据等腰直角三角形性质可以求得点
P 坐标．
（3）先求出 m 的值，分① a＞0，② a＜0，两种情形，利用二次函数性质分别求解即可．
【解答】解：（1）在函数 y=﹣x+1 中，令 x=0，得 y=1，
∴B（0，1），
令 y=0，得 x=1，
∴A（1，0），
则 OA=OB=1，AB= ，
∴△AOB 周长为 1+1+ =2+ ．
（2）∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∴∠PBO=∠QAO=135°，
设∠POB=x，则∠OPB=∠AOQ=135°﹣x﹣90°=45°﹣x，
∴△PBO∽△OAQ，
∴ = ，
∴PB= = ，
过点 P 作 PH⊥OB 于 H 点，
则△PHB 为等腰直角三角形，
∵PB= ，
∴PH=HB= ，
第20页（共21页）∴P（﹣ ，1+ ）．
（3）由（2）可知△PBO∽△OAQ，若它们的周长相等，则相似比为 1，即全等，
∴PB=AQ，
∴ =t，
∵t＞0，
∴t=1，
同理可得 Q（1+ ，﹣ ），
∴m= = ﹣1，
∵抛物线经过点 A，
∴a+b+c=0，
又∵6a+3b+2c=0，
∴b=﹣4a，c=3a，
对称轴 x=2，取值范围 ﹣1≤x +1，
①若 a＞0，则开口向上，
由题意 x= ﹣1 时取得最大值 =2 +2，
即（ ﹣1）2a+（ ﹣1）b+c=2 +2，
解得 a= ．
②若 a＜0，则开口向下，
由题意 x=2 时取得最大值 2 +2，
即 4a+2b+c=2 +2，
解得 a=﹣2 ﹣2．
综上所述所求 a 的值为 或﹣2 ﹣2．
【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性
质、函数最值问题等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论，
考虑问题要全面，属于中考压轴题．
第21页（共21页）
