文档内容
湖南省长沙市2025届高三八月开学六校联合检测
数学试题（含答案）
满分150分，考试用时120分钟
注意事项：
1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考
证号条形码贴在答题卡上的指定位置.
2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.
一、单选题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题
所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合 ， ， （ ）
A． B． C． D
2．若复数z满足 则 （ ）.
A．1 B． C．2 D．
3．已知 ，若 ，则 等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．已知 ， ， （ ）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线为 ，侧面展开所成扇形的圆心角为 ，则此圆锥体积为（ ）
A． B． C． D．
试卷第1页，共3页
学科网（北京）股份有限公司6．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．将函数 的图象向左平移 个单位长度后，再把图象上所有点的横
坐标伸长为原来的2倍，得到函数 的图象，若 与 的图象关于 轴对称，则
的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列
结论正确的是（ ）
A． B．方程 有解
C． 是偶函数 D． 是偶函数
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0
分）
9．若随机变量 服从标准正态分布， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
试卷第2页，共3页D．直线 是曲线 的切线
11．“脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如
图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆 的方程为
，半椭圆 的方程为 ．则下列说法正确的是（ ）
A．点A在半圆 上，点B在半椭圆 上，O为坐标原点，OA⊥OB，则 OAB面积的
△
最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若 ，P是半椭圆 上的一个动点，则cos∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点
都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆 扩充为整个椭圆 ：
后，椭圆 的蒙日圆方程为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为
．
13．函数 与函数 公切线的斜率为 .
14．已知三个正整数的和为8，用 表示这三个数中最小的数，则 的期望
.
试卷第3页，共3页
学科网（北京）股份有限公司四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程
或演算步骤）
15．已知△ABC中， 分别为内角 的对边，且
.
(1)求角 的大小；
(2)设点 为 上一点， 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积.
16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形， 底面ABCD，
，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．
(1)证明：平面 平面PBC；
(2)若直线AF与平面PAB所成的角的余弦值为 ，求点P到平面AEF的距离．
17．已知 ， 是过点 的两条互相垂直的直线，且 与椭圆 相交于A，B
两点， 与椭圆 相交于C，D两点．
(1)求直线 的斜率k的取值范围；
(2)若线段 ， 的中点分别为M，N，证明直线 经过一个定点，并求出此定点的坐
标．
试卷第4页，共3页18．已知函数 .
(1)讨论 的导函数 的单调性；
(2)若对任意 恒成立，求 的取值范围.
19．某企业的设备控制系统由 个相同的元件组成，每个元件正常工作的概率
均为 ，各元件之间相互独立．当控制系统有不少于k个元件正常工作时，设备
正常运行，否则设备停止运行，记设备正常运行的概率为 （例如： 表示控制系统由3
个元件组成时设备正常运行的概率； 表示控制系统由5个元件组成时设备正常运行的概
率）．
(1)若 ，且每个元件正常工作的概率 ．
①求控制系统中正常工作的元件个数X的分布列和期望；
②在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率．
(2)请用 表示 ，并探究：在确保控制系统中元件总数为奇数的前提下，能否通过增加
控制系统中元件的个数来提高设备正常运行的概率．
试卷第5页，共3页
学科网（北京）股份有限公司参考答案：
1．C
【分析】解分式不等式化简集合 ，再利用交集的定义求解即得.
【详解】解不等式 ，得 ，解得 或 ，
则 或 ，而 ，
所以 .
故选：C
2．B
【分析】根据复数的除法运算化简，即可由模长公式求解.
【详解】由 得 ，所以 ，
故选：B
3．A
【分析】由向量线性运算的坐标表示以及向量共线可列方程求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，解得 .
故选：A.
4．B
【分析】根据已知角的范围，利用同角三角函数的基本关系求出
，
再利用和角的余弦公式进行求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
答案第1页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故A，C，D错误.
故选：B.
5．B
【分析】先依次求出圆锥的半径、高，然后结合圆锥的体积公式求解即可.
【详解】设圆锥底面圆的半径为 ，
则 ，解得 ，圆锥的高为 ，
则此圆锥体积为 .
故选：B.
6．C
【详解】由于函数在 上递增，故需满足 ，解得 .
【点睛】本题主要考查函数的单调性，考查分段函数在 上单调问题的处理方法.要一个分
段函数在 上单调递增，则首先需要它在每一段上面是单调递增的，其次需要它在两段之
间过度的位置也要是单调递增的.如本题中 时，第一段函数值要不大于第二段函数值.
7．C
【分析】根据函数图象的平移和伸缩变换可得 ，进而可得 ，利用
整体法求解单调性即可求解.
【详解】由题意可得 ，
由于 与 的图象关于 轴对称，所以 ，
令 ，解得 ，
答案第2页，共2页取 ，则 ，
故选：C
8．C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条
件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数 的定义域为 ，且满足
，
取 ，得 ，则 ，
取 ，得 ，则 ，故 错误；
对于B，取 ，得 ，则 ，
所以 ，
以上各式相加得 ，
所以 ，
令 ，得 ，此方程无解，故B错误.
对于CD，由 知 ，
所以 是偶函数，
不是偶函数，故C正确， 错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到 ，再利用等差
数列数列的求和公式得到 ，从而得解.
9．AD
【分析】由正态分布的对称性即可得出答案.
【详解】对于A，B,因为 ，所以 ，A正确，B错误
答案第3页，共2页
学科网（北京）股份有限公司对于C,D由对称性有 ，所以 ，C错误，
D正确,,
故选：AD.
10．BC
【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问
题.
【详解】选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极
值点，故选项A错误.
选项B: 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确，
选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确，
选项D：令 ，即 ，
令 ，则令 ，
则
当 则当切线斜率为 切点为 则切线方程为：
与 不相等，
当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误.
故选：BC.
11．ABD
【分析】选项A，易得 ， ，从而判断；选项B根据椭圆的性质解决椭圆中
两点间距离问题；选项C由椭圆定义可得到|PA|、|PB|之和为定值，由基本不等式可以得到
、|PB|乘积的最大值，结合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；选项D中分析蒙日
答案第4页，共2页圆的关键信息，圆心是原点，找两条特殊的切线，切线交点在圆上，求得圆半径得圆方程．
【详解】解：对于A，因为点A在半圆 上，点B在半椭圆 上，O为坐标原点，
OA⊥OB，
则 ， ，
则 ，
当 位于椭圆的下顶点时取等号，
所以 OAB面积的最大值为6，故A正确；
△
对于B，半圆 上的点到 点的距离都是 ，
半椭圆 上的点到 点的距离的最小值为 ，最大值为 ，
所以曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7，故B正确；
对于C， 是椭圆 的两个焦点，
在△PAB中， ，由余弦定理知：
，
当且仅当 时取等号，
所以cos∠APB的最小值为 ，故C错误；
对于D，由题意知：蒙日圆的圆心O坐标为原点(0，0)，在椭圆 ：
中取两条切线： 和 ，它们交点为 ，
该点在蒙日圆上，半径为
答案第5页，共2页
学科网（北京）股份有限公司此时蒙日圆方程为： ，故D正确．
故选：ABD．
12．
【分析】根据根据渐近线方程求出 ，再根据离心率公式即可得解.
【详解】因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以 ，
所以双曲线的离心率 .
故答案为： .
13．1或
【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方
程即可求得斜率.
【详解】不妨设公切线与函数 的切点为 ，与函数 的切点为
；
易知 ， ，
因此公切线斜率为 ，因此 ，
可得 ，即
又易知 ，整理可得 ，
即 ，即 ，解得 或 ；
答案第6页，共2页因此可得斜率为 或 .
故答案为：1或
14．
【分析】利用组合的知识与隔板法，分类讨论求得 与 对应的概率，从而利用数
学期望的计算公式即可求解.
【详解】设这三个正整数分别为 ，则题意可得 ，
所以随机变量 可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为 种，
当 时，分两种情况：①三个数中只有一个1，有 种；
②三个数中有两个1，有 种，
所以 时， ；
当 时，也分两种情况：①三个数中只有一个2，有 种；
②三个数中有两个2，有 种，
所以 时， ，
所以 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于利用隔板法求得事件总情况为 种，再分类讨
论 与 对应的概率，从而得解.
15．(1)
答案第7页，共2页
学科网（北京）股份有限公司(2)
【分析】（1）由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案
（2）先利用三角形的面积关系 解出 ，再根据三角形面积公式计算答
案即可
【详解】（1）在△ABC中，由正弦定理及 得：
，..
由余弦定理得 ，
又 ，所以
（2） 是 的角平分线， ，
由 可得
因为 ， ，即有 ， ，
故
16．(1)证明见解析
(2) ．
【分析】
(1)利用面面垂直的判定定理或利用平面的法向量数量积等于零证明；
(2)利用坐标运算求点到平面的距离，或者用等体积法的思想求解.
【详解】（1）
方法一：
因为 底面ABCD， 平面ABCD，
所以 ．
答案第8页，共2页因为ABCD为正方形，所以 ，
又因为 ， 平面PAB， 平面PAB，
所以 平面PAB．
因为 平面PAB，所以 ．
因为 ，E为线段PB的中点，
所以 ，
又因为 ， 平面PBC， 平面PBC，
所以 平面PBC．
又因为 平面AEF，
所以平面 平面PBC．
方法二：
因为 底面ABCD， 平面PAB，
所以平面 底面ABCD
又平面 底面 ， ， 平面ABCD，
所以 平面PAB．
因为 平面PAB，所以 ．
因为 ，E为线段PB的中点，所以 ．
因为 ， 平面PBC， 平面PBC，
所以 平面PBC，
又因为 平面AEF，
答案第9页，共2页
学科网（北京）股份有限公司所以平面 平面PBC
解法三：因为 底面ABCD， ，
以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ， ，
设 为平面AEF的法向量，
则 所以 取 ，则 ， ，
则 ，
设 为平面PBC的法向量，
则 所以 取 ，则 ， ，
则
因为 ，所以 ,
所以平面 平面PBC.
（2）
（基于（1）解法一、二）
答案第10页，共2页因为 底面ABCD， ，以A为坐标原点，以 的方向分别为x轴，y
轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则 ，
易知 是平面PAB的法向量
设 ，则 ，所以 ， ，
所以
即 ，得 ，所以 ，
设 为平面AEF的法向量，则
所以平面AEF的法向量 ，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为 ，
所以点P到平面AEF的距离为 ．
答案第11页，共2页
学科网（北京）股份有限公司（另解）由（1）可知， 是直线AF与平面PAB所成的角，
所以
解得 ，故F是BC的中点．
所以 ， ，
的面积为
因为 ， 的面积为
设点P到平面AEF的距离为h，则有
解得
所以点P到平面AEF的距离为 ．
（基于（1）解法三）
易知 是平面PAB的法向量
所以 ，
即 ，解得
所以 ，
又因为
所以点P到平面AEF的距离为 ，
答案第12页，共2页所以点P到平面AEF的距离为 ．
17．(1) ；
(2)证明见解析；定点 .
【分析】（1）根据直线 ， 均与椭圆 相交，联立方程利用 求解；（2）利用韦达定理
分别求M，N的坐标，进而求出直线 的方程判断定点．
【详解】（1）根据题意直线 ， 的斜率均存在且不为0
直线 ， 分别为 ， ，
联立 得 ，
由 得 ，则 或 ，
同理 ，则 ，
所以k的取值范围为 ．
（2）设 ， ，由（1）得 ，
所以 ，则 ，
所以 ，则 ，
答案第13页，共2页
学科网（北京）股份有限公司同理 ，
则直线 的方程为 ，
化简整理得
因此直线 经过一个定点 ．
18．(1)答案见解析；
(2) .
【分析】（1）先求出 的导函数 ，然后利用导数分类讨论分析函数 的单调
性即可；
（2）对任意 恒成立，求参数的取值范围问题，转化为利用导数分类讨论求
解函数 的最小值，判断最小值是否大于零即可.
【详解】（1）由题可知 .
设 ，则 .
①当 时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增.
②当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
综上所述，当 时， 是 上的增函数，
答案第14页，共2页当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数.
（2）①当 时， 在 上单调递增， ，
则 在 上单调递增，故 成立；
②当 时， ，所以 在 上单调递增， ，
则 单调递增，故 成立；
③当 时，当 时， 在 上单调递减，
又 ，所以 在 上单调递减，则 不成立.
综上， 的取值范围为 .
19．(1)①分布列见解析， ；②
(2)详见解析.
【分析】（1）①由题意可知 ，利用二项分布可得分布列进而可求得期望，②
根据条件概率的公式求解在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率；
（2）分类讨论求出 与 的关系，做差比较大小即可得出结论.
【详解】（1）①因为 ，所以控制系统中正常工作的元件个数 的可能取值为0，1，
2，3；
因为每个元件的工作相互独立，且正常工作的概率均为 ，
所以 ，
所以 ，
答案第15页，共2页
学科网（北京）股份有限公司，
，
所以控制系统中正常工作的元件个数 的分布列为
0 1 2 3
控制系统中正常工作的元件个数 的数学期望为 ，
②设“设备正常运行”为事件 “所有元件都正常工作”为事件
则在设备正常运行的条件下，求所有元件都正常工作的概率为 ，
（2）因为控制系统中元件总数为奇数，若增加2个元件，
则设备正常运行有三种情况，
第一类：原系统中至少有 个元件正常工作，
其概率为 ；
第二类：原系统中恰好有 个元件正常工作，新增2个元件中至少有1个正常工作，
其概率为 ；
第三类：原系统中有 个元件正常工作，新增2个元件全部正常工作，
其概率为 ；
所以
，
答案第16页，共2页即 ；
则 ，
所以，当 时， ，即增加元件个数能提高设备正常工作的概率，
当 时， ，即增加元件个数不能提高设备正常工作的概率.
答案第17页，共2页
学科网（北京）股份有限公司
