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大联考长沙市一中 2024 届高三月考试卷（一）
数学
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设非空集合P，Q满足 ，则表述正确的是（ ）
A. ，有 B. ，有
C. ，使得 D. ，使得
【答案】B
【解析】
【分析】根据子集的定义即可求解.
【详解】因为P⊆Q，则由子集的定义知集合P中的任何一个元素都在Q中，
而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等两种情况)，故B正确，ACD错误．
故选：B
2. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比数列前 项和的性质列方程求解
【详解】由等比数列 的前 项和的性质可得： 也成等比数列，
，得 ，
解得 .
故选：B.
3. 已知 ，则 （ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二倍角公式和同角三角函数的关系求解
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：B.
4. 抛物线 焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ，则该双曲线的离心率为
的
（ ）
.
A B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得 ，由此求得双曲线的离心
率.
【详解】抛物线 即 的焦点坐标为 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以点 到直线 的距离为 ，则 ，
则双曲线的离心率为 .
故选：A
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知非零向量 ，则下列命题错误的是（ ）
A.
B.
C. 与向量 共线的单位向量为
D. 记 ，则向量 在向量 上的投影向量为
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量数量积的定义判断 A；利用向量加法的三角形法则判断 B；利用单位向量的定义判断
C；利用投影向量的定义判断D.
【详解】对于选项A： 故A正确；
对于选项B：当 不共线时，由向量加法的三角形法则，可得 ；当 反向共线时，
可得 ；当 同向共线时，可得 ；综合可得
，故B正确；
对于选项C：与向量 共线的单位向量为 ，故C错误；
对于选项 由 ，易知 ，所以向量 在向量 上的投影向量为
；故D正确.
故选：C.
6. 已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
甲： ；
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学科网（北京）股份有限公司乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】根据正态曲线的对称性可判定乙､丙一定都正确，继而根据正态曲线的对称性可判断甲和丁，即
得答案.
【详解】因为只有一个假命题，故乙､丙只要有一个错，另一个一定错，不合题意，
所以乙､丙一定都正确，则 ，
故甲正确，
根据正态曲线的对称性可得 ，故丁错.
故选：D.
7. 如图，在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 的中点，过 作该正
方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】易得正方体外接球的球心在其中心点 处，要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截
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学科网（北京）股份有限公司面圆的圆心为线段 的中点 求解.
【详解】解：如图，
正方体外接球的球心在其中心点 处，球的半径 ，
要使过 的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段 的中点 ，
连接 ，则 ，
所以 ，
此时截面圆的半径 ，
此时，截面面积的最小值 .
故选：C.
8. 设 ，记 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（
）
A. 0 B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，利用单调性求出 的最值，再根据绝对值的意义确定
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学科网（北京）股份有限公司，利用一次函数求解 的最小值即可.
【详解】设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ，
所以 是 三者中的较大者，如图：
表示的函数图象为图中粗线部分，且 ，
所以当 时， 的最小值为 .
故选：B.
二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知 ，则（ ）
A. 的展开式中没有常数项
B. 的展开式中系数最大的项是
C. 的展开式的二项式系数之和为128
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学科网（北京）股份有限公司D. 的展开式中各项的系数之和为1
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用二项展开式的通项可判断A；结合二项式系数的性质以及二项展开式的通项可判断 B；根据
二项式系数和性质可判断C；利用赋值法求得项的系数和可判断D.
【详解】对于选项 的二项展开式的通项为
，
不满足 ，故 的展开式中没有常数项，故 正确；
对于选项 ：由于 的最大值为 ，
故展开式中系数最大的项是 ，故B正确；
对于选项C：展开式的二项式系数之和为 ，故C正确；
对于选项 ：令 ，可得展开式中各项的系数之和为 ，故 错误.
故选： .
10. 如图， 与 分别为圆台上､下底面直径， ，若 ，则（ ）
A. 圆台的全面积为
B. 圆台的体积为
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学科网（北京）股份有限公司C. 圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为
D. 从点 经过圆台的侧面到点 的最短距离为
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题目所给数据代入圆台的全面积公式和体积公式可知A正确，B错误；易知圆台的中截面是
以等腰梯形 的中位线为直径的圆，可得其截面积为 ，所以C错误；根据圆台侧面展开图利用弧
长公式和余弦定理即可求得点 经过圆台的侧面到点 的最短距离为 ，即D正确.
【详解】对于 选项：圆台的全面积包括上下底面积及侧面积，底面积为 ，
根据圆台侧面积公式可得其侧面积为 ，所以圆台的全面积为 ，故A正确；
对于B选项：根据台体体积公式可得圆台的体积为 ，故
B错误；
对于C选项：易知圆台的轴截面 为等腰梯形，其中位线为中截面圆的直径，
所以中截面圆的半径长为 ，所以中截面圆的面积为 ，故C错误；
对于D选项：将圆台沿着轴截面 切开，将圆台的侧面的一半展开，延长 交于点 ，如图
所示：
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学科网（北京）股份有限公司在圆台的轴截面等腰梯形 中， ，
根据台体性质易知 分别为 的中点，所以 3，
设 ，则 ，则 ，
在 中， ，由余弦定理可得
，
因此，从点 经过圆台的侧面到点 的最短距离为 ，故D正确.
.
故选：AD
11. 如图，直线 与半径为1的圆 相切于点 ，射线 从 出发绕点 逆时针方向旋转到 ，
在旋转过程中， 交 于点 ，设 为 （其中 ），射线 扫过的圆 内部的区域
（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 函数 的单调递增区间为
C. 函数 图象的对称中心为
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学科网（北京）股份有限公司D. 函数 在 处的瞬时变化率最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据扇形及三角形面积公式求出 即可判断A，求导数利用三角函数 的有界性可判断B，根
据函数对称性的性质判断C，根据导数的几何意义三角函数有界性判断D.
【详解】由题意， ，则 .
所以 ，故选项A正确；
因为 ，故函数 的单调递增区间为 ，故选项 错误；
因为 ，所以 的图象关于点 中心对称，故选项C正确；
，故 时，函数 的瞬时变化率最大，故选项D正确.
故选：ACD.
12. 已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，都有 ，
则下列说法正确的有（ ）
A. B. 数列 是等差数列
C. D. 当 为奇数时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】令 ，求得 ，判断A；根据等差数列定义可判断B；结合B的分析采用累加法可判
断C；结合C，令 ，得 ，求得 ，即可判断D.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意知 ，
令 ，得 ，解得 ，故A正确.
此时 ，令 ，得 ，
从而 ，
所以数列 是以3为首项，2为公差的等差数列，故B正确.
所以 ，
所以
，
所以 ，故C错误.
令 ，得 ，所以 ，
令 ，则k为奇数，则 ，
又 适合上式，所以当 为奇数时， ，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：根据已知数列满足 ，结合题意，可采用赋值的方法，即令
取恰当的值进行求解；
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知两圆 ，若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则
的取值范围为__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据切线条数可知两圆相交，据此列出不等式求解即可.
【详解】若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则两圆相交，
圆心 ，半径 ，圆心 ，半径 ，
则 ，
若两圆相交，则满足 ，即 ，得 ，
又 ，所以 ，
故答案为： .
14. 在等差数列 中，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则使 成立的正整数
的最大值是__________.
【答案】9
【解析】
【分析】由题意可得 且 ，由等差数列的性质和求和公式可得结论．
【详解】 等差数列 的前 项和有最大值， 等差数列 为递减数列，
又 ， ， ，
又 ， ，
则使 成立的正整数 的最大值是9.
故答案为：9
15. 已知函数 ，若 恰有两个零点，则实数 的取值范围是__________.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】 恰有两个零点，等价于 的两个实数根，设 ，利用导数研究函数单
调性，作出函数图像，数形结合求解.
【详解】函数 ，定义域为R，
显然 不是 的零点，令 得 ，
设 ，则 ，
，解得 且 ； ，解得 ，
有 在 上单调递减， 上单调递减， 上单调递增，
时， ； 时， ，
当 时， 取得极小值 ，作出函数 的大致图像如图所示，
结合图像可知实数 的取值范围是 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司16. 已知函数 的图象在 轴上的截距为 ，且在区间 上没
有最值，则 的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，根据条件求出周期确定 的大致范围，再根据函数 的性质建立不等
式确定 的具体范围.
【详解】由题意可知， ，且 ，则 ，又 在区间 上没有最值， ，
即 ；
先考虑 在区间 上存在最值，则 ，
即 ，又 ，即 ，即 可取1，2，得 ；
由 在区间 上没有最值，可得 ；
故答案为： .
四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 记 的内角 的对边分别为 .已知 ，点 是边 的中点，
（1）证明： ；
（2）求 .
【答案】（1）证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果；
（2）利用余弦定理和三角函数的关系式的变换求出结果.
【小问1详解】
由题意得：
由正弦定理得： ，即 ，
所以 ，
由于 ，所以： .
【小问2详解】
由题意知： ，
所以 ，
同理
由于 ，
所以 整理得 ，
由余弦定理： .
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学科网（北京）股份有限公司18. 设各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前99项和.
【答案】（1）
（2）9
【解析】
【分析】（1）根据数列的通项与前 项和的关系，利用相减法可得 ，再根据等差数列的性
质求解即可得数列 的通项公式；
（2）根据裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
由题知 .
当 时， ；
当 时， ，所以 ，
所以数列 是首项为1，公差为2的等差数列，数列 是首项为2，公差也为2的等差数列，
则 ，
所以 .
【小问2详解】
由（1）得， ，
即 .
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学科网（北京）股份有限公司19. 如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，
作 交 于点 ，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理可得答案；
（2）解法一：设 ，由 得 ，再利用 求出 ，由
（1）知 平面 ， 即为所求角，再由 可得答案；
解法二：设 ，由 得 ，再利用 求出 ，以 为
原点，与 垂直的方向，射线 ，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求出
、平面 的一个法向量，由线面角的向量求法可得答案.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为 平面 平面 ，所以 ，
又因为 ，而 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又因为 ，点 是 的中点，所以 .
而 平面 ，
所以 平面 平面 ，所以 ，
又 平面 ，
所以 平面 ；
【小问2详解】
解法一：设 ，由（1）得， ，
可知 ，
由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 ，故 .
由（1）知 平面 ，故 即为所求角，
在Rt 中， ，
又 ，故 ；
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学科网（北京）股份有限公司解法二：设 ，由（1）得， ，
可知 ，
由 ，得 ，故 ，
在Rt 中， ，
所以 ，
化简得 ，解得 .
如图，以 为原点，与 垂直的方向，射线 ，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐
标系.
因为 ，则 ，
，
由（1）知， 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，又 ，故 .
20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行
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学科网（北京）股份有限公司物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的
概率均为p（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对
子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率
为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的
概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？
并说明理由．
【答案】（1）
（2）使用B型号炮弹，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用间接法与二项分布的概率公式得到关于 的不等式，解之即可；
（2）先利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率，再利用作差法与构造函数
法，结合导数比较得两概率的大小，从而得到结论.
【小问1详解】
因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，则 （ 服
从二项分布），
则 ，
即 ，则 ，即 ，则 ，
又 ，故 ，
所以当 时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于 .
【小问2详解】
在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用 表示命中目标飞行物的炮弹数，则 （ 服从二项
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学科网（北京）股份有限公司分布），，
记事件 为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，事件 为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
，
，
因为 ，所以 ，
则
，
令 ，则 ，
令 ，即 ，则 ，得 ，
又 ，所以 恒成立，
所以 在 上单调递增，
又 ，则 ，
故 ，即 ，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键点有两次，一次是理解A、B型炮弹击中飞行物的次数服从二项分布，
进而利用二项分布的概率公式求得两种类型的炮弹击毁目标飞行物的概率；二次是利用导数比较两者概率
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学科网（北京）股份有限公司的大小.
21. 已知椭圆 左焦点为 ，点 到椭圆 上的点的距离最小值是1，离心率为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交椭圆 于另一点 ，求 的内切圆半
径的范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求椭圆的方程；
（2）设 的直线方程为 ，与椭圆方程联立得出韦达定理，点 三点共线且斜率
相等结合韦达定理得出直线 过定点 ，设所求内切圆半径为 ， 结
合面积公式以及对勾函数的单调性得出结果.
【小问1详解】
依题意 解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
因为 不与坐标轴垂直，可设 的直线方程为 ，
设点 ，则 ，
联立 得 ，
则
因为点 三点共线且斜率一定存在，
所以 ，所以 ，
将 代入，化简可得 ，
故 ，解得 ，满足
所以直线 过定点 ，且 为椭圆右焦点，
设所求内切圆半径为 ，因为 ，所以
，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，所以 ，
因为 ，对勾函数 在区间 上单调递增，
所以 ，则 .
所以 内切圆半径 的范围为 .
22. 已知函数 .
（1）若 .求证： ；
（2）若函数 与函数 存在两条公切线，求整数 的最小值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）构建 ，求导，利用导数判断原函数的单调性与最值，进而可得结果；
（2）设两函数切点坐标，利用导数求斜率，可得切线方程，根据切线方程斜率和截距分别相等列方程组，
消元后构造函数，利用导数研究函数最值即可求解.
【小问1详解】
当 时， ，
令 ，则 ，
令 ，因为 ，
所以 在区间 上单调递增，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以存在 ，满足 ，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增；
则当 时， 取得最小值，
可得 ，
因为 ，所以 不成立，故等号不成立，则 ，
所以当 时， .
【小问2详解】
设公切线 与两函数的图象分别相切于点 和点 ，
因为 ，
所以直线 的方程可表示为 或 ，
则有 ，①
，②
由①可得 ，代入②可得 ，
即 ，令 ，则 ，
令 ，则 ， ，
所以由复合函数的单调性可知 在区间 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，
根据零点存在定理知，存在 ，使得 ，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增.
因为 在 上单调递增，所以 ，
则 ，
又 为整数，所以 ，故所求整数 的最小值是 .
【点睛】方法点睛：对于函数 与函数 有相同的切线问题，一般设函数 在点 处
与函数 在点 处有相同的切线，由 ，利用消元法，转化
为方程有解求解.
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学科网（北京）股份有限公司
