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大联考长沙市一中 2024 届高三月考试卷（一）
数学
时量：120分钟 满分：150分
一､选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 设非空集合P，Q满足 ，则表述正确的是（ ）
A. ，有 B. ，有
C. ，使得 D. ，使得
2. 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A. 20 B. 30 C. 35 D. 40
3. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离是 ，则该双曲线的离心率为
（ ）
A. B. C. 2 D.
5. 已知非零向量 ，则下列命题错误的是（ ）
A.
B.
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学科网（北京）股份有限公司C. 与向量 共线的单位向量为
D. 记 ，则向量 在向量 上的投影向量为
6. 已知随机变量 服从正态分布 ，有下列四个命题：
甲： ；
乙： ；
丙： ；
丁：
如果只有一个假命题，则该命题为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
7. 如图，在棱长为1的正方体 中， 分别为棱 的中点，过 作该正
方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设 ，记 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（
）
A. 0 B. C. D. 2
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学科网（北京）股份有限公司二､多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符
合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知 ，则（ ）
A. 的展开式中没有常数项
B. 的展开式中系数最大的项是
C. 的展开式的二项式系数之和为128
D. 的展开式中各项的系数之和为1
10. 如图， 与 分别为圆台上､下底面直径， ，若 ，则（ ）
A. 圆台的全面积为
B. 圆台的体积为
C. 圆台的中截面（过圆台高的中点且平行底面的截面）面积为
D. 从点 经过圆台的侧面到点 的最短距离为
11. 如图，直线 与半径为1的圆 相切于点 ，射线 从 出发绕点 逆时针方向旋转到 ，
在旋转过程中， 交 于点 ，设 为 （其中 ），射线 扫过的圆 内部的区域
（阴影部分）的面积为 ，则下列说法正确的有（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 函数 的单调递增区间为
C. 函数 图象 的对称中心为
D. 函数 在 处的瞬时变化率最大
12. 已知数列 满足 ，且对任意的正整数 ，都有 ，
则下列说法正确的有（ ）
A. B. 数列 是等差数列
C. D. 当 为奇数时，
三､填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 已知两圆 ，若圆 与圆 有且仅有两条公切线，则
的取值范围为__________.
14. 在等差数列 中，若 ，且数列 的前 项和 有最大值，则使 成立的正整数
的最大值是__________.
的
15. 已知函数 ，若 恰有两个零点，则实数 取值范围是__________.
16. 已知函数 的图象在 轴上的截距为 ，且在区间 上没
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学科网（北京）股份有限公司有最值，则 的取值范围为__________.
四､解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
17. 记 的内角 的对边分别为 .已知 ，点 是边 的中点，
（1）证明： ；
.
（2）求
18. 设各项均不为零的数列 的前 项和为 ，且对于任意 ，满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 前99项和.
的
19. 如图，在三棱锥 中，侧棱 底面 ，且 ，过棱 的中点 ，
作 交 于点 ，连接 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若 ，三棱锥 的体积是 ，求直线 与平面 所成角的大小.
20. 现有一种射击训练，每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，每发炮弹击中目标飞行
物与否相互独立．已知射击训练有A，B两种型号的炮弹，对于A型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的
概率均为p（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率为0.6，击中两弹目标飞行物必坠段；对
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学科网（北京）股份有限公司子B型号炮弹，每发炮弹击中目标飞行物的概率均为q（ ），且击中一弹目标飞行物坠毁的概率
为0.4，击中两弹目标飞行物坠毁的概率为0.8，击中三弹目标飞行物必坠毁．
（1）在一次训练中，使用B型号炮弹，求q满足什么条件时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的
概率不低于 ；
（2）若 ，试判断在一次训练中选用A型号炮弹还是B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大？
并说明理由．
21. 已知椭圆 左焦点为 ，点 到椭圆 上的点的距离最小值是1，离心率为
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 是椭圆上关于 轴对称的两点， 交椭圆 于另一点 ，求 的内切圆半
径的范围.
22. 已知函数 .
（1）若 .求证： ；
的
（2）若函数 与函数 存在两条公切线，求整数 最小值.
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