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长沙市第一中学 2023—2024 学年度高二第二学期第二次阶段性检测
数学
时量：120分钟 满分：150分
得分__________.
一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1.已知复数 满足 ，则复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2.已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了
径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（ ）
A.25 B.23 C.21 D.19
3.已知向量 ，则向量 在向量 上的投影向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
4.已知直线 是三条不同的直线，平面 是三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，且 ，则
D.若 ，且 ，则
5.若将大小形状完全相同的三个红球和三个白球（除颜色外不考虑球的其他区别）排成一排，则有且只有
两个白球相邻的排法有（ ）
A.6 B.12 C.18 D.36
6.若 ，设 ，则 的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.7.已知等比数列 的前 项和为 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.1
8.已知 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A.9 B.12 C.36 D.48
二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.关于二项式 的展开式，下列说法正确的有（ ）
A.有3项
B.常数项为3
C.所有项的二项式系数和为8
D.所有项的系数和为0
10.已知曲线 ，则（ ）
A.曲线 在第一象限为双曲线的一部分
B.曲线 的图象关于原点对称
C.直线 与曲线 没有交点
D.存在过原点的直线与曲线 有三个交点
11.若定义域为 的函数 不恒为零，且满足等式 ，则下列说法正确的是
（ ）
A. B. 在定义域上单调递增
C. 是偶函数 D.函数 有两个极值点
三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.某小球可以看作一个质点，沿坚直方向运动时其相对于地面的高度 （单位： ）与时间 （单位：
s）存在函数关系 ，则该小球在 时的瞬时速度为__________ .
13.若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 __________.14.在四面体 中，且 ，点 分别是线段 ，
的中点，若直线 平面 ，且 截四面体 形成的截面为平面区域 ，则 的面积的最大
值为__________.
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）
在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积.
16.（本小题满分15分）
由四棱柱 截去三棱锥 后得到如图所示的几何体，四边形 是菱形，
为 与 的交点， 平面 .
（1）求证： 平面 ；
（2）若二面角 的正切值为 ，求平面 与平面 夹角的大小.
17.（本小题满分15分）
已知函数 .
（1）当 时，求证： ；
（2）若 存在两个零点，求实数 的取值范围.
18.（本小题满分17分）
短视频已成为当下宣传的重要手段，某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来
此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，
因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人.短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客
北方游客
合计
（1）依据调查数据完成如下列联表，并根据小概率值 的独立性检验，分析南北方游客来此景点
旅游是否与收看短视频有关联；
（2）为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人
之一，现有甲､乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出.
（i）若 ，求经过 次传递后球回到甲的概率；
（ii）已知 ，记前 次传递中球传到乙的次数为 ，求 的数学期望.
参考公式： ，其中 ；若 为随机变量，则
.
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19.（本小题满分17分）
已知双曲线 ，过 的直线 与双曲线 的右支交于 两点.
（1）若 ，求直线 的方程，
（2）设过点 且垂直于直线 的直线 与双曲线 交于 两点，其中 在双曲线的右支上.
（i）设 和 的面积分别为 ，求 的取值范围；
（ii）若 关于原点对称的点为 ，证明： 为 的垂心，且 四点共圆.长沙市第一中学 2023—2024 学年度高二第二学期第二次阶段性检测
数学参考答案
一､二､选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A C B D B D C C BCD AC AD
1.A 【解析】 ，故 的虚部为 .故选：A.
2.C 【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为 ，参加田赛项目的学生组成的集合为 ，参加
径赛项目的学生组成的集合为 ，由题意集合 有17个元素， 有22个元素， 中有9个元素，所
以 有 个元素.所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 .故选：
C.
3.B 【解析】 ，
向量 在向量 上的投影向量为 ，故选：B.
4.D 【解析】对于A，若 ，则 可能平行，可能异面，可能相交，故A错误；
对于B，若 ，则 或 ，故B错误；
对于C，以长方体 为例， 平面 平面，但 与平面 不垂直，故C错误；故选D.
5.B 【解析】除颜色外不考虑球的其他区别，将三个白球分成两堆，只有一种分法，大小形状完全相同的
三个红球排成一排也只有一种排法，将白球插空有 种可能，故选：B.
6.D 【解析】由题意知 ，由 ，
所以 为偶函数，当 单调递增，
因为 ，且 ，所以
，
所以 ，即 .故选：D.
7.C 【解析】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，
则 ，即 ，
因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，
当 为奇数时， ，所以 ，
当 为偶数时， ，所以 ，所以 .故选：C.
8.C 【解析】依题意， 与 为圆 上一点，且 ，得 为
等腰直角三角形，设 为 的中点，则点 在以 为圆心，2为半径的圆上，即 ，故 ，
因为点 到定点 的距离的最大值为 ，因此 的最大值为36.
9.BCD 【解析】对A，因为二项式 的展开式中共有4项，故A错误；
对B，二项式 的展开式中通项为 ，令
，得 ，所以常数项为 ，故B正确；
对C，二项式 中，所有项的二项式系数和为 ，故C正确；
对D，令 ，得 ，故D正确.故选：BCD.
10.AC 【解析】当 时，曲线 ，为焦点在 轴上的双曲线的一部分；
当 时，曲线 ，为焦点在 轴的棈圆的一部分；
当 时，曲线 ，为焦点在 轴上的双曲线的一部分；
当 时，曲线 没有图象.
由图象可知，A正确，B错误，结合曲线 的渐近线可知C正确，D错误.
11.AD 【解析】对于 ，令 得 ，即 ，A正确；对于B，若 在定义域上单调递增，当 时， ，令 ，得
，即 ，与 在定义域上单调递增矛盾，故B错误；
对于C，若 是偶函数，则 ，且 ，因为 ，
所以 ，所以 ，即 ，
得 或 ，又 ，所以 恒成立，矛盾，故C错误；
对于D，当 时， ，记 ，
则 ，
所以 ，令 ，
解得 ，因为 不恒为零，所以在 两边 异号，
所以 为 的极值点，所以函数 有两个极值点，D正确.故选：AD
三､填空题
12.-2 【解析】由函数 ，可得 ，则 ，
所以该小球在 时的瞬时速度为-2.故答案为：-2.
13.0.34 【解析】 服从正态分布 ，则 .
故答案为0.34.
14. 【解析】四面体 拓展为长方体，如图所示， ，
设 ，则有
因为点 分别是线段 的中点，所以 底面 ，
又有直线 平面 ，所以 底面 ，设平面 与 的交线分别为： ，
因为 底面 分别与平面 交于 ，所以 ，同理 ，
所以 ，同理 ，所以四边形 为平行四边形，
且 ，在 中， ，
，
所以 ，
设 ，则 ，由 ，所以 ，
由 ，同理可得 ，所以 ，
因为平行四边形 围成一个平面区域 ，面积为 ，
，
当且仅当 时取等号.故答案为： .
四､解答题
15.【解析】（1）法一：根据正弦定理
，
整理得 ，因为 ，所以 ，
由正弦定理可得 ；
法二：由 ，
由射影定理知 （因为 ），故 .
（2）因为 ，由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，故 ，从而 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 .
16.【解析】（1） 四边形 是菱形， 为 与 的交点， 平面 .
以直线 分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，设 ，
由 得 ，
由 得 ，则 ，设平面
的法向量为 ，
则 取 ，得 ，
，又 平面 ，
平面 .
（2）取 的中点 ，则 ，又四边形 是菱形， 平面
，故 面 ，则 ，又 ，故 .所以 为二面角 的平面角.
则 ，得 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 取 ，得 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 ，
平面 与平面 夹角为 .
法二：（1）将几何体补成四棱柱，用常规法做.
（2）找到平面角两分，两个法向量各两分，后面一样.
17.【解析】（1）当 时， .
先证明： ，
设 ，则 ，即 ，即 ，
类似地有 ，
因此 ，证毕.
（2）令 ，得 ，
设 ，显然 在定义域上单调递增，而 ，
则 ，依题意，方程 有两个不等的实根，
显然 ，故 存在两个不同的零点，设 ，则 ，
（i）当 时，则 ，此时 在 上单调递增， 最多一个零点，不合题意；
（ii）当 时，此时 ，当 时， ，当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
要使 有两个零点，则 ，解得 ，
综上可知， .
18.【解析】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表：
短视频
游客 合计
收看 未看
南方游客 200 100 300
北方游客 80 120 200
合计 280 220 500
零假设 ：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联.
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001.
（2）（i）设经过 次传递后回到甲的概率为 ，
，又 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 .
（ii）方法一：设第 次传递时甲接到球的次数为 ，则 服从两点分布， ，设前 次传递中球传到甲的次数为 ，
，
因为 ，所以 .
方法二：设第 次传递时，乙接到球的概率和次数分别为 与 ，则 服从两点分布， ，
由题可知 ，
又 ，所以 ，所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
，
，
故 .
19.【解析】（1）设 ，直线 ，因为直线 与双曲线右支相交，故
，
联立双曲线方程 ，得 ，
则 ，
故 ，
即 ，解得 ，或 （舍去），因此 ，从而直线 的方程为 .
（2）（i）若 ，则 ，
由（1）可知， ，
此时 ；
当 时，设 ，直线 ，
由（1）同理可知 ，
故
注意到
，
令 ，则 ，
综上可知， 的取值范围是 .（ii）先证明 为 的垂心，只需证明 ，
注意到， ，
而
，
同理 ，
，
因此 ，又 ，故 为 的垂心，因此 ，
再证明 四点共圆，即只需证明： .
因为 关于原点对称，则 ，
同理可得 ；
则 ，即 ，
因此 ，因此 四点共圆.
