文档内容
兰州一中 2023—2024-2 学期 5 月月考试题
高二数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分
钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑．
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框．回答非选择题时，将答案写在答题卡
上，写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1． ，若 共面，则实数 为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．某学生的 密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字共九个符号组成．该生
在登录 时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数，则不超过两次就输对
密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛．规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判．每局比赛结
束时，负方在下一局比赛中担任裁判．如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．两平行平面 分别经过坐标原点 和点 ，且两平面的一个法向量 ，则两平面
间的距离是（ ）
A． B． C． D．
5．袋子中装有5个形状和大小相同的球，其中3个标有字母 个标有字母 ．甲先从袋中随机摸一个球，
摸出的球不再放回，然后乙从袋中随机摸一个球，若甲、乙两人摸到标有字母 的球的概率分别为 ．
则（ ）A． B．
C． D．
6．已知事件 互斥，它们都不发生的概率为 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在四棱锥 中，底面 是边长为3的正方形， 底面 ，点 在侧棱
上．且满足 ，则异面直线 和 的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式： ，
这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中 称为 的全概率．春夏换季是流行
性感冒爆发期，已知 三个地区分别有 的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是
，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自 地区的概率是（ ）
A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.52
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．）
9．对于函数 ，下列说法错误的是（ ）
A． 有最小值但没有最大值
B．对于任意的 ，恒有
C． 有两个零点
D． 有两个极值点
10．“新高考”后，普通高考考试科目实行“3+1+2”模式，其中“2”就是考生在思想政治、地理、化学、
生物学这4门科目中选择2门作为再选科目．甲、乙两名同学各自从这4门科目中任意挑选2门科目学习．记事件 表示“甲、乙两人中恰有一人选择生物学”，事件 表示“甲、乙两人都选择了生物学”，事件
表示“甲、乙两人所选科目完全相同”，事件 表示“甲、乙两人所选科目不完全相同”，则（ ）
A． 与 相互独立 B．
C． D．
11．布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案
（如图1）把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体．若图3中每
个正方体的棱长为1，则（ ）
A．
B．异面直线 与 所成角正弦值为
C．点 到直线 的距离是
D． 为线段 上的一个动点，则 的最大值为3
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．设随机变量 的分布列为 ，则 的值为______．
13．写出曲线 过坐标原点的切线方程：______，______．
14．已知四棱柱 的底面是正方形， ，点 在底面 的射影为
中点 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．（本题满分13分）
已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个．
（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；
（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；
（3）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率
16．（本题满分15分）
如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，已知 ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求 到平面 的距离．
17．（本题满分15分）
在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，在“阳马”
中，侧棱 底面 ，且 ．
（1）若 ，试计算底面 面积的最大值；
（2）过棱 的中点 作 ，交 于点 ，连 ，若平面 与平面 所
成锐二面角的大小为 ，
（i）证明： 平面 （ii）试求 的值．18．（本题满分17分）
教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平
而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源
匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，
每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有
支教经验，3人没有支教经验．
（1）求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率；
（2）求第一次抽取到无支教经验的教师人数 的分布列；
（3）求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由．
19．（本题满分17分）
对于函数 的导函数 ，若在其定义域内存在实数 和 ，使得
成立，则称 是“跃点”函数，并称 是函数 的“ 跃点”．
（1）若函数 是“ 跃点”函数，求实数 的取值范围；
（2）若函数 是定义在 上的“1跃点”函数，且在定义域内存在两个不同的“1跃
点”，求实数 的取值范围；
（3）若函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数 的取
值范围．兰州一中 2023—2024—2 学期 5 月月考试题参考答案
高二数学
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C C B A B A C
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，第10题答对一个选项得2分；第9、11题答对一个选项得3分，有选错的得0分．）
题号 9 10 11
答案 CD BCD BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． ； 13． ； 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤．）
15．（1）采取放回的方法，两次都取得白球的概率 ；
（2）采取不放回的方法，两次至少有一次取得白球的概率 ；
（3）记事件 ：第一次取出的是红球；事件 ：第二次取出的是红球，
则 ，
利用条件概率的计算公式，可得 ．
16．（1）证明：连接 交 于点 ，则 为 中点，连接 ，又 是 中点，则 ，平面 平面 ，
平面 ；
（2）如图，以点 为原点，射线 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
平面 的一个法向量为
D到平面 的距离 ．
17．（1）设 ，
由已知可知 ，而底面 的面积为 ，
则由均值不等式，可知 ，
当且仅当 时等号成立；
（2）如图，以点 为原点，射线 分别为 轴， 轴， 轴的正半轴，
建立空间直角坐标系，
（i）设 ，则 ，
所以 ，由于 是 的中点，则 ，故 ，
于是 ，即 ，又已知 ，而 ，
所以 平面 ；
（ii）由（i） 是平面 的一个法向量，
而因为 平面 ，所以 是平面 的一个法向量，
由已知平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
则 ，解得 ，所以 ．
故当平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ．
18．（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； ．
（2） 表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数， 的可能取值有0，1，2．
； ； ．
所以分布列为：
0 1 2
0.1 0.6 0.3
（3）设 表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数， 可能的取值有 ，则有：因为 ，
故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人．
19、【解析】（1）函数 的导函数为 ，
因为函数 是“ 跃点”函数，
则方程 有解，即 有解，
而 ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
（2）函数 的导函数为 ，
依题意，方程 ，即 ，
在 上有两个不等实根，
令 ，因此函数 在 上有两个不同零点，
则 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是
（3）函数 的导函数为 ，因为函数 是“1跃点”函数，且在定义域内恰存在一个“1跃点”，
则方程 ，显然 ，所以 在 上恰有一个实数根，
令 ，求导得 ，
由 ，得 ；由 ，得 且 ，
于是函数 在 上单调递减， 恒成立，函数 的取值集合是 ，
在 上单调递减，函数 的取值集合是 ，
在 上单调递增，函数 的取值集合是 ，函数 的图象，如图，
当 时，直线 与函数 的图象有唯一公共点，
即方程 恰有一个实数根，从而 ，
所以 的取值范围为 ．
