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专题 14 阿基米德三角形与椭圆、双曲线焦点三角形内切圆问题
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题型01 阿基米德三角形...........................................................................................................................................1
题型02 椭圆中焦点三角形的内切圆.....................................................................................................................15
题型03 双曲线中焦点三角形的内切圆.................................................................................................................23
题型 01 阿基米德三角形
【解题规律·提分快招】
一、阿基米德三角形
1、定义：如图所示， 为抛物线 的弦， ， ，分别过 作的抛物线的
切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边．
y
B
F
A
O x
P
2、阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）
性质1：MF⊥AB；性质2：MA⊥MB；性质3：MN∥x轴；性质4：S 最小值为p²
△ABM
对于点A，B:
①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点
对于点M
③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点
④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点
满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角形”
3、阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）
y
A
M
P
O F x
B
1、阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线的轴．
2、若阿基米德三角形的底边即弦 过抛物线内定点 ，则另一顶点 的轨迹为一条直线．
3、若直线 与抛物线没有公共点，以 上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点．
4、底边长为 的阿基米德三角形的面积的最大值为 ．
5、若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点 的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为 ．
6、点 的坐标为 ；
7、底边 所在的直线方程为
8、 的面积为 ．
9、若点 的坐标为 ，则底边 的直线方程为 ．
10、如图1，若 为抛物线弧 上的动点，点 处的切线与 ， 分别交于点C，D，则
.
图1
11、若 为抛物线弧 上的动点，抛物线在点 处的切线与阿基米德三角形 的边 ， 分别交于点C，D，则 ．
12、抛物线和它的一条弦所围成的面积，等于以此弦为底边的阿基米德三角形面积的 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习） 为抛物线 的弦，A(x ,y )，B(x ,y )分别过 作
1 1 2 2
的抛物线的切线交于点 ，称 为阿基米德三角形，弦 为阿基米德三角形的底边.若弦
过焦点 ，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．底边 的直线方程为 ；
C． 是直角三角形；
D． 面积的最小值为 .
【答案】D
【分析】由导数的几何意义，求得可得A处的切线方程，得出直线 的方程为 和
，得到 ，进而可判定A正确；
点 在直线 上，进而得到底边 的直线方程，可判定B正确；
设直线 ，联立方程组，根据 ，可判定C正确；
取 的中点 ，化简得到 的面积为 ，可判定D不正确.
【详解】如图：
依题意设A(x ,y )，B(x ,y )，由方程 ，可得 ，则 ，
1 1 2 2
由导数的几何意义知，直线 的斜率为 ，同理直线 的斜率为 ，可得A处的切线方程为： ，即 ，
化简可得 ，所以直线 的方程为 ，
同理可得：直线BM的方程为 ，所以 ，
则 ，
因为 ，解得 ，即 ，所以A正确；
因点 在直线 上，
可得 ， ，
即A(x ,y )在 上，B(x ,y )在 上，
1 1 2 2
所以底边 的直线方程为 ，所以B正确；
设直线 ，联立方程组 ，整理得 ，
则 且 ， ，
因为 ，所以 ，
所以 是直角三角形，所以C正确；
取 的中点 ，连接 ，根据抛物线的定义，可得 平行 轴，
所以
因为 ， ，所以 ，
，
代入可得 ，
当 时， ，所以D不正确.故选：D.
【点睛】方法点睛：与圆锥曲线有关的最值问题的两种解法：
（1）数形结合法：根据待求值的几何意义，充分利用平面图形的几何性质求解；
（2）构建函数法：先引入变量，构建以待求量为因变量的函数，再求其最值，常用基本不等式或导数法
求最值（注意：有时需先换元后再求最值）．
2．（2024·陕西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希腊伟大的物理学家、数学家、
天文学家，不仅在物理学方面贡献巨大，还享有“数学之神”的称号．抛物线上任意两点A，B处的切线
交于点P，称三角形PAB为“阿基米德三角形”.已知抛物线C： 的焦点为F，过A，B两点的直线
的方程为 ，关于“阿基米德三角形”△PAB，下列结论不正确的是（ ）
A． B．
C． D．点P的坐标为
【答案】D
【分析】联立方程可解得 ，则 ，根据导数可得 ，可判
断 ，利用点斜式可求得两条切线方程 和 ，联立求P ，再
求 ，可判断 ．
【详解】联立方程 ，消去 得： ，解得 或
即 ，则 ，A正确；
∵ ，即
对于 ，切线斜率分别为
∴ ，即 ，B正确；
在点A的切线方程为 ，即
同理可得在点B的切线方程为
联立方程 ，解得 ，即P ，D不正确；∵ ，则 ，
∴ ，即 ，C正确；
故选：D．
二、多选题
3．（2024·山东·模拟预测）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形．已
知抛物线 ，阿基米德三角形 ，弦 过 的焦点 ，其中点 在第一象限，则下列说法正确
的是（ ）
A．点 的纵坐标为 B． 的准线方程为
C．若 ，则 的斜率为 D． 面积的最小值为16
【答案】AD
【分析】设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 ，联立方程组，求得 ， ，求得
1 1 2 2
， 两点处的切线方程，可求得点 判断A；求得准线方程判断B；由 ，可求得
，进而可求得 ，判断C； ， ，进而可得 ，可
求 的最小值，判断D.
【详解】对于A项，设A(x ,y )，B(x ,y )，直线 ，
1 1 2 2
联立 ，消去 ，得 ， ，
所以 ， ，
由 ，得 ，则点 处的切线： ①，
同理点 处的切线： ②，联立①②，得 ， ，
所以，点 ，故A正确；
对于B项，准线方程为 ，故B错误；
对于C项， ，得 ，所以 ， ，故C错误；对于D项， ，点 到直线 的距离为： ，
所以 ，
当 时， 的面积有最小值16.故D正确.
故选：AD.
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基
米德三角形．已知三角形 为抛物线 的“阿基米德三角形”，线段 为抛物线的弦，设线段
中点为 ，下列命题正确的是（ ）
A． 轴
B．若 过点(2,0)，则点S在直线 上
C．若 ，则 面积的最大值为4
D．若 过点 ，则
【答案】BD
【分析】对于A，设A(x ,y ),B(x ,y )，得出过点 的切线方程为 ，同理过点 的切线方程
1 1 2 2
为 ，从而表示出 的坐标，由此即可判断；对于B，设 ，联立抛物线，结合韦
达定理以及 即可判断；对于C，写出面积表达式， ，故只需先求 的最大值；
对于D，设 ，结合韦达定理、向量数量积的坐标表示即可验算.
【详解】对于A，设A(x ,y ),B(x ,y )，过点 的切线方程为 （切线斜率不为0），联
1 1 2 2
立抛物线方程 ，
化简并整理得， ，注意到 ，
所以方程 可变形为 ，
而 ，所以 ，
所以过点 的切线方程为 ，结合 ，可得
过点 的切线方程为 ，同理可得过点 的切线方程为 ，
联立 ，结合 ，解得 ，
而 的中点 的坐标为 ，这表明 的纵坐标相等，所以 轴或 与x轴重合，故A错误；
对于B，若 过点(2,0)，可设 ，联立 ，
化简并整理得 ，显然 ，
由A选项分析可知点 的横坐标 ，故B正确；
对于C，设 ，则 ，
所以 ，
联立 ，化简并整理得 ， ，
由A选项分析可知， 轴， 的坐标为 ， ，
面积 ，
而 ，当且仅当 等号成立，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故C错误；
对于D，设 ，联立 ，化简并整理得 ，
， ，
由A选项分析可知 ， ，
从而 ，所以 ，这表明 ，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是得出 ，以及 ，由此即可顺
利得解.
5．（2024·湖北黄冈·模拟预测）抛物线的弦与过弦端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角
形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如：若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其
准线上．设抛物线 ，弦 过焦点 为 的中点， 为坐标原点， 为其阿基米德三角形，
则（ ）
A．存在点 ，使得 B．任意点 ，都有
C．任意点 ，都有 D． 面积的最小值为4
【答案】BCD
【分析】设 ，设直线 为 ，代入抛物线方程，由韦达定理得
，设过 的切线方程为 ，与抛物线方程 联立，利用判别式
得 ，同理得过 的切线斜率为 ，由此求出 ，可判断A；分别求得过点A、B的切线为
和 ，可得 ，进而可证得 、 并可 的面
积的最小值从而判断BCD.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，设直线 ，
1 1 2 2
联立 得 ，则 ．
设过点 的切线为 ，则
联立 ,整理可得 ，
由 ，可得 ，
同理可得过点 的切线斜率为 ．对于A，因为 ，所以 ，故A错误；
对于B，可得 处的切线方程分别为： ，∵ ，
即 ；
同理 处的切线方程分别为：
由 及 ，
得 ，
可得 ，因为F(1,0)，所以 ，
又因为直线 的斜率为 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，故C正确；
对于D， ，
当 时， 面积取得最小值为4，故D正确．
故选：BCD．
【点睛】关键点点睛：设A(x ,y ),B(x ,y )且 ， ，联立抛物线应用韦达定理有
1 1 2 2
，求过 的切线，进而确定 在准线上且 ，利用面积公式求出最小值.
6．（24-25高三上·陕西榆林·期末）若过点 可以作抛物线的两条切线，切点分别是 ，则称 为
“阿基米德三角形”．已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交 于 两点，以 为顶点
的“阿基米德三角形”为 ，则（ ）A．点 的横坐标为 B．
C． D． 面积的最小值为16
【答案】ABD
【分析】设出直线 的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的正
误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公式，
结合三角形的面积公式，可得D的正误.
【详解】对于A， ，设 ，代入 ，
整理可得 ，设A(x ,y ),B(x ,y )（不妨设 ），
1 1 2 2
则 .
由抛物线 ，整理可得函数 ，则 ，
设过点A的切线斜率为 ，易知 ，则切线方程为 ，即 ，同理
可得：过点 的切线方程为 ，
联立可得 ，解得 ，即故 ；
所以点 的横坐标为 ，故A正确；
对于B，由A可知：直线 ，直线 ，
由 ，则 ，即 ，故B正确；
对于C，由选项A可知 ，则直线 的斜率 ，
由 ，则 .由选项B可知 ，
所以 ，得 ，即 ，故C错误；
对于D，由C可得： ，
，
，则 ，当 时， 取得最小值为16，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消
元得到关于 或 的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系
式，该关系中含有 或 ，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函
数），从而可求定点、定值、最值问题.
三、填空题
7．（24-25高三上·上海·单元测试）我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A、B处的两条切线所围成的
（P为两切线的交点）叫做“阿基米德三角形”．抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线
段AB经过抛物线的焦点F时， 具有以下性质：
①P点必在抛物线的准线上；② ；③ ．
已知直线l： 与抛物线 交于A、B两点，若 ，则抛物线的“阿基米德三角形”
的顶点P的坐标为 ．
【答案】 或
【分析】设 ，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合弦长 ，
可求出 的值，再由 可求出直线 的方程，再由P点必在抛物线的准线上可求出点P的坐标.
【详解】抛物线 的焦点 ，准线方程为 ，
设 ，
由 ，得 ，
由 ，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，因为P点必在抛物线的准线 上，所以 ，
所以 ，所以 ，
当 时，因为 ，所以 ，
所以直线 的方程为 ，
因为P点必在抛物线的准线 上，所以 ，
所以 ，所以 ，
综上， 的顶点P的坐标为 或 .
故答案为： 或
四、解答题
8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过抛物线外一点 作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，我们称
为抛物线的阿基米德三角形，弦AB与抛物线所围成的封闭图形称为相应的“囧边形”，且已知“囧
边形”的面积恰为相应阿基米德三角形面积的三分之二．如图，点 是圆 上的动点，
是抛物线 的阿基米德三角形， 是抛物线 的焦点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)利用题给的结论，求图中“囧边形”面积的取值范围；
(3)设 是“圆边形”的抛物线弧 上的任意一动点（异于A，B两点），过D作抛物线的切线 交阿基米
德三角形的两切线边PA，PB于M，N，证明： ．
【答案】(1)(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据圆的几何性质可知 ，据此求出 可得解；
（2）求出弦长 及点 到直线的距离，可得出 面积，由 点在圆上，可得面积取值范围，再由
“囧边形”面积与 面积关系得解；
（3）求出过 点切线方程，联立 可得 横坐标，据此利用横坐标可得 ，即可得证.
【详解】（1）由题意得， ，
由 ，
所以
（2）设 ，
联立 ， ，
设方程的两根为 ，则 ，
由 ，所以 ，
联立直线 可得 ，
代入 方程中，得 ，即 ，
故 的面积 .
因为 在圆 上，所以 且 ，
于是 ，
显然此式在 上单调递增，故 ，
也即 ，因此 ，由题干知“囧边形”面积 ，所以“囧边形”面积的取值范围为 .
（3）由（2）知， ,
设 ，过 的切线 ，即 ，
过 点切线交 得 ，同理 ，
因为 ，
.
所以 ，即 .
【点睛】关键点点睛：联立直线与抛物线，根据韦达定理及弦长公式得出 ，再由切线相交得出 点坐
标，求出三角形面积，再由 点在圆上得出面积的范围是求解“囧边形”面积范围的关键，第三问中利用
直线上线段长度之比可化为横坐标（或纵坐标）之比是解题的关键.
题型 02 椭圆中焦点三角形的内切圆
【解题规律·提分快招】
焦点三角形双内切圆模型1
点 为椭圆 上任意一点，点P为 的内心,点G为 的重心。
性质1、假设焦点 的内切圆半径为 ，则 .
性质2、性质3、
性质4、 ， ， ，
性质5、
性质6、
性质7、
性质8、
性质9、P的轨迹为
焦点三角形内切圆模型2
点 为椭圆 上任意一点，点I为旁切圆圆心，A,B,C为切点。
结论： ，
焦点三角形双内切圆模型3
，k为直线AB的倾斜角【典例训练】
一、单选题
1．（23-24高三上·吉林·期末）已知椭圆方程为 ，P为椭圆上一点，若 ， 为
的内切圆，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由椭圆定义及圆切线性质，结合直角三角形求内切圆半径.
【详解】
由椭圆定义及圆切线性质知： .
故选：B
2．（23-24高三上·吉林延边·期中）点P是椭圆 上一点， ， 是椭圆的两个焦点，且
的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆方程求出 ，由椭圆的定义可求出 ，然后利用等面积法可
求出P点的纵坐标.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
设 的内切圆半径为 ，因为
所以 ，得 .
故选：B
3．（24-25高三上·北京·期末）若 ， 是椭圆C： （ ）的左、右焦点，P为椭圆C上
一点（不是顶点），点I为 的内心，若 的面积是 面积的3倍，则椭圆C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 内切圆半径为r，根据三角形面积公式，以及三角形内切圆的性质，结合椭圆定义，得
到 ，再由题中条件，列出等式，即可求出结果.
【详解】设 内切圆半径为r, ，
又因为 ，又 ,所以 ，即 ，
所以 .
故选：B
4．（24-25高三上·福建泉州·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点
是 上的一点， 的内切圆圆心为 ，当 时， ，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及圆的切线长定理可得 ，再借助两点间距
离公式列式求解即得.【详解】依题意， ，设椭圆 的半焦距为 ，点 ，
令 的内切圆切 的切点分别为 ，
，
联立解得 ，则 ，消去 得： ，
所以椭圆 的离心率 .
故选：C
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点， 为第一象限内
椭圆 上一点， 的内心为点 ，则直线 与 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设P、I的坐标，根据两点求距离公式求出 ，由椭圆的定义求出 ，根据内切圆的性质求
出点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解.
【详解】设 ， ，
则 ，易知F (−1,0)，
1
故 ，
则由椭圆的定义可得 ．
设A， ， 分别为 的内切圆与边 ， ， 的切点，
则 ，根据内切圆的性质知 ， ， ，
因此 ，得 ，解得 ．
在 中， ，解得 ，
因此 ，
故 .
故选：D．
6．（浙江省台州市2024-2025学年高三上学期期末质量评估数学试题）已知椭圆
的左右焦点分别为 ，点 是椭圆 上第一象限的一点， 的内心为 ，若
，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先证明焦半径公式，然后根据内切圆的性质求得 ，进一步得 ，从而 ，
由 得离心率，利用 求解即可.
【详解】先证明焦半径公式，对于椭圆方程： ，
由椭圆上任意点 及左、右焦点 、 ，
得
；同理， ；
根据椭圆方程知， ，即 ，
故椭圆 两个焦半径为 ， ，
如图,设 的内切圆与三边切于点 ，
由圆的性质可知 ，
则 ，
又 ，所以 ，所以 ，又 ，
则 ，由 得 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
故选：D
7．（23-24高三上·四川成都·期中）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是椭圆 在第一象
限的任意一点， 为 的内心，点 是坐标原点，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的定义及内切圆的性质得出 的坐标关系，再利用正切的差角公式及基本不等式计算
即可.
【详解】设 ， ，
设内切圆分别与 轴相切于点 ，
则 ， ，
，
，
又
∴ ，
易知 ，
， ，
设 ， ，
当且仅当 时等号成立，
故选：A
8．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ．点P
在C上且位于第一象限，圆（ 与线段 的延长线，线段 以及x轴均相切， 的内切圆为圆 ．
若圆 与圆 外切，且圆 圆 的面积之比为9，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆 、 与 轴的切点分别为 ， ，圆心 、 在 的角平分线上，从而切点 也在
的角平分线上，所以 ，由切线的性质求得 ， ，由圆面积比得半径比
，然后由相似形得出 ， 的关系式，从而求得离心率．
【详解】由已知及平面几何知识可得圆心 、 在 的角平分线上．如图：设圆 、 与 轴的切点分别为 ， ，由平面几何知识可得，直线 为两圆的公切线，
切点 也在 的角平分线上，所以 ，
由椭圆的定义知 ，则 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ， ．
又圆 与圆 的面积之比为9，
所以圆 与圆 的半径之比为3，
因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，故椭圆 的离心率 ．
故选：A．
题型 03 双曲线中焦点三角形的内切圆
【解题规律·提分快招】
一、双曲线焦点三角形内切圆的统一性质
【性质1】如图，已知 为双曲线 的左、右焦点，则 的内切圆与 轴
切于双曲线的顶点；且当 点为双曲线左支时，切点为左顶点；且当 点为双曲线右支时，切点为右顶
点．【性质2】如图，双曲线 的标准方程为 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为
双曲线 上异于实轴端点的任意一点， 的内切圆圆心为 ，且圆 与 三边相切于点
．设 ，则 ．
【注】性质2的证明逻辑上同样是利用“算两次”构造方程求解．同理可得， 为双曲线 的左支上异于
实轴端点的任意一点， ．若点 为双曲线 的上异于实轴端点的动点，
内心 的轨迹为 或 ， 且 ．
【性质3】如图，已知 为双曲线 的左、右焦点，过右焦点 作倾斜角为
的直线 交双曲线于 两点，若 的内切圆圆心分别为 ，半径分别为 ，则（1）
在直线 上；（2） ．
二、双曲线焦点三角形内切圆的不同模型
单内切圆模型1：点P在右支，①内切圆切于实轴顶点；② ， ；
③ ；
④若 ，则
⑤若 ， ，则单内切圆模型2：
， （ 为直线AB的倾斜角）
，
单内切圆模型3：
单内切圆模型4：单内切圆模型5：
双内切圆模型6： ， 分别为 的内切圆半径， 为直线 的倾斜角，直线
与右支交于AB两点。
②
①
③ 在x=a上
④ ⑤
旁切圆模型7： 为双曲线上任意一点。②P在右支时，Q的轨迹为
① ；
P在左支时，Q的轨迹为
③
④ ，
焦点三角形内切圆内心与重心模型8：①若GM∥x轴，则 ；②若GM∥y轴，则
;
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·云南丽江·阶段练习）已知点 为双曲线 右支上一点， ， 分
别为双曲线的左右焦点，且 ， 为 的内心，若 ，则 的值为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 的内切圆半径为 ，由 ，得到 ，结合双曲
线的定义，求得 ，再由 ，得到 ，即可求解.
【详解】设 的内切圆半径为 ，因为 ，
所以 ，可得 ，
因为点 为双曲线 右支上一点，
所以 ，可得 ，解得 ，
又因为 ，可得 ，整理得 ，
即 ，解得 或 （舍去）.
故选：C.
2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线 的右支上一点 在第一象限， ， 分别为
双曲线 的左、右焦点， 为 的内心，若内切圆 的半径为1，则 的面积等于（ ）
A．24 B．12 C． D．
【答案】C
【分析】根据切线长定理以及双曲线的定义可判断 轴，进而根据锐角三角函数以及诱导公式可得
的长度，即可求解面积.
【详解】由双曲线 的 ， ， ，
设圆与三角形三边相切于点 ,则 ，
又 ，
所以 ，
因此 轴，因此 , ，
,
所以
,
因此 ,故三角形的面积为 ．
故选：C
3．（2024·河南郑州·模拟预测）已知第一象限内的点P在双曲线 （ ， ）上，点P
关于原点的对称点为Q， ， ，是C的左、右焦点，点M是 的内心（内切圆圆心），M在x轴
上的射影为 ，记直线 的斜率分别为 ， ，且 ，则C的离心率为（ ）
A．2 B．8 C． D．
【答案】A
【分析】根据切线性质和双曲线定义求得 ，然后由斜率公式和点P在双曲线上整理化简，结合已
知求解可得.
【详解】设圆M与 ， 分别切于点A，B，则 ， ，
且，
所以 ，点 ，
设P(x ,y )， ，则 ，
1 1
所以 ， ，
，
所以 ， .
故选：A．
【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥
曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与切线性质
或三角形的等面积转化有关，遇到线段的比值时，经常需要利用相似形转化.
4．（23-24高三上·湖北襄阳·期末）已知 分别为双曲线 的左､右焦点， 为双曲线 的
右顶点. 过 的直线与双曲线 的右支交于 两点（其中点A在第一象限），设 分别为
的内心，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得 ， ， ，再由双曲线的定义可得 ，进而
可得 ，设点J的横坐标，由题意可得横坐标为a，设直线AB的倾斜角，则可求得，再由 的范围即可求得结果.
【详解】
由题意知， ，
设△ 的内切圆M分别与 、 、 相切于点 、 、 ，
则 ， ， ，
由双曲线的定义知， ，即： ，
所以 ，
所以 ，
设内心M的横坐标为 ，则点J的横坐标为 ，
则 ，解得： ，
所以 轴，则E为直线JM与x轴的交点，
同理可得：△ 的内心也在直线JM上，
设直线AB的倾斜角为 ，则
， ，
所以
，
由题意知， ， ，所以 ，
所以 ，又因为双曲线C的渐近线方程为 ，过 的直线与双曲线C的右支交于A、B两点，
所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5．（2024·山东济宁·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，根据双曲线
的光学性质可知，过双曲线 上任意一点 的切线 平分 .直线 过
交双曲线 的右支于A，B两点，设 的内心分别为 ，若 与 的面
积之比为 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D． .
【答案】C
【分析】利用切线长定理求得直线 的方程，再借助双曲线的切线方程求出点 的横坐标，结合面积关
系求解即得.
【详解】令圆 切 分别为点 ，则 ，
，令点 ，而 ，
因此 ，解得 ，又 ，则点 横坐标为 ，同理点 横坐标为 ，
即直线 的方程为 ，设 ，依题意，直线 的方程分别为：
， ，联立消去 得： ，
整理得 ，令直线 的方程为 ，
于是 ，即点 的横坐标为 ，
因此 ，所以双曲线 的离心率 .
故选：C【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：
①定义法：通过已知条件列出方程组，求得 得值，根据离心率的定义求解离心率 ；
②齐次式法：由已知条件得出关于 的二元齐次方程，然后转化为关于 的一元二次方程求解；
③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.
6．（2024·四川·模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，离心率为2，
焦点到渐近线的距离为 .过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与
的内心，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出双曲线的解析式，根据 与 的内心求出 的关系式和点 的横坐标，
设出直线 的倾斜角，得到 的表达式，即可求出 的取值范围
【详解】由题意，
在 中，根据焦点到渐近线的距可得 ，离心率为2，
∴ ，解得： ，
∴
∴双曲线的方程为 .记 的内切圆在边 ， ， 上的切点分别为 ，
则 ， 横坐标相等 ， ， ，
由 ，即 ，
得 ，即 ，
记 的横坐标为 ，则 ，
于是 ，得 ，
同理内心 的横坐标也为 ，故 轴.
设直线 的倾斜角为 ，则 ， （Q为坐标原点），
在 中，
，
由于直线 与 的右支交于两点，且 的一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为 ，
∴ ，即 ，
∴ 的范围是 .
故选：D.
【点睛】本题考查双曲线的定义与几何性质、三角恒等变换，考查推理论证能力、运算求解能力、数形结
合思想，以及角度的取值范围，具有极强的综合性.
二、多选题7．（23-24高三上·吉林长春·期末）设 分别是双曲线 的左右焦点，过 的直线与双曲线的
右支交于 两点， 的内心为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 为正三角形，则双曲线的离心率为
B．若直线 交双曲线的左支于点 ，则
C．若 为垂足，则
D． 的内心 一定在直线 上
【答案】ABC
【分析】A：利用等边三角形性质以及双曲线定义得到 关系式，则离心率可知；B：利用双曲线的对称
性以及三角形的全等关系进行证明；C：根据角平分线的性质结合双曲线的定义求解出 ；D：利用切
线性质以及双曲线的定义进行求解.
【详解】对于A：若 为正三角形，则 轴，
由 得 ，所以 ，
由等边三角形性质可知： ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，故A正确；
对于B：由双曲线的对称性可知 ，如下图，又因为 ，所以 与 全等，
所以 ，所以 ，故B正确；
对于C：延长 交 延长线于 ，如下图所示，
由角平分线的性质可知 ，且 ，
所以 与 全等，所以 ，所以 为 中点，
又因为 为 中点，所以 ，故C正确；
对于D：设三个切点为 ，连接 ，如下图，
由切线性质可知： ，
设 ，因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 的内心 一定在直线 上，故D错误；
故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线性质的综合运用，涉及离心率、双曲线的对称性、焦点三角形的内
切圆相关问题，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.其中CD选项在分析时，不仅要考虑内切圆
的性质，同时需要考虑双曲线的定义，二者结合解决问题.
x2 y2
8．（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 ，
a2 b2
．过 的直线 交双曲线 的右支于 两点，其中点 在第一象限． 的内心为 ， 与 轴的交点为 ，记 的内切圆 的半径为 ， 的内切圆 的半径为 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为 ，则双曲线的离心率为
B．若 ，且 ，则双曲线的离心率为
C．若 ， ，则 的取值范围是
D．若直线 的斜率为 ， ，则双曲线的离心率为
【答案】BD
【分析】根据渐近线斜率与夹角的关系可判断A错误；根据双曲线定义以及勾股定理计算可判断B正确；
由内切圆性质可得 所在直线方程为 ，根据直线 的倾斜角范围与渐近线关系可得
，即C错误；利用三角形相似以及余弦定理计算可得D正确.
【详解】对于A，若双曲线渐近线的夹角为 ，则 或 ，
故可得 或 ，即A错误；
对于B，设 ，则由 以及双曲线定义可得 ，
故 ，则
又 ，即 可得 ，
因此 ，解得 ，
又|AF |
2+|AF
|
2=|F
F |
2
，即 ，
2 1 1 2
可得 ，即 ，
故双曲线的离心率为 ，即B正确；
对于C，如下图所示：令 的内切圆 切 分别为 ，
则 ，
所以 ，
令点 ，而 ，因此 ，解得 ；
又 ，则点 的横坐标为 ，
同理可得 的横坐标也为 ，即 所在直线方程为 ；
设直线 的倾斜角为 ，则 ，
在 中， ，
在 中， ，
又 ， 可得渐近线斜率为 ，且 ，
因为 均在右支上，故 ，即 ，
因此 ，可知C错误；
对于D，由 可得 ,
故 ，而 ，可得 ，
又直线 的斜率为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，解得 ，
即则双曲线的离心率为 ，可得D正确.
故选：BD
【点睛】关键点点睛：在求解焦点三角形内切圆问题时，要利用双曲线定义以及切线长性质得出内切圆圆心的横坐标为双曲线的顶点坐标，再利用内心性质可求出半径.
三、填空题
9．（2024·山西晋中·一模）已知点 为双曲线 右支上的一点，点 ， 分别为双曲
线的左、右焦点，若M为 的内心，且 ，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得 关系，进而求出离心率.
【详解】设内切圆半径为 ，由题意知 ，
所以 ，
即 ，由点 为双曲线右支上的一点，
则 ，
故双曲线的离心率 .
故答案为： .
10．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ，过 且斜率为 的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 两点（ 在第一象限），
的重心为 ，内心为 ，且 轴，则双曲线 的离心率为 ．
【答案】3
【分析】设内切圆 在 轴上的切点为 ，根据切线的性质及双曲线的定义求得 ，由条件及重心
的性质得 ，进而得 的坐标，由 的斜率为 得 的关系，从而得出离心率.
【详解】设双曲线 的焦距为 ．
因为 的内心为 ，所以设内切圆 在 轴上的切点为 ，与 的切点分别为 ，所以 ，
即 ，所以 ．
因为 的重心为 轴，所以 ．
又 在 上，且 ，所以 ．
又 在双曲线 上，所以 ．所以 ．
所以 ，整理，得 ，即 ，
化简，得 ，解得 或 （舍去）．
所以双曲线 的离心率为3．
故答案为：3.
一、单选题
1．（2024·广东茂名·二模）若椭圆 的离心率为 ，两个焦点分别为 ，
， 为椭圆 上异于顶点的任意一点，点 是 的内心，连接 并延长交 于点
，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】根据三角形面积公式、三角形内切圆的性质，结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可.【详解】
如图，连接 ， ，设 到 轴距离为 ， 到 轴距离为 ，
则
设△ 内切圆的半径为 ，则 ，
∴
不妨设 ，则 ，
∴ ，
因为椭圆 的离心率为 ，
∴ ，
故选：A.
2．（2024·江西·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， 为椭圆上异于长轴端点的动
点， ， 分别为 的重心和内心，则 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据题意，由椭圆的定义，结合平面向量数量积的运算，即可得到结果.【详解】
由椭圆 可得 ， ，
如图，设 的内切圆与三边分别相切与 ， ， ，
， 分别为 的重心和内心．
则 ， ， ，
所以 ，
所以
故选：D
3．（24-25高三上·黑龙江·期中）若椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 是椭圆C上一点，
且 在第一象限， 的内心为 ，直线 与直线 的斜率分别为 、 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 的坐标，根据两点求距离公式求出 ，由椭圆的定义求出 ，根据内切圆的性质求出
点I的坐标，结合两点表示斜率公式化简计算即可求解.
【详解】设 ， ，则 ，
易知F (−1,0)， ，由椭圆焦半径公式可得 ， ，
1
设 分别为 的内切圆与边 ， ， 的切点，则 ，根据内切圆的性质知 ， ， ，
因此 ，
即 ，解得 .
在 中， ，解得 ，
因此 ，所以 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：考查椭圆的定义和方程、性质，考查三角形的内切圆的性质，同时考查直线的斜率
公式的运用，考查分析问题，解决问题的能力.
4．（23-24高三上·广东揭阳·阶段练习）已知椭圆的方程为 分别为椭圆的左、右
焦点， 为椭圆上在第一象限的一点， 为 的内心，直线 与 轴交于点 ，若 ，
则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据内心的几何特点，结合椭圆定义和已知条件，求得 ，即可求得结果．
【详解】椭圆 中，点 为其左、右焦点，设椭圆半焦距为c，连接 ，由 是 的内心，得 ， 分别是 和 的角平分线，
为 的角平分线，则 到直线 ， 的距离相等，
于是 ，同理可得 ， ，
由比例关系性质得 ，
由 ，得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B
5．（2024·陕西·一模）已知 ， 分别为双曲线 的左､右焦点，且 ，点P为双曲线右
支上一点，M为 的内心，若 成立，则λ的值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据 ，可得 ，从而可求得离心率 ，设 的内切圆半径为 ，根据
，可得 ，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以离心率 ，
设 的内切圆半径为 ，
则 ，
又 ，
所以 ，
即 ，所以 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】根据 ，得出 是解决本题的关键所在.
6．（2024·河北·三模）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形，在数学
发展的历史长河中，它不断地闪炼出真理的光辉，这个两千多年的古老图形，蕴藏着很多性质．已知抛物
线 ，过焦点的弦 的两个端点的切线相交于点 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 点必在直线 上，且以 为直径的圆过 点
B． 点必在直线 上，但以 为直径的圆不过 点
C． 点必在直线 上，但以 为直径的圆不过 点
D． 点必在直线 上，且以 为直径的圆过 点
【答案】D
【分析】
结合导数几何意义可证得过抛物线 上一点 的切线方程为 ，由此可确定在
处的切线方程，进而结合 点坐标得到直线 方程，代入 可知点 必过直线 ；结合韦达定
理可得 ，知 ，由此可得结论.
【详解】设 为抛物线 上一点，
当 时，由 得： ，在 处的切线方程为： ，
即 ， ；
同理可得：当 时，在 处的切线方程切线方程为 ；
经检验，当 ， 时，切线方程为 ，满足 ，
过抛物线 上一点 的切线方程为： ；
设 ，
则抛物线在 处的切线方程为 和 ， ，
点 满足直线方程： ，又直线 过焦点 ，
，解得： ， 点必在直线 上；AC错误；
由题意知： ， ，， ， ；
设直线 方程为： ，
由 得： ， ， ，即 ，
以 为直径的圆过 点；B错误，D正确.
故选：D.
二、多选题
7．（23-24高三上·江苏连云港·期中）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线围成的三角形称为阿基米德三
角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设A，B是抛物线 上两个不
同的点，以A，B为切点的切线交于P点．若弦AB过 ，则下列说法正确的有（ ）
A．点P在直线 上 B．
C． D． 面积的最小值为8
【答案】ABC
【分析】设出直线 的方程，代入抛物线，写出韦达定理，利用导数求得切线，联立求交点，可得A的
正误；通过两直线垂直的斜率性质，可得B、C的正误，利用圆锥曲线中的弦长公式以及两点之间距离公
式，结合三角形的面积公式，可得D的正误.
【详解】对于A，由直线 过点 ，且与抛物线 交于 两点，则可设直线
，
将 代入 ，整理可得 ，
设 ，则 ，
由抛物线 ，整理可得函数 ，则 ，
过点 的切线斜率为 ，易知 ，则切线方程为 ，即 ，同理
可得：过点 的切线方程为 ，
联立可得 ，解得 ，则 ，故点 在定直线 上，故A正确；
对于B，由A可知：直线 ，直线 ，
由 ，则 ，故B正确；对于C，由A可知 ，则直线 的斜率 ，由 ，则 ，故C正确；
对于D，由C可得： ，
，
，
则 ，当 时， 取得最小值为 ，故D错误；
故选：ABC.
8．（2024高三下·江苏·专题练习）（多选）如图， 为阿基米德三角形.抛物线 上有两
个不同的点A(x ,y ),B(x ,y )，以A，B为切点的抛物线的切线 相交于点P.给出如下结论，其中
1 1 2 2
正确的为（ ）
A．若弦 过焦点，则 为直角三角形且
B．点P的坐标是
C． 的边 所在的直线方程为
D． 的边 上的中线与y轴平行（或重合）
【答案】ACD
【分析】设 ，由导数的几何意义得切线斜率，利用焦点弦性质得
，A正确；写出切线方程，联立求出点 坐标，得B错误；用 两点坐标表示出 ，
写出直线 方程，并化简可得C正确；设 为抛物线弦 的中点，立即得D正确.
【详解】由题意设 ，由 ，得 ，则 ，
所以 ，
若弦 过焦点，显然直线 斜率存在，设 所在直线为 ，联立 ，
得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，故A正确；
以点A为切点的切线方程为 ，以点B为切点的切线方程为 ，
联立消去y得 ，
将 代入 ，
得 ，
所以 ，故B错误；
设N为抛物线弦 的中点，N的横坐标为 ，因此直线 平行于y轴(或与y轴重合)，即平行
于抛物线的对称轴(或与对称轴重合)，故D正确；
设直线 的斜率为 ，
故直线 的方程为 ，
化简得 ，故C正确.
故选：ACD.
9．（23-24高三上·四川乐山·期末）抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米
德三角形，该三角形以其深刻的背景、丰富的性质产生了无穷的魅力．设抛物线 （ ），弦
过焦点 ， 为其阿基米德三角形，则下列结论一定成立的是（ ）
A．点 在抛物线 （ ）的准线 上B．存在点 ，使得
C．
D． 面积的最小值为
【答案】ACD
【分析】设A(x ,y ),B(x ,y )，联立直线 和抛物线，利用韦达定理得到 ，设
1 1 2 2
出过 和过 的切线方程，利用已知得到 ， ，即可判断选项A，再由 结合相似，
即可判断选项C，再由向量间的转化和运算即可判断选项B，结合特殊情况即可判断选项D.
【详解】设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
设直线 ： ，
联立 得 ，
则 ，
设过点 的切线为 ，
联立 得 ，
由 ，可得 ，
同理可得过点 的切线斜率为 ，
所以 处切线方程分别为 ，
联立可得 ，故A正确；
又即 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
即 ，C正确；又 ，
所以 ，
，
所以
，B错；
由上述知， ，
又因为直线 斜率为 ，
所以 ，
设准线与 轴的交点为 ，
则 面积 ，
当 轴时， 最短（最短为 ），
也最短（最短为 ），
此时 面积取最小值 ，D正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：涉及方法有：（1）直线与抛物线相切问题；（2）焦点弦问题的计算能力；（3）数
形结合思想.
三、填空题
10．（23-24高三上·山西吕梁·阶段练习）已知椭圆 ： ， ， 为其左、右焦点，为椭圆 上任一点， 的重心为G，I是内心，且有 （其中 为实数），椭圆 的离心率
.
【答案】 /0.5
【分析】设 ，求出重心的坐标，利用 中面积等积法可求出 的关系，即可得椭圆离心率.
【详解】设 为 的重心， 点坐标为 ，
∵ ，∴IG∥x轴或 IG两点重合， ∴I的纵坐标为 ，
在 中， ，
，
又∵I为△F1PF2的内心，∴I的纵坐标 即知内切圆半径，
内心I把 分为三个底分别为 的三边，高为内切圆半径的小三角形，
，
即 ， ，
∴椭圆C的离心率
故答案为:
【点睛】
11．（2024·陕西咸阳·三模）已知 ， 是双曲线 的左，右焦点，点M是双曲线C在第一象
限上一点，设I，G分别为 的内心和重心，若IG与y轴平行，则 ．
【答案】68
【分析】由题意，结合图形，根据内切圆的性质和双曲线的定义可得 、 ，进而求得 ，则 ，由重心的定义有 ，求出 ，求得 ，利用平面
向量数量积的坐标表示计算即可求解.
【详解】由题意知 .
如图， 为 的内切圆，切点分别为A、B、C，设 ，
则 ，由双曲线的定义知，
，即 ，
又 ，所以 ，
得 ，即 .
又 的重心G与内心I的连线平行与y轴，即 轴于点A，
所以 .
因为 ，所以 ，
代入双曲线方程，得 ，解得 ，即 ，
又 ，所以 ，
所以 .
故答案为：68.
12．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）焦距为12的双曲线 的左右焦点分别为 ， ，
是双曲线右支上一点， 为 的内心， 交 轴于 点，若 ，且 ，则双曲
线的实轴长为
【答案】8
【分析】设 ，则 ， 内切圆半径为 ，根据三角形面积的两种表达得到方程，求出
，结合双曲线定义得到 ，因为 ，表达出 ， ，由正弦定理得到 ，得到方程，求出 ，得到焦距.
【详解】由题意得 ，设 ，
因为 ，所以 ，
因为 为 的内心，所以 内切圆半径为 ，
则 ，
又 ，
故 ，解得 ，
根据双曲线定义可知， ，
解得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 平分 ，所以 ，
在 中，由正弦定理得， ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，解得 ，
故焦距为 .
故答案为：8
13．（23-24高三下·江西·阶段练习）圆锥曲线C的弦AB与过弦的端点A，B的两条切线的交点P所围成
的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲线C的方程为 ，弦AB过C的焦点F，设 ，， ，则有 ， ，对于C的阿基米德三角形PAB给出下列结论：①点P
在直线 上；② ；③ ；④ ，其中所有正确结论的序号为
．
【答案】①④
【分析】
由已知可设直线 的方程为 ，联立方程组，结合设而不求法依次判断各命题即可.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
过点 ，斜率不存在的直线与抛物线只有一个交点，不符合已知条件，
故可设直线 方程为 ，
联立 ，消 得， ，
方程 的判别式 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ， ，
因为 ，所以点P在直线 上，命题①正确；
，命题②错误；
，命题③错误；
因为 ，
所以 ，
，
所以 ，命题④正确；
故答案为：①④.
【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|
AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
14．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）双曲线的中心为原点 ，焦点在 轴上， 分别是双曲线的两个焦点，过上焦点 作斜率 的直线 交双曲线上支于点 ,若 ， 的内心分别是 ，
且 ，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】设边 边上的切点分别为 ，根据内心的性质得到 轴，设直线 的倾斜
角为 ，在 和 中得到 的值，进而得到 ，再将直线方程和双曲线方程联立，
利用弦长公式列等式求解即可.
【详解】如图所示，在 中，设边 边上的切点分别为 ，
则 纵坐标相等，且 ，
由双曲线的性质可得 ，
设 ，则 ，解得 ，所以 ，
同理可得内心 的纵坐标也为 ，则 轴，
设直线 的倾斜角为 ，则 ， ， ，
由 解得 ，
又因为 ，所以，
所以 ，
设双曲线方程为 ， ， ， ， ，
则直线 为 ，即 ，
联立 得 ，
则 ， ，则
所以
，
所以 ，即 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
15．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点
为 ，过 的直线交双曲线 的右支于 ， 两点（其中点 在第一象限内），设 ， 分别为 ，
的内心，则当 时， ； 内切圆的半径为 ．【答案】 / /
【分析】利用双曲线定义和勾股定理即可求得 ，利用双曲线定义以及内切圆切线长相等，可
知 内切圆的半径 即可求得结果.
【详解】由双曲线方程知 ，如下图所示：
由 ，则 ，
故 ，
而 ，所以 ，
故 ，
解得 ，所以 ，
若 为 内切圆圆心且 可知，以直角边切点和 为顶点的四边形为正方形，
结合双曲线定义内切圆半径
所以 ；
即 内切圆的半径为 ；
故答案为： ， ；
【点睛】方法点睛：在求解双曲线中焦点三角形内切圆半径时，经常利用双曲线定义以及切线长相等，代
入数值计算即可求得结果.
16．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C： 的一条渐近线与直线
垂直，记双曲线C的左、右焦点分别为 ，且 ，过 的直线与双曲线C的右支交于A，B
两点．记 和 的内心分别为M，N，则M，N的最短距离为 ．
【答案】【分析】由题意求出双曲线方程，结合内切圆性质推出 的横坐标，说明 轴，设直线AB的倾
斜角为 ，结合三角函数知识推出 ，结合双曲线性质确定 范围，即可求得答案.
【详解】由题意知， ,解得 ,∴双曲线C的方程为： ．
记 的内切圆在边 上的切点分别为R，S，T，
则 ，
由 ，即 ，得 ，
即 ．
记点M的横坐标为 ，则 ，于是 ，解得 ．
同理，求得 的内心N的横坐标也为 ，即点M，N的横坐标相等，
则有 轴，
设直线AB的倾斜角为 ，则 ，则 ,
在 中，
．
由于直线AB只与双曲线的右支相交，且一条渐近线的斜率为 ，倾斜角为60°，
所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，所以M，N的最短距离为 ,故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于推出内心 的横坐标，从而说明 ，设直线AB的
倾斜角为 ，进而表示出 ，结合三角函数的性质，即可求解.
