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微专题 2 解三角形
[考情分析] 解三角形主要考查一是求边长、角度、面积等，二是利用三角恒等变换，将三角函数与三角
形相结合考查求解最值、范围等问题，综合性较强，中等难度.
考点一 正弦定理、余弦定理
a b c
1.正弦定理：在△ABC中， = = =2R(R为△ABC的外接圆半径).
sinA sinB sinC
2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2bccos A，b2=a2+c2-2accos B，c2=a2+b2-2abcos C.
1 1 1
3.三角形的面积公式：S= absin C= acsin B= bcsin A.
2 2 2
例1 (1)(2024·河南省九师联盟模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
b sinC
=1- ，a=3，b=2√2，则sin B的值为 ( )
a+c sinA+sinB
1 3
A. B.
2 5
√3 √6
C. D.
2 3
(2)(2024·广州模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线
4√6
AD的长为 ，则BC边上的中线AH的长等于 ( )
5
√17 4√2
A. B.
2 3
√17 4√3
C. D.
4 3
[规律方法] (1)三角形边角转化的主要策略
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
(2)解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性
质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
b2 tanB
跟踪演练1 (1)(2024·广州统考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 = ，则
c2 tanC
△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形(2)(2024·杭州模拟)若P为等边△ABC内一点，∠BPC=90°，∠APC=150°，则tan∠PCA等于 ( )
√3 √3
A. B.
2 3
√3
C. D.2-√3
9
考点二 正弦定理、余弦定理的综合应用
例2 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别记为a，b，c，且tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C.
π
(1)证明：A+2B= ；
2
(2)若a=2，求b+c的取值范围.
[规律方法] 解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a+b与ab相互转化求最值或范围.
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值、范围.
跟踪演练2 (2024·南充模拟)在①2csin Bcos A=b(sin Acos B+cos Asin B)；
bsinB+csinC-asin A 2
②sin2B+sin2C+cos2A-1=sin(A+B)sin(A+C)；③ = sin A这三个条件中任选一个，
csinB √3
补充在下面的横线中，并解答问题.
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求A；
(2)若△ABC的面积为16√3，D为AC的中点，求BD的最小值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
考点三 解三角形的实际应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解
够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程
(组)得出所要求的解.
例3 (1)(2024·临沂模拟)在同一平面上有相距14千米的A，B两座炮台，A在B的正东方向.某次演习
时，A向西偏北θ方向发射炮弹，B则向东偏北θ方向发射炮弹，其中θ为锐角，观测回报两炮弹皆命
θ
中18千米外的同一目标，接着A改向向西偏北 方向发射炮弹，弹着点为18千米外的点M，则B炮台
2
与弹着点M的距离为 ( )A.7千米 B.8千米
C.9千米 D.10千米
(2)(2024·南京模拟)某中学校园内的红豆树已有百年历史，小明为了测量红豆树高度，他选取与红豆树
根部C在同一水平面的A，B两点，在A点测得红豆树根部C在北偏西60°的方向上，沿正西方向步行
40米到B处，测得树根部C在北偏西15°的方向上，树梢D的仰角为30°，则红豆树的高度为 ( )
A.10√6 米 B.20√3 米
20√3 20√6
C. 米 D. 米
3 3
[规律方法] 解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3 (1)如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为
15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD=50 m，山坡对于地平面的
坡度为θ，则cos θ= .
(2)(2024·黄冈模拟)“文翁千载一时珍，醉卧襟花听暗吟”表达了对李时珍学识渊博、才华横溢的赞叹.
李时珍是湖北省蕲春县人，明代著名医药学家.他历经27个寒暑，三易其稿，完成了192万字的巨著
《本草纲目》，被后世尊为“药圣”.为纪念李时珍，人们在美丽的蕲春县独山修建了一座雕像，如图
所示.某数学学习小组为测量雕像的高度，在地面上选取共线的三点A，B，C，分别测得雕像顶的仰角
67√6
为60°，45°，30°，且AB=BC= 米，则雕像高为 米.
10答案精析
例1 (1)D (2)A
跟踪演练1 (1)C (2)C
例2 (1)证明 因为tan A(cos C+sin B)=cos B-sin C，
sin A
所以 (cos C+sin B)
cosA
=cos B-sin C，
即sin Acos C+sin Asin B
=cos Acos B-cos Asin C，
即sin Acos C+cos Asin C
=cos Acos B-sin Asin B，
所以sin(A+C)=cos(A+B)，
(π )
即sin B=sin +A+B ，
2
又A∈(0，π)，B∈(0，π)，
π π
所以B= +A+B或B+ +A+B=π，
2 2
π π
即A=- (舍)或A+2B= ，
2 2
π
所以A+2B= .
2
π
(2)解 由(1)得A+2B= ，
2
a b c
因为 = = ，
sin A sinB sinC
asinB 2sinB
所以b= =
sin A sin A
2sinB
2sinB
= (π )= ，
sin -2B cos2B
2
asinC 2sinC
c= =
sinA sinA
(π )
2sin +B
2 2cosB
= = ，
(π ) cos2B
sin -2B
22(sinB+cosB)
则b+c=
cos2B
2(sinB+cosB)
=
cos2B-sin2B
2
=
cosB-sinB
√2
= ( π)，
cos B+
4
0
