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微专题 1 三角函数
[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函
数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，
难度为中等或偏下.
考点一 三角函数的运算
sinα ( π )
1.同角关系：sin2α+cos2α=1， =tan α α≠ +kπ，k∈Z .
cosα 2
kπ
2.诱导公式：在 ±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
2
3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β；
tanα±tanβ
(3)tan(α±β)= .
1∓tanαtanβ
4.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α；
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
2tanα
(3)tan 2α= .
1-tan2α
例1 (1)(2024·新课标全国Ⅰ)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于( )
m
A.-3m B.-
3
m
C. D.3m
3
答案 A
解析 由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ①
sinαsinβ
由tan αtan β=2得 =2， ②
cosαcosβ{cosαcosβ=-m,
由①②得
sinαsinβ=-2m,
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
(2)已知α，β，γ均是锐角，设sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α的最大值为tan θ，则sin θ(sin θ+cos θ)等于
( )
15
A.√3 B.
13
5
C.1 D.
13
答案 B
解析 由基本不等式可得
sin2α+cos2β
sin αcos β≤ ，
2
sin2β+cos2γ
sin βcos γ≤ ，
2
sin2γ+cos2α
sin γcos α≤ ，
2
3 π
三式相加，可得sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α≤ ，当且仅当α，β，γ均为 时等号成立，
2 4
3
所以tan θ= ，
2
sinθ(sinθ+cosθ) tan2θ+tanθ 15
则sin θ(sin θ+cos θ)= = = .
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 13
( π)
[二级结论] (1)若α∈ 0， ，则sin α<α0，则tan α= ，
2 31
2×
2tanα 3 3
所以tan 2α= = = .
1-tan2α (1) 2 4
1-
3
2 2 ( π)
(2)已知f(x)= + ，x∈ 0， ，则函数y=f(x)的最小值为 .
sinx cosx 2
答案 4√2
2 2 2(sinx+cosx)
解析 由题意知，f(x)= + = ，
sinx cosx sinxcosx
( π)
令t=sin x+cos x=√2sin x+ ，
4
π π π 3π
由00，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2024·海口模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<0)的部分图象如图所示，则( )
( π)
A.f(x)=cos 3x+
6
( π)
B.f(x)=cos 2x+
6
( 5π)
C.f(x)=cos x-
6
( 5π)
D.f(x)=cos 2x-
6
答案 D
√3
解析 由题图可知，f(0)=- ，
2
√3
所以cos φ=- ，
2
5π 7π
所以φ= +2kπ，k∈Z或φ= +2kπ，k∈Z，
6 6
5π
因为-π<φ<0，所以φ=- ，
6
(2π) (2π 5π)
又f =cos ω- =0，
3 3 6
2π 5π π
所以 ω- = +kπ，k∈Z，
3 6 2
3
得ω=2+ k，k∈Z，
2
T 2π 3
又 < 0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得
M+m M-m
B= ，A= .
2 2
2π 2π
(2)T定ω：由周期公式T= ，可得ω= .
ω T
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋
势.
( π) π
跟踪演练2 (1)(2024·重庆模拟)已知函数f(x)=sin(4x+φ) |φ|< ，先将函数f(x)的图象向右平移 个单
2 12
位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数g(x)的图象.若函
(π)
数g(x)的图象关于y轴对称，则f 等于( )
8
1 1
A. B.-
2 2
√3 √3
C. D.-
2 2答案 C
π
解析 先将函数f(x)=sin(4x+φ)的图象向右平移 个单位长度，
12
[ ( π ) ] ( π )
得到y=sin 4 x- +φ =sin 4x- +φ 的图象，
12 3
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，
( π )
得到g(x)=sin 2x- +φ 的图象，
3
因为函数g(x)的图象关于y轴对称，
π π
所以- +φ=kπ+ ，k∈Z，
3 2
5π
即φ= +kπ，k∈Z，
6
π π
又因为|φ|< ，所以φ=- ，
2 6
( π)
所以f(x)=sin 4x- ，
6
(π) ( π π) π √3
所以f =sin 4× - =sin = .
8 8 6 3 2
( π)
(2)(2024·呼和浩特模拟)如图所示的曲线为函数f(x)=Acos(ωx-φ) A>0，ω>0，|φ|< 的部分图象，
2
3 π
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，再将所得曲线向左平移 个单位长度，得到函数
2 8
y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
(9x π)
A.g(x)=2cos -
2 8
( π)
B.g(x)=2cos 2x-
8
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
答案 Dπ 2π
+ 5π
解析 由图象可知A=2，6 3 = ，
12
2
(5π )
则f(x)的一个最低点为 ，-2 ，
12
2π 2π
f(x)的最小正周期T= ，则ω= =3，
3 T
(5π) ( 5π ) 5π
f =2cos 3× -φ =-2，即 -φ=π+2kπ(k∈Z)，
12 12 4
π
所以φ= -2kπ(k∈Z)，
4
π π
又因为|φ|< ，所以φ= ，
2 4
( π)
所以f(x)=2cos 3x- ，
4
3
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍，
2
( π)
得y=2cos 2x- 的图象，
4
π
再将所得函数图象向左平移 个单位长度，
8
[ ( π) π]
得y=2cos 2 x+ - =2cos 2x的图象，故g(x)=2cos 2x.
8 4
考点三 三角函数的性质
函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的性质
π π π 3π
(1)单调性：由- +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)可得单调递增区间，由 +2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ(k∈Z)可得单
2 2 2 2
调递减区间.
π
(2)对称性：由ωx+φ=kπ(k∈Z)可得对称中心；由ωx+φ=kπ+ (k∈Z)可得对称轴.
2
π
(3)奇偶性：当φ=kπ(k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为奇函数；当φ=kπ+ (k∈Z)时，函数y=Asin(ωx+φ)为偶
2
函数.
π π ( π)
例3 (1)已知直线x= ，x= 是函数f(x)=Asin(ωx+φ) A>0，ω>0，|φ|< 图象的两条相邻的对称
12 3 2
(π) ( π )
轴，且f -f =-4，则f(φ)等于( )
3 12
A.-√3 B.√3C.-1 D.1
答案 D
1 π π π
解析 由题意可知 T= - = ，
2 3 12 4
π 2π
所以T= .由T= ，
2 ω
2π π
得 = ，所以ω=4，
ω 2
(π) ( π )
因为f -f =-4，
3 12
π π
且直线x= ，x= 是函数f(x)图象的两条相邻的对称轴，
12 3
( π )
所以A=f =2，
12
所以f(x)=2sin(4x+φ)，
( π ) ( π )
由f =2sin 4× +φ =2，
12 12
π π
得4× +φ= +2kπ，k∈Z，
12 2
π
所以φ= +2kπ，k∈Z，
6
π π
又|φ|< ，所以φ= ，
2 6
( π)
所以f(x)=2sin 4x+ ，
6
(π) ( π π) 5π
则f(φ)=f =2sin 4× + =2sin =1.
6 6 6 6
( π) ( π)
(2)(多选)(2024·枣庄模拟)已知函数f(x)=sin 2x+ +cos 2x- ，则( )
3 6
( π π)
A.当x∈ - ， 时，f(x)的取值范围是(-√3，2]
3 6
[ π π]
B.f(x)在 - ， 上单调递增
8 6
C.f(x)在[0，π]上有2个零点
π
D.把f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到的新函数为奇函数
12
答案 AC( π) ( π)
解析 函数f(x)=sin 2x+ +cos 2x-
3 6
( π) ( π π)
=sin 2x+ +cos 2x+ -
3 3 2
( π) ( π) ( π)
=sin 2x+ +sin 2x+ =2sin 2x+ .
3 3 3
( π π) π ( π 2π)
选项A，当x∈ - ， 时，2x+ ∈ - ， ，
3 6 3 3 3
( π) ( √3 ]
所以sin 2x+ ∈ - ，1 ，
3 2
所以f(x)的取值范围是(-√3，2]，故A正确；
[ π π] π π 2π
选项B，当x∈ - ， 时， ≤2x+ ≤ ，
8 6 12 3 3
( π)
f(x)=2sin 2x+ 不单调，故B错误；
3
π π 7π
选项C，当x∈[0，π]时， ≤2x+ ≤ ，
3 3 3
π π π 5π
可知当2x+ =π以及2x+ =2π，即x= 以及x= 时，f(x)=0，在[0，π]上有2个零点，故C正确；
3 3 3 6
π ( π π)
选项D，f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到g(x)=2sin 2x+ + =2cos 2x的图象，该函数为偶函数，
12 3 6
故D错误.
[规律方法] 研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+h的形式，然后结合正弦函数y=sin x的
性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一
种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
1 [ π ]
跟踪演练3 (1)(2024·济宁模拟)已知函数f(x)=(√3sin x+cos x)cos x- ，若f(x)在区间 - ，m 上的值域
2 4
[ √3 ]
为 - ，1 ，则实数m的取值范围是( )
2
[π π) [π π]
A. ， B. ，
6 2 6 2
[π 7π) [π 7π]
C. ， D. ，
6 12 6 12
答案 D
1 √3 1 ( π)
解析 依题意，函数f(x)=√3sin xcos x+cos2x- = sin 2x+ cos 2x=sin 2x+ ，
2 2 2 6[ π ] π [ π π]
当x∈ - ，m 时，2x+ ∈ - ，2m+ ，
4 6 3 6
( π) 4π √3 π
显然sin - =sin =- ，sin =1，
3 3 2 2
[π 4π]
且正弦函数y=sin x在 ， 上单调递减，
2 3
[ π ] [ √3 ]
由f(x)在区间 - ，m 上的值域为 - ，1 ，
4 2
π π 4π
得 ≤2m+ ≤ ，
2 6 3
π 7π
解得 ≤m≤ ，
6 12
[π 7π]
所以实数m的取值范围是 ， .
6 12
( π) (5π)
(2)(多选)(2024·大连模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，若f - =f =1，且∀x∈
6 6
( π 5π)
- ， ，都有f(x)<1，则( )
6 6
( 5π)
A.y=f(x)在 0， 上单调递减
12
(7π )
B.y=f(x)的图象关于点 ，0 对称
12
(1 π) 1 ( π) 7
C.若f x - = ，则sin 2x - =-
2 0 3 3 0 6 9
π
D.y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到的函数g(x)是偶函数
3
答案 BC
解析 对于A，因为f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)，
所以f(x) =1，
max
( π) (5π)
又f - =f =1，
6 6
( π 5π)
且∀x∈ - ， ，都有f(x)<1，
6 6
5π ( π)
所以T= - - =π，
6 6
2π
所以T= =π，解得ω=2，
ω
即f(x)=sin(2x+φ)，( π) ( π )
又f - =sin - +φ =1，
6 3
π π
所以- +φ= +2kπ，k∈Z，
3 2
5π
解得φ= +2kπ，k∈Z，
6
5π
又0<φ<π，所以φ= ，
6
( 5π)
所以f(x)=sin 2x+ ，
6
( 5π) 5π (5π 5π)
当x∈ 0， 时，2x+ ∈ ， ，
12 6 6 3
(5π 5π)
又y=sin x在 ， 上不单调，
6 3
( 5π)
所以y=f(x)在 0， 上不单调，故A错误；
12
(7π) ( 7π 5π)
对于B，因为f =sin 2× + =sin 2π=0，
12 12 6
(7π )
所以y=f(x)的图象关于点 ，0 对称，故B正确；
12
(1 π) 1
对于C，由f x - = ，
2 0 3 3
( π) 1
得sin x + = ，
0 6 3
( π) [ ( π) π]
所以sin 2x - =sin 2 x + -
0 6 0 6 2
( π) ( π) 7
=-cos 2 x + =2sin2 x + -1=- ，故C正确；
0 6 0 6 9
π [ ( π) 5π] ( π)
对于D，将y=f(x)的图象向右平移 个单位长度后得到g(x)=sin 2 x- + =sin 2x+ 的图象，显然
3 3 6 6
g(x)是非奇非偶函数，故D错误.
专题强化练
(分值：84分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.(2024·南充模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P
( 3 4) ( π)
- ， ，则cos α+ 等于( )
5 5 4
√2 √2
A.- B.
10 10
7√2 7√2
C.- D.
10 10
答案 C
( 3 4) 4 3
解析 因为角α的终边与单位圆相交于点P - ， ，所以sin α= ，cos α=- ，
5 5 5 5
( π) π π
所以cos α+ =cos αcos -sin αsin
4 4 4
3 √2 4 √2 7√2
=- × - × =- .
5 2 5 2 10
π
2.(2024·石嘴山模拟)将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移 个单位长度，再将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐
4
标不变，得到g(x)的图象，则g(x)等于( )
A.cos 4x B.-cos 4x
C.cos x D.-cos x
答案 C
π ( π)
解析 将函数f(x)=sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到y=sin 2 x+ 的图象，
4 4
(1 π)
再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到g(x)=sin 2 x+ 的图象，
2 4
( π)
所以g(x)=sin x+ =cos x.
2
3 ( 4)
3.(2024·郑州模拟)若复数z=sin θ- + cosθ- i是纯虚数，则tan 2θ等于( )
5 5
24 24
A.- B.±
7 7
24 24
C.- D.±
25 25
答案 A
3 ( 4)
解析 因为z=sin θ- + cosθ- i是纯虚数，
5 53
{sinθ- =0,
5 3
所以 所以sin θ= ，
4 5
cosθ- ≠0,
5
4
所以cos θ=-√1-sin2θ=- ，
5
3 2tanθ 24
所以tan θ=- ，故tan 2θ= =- .
4 1-tan2θ 7
( π) ( 5 ) (1 )
4.(2024·渭南模拟)函数f(x)=2sin(ωx+φ) ω>0，0<φ< 的图象如图所示.已知A - ，-2 ，B ，2 ，
2 3 3
将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为( )
(π π)
A.g(x)=2sin x-
2 3
(π π)
B.g(x)=2sin x+
2 3
(π π)
C.g(x)=-2sin x-
2 3
(π π)
D.g(x)=-2sin x+
2 3
答案 D
解析 由题意可知f(x)的周期T满足
T 1 ( 5)
= - - =2，得T=4，
2 3 3
2π π
即 =4，得ω= ，
ω 2
(π )
所以f(x)=2sin x+φ ，
2
(1 )
因为点B ，2 是f(x)图象上的一个点，
3
(1) (π ) (π )
所以f =2sin +φ =2，sin +φ =1，
3 6 6
π π
则 +φ= +2kπ，k∈Z，
6 2π π
又0<φ< ，所以φ= ，
2 3
(π π)
所以f(x)=2sin x+ ，
2 3
将f(x)的图象向右平移2个单位长度，
[π π]
得到函数g(x)=2sin (x-2)+
2 3
(π π)
=-2sin x+ 的图象.
2 3
( π) ( π)
5.(2024·长沙模拟)已知α∈ 0， ，且√2cos 2α=sin α+ ，则sin 2α等于( )
2 4
3 3
A.- B.
4 4
C.-1 D.1
答案 B
( π)
解析 ∵√2cos 2α=sin α+ ，
4
√2
∴√2(cos2α-sin2α)= (sin α+cos α)，
2
( 1)
∴(cos α+sin α) cosα-sinα- =0，
2
( π)
又α∈ 0， ，
2
则sin α>0，cos α>0，即cos α+sin α>0，
1
∴cos α-sin α= ，
2
( π)
∵α∈ 0， ，
2
∴2α∈(0，π)，sin 2α>0.
1
由(cos α-sin α)2=1-sin 2α= ，
4
3
得sin 2α= ，符合题意.
4
3
综上，sin 2α= .
4
( π)
6.(2024·新课标全国Ⅰ)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin 3x- 的交点个数为( )
6
A.3 B.4C.6 D.8
答案 C
解析 因为函数y=sin x的最小正周期
T=2π，
( π) 2π
函数y=2sin 3x- 的最小正周期T = ，
6 1 3
( π)
所以在x∈[0，2π]上，函数y=2sin 3x- 有三个周期的图象，
6
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.
1 1
7.(2024·广东省百日冲刺联合学业质量监测)已知cos2α-cos2β=- ，sin(α-β)= ，则cos(2α+2β)等于( )
12 4
7 7
A.- B.
9 9
2 2
C.- D.
9 9
答案 B
1+cos2α 1+cos2β
解析 因为cos2α-cos2β= -
2 2
1 1
= (cos 2α-cos 2β)=-sin(α+β)sin(α-β)=- ，
2 12
1
得到sin(α+β)sin(α-β)= ，
12
1 1
又sin(α-β)= ，所以sin(α+β)= ，
4 3
2 7
所以cos(2α+2β)=1-2sin2(α+β)=1- = .
9 9
(π π)
8.(2024·昆明模拟)已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈ ， ，若存在x ≠x ，使得f(x )=f(x )，则实数a的取
4 3 1 2 1 2
值范围是( )
A.(-∞，1] B.[√3，+∞)
C.(1，√3) D.[1，√3]
答案 C(π π)
解析 若存在x ≠x ，使得f(x )=f(x )，等价于函数f(x)在 ， 上不是单调函数，
1 2 1 2 4 3
易知f'(x)=acos x-sin x，
若函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0恒成立，即acos x-sin x≥0，
sinx (π π)
所以a≥ =tan x在 ， 上恒成立，则a≥√3；
cosx 4 3
同理，若函数f(x)为减函数，则f'(x)≤0恒成立，得a≤1，
(π π)
即若函数f(x)在 ， 上不单调，则10)的两个零点，且|x -x |的最小值是 ，则( )
1 2 6 1 2 2
( π)
A.函数y=f x- 为奇函数
6
π
B.f(x)的图象关于直线x=- 对称
6
π
C.f(x)的图象可由g(x)=2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到
6
[π ]
D.f(x)在 ，π 上有且仅有1个零点
2
答案 BD
π 2π
解析 由题意可知，函数f(x)的最小正周期T=2× = ，
2 ω
( π)
所以ω=2，f(x)=2sin 2x- .
6
( π) ( π)
对于A，f x- =2sin 2x- =-2cos 2x，为偶函数，故A错误；
6 2
( π) [ ( π) π] ( π)
对于B，因为f - =2sin 2× - - =2sin - =-2，
6 6 6 2
π
所以f(x)的图象关于直线x=- 对称，故B正确；
6
π ( π) ( π)
对于C，将g(x)=2sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到y=2sin 2 x- =2sin 2x- ≠f(x)，故C错误；
6 6 3
[π ] π [5π 11π]
对于D，当x∈ ，π 时，2x- ∈ ， ，
2 6 6 6
π 7π
当且仅当2x- =π，即x= 时，f(x)=0，
6 12[π ]
即f(x)在 ，π 上有且仅有1个零点，故D正确.
2
10.(2024·芜湖模拟)在平面直角坐标系Oxy中，角θ以坐标原点O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，其终
b+a b-a
边经过点M(a，b)，|OM|=m(m≠0)，定义f(θ)= ，g(θ)= ，则( )
m m
A.f(θ)=sin θ+cos θ
( π)
B.g(θ)=√2sin θ-
4
f(θ) 3
C.若 =2，则sin 2θ=
g(θ) 4
D.f(θ)g(θ)是周期函数
答案 ABD
解析 由题意得M(a，b)在角θ的终边上，且|OM|=m，
a b
所以cos θ= ，sin θ= ，
m m
b+a ( π)
则f(θ)= =sin θ+cos θ=√2sin θ+ ，
m 4
b-a ( π)
g(θ)= =sin θ-cos θ=√2sin θ- ，故A，B正确；
m 4
f(θ) sinθ+cosθ tanθ+1
= = =2，解得tan θ=3，
g(θ) sinθ-cosθ tanθ-1
2sinθcosθ 2tanθ 2×3 3
又由sin 2θ=2sin θcos θ= = = = ，故C错误；
sin2θ+cos2θ tan2θ+1 32+1 5
f(θ)g(θ)=(sin θ+cos θ)(sin θ-cos θ)=sin2θ-cos2θ=-cos 2θ，
因为y=cos 2θ为周期函数，
所以f(θ)g(θ)=-cos 2θ为周期函数，故D正确.
11.(2024·日照模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与
f(x)的图象交于M，N两点，且M在y轴上，则下列命题正确的是( )
A.函数f(x)的最小正周期是π
( 7π π)
B.函数f(x)在 - ，- 上单调递减
12 3
π π
C.函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到的函数图象关于直线x= 对称
12 25π √3π ( π)
D.若圆C的半径为 ，则f(x)= sin 2x+
12 6 3
答案 ACD
2π
0+ π
解析 A选项，由对称性可知C点的横坐标为 3 = ，
3
2
1 π ( π) π
设f(x)的最小正周期为T，则 T= - - = ，解得T=π，A正确；
2 3 6 2
2π ( π ) ( π )
B选项，因为ω>0，所以ω= =2，点 - ，0 在图象上，将其代入函数解析式得sin - +φ =0，
T 6 3
π
又0<φ<π，故φ= ，
3
( π)
故f(x)=Asin 2x+ ，
3
7π π 5π π π
当- 0，令z=2x+ ，则y=sin z在 - ，- 上不单调，
3 6 3
( 7π π)
故函数f(x)在 - ，- 上不单调递减，B错误；
12 3
π ( π π) ( π)
C选项，函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后得到g(x)=Asin 2x+ + =Asin 2x+ =Acos 2x的图
12 6 3 2
象，
(π) π
其中g =Acos π=-A，故g(x)的图象关于直线x= 对称，C正确；
2 2
5π 5π
D选项，若圆C的半径为 ，即|CM|= ，
12 12
π (π) 2 (5π) 2
又x = ，故 +|OM|2= ，
C 3 3 12
π
解得|OM|= ，
4
( π) ( π) π π √3π
所以将 0， 代入f(x)=Asin 2x+ 中得，Asin = ，解得A= ，
4 3 3 4 6
√3π ( π)
则f(x)= sin 2x+ ，D正确.
6 3
三、填空题(每小题5分，共15分)1
12.(2024·南京联考)将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象上的每个点的横坐标变为原来的 (纵坐标不变)，再将得到
2
π
的图象向左平移 个单位长度，所得的图象关于y轴对称，写出一个符合条件的φ的值： .
6
π
答案 - (答案不唯一)
6
[ ( π) ] ( 2π )
解析 由题意可知，所得的图象对应的函数解析式为g(x)=sin 4 x+ +φ =sin 4x+ +φ ，
6 3
又g(x)的图象关于y轴对称，
2π π
所以 +φ= +kπ，k∈Z，
3 2
π
解得φ=kπ- ，k∈Z，
6
π
令k=0，得φ=- .
6
13.(2024·新课标全国Ⅱ)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=√2+1，则
sin(α+β)= .
2√2
答案 -
3
解析 方法一 由题意得tan(α+β)
tanα+tanβ 4
= = =-2√2，
1-tanαtanβ 1-(√2+1)
( π)
因为α∈ 2kπ，2kπ+ ，
2
( 3π)
β∈ 2mπ+π，2mπ+ ，k，m∈Z，
2
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α+β)=-2√2<0，
3π
则α+β∈((2m+2k)π+ ，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
2
则sin(α+β)<0，
sin(α+β)
则 =-2√2，
cos(α+β)
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
2√2
解得sin(α+β)=- .
3
方法二 因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cos α>0，cos β<0，
cosα 1
cos α= = ，
√sin2α+cos2α √1+tan2α
cosβ -1
cos β= = ，
√sin2β+cos2β √1+tan2β
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
-4
=4cos αcos β=
√1+tan2α√1+tan2β
-4
=
√(tanα+tanβ) 2+(tanαtanβ-1) 2
-4 2√2
= =- .
√42+2 3
( π) ( π) π
14.(2024·南通统考)已知函数f(x)=3sin 2x- -2cos2 x- +1，把函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，
3 6 6
[ π]
得到函数g(x)的图象.若x ，x 是关于x的方程g(x)=a在 0， 内的两根，则cos(x +x )的值为
1 2 2 1 2
.
√10
答案 -
10
( π) ( π)
解析 f(x)=3sin 2x- -2cos2 x- +1
3 6
( π) ( π)
=3sin 2x- -cos 2x-
3 3
( π )
=√10sin 2x- -φ ，
3
√10 3√10
其中sin φ= ，cos φ= ，
10 10
π
因为把函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，得到函数g(x)的图象，
6
( π)
所以g(x)=f x+
6
[ ( π) π ]
=√10sin 2 x+ - -φ =√10sin(2x-φ)，
6 3
[ π]
当x∈ 0， 时，2x-φ∈[-φ，π-φ]，
2
[ π]
因为x ，x 是关于x的方程g(x)=a在 0， 内的两根，
1 2 22x -φ+2x -φ π π
所以有 1 2 = x +x = +φ，
2 2 1 2 2
⇒
(π ) √10
因此cos(x +x )=cos +φ =-sin φ=- .
1 2 2 10
15题6分，16题5分，共11分
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α∈R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无论
是横坐标x还是纵坐标y，都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些
函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
1
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割，记作csc α，即 =csc α；
y
1
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割，记作sec α，即 =sec α.
x
下列结论正确的有( )
5π
A.csc =-√2
4
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x的定义域为｛x|x≠kπ，k∈Z｝
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
答案 ABD
1
5π
解析 csc = 5π =-√2，A正确；
4 sin
4
1
cos α·sec α=cos α· =1，B正确；
cosα
函数f(x)=sec x的定义域为
{ | π }
x x≠kπ+ ，k∈Z ，C错误；
2
1 1
sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1+ +
cos2α sin2α1 4
=1+ =1+ ≥5，
sin2αcos2α sin22α
当sin 2α=±1时，等号成立，D正确.
( 2π)
16.在正三角形ABC中，由e·(⃗AB+⃗BC+⃗CA)=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos θ+
3
( 4π)
+cos θ+ =0，其中θ=〈e，⃗AB〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式 ；
3
通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°= .
( 2π) ( 4π) [ 2(n-1)π] 3
答案 cos θ+cos θ+ +cos θ+ +…+cos θ+ =0，θ∈R，n≥3
n n n 2
解析 记单位向量e，在边长为1的正n(n≥3)边形A A A …A 中，
1 2 3 n
因为e·(⃗A A +⃗A A +⃗A A +…+⃗A A )=e·0=0，
1 2 2 3 3 4 n 1
所以e·⃗A A +e·⃗A A +e·⃗A A +…+e·⃗A A
1 2 2 3 3 4 n 1
( 2π) ( 4π) [ 2(n-1)π]
=cos θ+cos θ+ +cos θ+ +…+cos θ+ =0，
n n n
1+cos10° 1+cos130° 1+cos250°
cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°= + + .
2 2 2
( 2π) ( 4π)
由恒等式cos θ+cos θ+ +cos θ+ =0对任意θ∈R恒成立，
3 3
可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0，
即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0，
1+cos10° 1+cos130° 1+cos250° 3
cos25°+sin225°+cos2125°= + + = .
2 2 2 2
