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专题 24.7 切线长定理、三角形的内切圆（举一反三讲义）
【人教版】
【题型1 作三角形的内切圆】..................................................................................................................................2
【题型2 三角形内切圆中求角的度数】..................................................................................................................4
【题型3 三角形内心有关的应用】..........................................................................................................................5
【题型4 应用切线长定理求长度】..........................................................................................................................6
【题型5 应用切线长定理求周长】..........................................................................................................................7
【题型6 应用切线长定理求面积】..........................................................................................................................8
【题型7 应用切线长定理求角度】..........................................................................................................................9
【题型8 应用切线长定理求证】............................................................................................................................10
【题型9 三角形内切圆中求最值】........................................................................................................................11
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】.......................................................................................................13
【题型11 圆与圆的位置关系】................................................................................................................................14
知识点 1 切线长及切线长定理
1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长．
2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线
的夹角．
知识点 2 三角形的内切圆
1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角
形．
2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点．
3. 三角形的内心与外心的区别
内心 外心
内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边
所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部
知识点 3 圆和圆的位置关系
两圆外离⇔d>R+r；
两圆外切d=R+r；
两圆相交⇔R-rr)；
两圆内含⇔dr)．
【题型1 作三角形的内切圆】
【例1】（24-25九年级下·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中做一个圆，使它与这个三角形的三边都
相切．
【变式1-1】（24-25九年级下·北京·开学考试）根据下图中圆规的作图痕迹，只用直尺就可确定△ABC内
心的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（24-25九年级上·山东济宁·期中）如图，将△ABC折叠，使AC边落在AB边上，展开后得
到折痕AD．再将△ABC折叠，使BC边落在AB边上，展开后得到折痕BE．若AD与BE的交点为O，则
点O是（ ）A．△ABC的外心B．△ABC的内心 C．△ABC的重心 D．△ABC的中心
【变式1-3】解题与遐想．
如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝4，BD＝5．求Rt△ABC的面积．
王小明：这道题算出来面积刚好是20，太凑巧了吧．刚好是4×5＝20，有种白算的感觉…
赵丽华：我把4和5换成m、n再算一遍，△ABC的面积总是m•n!确实非常神奇了…
数学刘老师：大家想一想，既然结果如此简单到极致，不计算能不能得到呢？比如，拼图？
霍佳：刘老师，我在想另一个东西，这个图能不能尺规画出来啊感觉图都定了．我怎么想不出来呢？
计算验证
（1）通过计算求出Rt△ABC的面积．
拼图演绎
（2）将Rt△ABC分割放入矩形中（左图），通过拼图能直接“看”出“20”请在图中画出拼图后的4个直
角三角形甲、乙、丙、丁的位置，作必要标注并简要说明．
尺规作图（3）尺规作图：如图，点D在线段AB上，以AB为斜边求作一个Rt△ABC，使它的内切圆与斜边AB相切
于点D．（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）
【题型2 三角形内切圆中求角的度数】
【例2】如图，△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝
度．
【变式2-1】如图，在△ABC中，点O是△ABC的内心，若∠B=50°，则∠AOC= ．
【变式2-2】如图，在RtΔABC中，∠C=90∘，∠B=70∘，ΔABC的内切圆圆O与边AB,BC,CA分别相
切于点D、E、F，则∠≝¿的度数为 ❑∘．
【变式2-3】如图，在△ABC中，∠B=70°，⊙O是△ABC的内切圆，M，N，K是切点，连接OA，
OC．交⊙O于E，D两点．点F是M´N上的一点，连接DF，EF，则∠EFD的度数是 ．【题型3 三角形内心有关的应用】
【例3】（24-25九年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，把△ABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一
直线l上，点O都落在直线MN上，直线MN∥l．在△ABC中，若∠BOC=124°，则∠BAC的度数为
（ ）
A．72° B．70° C．68° D．54°
【变式3-1】（24-25九年级上·贵州遵义·期末）如图，I为△ABC的内心，有一直线通过I点且分别与AB
、AC相交于D点、E点．若AD=DE=5，AE=6，则I点到BC的距离是（ ）
30 24
A．3 B．2 C． D．
11 11
【变式3-2】（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=10，AC=12，I为△ABC的内
心，过点I作直线MN分别交AC，AB于点M，N，且∠AMN=∠ABC，则△AMN的周长为（ ）A．11 B．16 C．18 D．22
【变式3-3】（2025·河北石家庄·三模）如图，点I是△ABC的内心，点O是△ABC的外心，若
∠BOA=160°，则∠BIA的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【题型4 应用切线长定理求长度】
【例4】（2025·四川泸州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，⊙O是
Rt△ABC的内切圆，则⊙O的半径为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
【变式4-1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，AB、AC、BD是圆O的切线，切点分别为P、
C、D，若AB=5，AC=3，则BD的长是 ．
【变式4-2】（2025·四川南充·模拟预测）如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA，PB，切点分别
为A，B，PO与AB交于点D，与AB弧交于点E，AC为⊙O的直径．若PA=AB，BC=6，则DE的长为（ ）
❑√3
A．2 B．3 C．❑√3 D．
2
【变式4-3】（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，其内
切圆分别于AB、BC、AC相切于点D、E、F，则弦EF的长为（ ）
A．1 B．2 C．❑√2 D．❑√3
【题型5 应用切线长定理求周长】
【例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）如图，点I为△ABC的内心，AB=6，AC=4，BC=3，将
∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．7 B．6 C．9 D．6.5
【变式5-1】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，P为⊙O外一点，PA，PB，MN分别切⊙O于
A，B，C三点，且切线MN分别交PA，PB于点M，N．若PA=12，则△PMN的周长为（ ）
A．12 B．13 C．16 D．24【变式5-2】（2025·四川绵阳·一模）如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D
，E，过劣弧DE（不包括端点D，E）上任一点P作⊙O的切线MN与AB，BC分别交于点M，N，若
⊙O的半径为2，则Rt△MBN的周长为 ．
【变式5-3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，⊙O的半径为1，PA，PB是⊙O的两条切线，切
点分别为A，B．连接OA，OB，AB，PO，若∠APB=60°，则△PAB的周长为（ ）
A．6❑√3 B．3❑√3 C．6 D．3
【题型6 应用切线长定理求面积】
【例6】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，点O为△ABC的内心，∠A=60°，OB=2，OC=4，
则△OBC的面积是（ ）
A．4❑√3 B．2❑√3 C．2 D．4
【变式6-1】（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，点D、E、F为
切点，若AD=9，BD=6，则△ABC的面积为 ．【变式6-2】（2025·浙江·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是△ABC的内切圆，
若AC=3.3，BC=4.4，则图中△ABO的面积为（ ）
A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025
【变式6-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，
AD=2，BC=6，以AB为直径的⊙O切DC于点E，连AE交OD于点M，连BE交OC于点N，则四边形
OMEN的面积为 （ ）
A．2❑√3 B．3❑√3 C．2❑√2 D．3❑√2
【题型7 应用切线长定理求角度】
【例7】（24-25九年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，PA、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E是切
点，CD分别交PA、PBB于C、D两点，若∠APB=70°，则∠COD的度数为（ ）A．55° B．50° C．60° D．70°
【变式7-1】（24-25九年级下·河南周口·阶段练习）如图PA、PB分别与⊙O相切，切点分别为A，B，若
∠OBA=16°，则∠APB的度数为（ ）
A．28° B．32° C．36° D．44°
【变式7-2】（2025·北京丰台·二模）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠AOB=130°，
则∠APO= °．
【变式7-3】（2025·四川眉山·一模）如图，EA、ED是⊙O的切线，切点为A、D，点B、C在⊙O上，
若∠E=68°，则∠BAE+∠BCD的度数为（ ）
A．202° B．236° C．240° D．248°
【题型8 应用切线长定理求证】
【例8】（24-25九年级下·四川自贡·期中）如图1，已知⊙O内切于四边形ABCD，与
AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H．(1)求证：AD+BC=AB+CD；
(2)如图2，连接HF，与EG交于点P，若HF⊥EG，求证：∠A+∠C=180°．
【变式8-1】如图1所示，⊙O为△CDE的外接圆，CD为直径，AD、BC分别与⊙O相切于点D、C（
BC>AD）.E在线段AB上，连接DE并延长与直线BC相交于点P，B为PC中点.
(1)证明：AB是⊙O的切线.
(2)如图2，连接OA，OB，求证：OA⊥OB.
【变式8-2】如图，AC，BD是⊙O的切线，C，D为切点，连接AB．
(1)若AB与⊙O相切于点E，求证AC+BD=AB；
(2)若AC+BD=AB，求证AB与⊙O相切．
【变式8-3】如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点
D、E，交AB于点C．(1)求证∶∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形．
【题型9 三角形内切圆中求最值】
【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，点A的坐标为(0,4)，以O点为圆心，以OA为半径的圆交x轴
于点B，点C为第一象限圆上一动点，CD⊥x轴于D点，点I为△OCD的内心，则AI的最小值为
．
【变式9-1】如图，矩形ABCD，AD＝6，AB＝8，点P为BC边上的中点，点Q是△ACD的内切圆圆O
上的一个动点，点M是CQ的中点，则PM的最大值是 ．
【变式9-2】如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，经过点C且与边AB相切的动圆与CA，CB
分别相交于点P，Q，则△ABC的内切圆半径为 ，线段PQ长度的最小值为 ．【变式9-3】如图，⊙O的直径AB的长为8，P是A´B上一动点，∠APB的角平分线交⊙O于点Q，点I
为△APB的内心，连接QA，下列结论：①点Q是定点；②PQ的最大值为8；③QI的长为定值；④
AP⋅BP的最大值为16．其中正确的结论是 （把正确结论的序号都填上）．
【题型10 三角形的内切圆与外接圆的综合】
【例10】（24-25九年级上·安徽淮南·期末）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，
连接OB，IA．若∠CAI=35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
【变式10-1】（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内
心，连接OB，IA．若∠OBC=20°，则∠CAI的度数为（ ）
A．25° B．35° C．40° D．45°
【变式10-2】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，已知点M是△ABC的内心，A 、B 、C 分别是
1 1 1
点M关于BC、CA、AB的对称点，点B在△A B C 的外接圆上，且点A在B C 边上，若△A B C
1 1 1 1 1 1 1 1
的外接圆半径为2，则BC长为（ ）A．2❑√3 B．❑√3+2 C．4❑√3 D．2❑√3+2
【变式10-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直
径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC=5，CE=❑√10，则AC的长为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．2❑√5
【题型11 圆与圆的位置关系】
【例11】在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在△ABC内，分别以A、B、P为圆心画，圆
A半径为1，圆B半径为2，圆P半径为3，圆A与圆P内切，圆P与圆B的关系是（ ）
A．内含 B．相交 C．外切 D．相离
【变式11-1】（2025·上海松江·二模）已知⊙O 的半径是5，⊙O 的半径是6．圆心O 在⊙O 上．那么
1 2 2 1
两圆的公共弦长是（ ）
24 48
A． B． C．10 D．12
5 5
4
【变式11-2】如图，在▱ABCD中，AB=7，BC=8，sinB= ．点P在边AB上，AP=2，以点P为圆
5
心，AP为半径作⊙P．点Q在边BC上，以点Q为圆心，CQ为半径作⊙Q．如果⊙P和⊙Q外切，那么
CQ的长为 ．
【变式11-3】（24-25九年级下·上海·阶段练习）如图，△ABC的外接⊙O的半径为5，BC=8，点P为BC的中点，以点P为圆心作⊙P，若⊙P与⊙O相切，则⊙P的半径为 ．
