文档内容
专题 17.3 勾股定理的应用【十二大题型】
【人教版】
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】.........................................................................................................1
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】..................................................................................................................4
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】..................................................................................................................8
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】.......................................................................................................12
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】.......................................................................................................17
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】................................................................................................................19
【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】.......................................................................................................23
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】.......................................................................................................26
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】...........................................................................................29
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】................................................................................................................33
【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】........................................................................................................35
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】.......................................................................................................37
【题型1 应用勾股定理解决梯子滑动问题】
【例1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，学校高17.6m的教学楼AB上有一块高5m的校训宣传牌AC
，为美化环境，对校训牌AC进行维护．一辆高2.6m的工程车在教学楼前点M处，伸长25m的云梯（云梯
最长25m）刚好接触到AC的底部点A处．问工程车向教学楼方向行驶多少米，长25m的云梯刚好接触到
AC的顶部点C处？
【变式1-1】（23-24八年级·陕西安康·期末）2023年8月18日，WRC世界机器人大会在北京亦庄召开．
某科技公司展示了首款人形通用机器人H ．乐乐爸爸是机器人研发工程师，其中一次机器人H 的跑步测
1 1
试方案如下：在滑梯上的乐乐从滑梯顶端D处沿着DB方向滑下，同时机器人H 从乐乐对面的A处向B处
1跑去，恰好在点B处与乐乐相遇，并且机器人H 的跑步速度与乐乐的下滑速度相同．已知滑梯的高度
1
CD=3米，滑梯底部与机器人H 的出发点之间的距离AC=9米．请问，机器人H 跑步多少米与乐乐相
1 1
遇？
【变式1-2】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠
在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为2米，顶端B距墙顶的距离AB为1米，若保持竹竿底端位置
不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为3米，顶端E距墙顶D的距离DE为2米，点
A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：
(1)墙的高度；
(2)竹竿的长度．
【变式1-3】（23-24八年级·河北廊坊·阶段练习）如图，风等在点C处，在A，B两处各用一根引线固定着
这个风筝，其中引线BC与水平地面垂直，引线AC的长度为10米，A，B两处的水平距离为8米（风筝本
身的长宽忽略不计）．
(1)求此时风筝离地面的高度BC；
(2)现要使风筝沿竖直方向上升9米至M处，若A，B位置不变，引线AC的长度应加长多少米？
【题型2 应用勾股定理解决航海问题】
【例2】（23-24八年级·陕西宝鸡·期中）如图，我军巡逻艇正在A处巡逻，突然发现在南偏东60°方向距离15海里的B处有一艘走私船，以16海里/小时的速度沿南偏西30°方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追
赶，半小时后在点C处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？
【变式2-1】（23-24八年级·江苏泰州·期中）一辆轿车从O地以100km/h的速度向正东方向行驶，同时一
辆货车以75km/h速度从O地向正北方向行驶，2小时后两车同时到达MN走向公路上的A、B两地．
(1)求A、B两地的距离；
(2)若要从O地修建一条最短新路OC到达公路MN，求OC的距离．
【变式2-2】（23-24八年级·福建漳州·期中）漳州某港口停着轮船A和轮船B．两艘轮船同时从该港口出
发，轮船A以每小时航行16海里的速度沿北偏东25°的方向航行，轮船B以每小时航行12海里的速度沿
南偏东65°的方向航行，半个小时之后，两艘轮船相距多少海里？
【变式2-3】（23-24八年级·河南漯河·阶段练习）我国在防控新冠疫情上取得重大成绩，但新冠疫情在国
外开始蔓延，为了防止境外输入病例的增加，我国暂时停止了一切国际航班、水运．如图，在我国沿海有
一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我国海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去
拦截，6分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50海
里，乙巡航艇的航向为北偏西n°．（1）求甲巡逻艇的航行方向（用含n的式子表示）
（2）成功拦截后，甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变，3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少
海里？
【题型3 应用勾股定理解决超速问题】
【例3】（23-24八年级·山东济南·期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100
米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．
(1)现在想修一条从公路l到A中学的新路AD（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该
如何修路（请在图中画出）？新路AD长度是多少？
(2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A
中学170米．一辆车经过BE区间用时5秒，若公路l限速为60km/h（约16．7m/s），请判断该车是否超
速，并说明理由．
【变式3-1】（23-24八年级·宁夏银川·期中）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街
路上行㧒速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶
到路面对车速检测仪A正前方60米B处，过了5秒后，测得小汽车C与车速检测仪A间距离为100米，这
辆小汽车超速了吗？【变式3-2】（23-24八年级·山西朔州·期末）限速安全驾，文明靠大家，根据道路管理条例规定，在某段
笔直的公路L上行驶的车辆，限速60千米/时，一观测点M到公路L的距离MN为30米，现测得一辆汽
车从A点到B点所用时间为5秒，已知观测点M到A，B两点的距离分别为50米、34米，通过计算判断此
车是否超速．
【变式3-3】（23-24八年级·河南周口·期中）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超
载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公
路l旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO=100米，∠PBO=45°．这时，一辆轿
车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO=60°．
此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：❑√2≈1.4,❑√3≈1.7）．
【题型4 应用勾股定理解决台风影响问题】
【例4】（23-24八年级·重庆秀山·期末）第五号台风“杜苏芮”的中心于2023年7月27日下午位于福建
省厦门市境内，最大风力有15级（50米/秒），中心最低气压为940百帕，台风中心沿北偏西（BC）方向
以15km/h的速度向D移动，A地在距离B地130km的正北方，已知A地到BC的距离AD=50km．(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心45km的圆形区域内都将有受到台风破坏的危险，正在D点休闲的游客在接到台风警
报后的几小时内撤离才可脱离危险？
【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·阶段练习）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方
的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐
上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN
的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1700米以内能听到广播宣
传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．
(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；
(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？
【变式4-2】（23-24八年级·云南文山·期末）如图， 经过A村和B村的笔直公路l旁有一块山地正在开发，
现需要在C处进行爆破．已知C处与A村的距离为900米， C处与B村的距离为1200米，且AC⊥BC．
(1)求A、B两村的距离；
(2)为了安全起见，爆破点C 周围半径750米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB段是否有危险而需
要封锁? 请说明理由．
【变式4-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·阶段练习）如图，有一辆环卫车沿公路AB由点A向点B行驶，已知
点C为一所学校，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为200m和150m，AB=250m，环卫车周围
130m以内为受噪声影响区域.(1)学校C会受噪声影响吗？为什么？
(2)若环卫车噪声影响该学校持续的时间有2min，求环卫车的行驶速度为多少？
【题型5 应用勾股定理解决杯中筷子问题】
【例5】（23-24八年级·福建三明·期中）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃
（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙CD=4寸，点
C、点D与门槛AB的距离CE=DF=1尺（1尺=10寸），O是EF的中点，连接CO．
(1)求CO的长，
(2)求门槛AB的长．
【变式5-1】（23-24八年级·天津河西·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题.有一个水
池，水面是一个边长为10尺（AB=10尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇（点P是AB的中点），
它高出水面1尺（MP=1尺）.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面（
MN=BN），求水的深度PN.
【变式5-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）如图，有一个长方形水池，它的长是4米，池中央长了一棵芦
苇，露出水面1米，将芦苇拽至池边，它的顶端刚好与水面一样平，求水有多深？芦苇有多长？【变式5-3】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，一个直径为12cm（即BC＝12cm）的圆柱形杯子，在
杯子底面的正中间点E处竖直放一根筷子，筷子露出杯子外2cm（即FG＝2cm），当筷子GE倒向杯壁时
（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯D，求筷子GE的长度．
【题型6 应用勾股定理解决选址问题】
【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，某工厂A到直线公路l的距离AB为3千米，与该公路上车
站D的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C，使CA＝CD，求物品中转站与车站之间的距
离．
【变式6-1】（23-24八年级·河南安阳·阶段练习）如图铁路上A，B两点相距40千米，C，D为两村庄，
DA⊥AB，CB⊥AB，垂足分别为A和B，DA＝24千米，CB＝16千米．现在要在铁路旁修建一个煤栈E，使
得C，D两村到煤栈的距离相等，那么煤栈E应距A点（ ）A．20千米 B．16千米 C．12千米 D．无法确定
【变式6-2】（23-24八年级·全国·单元测试）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的AB所在
的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B．
已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两
所学校的距离相等？
【变式6-3】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，
AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠．
甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B；
乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H
分别向A、B进行修筑．
（1）请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）；
（2）两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明．【题型7 应用勾股定理解决旗杆高度问题】
【例7】（23-24八年级·四川巴中·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆AB的高度，发现将绳子拉直，
绳子末端落在点C处，此时点C到旗杆底部B的距离BC为6米，小明拉紧绳子的末端，将绳子的末端放在2
米高的观赛台上的点E处，测得此时点E到旗杆的水平距离EF为8米，求旗杆AB的高度为多少米？
小明不完整的求解过程如下：
(1)设AB=x米，则AE2= （用含x的代数式表示）
(2)请帮小明求出x的值．
【变式7-1】（23-24八年级·广东广州·期末）学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆AB，一根无弹力、不
能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处（打结处忽略不计），小杰同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子
m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出2米，即BC=2米；如图2，当离开旗杆底端B处6米后，绳子恰好
拉直且绳子末端D处恰好接触地面，即BD=6米，求旗杆AB的高度．
【变式7-2】（23-24八年级·山东济南·期末）太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广
场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级（1）班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之
后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：
①测得BD的长为15米（注：BD⊥CE）；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．
(1)求风筝的高度CE．
(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．
【变式7-3】（23-24八年级·陕西汉中·期末）如图，一棵大树AD两侧各有一条斜拉的绳子，大致如图所
示，李明想用所学知识测量大树AD的高度，他从工作人员处了解到绳子AB的长为13米，AC的长为20
米，然后用米尺测得B、C之间的距离为21米，已知B、C、D在一条直线上，AD⊥BC，求大树的高AD．
【题型8 应用勾股定理解决小鸟飞行问题】
【例8】（23-24八年级·新疆喀什·期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=8米，
A点到地面C点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC=10米．(1)求出BC的长度；
(2)若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小
鸟下降的距离．
【变式8-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一男孩子头
顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米.飞机每小时飞行多少千米？
【变式8-2】（23-24八年级·河南周口·期中）如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一
棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞多少米？
【变式8-3】（23-24八年级·江苏泰州·期中）11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”问题:小
溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望一棵棕榈树高是30肘尺(肘尺是古代的长度单位)，另外一棵高20肘
尺;两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的
水面上游出一条鱼，它们立刻以相同的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标.问:这条鱼出现的地方离比较高
的棕榈树的树根有多远?
【题型9 应用勾股定理解决大树折断前高度问题】
【例9】（23-24八年级·四川资阳·期末）如图，在倾斜角为45°（即∠NMP=45°）的山坡MN上有一棵
树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，AC=❑√18m．
(1)求这两棵树的水平距离CF；
(2)求树AB的高度．
【变式9-1】（23-24八年级·吉林长春·期末）如图，一木杆原来垂直于地面，在离地某处断裂，木杆顶部
落在离木杆底部5米（即AC=5）处，已知木杆原长为25米．
（1）求木杆断裂处离地面（即AB的长）多少米？
（2）求△ABC的面积．
【变式9-2】（23-24八年级·陕西渭南·期末）如图，车高AC=4m，货车卸货时后面挡板AB弯折落在地面
A 处，已知点A、B、C 在一条直线上，AC⊥AC，经过测量AC=2m，求BC的长．
1 1 1
【变式9-3】（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，
顶部B着地且离旗杆底部A4m.（1）求旗杆距地面多高处折断；
（2）工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆
从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？
【题型10 应用勾股定理解决河宽问题】
【例10】（23-24八年级·甘肃武威·期中）如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A
偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少
米？
【变式10-1】（23-24八年级·广东中山·期末）如图，A，C之间隔有一湖，在与AC方向成90°角的CB方
向上的点B处测得AB=500m，BC=400m，则AC的长为（ ）
A．300m B．400m C．500m D．600m
【变式10-2】（23-24八年级·陕西咸阳·期末）如图，AB是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上
的AC段行人可直接到达，BC段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的
地面上取点D，经测量得知，DC⊥AB于点C，AC=30米，CD=50米，BD=130米，请你求出这段公
路的总长度AB．【变式10-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）爱思考的明明同学用下面的方法测量出家门前池塘两端A、
B两点的距离．他是这样做的：选定一个点P，连接PA、PB，在PA上取一点C，恰好有PA=14m，
PB=13m，PC=5m，BC=12m，他立即确定池塘两端A、B两点的距离为15m．明明同学测量的结果正
确吗？为什么？
【题型11 应用勾股定理解决地毯长度问题】
【例11】（23-24八年级·山东济宁·阶段练习）如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，
则红地毯的长度至少为（ ）
A．18米 B．17 米 C．13米 D．12米
【变式11-1】（23-24八年级·浙江杭州·阶段练习）地面上铺设了长为20cm，宽为10cm的地砖，长方形地
毯的位置如图所示．那么地毯的长度最接近多少？（ ）
A．50cm B．100cm C．150cm D．200cm
【变式11-2】（23-24八年级·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若AD=2，BE=1，AE=3，一只蚂
蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（ ）A．❑√5 B．3 C．❑√13 D．2❑√5
【变式11-3】（23-24八年级·广东梅州·阶段练习）如图，要修建一个育苗棚，棚高
ℎ
=3m，棚宽a=4m，
棚的长为12m，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？
【题型12 应用勾股定理解决最短路径问题】
【例12】（23-24八年级·云南昆明·期中）如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若
PA=❑√17米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（ ）米
A．❑√22 B．❑√23 C．5 D．❑√26
【变式12-1】（23-24八年级·安徽合肥·期中）如图，高速公路的同一侧有A，B两城镇，它们到高速公路
所在直线MN的距离分别为AC=2km，BD=4km，CD=8km．要在高速公路上C，D之间建一个出口
P，使A，B两城镇到P的距离之和最小，则这个最短距离为（ ）
A．8km B．10km C．12km D．10❑√2km
【变式12-2】（23-24八年级·四川宜宾·期末）如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD=6米，AB=4米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从
点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（ ）
A．8m B．10m C．2❑√13m D．2❑√34m
【变式12-3】（23-24八年级·甘肃陇南·期中）一只蚂蚁从圆柱体的下底面A点沿着侧面爬到上底面B点，
已知圆柱的底面半径为4cm，高为5cm（π取3），则蚂蚁所走过的最短路径是（ ）
A．15cm B．13cm C．12cm D．10cm
