2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二十一章~第二十二章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的有（ ）
2
①y=3−❑√3x2；②y= ；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)+4x2
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成
一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①y=3−❑√3x2，是二次函数；
2
②y=
，分母中含有字母，不是二次函数；
x2
③y=x(3−5x)=−5x2+3x，是二次函数；
④y=(1+2x)(1−2x)+4x2=1−4x2+4x2=1，不是二次函数.
则二次函数共2个，
故选：B
2．已知关于x的一元二次方程(k−2)x2+3x+k2−4=0的常数项为0，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．2或−2 D．4或−2
【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得
k−2≠0，由题意又知k2−4=0，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
{k−2≠0)
，
k2−4=0
解得k=−2．
故选：A．
15
3．用配方法解方程x2−x− =0时，变形结果正确的是（ ）
4
( 1) 2 ( 1) 2 7 ( 1) 2 ( 1) 2 7
A． x− =4 B． x− = C． x− =4 D． x− =
2 2 2 4 4 2
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步
骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的
形式，从而得出答案．
15
【详解】解：∵x2−x− =0，
4
15
∴x2−x=
，
4
1 15 1
∴x2−x+ = + ，
4 4 4
( 1) 2
∴ x− =4；
2
故选：A．
4．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二
次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．{4a−2b+c=−8
)
{a=−1
)
【详解】解：由题意得 c=0 ，解得 c=0 ，
9a+3b+c=−3 b=2
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∵a=−1<0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；
当0<x<1时，y的值随x的值增大而增大，当x>1时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符
合题意；
∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
5．若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2024−6a2+2a的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．把x=a代入3x2−x−1=0，得3a2−a=1，然后把所求式子化为
2024−2(3a2−a)代入计算即可作答．
【详解】解：∵a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，
∴3a2−a=1，
∴2022−6a2+2a=2024−2(3a2−a)=2024−2×1=2022，
故选：D．
6．将抛物线 C :y=3x2+ax+b 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线
1
C :y=3x2+3x−17， 则a−b的值为（ ）
2
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即
可．
【详解】解：依题意，y=3x²+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：
y=3(x+1) 2+a(x+1)+b+1
=3x2+6x+3+ax+a+b+1=3x2+(6+a)x+a+b+4
∴6+a=3,a+b+4=−17
解得：a=−3,b=−18
∴a−b=−3−(−18)=15，
故选：B．
7．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间
也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
x(x−1) x(x−1)
A． +x=2304 B． =2304
2 2
C．x(x−1)+x=2304 D．x(x−1)=2304
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，
列出方程即可．
【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：x(x−1)+x=2304；
故选C．
8．直线y=ax+b 与抛物线 y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以
得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中
的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故
选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物
线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴
左侧，则ab>0，故选项符合题意；
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−2ax+4(a>0)．若A(m−1,y )，B(m,y )，
1 2
C(m+2,y )为抛物线上三点，且总有y >y >y ，则m的取值范围可以是（ ）
3 1 3 2
3 1 3
A．m<1 B．m> C．0<m< D．1<m<
2 2 2
【答案】C
【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称
轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求
解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系．
【详解】解：∵y=ax2−2ax+4(a>0)，
∴抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∵m−1<m<m+2，y >y >y ，
1 3 2
∴A、B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的
距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴1−(m−1)>m+2−1>1−m，
1
解得：0<m< ，
2
故选：C．
10．如图，已知顶点为(−3,−6)的抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，则下列结论：①abc<0；②
对于任意的x，均有am2+bm+c+6>0；③−5a+c=−4；④若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1；⑤
4
a< ；其中正确的个数为（ ）
5A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，
根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把(−1,−4)代入y=ax2+bx+c，得
a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确，由(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)
，进而得若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为
1 4
(−3,−6)，b=6a，得c=9a−6，再由−5a+c=−4，得a= < ，故⑤正确．
2 5
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵对称轴为直线x=−3=− <0，
2a
∴b>0，b=6a，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标为(−3,−6)，即x=−3时，函数有最小值，
∴ ax2+bx+c≥−6，
∴对于任意的x，均有am2+bm+c+6≥0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，
∴a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，
∴若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(−3,−6)，b=6a，
4ac−b2 4ac−36a2
∴ = =c−9a=−6，
4a 4a
∴c=9a−6，
∵−5a+c=−4，
∴−5a+9a−6=−4，
1 4
解得a= < ，故⑤正确．
2 5
∴正确的个数为3.故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．关于x的方程(a−3)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a>−1且a≠3
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟
练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数
根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．根据
二次项系数不等于零且Δ>0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
Δ=(−4) 2−4(a−3)×(−1)>0且a≠0，
∴a>−1且a≠3．
故答案为：a>−1且a≠3．
12．若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
【答案】m＞﹣1
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1），
∴顶点坐标为（2，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个
象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
13．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y
与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=−0.2x2+1.5x−2，则最佳加工时间为
min．
【答案】3.75
b
【分析】根据二次函数的对称轴公式x=− 直接计算即可．
2a
b 1.5
【详解】解：∵y=−0.2x2+1.5x−2的对称轴为x=− =− =3.75（min），
2a 2×(−0.2)故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶
点公式是解题关键．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(−3，-1)，B(0，2)两点，则关于
x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是 ．
【答案】−3<x<0
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线
y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点坐标是解题关键．
【详解】解：由图象可知，当−3<x<0时，抛物线位于直线上方，
∴不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是：−3<x<0，
故答案为：−3<x<0
15．已知关于x的方程x2−(m+3)x+4m−4=0的两个实数根．若等腰三角形ABC的一边长a=5
，另两边b，c的长度恰好是这个方程的两个根，△ABC的周长为 ．
【答案】13或14
【分析】由等腰三角形的性质可知b=c或b、c中有一个为5，①当b=c时，根据根的判别式
Δ=0，解之求出m值，将m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关
系即可得出该种情况不合适；②当方程的一根为5时，将x=5代入原方程求出m值，将m的值代
入原方程中解方程即可得出方程的解，再根据三角形的三边关系确定△ABC的三条边，结合三角
形的周长即可得出结论．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，
∴b=c或b、c中有一个为5．
①当b=c时，Δ=（m-5）2=0，
解得：m=5，
∴原方程为x2-8x+16=0，
解得：b=c=4，
∵b+c=4+4=8＞5，∴4、4、5能构成三角形．
该三角形的周长为4+4+5=13．
②当b或c中的一个为5时，将x=5代入原方程，得：25-5m-15+4m-4=0，
解得：m=6，
∴原方程为x2-9x+20=0，
解得：x =4，x =5．
1 2
∵4、5、5能组成三角形，
∴该三角形的周长为4+5+5=14．
综上所述，该三角形的周长是13或14，
故答案为：13或14．
【点睛】本题考查了三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是需
要分类讨论，以防漏解．
16．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在抛物线y=x2−4x+6上运动，过点A作
AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作正方形ABCD．则正方形的边长A B的最小值是
．
【答案】❑√2
❑√2
【分析】根据正方形的性质得到AB= AC，再将抛物线解析式整理成顶点式形式，当正方形的
2
边长AB的最小时，即AC的值最小．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°
∴AC=❑√2AB
❑√2
∴AB= AC，
2
∵y=x2-4x+6=（x-2）2+2，
∴当x=2时，AC有最小值2，
即正方形的边长AB的最小值是❑√2．
故答案为：❑√2．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，将抛物线解析式整理成顶点
式形式求解更简便．
三、解答题
17．解方程
(1)x2−3x+1=0；
(2)4x(2x−1)=3(2x−1)．
3+❑√5 3−❑√5
【答案】(1)x = ，x = ；
1 2 2 2
1 3
(2)x = ，x = ．
1 2 2 4
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、
因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）解：x2−3x+1=0，
Δ=(−3) 2−4×1×1=5>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
3±❑√5
∴x= ，
2×1
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：4x(2x−1)=3(2x−1)，
4x(2x−1)−3(2x−1)=0
(2x−1)(4x−3)=0，
2x−1=0或4x−3=0，
1 3
∴x = ，x = ．
1 2 2 4
18．已知一个二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则△CDE的面积为__________．
【答案】(1)y=−(x+1) 2+4
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式y=a(x+1) 2+4，然后把B(2,−5)代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段CD的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即
可．
【详解】（1）解∶设函数解析式为y=a(x+1) 2+4，
把B(2,−5)代入，得−5=9a+4，
解得a=−1，
∴y=−(x+1) 2+4；
（2）解∶令y=0，则0=−(x+1) 2+4，解得x =−3，x =1，
1 2
∴CD=1−(−3)=4，
令x=0，则y=−(0+1) 2+4=3，
∴E(0,3)，
∴OE=3，
1
∴△CDE的面积为 ×4×3=6，
2
故答案为：6．
19．已知关于x的方程x2+ax−a−5=0．
(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】(1)a＝1，方程的另一个根为﹣3
(2)见解析
【分析】（1）将x=2代入方程x2+ax−a−5=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一
根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论．
【详解】（1）∵x＝2是方程x2+ax−a−5=0的解
∴把x＝2代入方程x2+ax−a−5=0得：4+2a-a﹣5＝0解得a＝1
∵x +x ＝-a
1 2
∴2+x ＝−1
2
∴x ＝-3
2
∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．
（2）∵Δ=a2-4（-a-5）＝a2+4a+20=（a+2）2+16＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac以及根
与系数的关系．
20．已知抛物线y=3ax2+2bx+1．
(1)若a=1，b=2，求该抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若a+b=−1，且当x=1时，对应的y>0，试判断当0<x<1时，抛物线与x轴是否有交点？若
有，证明有几个交点；若没有，请说明理由．
( 1 )
【答案】(1)(−1,0)或 − ,0
3
(2)有两个交点，证明见解析
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）先求出抛物线的解析式，然后令y=0求解即可；
（2）根据题意得：当x=1时，y=3a+2b+1>0，由a+b=−1得b=−1−a，进而得到a>1，
Δ=4b2−12a=4(a−1) 2+4a>0，推出抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下
b
方，得到对称轴：0<− <1，结合当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，即可证明．
3a
【详解】（1）解：当a=1，b=2时，抛物线为：y=3x2+4x+1，
1
令y=3x2+4x+1=0，解得：x =−1，x =− ，
1 2 3
( 1 )
∴该抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或 − ,0 ；
3
（2）当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
由条件得：当x=1时，y=3a+2b+1>0．
∵ a+b=−1，即b=−1−a，
∴ 3a+2b+1=3a+2(−1−a)+1=a−1>0，∴ a>1，
∴ Δ=4b2−12a=4(−1−a) 2−12a=4(a−1) 2+4a>0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下方．
b
该抛物线的对称轴为：x=− ，
3a
∵ b=−1−a，
b a+1 1 1
∴ − = = + ，
3a 3a 3 3a
∵ a>1，
b
∴ 0<− <1，
3a
∴抛物线的对称轴大于0小于1，
∵当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，
∴当0<x<1时，抛物线与x轴有两个交点．
21．某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元从今年1
月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份累
计收入达364万元，且2，3月份的生产收入保持相同的增长率，3月份后每月生产收入稳定在3
月份的水平．
(1)求使用新设备后，2月3月生产收入的月增长率
(2)购进新设备需一次性支付640万元，则使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧
设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去旧设备维护费或新设备购进费）
【答案】(1)每月的增长率是20%．
(2)使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
【分析】本题主要考查理一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意列出
方程和不等式是解题的关键．
（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为100(1+x)，三月份的生产收入为100(1+x) 2
，根据1至3月份的生产收入累计可达364万元可列方程求解即可；
（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，根据不等关系可
列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设每月的增长率为x，由题意得：100+100(1+x)+100(1+x) 2=364，
解得x=0.2或x=−3.2（不合题意舍去）．
答：每月的增长率是20%．（2）解：设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有
364+100(1+20%) 2 (y−3)−640≥(90−5)y，
解得y≥12．
答：使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．
22．在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如：点
( 1 1)
(1,1)，(0,0)， − ，− ，……都是和谐点．
3 3
(1)判断二次函数y=x2−2的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
(2)若二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(1,1)．
①求这个二次函数的表达式；
3
②若0≤x≤m时，函数y=ax2+2x+c+ (a≠0)的最小值为1，最大值为3，求实数m的取值范
2
围．（可通过画出函数图象草图来求解）
【答案】(1)存在和谐点，和谐点的坐标为(−1，−1)，(2,2)
1 1
(2)①y=− x2+2x− ；②2≤m≤4
2 2
【分析】（1）设函数y=x2−2的和谐点为(x,x)，代入求解即可；
（2）①将点(1,1)代入y=ax2+2x+c，再由ax2+2x+c=x有且只有一个根，Δ=1−4ac=0，两
个方程联立即可求a、c的值；
1 1
②由①可知y=− x2+2x+1=− (x−2) 2+3，当x=2时，y=3，当x=0时，y=1，当 x=4时，
2 2
y=1，则2≤m≤4时满足题意；
【详解】（1）存在和谐点，和谐点的坐标为(−1,−1),(2,2)；
设函数y=x2−2的和谐点为(x,x)，可得x=x2−2，
解得x=−1或x=2，
∴和谐点为(−1,−1),(2,2)；
（2）①∵点(−1,−1)是二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的和谐点，
∴1=a+2+c,
∴c=−a−1,
∵二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax2+2x+c=x有且只有一个根，∴Δ=1−4ac=0，
1 1
∴a=− ,c=− ，
2 2
1 1
∴该二次函数的表达式为：y=− x2+2x− ；
2 2
1 1
②由①可知， y=− x2+2x+1=− (x−2) 2+3，
2 2
∴抛物线的对称轴为直线x=2，
当x=2时，y=3，
当x=0时，y=1，
当x=4时，y=1，
∵函数的最小值为1 ，最大值为3 ，
当2≤m≤4时，函数的最小值为1 ，最大值为3 ．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二
次函数的性质结合是解题的关键．
23．某市农副产品销售公司的某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）
与年产量x（万件）（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万/件）之间的
函数图像是如图2所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利
润为w万元（毛利润=销售额−生产费用）
(1)求出y与x以及z与x之间的函数关系式；
(2)求w与x之间的函数关系式；
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过490万元，求今年可获得最大毛利润．
1 1
【答案】(1)y= x2 ，z=− x+30(0≤x≤100)
10 10
1
(2)w=− x2+30x
5
(3)今年最多可获得毛利润1120万元【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是正确求出一次函数和
二次函数的解析式．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据毛利润=销售额−生产费用求出解析式即可；
（3）首先求出x的取值范围，再由二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：图①可得函数经过点(100,1000)，
设抛物线的解析式为y=ax2(a≠0)，
将点(100,1000)代入得：1000=10000a，
1
解得：a= ，
10
1
故y与x之间的关系式为y= x2 ，
10
图②可得：函数经过点(0,30)，(100,20)，
{100k+b=20)
设z=kx+b，则 ，
b=30
{ k=− 1 )
解得： 10 ，
b=30
1
故z与x之间的关系式为z=− x+30(0≤x≤100)；
10
1 1 1
（2）解：w=zx−y=− x2+30x− x2=− x2+30x，
10 10 5
1
∴w与x之间的函数关系式为w=− x2+30x；
5
1
（3）解：令y=490，得 x2=490，
10
解得：x=70（负值舍去），
由图象可知，当0<y≤490时，
1 1 1
w=− x2+30x=− (x2−150x)=− (x−75) 2+1125，
5 5 5
1
∵− <0，
5
∴当x≤75时，w随x的增大而增大，
∵0<x≤70，1
∴当x=70时，w有最大值=− ×(70−75) 2+1125=1120，
5
答：今年最多可获得毛利润1120万元．
24．综合与探究
如图，二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为
(−4，0)，且OA=OC，E是线段OA上的一个动点，过点E作直线EF垂直于x轴交直线AC和抛
物线分别于点D、F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设点E的横坐标为m．当m为何值时，线段DF有最大值，并写出最大值为多少；
(3)若点P是直线AC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以点P、Q、B、C为顶点的
四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)二次函数解析式为y=−x2−3x+4
(2)当m=−2时，DF有最大值，且最大值为4
(2+❑√34 ❑√34)
(3)存在点Q使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形，且Q , 或
2 2
(2−❑√34 ❑√34)
Q ,− 或Q(−2,−3)或Q(−4,5)
2 2
【分析】（1）根据A(−4，0)，OA=OC，运用待定系数法即可求解；
（2）根据A(−4，0)，C(0,4)，求出直线AC的解析式，根据点E的横坐标为m，可用含m的式
子表示点D,F的坐标，由此可得DF的长关于m的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出BC的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点Q在直
线AC下方；第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方；图形结合，即可求解．
【详解】（1）解：∵二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点
A的坐标为(−4，0)，
∴OA=4，∵OA=OC，
∴OC=4，则C(0,4)，
把A(−4，0)，C(0,4)代入二次函数解析式y=−x2+bx+c得，
{−16−4b+c=0) {b=−3)
，解得， ，
c=4 c=4
∴二次函数解析式为y=−x2−3x+4．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为y=−x2−3x+4，且A(−4，0)，C(0,4)，
∴设直线AC所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
{−4k+b=0) {k=1)
∴ ，解得， ，
b=4 b=4
∴直线AC的解析式为y=x+4，
∵点E的横坐标为m，直线EF垂直于x轴交直线AC和抛物线分别于点D、F，
∴点D、F的横坐标为m，
∴D(m,m+4)，F(m,−m2−3m+4)，
∴DF=−m2−3m+4−(m+4)=−m2−4m=−(m+2) 2+4，
∴当m=−2时，DF有最大值，且最大值为4．
（3）解：∵二次函数y=−x2−3x+4的图像与x轴交于A，B两点，且A(−4，0)，
∴令y=0时，x2+3x−4=0，则x =−4，x =1，
1 2
∴B(1,0)，且C(0,4)
在Rt△BOC中，OB=1，OC=4，
∴BC=❑√OB2+OC2=❑√12+42=❑√17，
第一种情况：如图所述，点Q在直线AC下方，
四边形PCBQ是菱形，则PC∥BQ，BQ=BC=❑√17，且直线AC的解析式为y=x+4，
∴设直线BQ所在直线的解析为y=x+c，把点B(1,0)代入得，0=1+c，解得，c=−1，∴直线BQ的解析式为y=x−1，设Q(q,q−1)，过点Q作QH⊥x轴于点H，
∴BH=1−q，QH=q−1，
∴BQ=❑√BH2+QH2=❑√(1−q) 2+(q−1) 2=❑√17，整理得，2q2−4q−15=0，
4±2❑√34 2±❑√34
∴q= = ，
4 2
2+❑√34 2+❑√34 ❑√34 (2+❑√34 ❑√34)
∴当q= 时，q−1= −1= ，即Q , ；
2 2 2 2 2
2−❑√34 2−❑√34 ❑√34 (2−❑√34 ❑√34)
当q= 时，q−1= −1=− ，即Q ,− ；
2 2 2 2 2
第二种情况：如图所示，点Q在直线AC上方，
四边形BCQP是菱形，QP∥BC，BP=BC=❑√17，且B(1,0)，C(0,4)，
∴直线BC的解析式为y=−4x+4，
设P(p,p+4)，
∴BP=❑√(1−p) 2+(p+4) 2=❑√17，整理得，p2+3p=0，解得，p =0（与点C重合，不符合题
1
意，舍去），p =−3，即P(−3,1)，
2
∴设PQ所在直线的解析式为y=−4x+n，把点P(−3,1)代入得，n=−11，
∴直线PQ的解析式为y=−4x−11，
根据题意，设Q(r,−4r−11)，
∴PQ=❑√(−3−r) 2+(1+4r+11) 2=❑√17，整理得，17r2+102r+136=0，
−102±34
∴r= ，即r =−2，r =−4，
34 1 2
∴Q(−2,−3)或Q(−4,5)，
(2+❑√34 ❑√34)
综上所述，存在点Q使得以点P、Q、B、C为顶点的四边形是菱形，且Q , 或
2 2(2−❑√34 ❑√34)
Q ,− 或Q(−2,−3)或Q(−4,5)．
2 2
【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次
函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．
