文档内容
2024-2025 学年九年级数学上学期第一次月考卷
基础知识达标测
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第二十一章~第二十二章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．下列函数中是二次函数的有（ ）
2
①y=3−❑√3x2；②y= ；③y=x(3−5x)；④y=(1+2x)(1−2x)+4x2
x2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练的掌握二次函数的定义.把关系式整理成
一般形式，根据二次函数的定义判定即可解答．
【详解】①y=3−❑√3x2，是二次函数；
2
②y=
，分母中含有字母，不是二次函数；
x2
③y=x(3−5x)=−5x2+3x，是二次函数；
④y=(1+2x)(1−2x)+4x2=1−4x2+4x2=1，不是二次函数.
则二次函数共2个，
故选：B
2．已知关于x的一元二次方程(k−2)x2+3x+k2−4=0的常数项为0，则k的值为（ ）
A．−2 B．2 C．2或−2 D．4或−2
【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，一元二次方程的定义，由一元二次方程的定义可得
k−2≠0，由题意又知k2−4=0，联立不等式组，求解可得答案．
【详解】解：根据题意可得：
{k−2≠0)
，
k2−4=0
解得k=−2．
故选：A．
15
3．用配方法解方程x2−x− =0时，变形结果正确的是（ ）
4
( 1) 2 ( 1) 2 7 ( 1) 2 ( 1) 2 7
A． x− =4 B． x− = C． x− =4 D． x− =
2 2 2 4 4 2
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步
骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的
形式，从而得出答案．
15
【详解】解：∵x2−x− =0，
4
15
∴x2−x=
，
4
1 15 1
∴x2−x+ = + ，
4 4 4
( 1) 2
∴ x− =4；
2
故选：A．
4．已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，
x … −4 −2 0 3 5 …
y … −24 −8 0 −3 −15 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．当x>0时，y的值随x的值增大而增大
C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线x=1
【答案】D
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二
次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．{4a−2b+c=−8
)
{a=−1
)
【详解】解：由题意得 c=0 ，解得 c=0 ，
9a+3b+c=−3 b=2
∴二次函数的解析式为y=−x2+2x=−(x−1) 2+1，
∵a=−1<0，
∴图象的开口向下，故选项A不符合题意；
图象的对称轴是直线x=1，故选项D符合题意；
当01时，y的值随x的值增大而减小，故选项B不符
合题意；
∵顶点坐标为(1,1)且经过原点，图象的开口向下，
∴图象经过第一、三、四象限，故选项C不符合题意；
故选：D．
5．若a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，则2024−6a2+2a的值是（ ）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，以及已知式子的值，求代数式的值，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．把x=a代入3x2−x−1=0，得3a2−a=1，然后把所求式子化为
2024−2(3a2−a)代入计算即可作答．
【详解】解：∵a是关于x的方程3x2−x−1=0的一个根，
∴3a2−a=1，
∴2022−6a2+2a=2024−2(3a2−a)=2024−2×1=2022，
故选：D．
6．将抛物线 C :y=3x2+ax+b 向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到新抛物线
1
C :y=3x2+3x−17， 则a−b的值为（ ）
2
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即
可．
【详解】解：依题意，y=3x²+ax+b向左平移 1 个单位，向上平移 1 个单位后得到：
y=3(x+1) 2+a(x+1)+b+1
=3x2+6x+3+ax+a+b+1=3x2+(6+a)x+a+b+4
∴6+a=3,a+b+4=−17
解得：a=−3,b=−18
∴a−b=−3−(−18)=15，
故选：B．
7．王老师购买了2304张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间
也互赠了一张签名卡，签名卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是（ ）
x(x−1) x(x−1)
A． +x=2304 B． =2304
2 2
C．x(x−1)+x=2304 D．x(x−1)=2304
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用互赠的数量加上老师赠送的数量等于总数量，
列出方程即可．
【详解】解：设班级有x名学生，由题意，得：x(x−1)+x=2304；
故选C．
8．直线y=ax+b 与抛物线 y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以
得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中
的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故
选项不符合题意；
B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；
C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物
线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；
D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴
左侧，则ab>0，故选项符合题意；
故选：D．
9．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2−2ax+4(a>0)．若A(m−1,y )，B(m,y )，
1 2
C(m+2,y )为抛物线上三点，且总有y >y >y ，则m的取值范围可以是（ ）
3 1 3 2
3 1 3
A．m<1 B．m> C．00)，
∴抛物线对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∵m−1y >y ，
1 3 2
∴A、B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的
距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴1−(m−1)>m+2−1>1−m，
1
解得：00；③−5a+c=−4；④若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1；⑤
4
a< ；其中正确的个数为（ ）
5A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的性
质是解题的关键．根据开口方向，对称轴，与y轴的交点，即可判断a,b,c的符号，即可判断①，
根据顶点坐标求得最值，即可判断②，把(−1,−4)代入y=ax2+bx+c，得
a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确，由(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)
，进而得若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；由抛物线y=ax2+bx+c的顶点为
1 4
(−3,−6)，b=6a，得c=9a−6，再由−5a+c=−4，得a= < ，故⑤正确．
2 5
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
b
∵对称轴为直线x=−3=− <0，
2a
∴b>0，b=6a，
∵抛物线与y轴交于负半轴，
∴c<0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标为(−3,−6)，即x=−3时，函数有最小值，
∴ ax2+bx+c≥−6，
∴对于任意的x，均有am2+bm+c+6≥0，故②错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，
∴a−b+c=a−6a+c=−5a+c=−4，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c过(−1,−4)，(−1,−4)关于直线x=−3对称的点为(−5,−4)，
∴若ax2+bx+c≥−4，则x≥−1或x≤−5，故④错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(−3,−6)，b=6a，
4ac−b2 4ac−36a2
∴ = =c−9a=−6，
4a 4a
∴c=9a−6，
∵−5a+c=−4，
∴−5a+9a−6=−4，
1 4
解得a= < ，故⑤正确．
2 5
∴正确的个数为3.故选：B．
第II卷（非选择题）
二、填空题
11．关于x的方程(a−3)x2−4x−1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是 ．
【答案】a>−1且a≠3
【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2−4ac与根的关系，熟
练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ>0时，一元二次方程有两个不相等的实数
根；当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，一元二次方程没有实数根．根据
二次项系数不等于零且Δ>0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
Δ=(−4) 2−4(a−3)×(−1)>0且a≠0，
∴a>−1且a≠3．
故答案为：a>−1且a≠3．
12．若抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为 ．
【答案】m＞﹣1
【分析】直接利用顶点形式得出顶点坐标，结合第一象限点的特点列出不等式解答即可．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2+（m+1），
∴顶点坐标为（2，m+1），
∵顶点在第一象限，
∴m+1＞0，
∴m的取值范围为m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），以及各个
象限点的坐标特征，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．
13．加工爆米花时，爆开且不糊的颗粒的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y
与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=−0.2x2+1.5x−2，则最佳加工时间为
min．
【答案】3.75
b
【分析】根据二次函数的对称轴公式x=− 直接计算即可．
2a
b 1.5
【详解】解：∵y=−0.2x2+1.5x−2的对称轴为x=− =− =3.75（min），
2a 2×(−0.2)故：最佳加工时间为3.75min，
故答案为：3.75．
【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶
点公式是解题关键．
14．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A(−3，-1)，B(0，2)两点，则关于
x的不等式ax2+bx+c>kx+m的解集是 ．
【答案】−3kx+m的解集是：−30，
∴方程有两个不相等的实数根，
3±❑√5
∴x= ，
2×1
3+❑√5 3−❑√5
∴x = ，x = ；
1 2 2 2
（2）解：4x(2x−1)=3(2x−1)，
4x(2x−1)−3(2x−1)=0
(2x−1)(4x−3)=0，
2x−1=0或4x−3=0，
1 3
∴x = ，x = ．
1 2 2 4
18．已知一个二次函数的图象以A(−1,4)为顶点，且过点B(2,−5)．(1)求该函数的解析式；
(2)设抛物线与x轴分别交于点C，D，与y轴交于点E，则△CDE的面积为__________．
【答案】(1)y=−(x+1) 2+4
(2)6
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，解题的关键是∶
（1）设顶点式y=a(x+1) 2+4，然后把B(2,−5)代入求出a的值即可；
（2）根据抛物线解析式求得线段CD的长度和点E的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即
可．
【详解】（1）解∶设函数解析式为y=a(x+1) 2+4，
把B(2,−5)代入，得−5=9a+4，
解得a=−1，
∴y=−(x+1) 2+4；
（2）解∶令y=0，则0=−(x+1) 2+4，解得x =−3，x =1，
1 2
∴CD=1−(−3)=4，
令x=0，则y=−(0+1) 2+4=3，
∴E(0,3)，
∴OE=3，
1
∴△CDE的面积为 ×4×3=6，
2
故答案为：6．
19．已知关于x的方程x2+ax−a−5=0．
(1)若方程有一个根为2，求a的值及该方程的另一个根；
(2)求证：不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【答案】(1)a＝1，方程的另一个根为﹣3
(2)见解析
【分析】（1）将x=2代入方程x2+ax−a−5=0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一
根；
（2）写出根的判别式，配方后得到完全平方式，即可得到结论．
【详解】（1）∵x＝2是方程x2+ax−a−5=0的解
∴把x＝2代入方程x2+ax−a−5=0得：4+2a-a﹣5＝0解得a＝1
∵x +x ＝-a
1 2
∴2+x ＝−1
2
∴x ＝-3
2
∴a＝1，方程的另一个根为﹣3．
（2）∵Δ=a2-4（-a-5）＝a2+4a+20=（a+2）2+16＞0，
∴不论a取任何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，关键是掌握根的判别式Δ=b2−4ac以及根
与系数的关系．
20．已知抛物线y=3ax2+2bx+1．
(1)若a=1，b=2，求该抛物线与x轴的交点坐标；
(2)若a+b=−1，且当x=1时，对应的y>0，试判断当00，由a+b=−1得b=−1−a，进而得到a>1，
Δ=4b2−12a=4(a−1) 2+4a>0，推出抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下
b
方，得到对称轴：0<− <1，结合当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，即可证明．
3a
【详解】（1）解：当a=1，b=2时，抛物线为：y=3x2+4x+1，
1
令y=3x2+4x+1=0，解得：x =−1，x =− ，
1 2 3
( 1 )
∴该抛物线与x轴的交点坐标为(−1,0)或 − ,0 ；
3
（2）当00．
∵ a+b=−1，即b=−1−a，
∴ 3a+2b+1=3a+2(−1−a)+1=a−1>0，∴ a>1，
∴ Δ=4b2−12a=4(−1−a) 2−12a=4(a−1) 2+4a>0，
∴抛物线y=3ax2+2bx+1与x轴有两个交点，顶点在x轴下方．
b
该抛物线的对称轴为：x=− ，
3a
∵ b=−1−a，
b a+1 1 1
∴ − = = + ，
3a 3a 3 3a
∵ a>1，
b
∴ 0<− <1，
3a
∴抛物线的对称轴大于0小于1，
∵当x=0时，y=1；当x=1时，对应的y>0，
∴当0
