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6.2 三角形的中位线
题型一 利用三角形中位线进行简单求解
1．（15-16九年级上·福建泉州·期末）如图，在 中，D，E分别是边 的中点．若 ，则
（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题主要考查了三角形中位线的判断与性质，说明 是 的中位线是解题的关键．
先证明 是 的中位线，再根据三角形中位线的性质即可解答．
【详解】解：∵在 中，D，E分别是边 的中点．
∴ 是 的中位线，
∴ ．
故选C．
2．（25-26八年级上·山东淄博·月考）如图， 的边 ， ， 上的中点分别是D，E，F，且， ，则四边形 的周长为（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】C
【分析】本题考查三角形中位线的定义和性质；由三角形中位线的性质可得 ，
，相加即可求解.
【详解】解：∵ 的边 ， ， 上的中点分别是D，E，F，且 ， ，
∴ 、 为 的中位线，
∴ ，
∴四边形 的周长为 .
故选：C．
3．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，点
是 的中点，若 ，则 的长为（ ）
A．4 B．3 C．5 D．6
【答案】A
【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形 是平行四边形，得到
；再根据点E是 的中点，得出 是 的中位线，即可解决问题．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵点E是 的中点，
∴ 是 的中位线，∴根据三角形的中位线定理可得： ，
则 ．
故选：A．
4．（25-26八年级上·湖南张家界·期末）如图，点D，E，F分别为 三边的中点，若 的周长为
5，则 的周长为（ ）
A．12 B．10 C．5 D．2．5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的中位线的性质的应用，能根据三角形的中位线性质得出 、
、 是解此题的关键．根据三角形的中位线性质得出 ， ，
，即可求出答案．
【详解】解： 点 、 、 分别为 三边 、 、 的中点，
， ， ，
的周长为5，
，
，
即 的周长为 .
故选：B．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在四边形 中， 是 上一动点， 是 上一定点，
连接 ， ， ， 分别是 ， 的中点．当点 从点 向点 移动时，关于线段 的长度，
下列结论一定正确的是（ ）
A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．不改变 D．不能确定
【答案】C
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题的关键．根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】解：连接 ，如图所示，
∵ ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵点 是 上一定点， 是定点， 的长度不变，
∴ 的长度不改变，
故选：C．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 平分 ，且 ， 分别为 ， 的
中点．若 ，则 的长为 ．
【答案】2
【分析】根据已知可求得 为三角形的中位线，从而可求得 的长，再根据平行线的性质及等角对等边
可得到 ，即求得了 的长．
本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及中位线的性质的综合运用，熟练掌握是解决本题的关
键．
【详解】解：∵ ， 分别为 ， 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：2．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图， 为 的边 的中点， ， ，
于点 ，连接 ．若 为 的平分线，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是三角形中位线定理和等腰三角形的性质的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边
且等于第三边的一半和等腰三角形三线合一是解题的关键．
延长 交 于点 ，根据等腰三角形三线合一得到 ， ，根据三角形中位线定理得到
，代入计算即可．
【详解】解：如图，延长 交 于点 ．
为 的平分线， ，
， ，
为 的中点．
为 的中点，
．
8．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）如图，在 中，点 分别是边 的中点，
，求 的度数．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到 ，则由平行线的性质可得到 ．
【详解】解：∵在 中，点 分别是边 的中点，
∴ 都是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型二 利用三角形中位线进行简单证明
1．（25-26九年级上·四川攀枝花·月考）如图，四边形 各边中点分别是E、F、G、H，求证：四边
形 是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等
的四边形为平行四边形，进行求证即可．
【详解】证明：连接 ，
∵四边形 各边中点分别是E、F、G、H，
是 的中位线， 是 的中位线，
，
，
∴四边形 是平行四边形．
2．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图所示， 和 分别是 中 和 边上的中线，过点F
作 ，过点E作 ， 与 相交于点M，连接 ， ，求证： ．【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形 是平行四边
形，得到 ，则可证明四边形 是平行四边形，得到 ，再由三角形中位线定理
可得 ，据此可证明 ．
【详解】证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
是 中 边上的中线，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是 中 边上的中线，
为 的中位线，
，
．
3．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，在 中，已知 ， 平分 ，E为
的中点．
(1)求 的长；
(2)求证： ．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是 的中点，再根据点E为 的中点可得， 是
的中位线，进而即可求解；
（2）根据中位线的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ 是 边上的中线，
∴点D是 的中点，
又∵点E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得， 是 的中位线，
∴ ．
4．（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）如图，已知 是 的中位线， 是 延长线上一点，
．
(1)求证：四边形 是平行四边形；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含 角的直角三角形的性质，勾股
定理，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线的性质得到 ，又 ，故四边形 两组对边分别平行，因此为平行四边形；
（2）先求得 ，得到 ，再在 中，根据勾股定理求得 ，进而由平行
四边形的对边相等得到 ，再由三角形中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，
∴ ，
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ．
题型三 判断结论是否正确
1．（25-26九年级上·全国·期末）如图， 中， ， 是 边上的中线．按下列步骤作图：
①分别以点B，C为圆心，大于线段 长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N；②过点M，N作直线
，分别交 于点D，O；③连接 ．下列结论错误的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作线段垂直平分线，三角形中位线定理，三角形中线平
分三角形面积等知识，掌握这些知识是关键；由作图知 是线段 的垂直平分线，则 ，从而
可判断选项A正确；由三角形中位线定理可判断选项B正确；由三角形中线的性质可得
，从而判断选项D正确；当 时得 ，否则不成立，从而可判断选
项C错误．
【详解】解：由作图知， 是线段 的垂直平分线，则 ， ，
故选项A正确；
∵ 是 边上的中线，
∴点E是 的中点，
∵点D是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故选项B正确；
∵ 是 边上的中线，点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
故选项D正确；
当 时， ，否则不成立，
故选项C错误．
故选：C．
2．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在 中， ，点 、 、 分别是边 、 、的中点，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角
形的中位线定理是解题的关键．
由题意可得 为 的中位线，根据三角形的中位线定理可得 ，
则 ，四边形 是平行四边形，即可判断A、B、D；再由 ， 是边 的中点，
即可判断C．
【详解】解：点 、 、 分别是边 、 、 的中点
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，四边形 是平行四边形，
∴ ，
故A、B、D正确，不符合题意；
∵ ， 是边 的中点，
∴ ，
故C错误，符合题意，
故选：C．
3．（2025·河北沧州·模拟预测）如图，在 中，D，E分别是边 ， 的中点．将 沿 折
叠，使点A落在平面上的 处．下列不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D． 是等腰三角形【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质可得当 时， ，再根据轴对称的性质可得 垂直平分
，即可判断选项B；由三角形中位线定理判断选项C；再由折叠的性质和平行线的性质得 ，
最后根据等腰三角形的判定即可判断．
【详解】解：选项A：如图，当 时，∵D是边 的中点，
∴ ，故符合题意，
选项B：由题意得，点A、 关于 对称，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，故不符合题意；
选项C：∵D，E分别是边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，故不符合题意；
选项D：∵D，E分别是边 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ ， ，
由折叠的性质得， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，故不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、折叠的性质、轴对称的性质、三角形中位线定理、平行线的
性质，熟练掌握相关定理是解题的关键．
4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在四边形 中，对角线 ，且 平分 ，
连接 交 于点 ，且 为 的中点，在 上取一点 ，连接 ，使 于点 ，取 的
中点 ，连接 ，延长 相交于点 ．下列四个结论：① ；② ；③ 是的中位线；④ ．其中所有正确的结论为（ ）
A．①③④ B．③④ C．②④ D．②③④
【答案】D
【分析】根据含 角直角三角形的性质即可判定①；根据题意证明出 ，得到
，然后利用三角形中位线的性质即可判定②；延长 ， 交于点H，然后证明出
，得到 ，然后得到 是 的中位线，即可判断③；得到 ，然
后结合等边对等角得到 ，即可判断④．
【详解】∵ ，但 不一定等于 ，
∴ ，故①错误；
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 中点为F，
∴ ，故②正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∵点F为 的中点，
∴ 是 的中位线，故③正确；
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
综上所述，所有正确的结论为②③④．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判定、角平分线的
定义、平行线的性质等知识点．掌握相关结论是解题关键．
5．（2025·辽宁盘锦·一模）如图， ，在 、 上分别截取线段 、 ，使 ；
分别以点 、 为圆心，大于 的长为半径画弧，在 内，两弧交于点 ，作射线 ，在 上
取点 ，过点 作 交 于点 ，作 交 于点 ，交 于点 ，则下列结论中错
误是（ ）
A． B．
C． 是等边三角形 D． 是 的中位线
【答案】B
【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，等边三角形的判定与性质，平行线的性质，中位线定义，
掌握知识点的应用是解题的关键．根据尺规作图——作角平分线即可判断A；证明 是等边三角形，利用勾股定理求出 ，即可判断B；由等边三角形的判定即可判断C；根据等边三角形的判定与
性质，中位线的定义即可判断D．
【详解】解：由作图可知， 平分 ，
∵ ，
∴ ，故A正确；
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故B错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，故C正确；
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是 的中位线，故D正确，
故选：B．
6．（24-25八年级下·江西赣州·期中）如图，平行四边形 的对角线 相交于点 平分
，分别交 ， 于点 ，连接 ，下列结论：① ；
② ；③ ；④ ．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可得 ，又 平分 则可得
，即三角形 为等边三角形，则可判断①；根据勾股定理求得
，则 ，即可判断②，根据
，可判定③；根据 ， ，则 为三角形 的中位线，
利用中位线的性质即可判断④．
【详解】解： 四边形 是平行四边形，
， ， ，
，
又 平分 ，
，
为等边三角形，
，
又 ，∴ ，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，
，故①正确，
∵ ， ， ，
∴
，
∴ ，
，故②正确，
∵ ，
，故③错误，
， ，
为三角形 的中位线，
， ，
，
又 ，
，故④正确．
故正确的有①②④共3个．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练
掌握平行四边形的性质是银题的关键．题型一 三角形中位线求解与证明综合问题
1．（2025·甘肃嘉峪关·模拟预测）如图， 是边长为1的等边三角形，取 边中点E，作
，得到四边形 ，它的周长记作 ；取 中点 ，作 ，
得到四边形 ，它的周长记作 ．照此规律作下去，则 ．
【答案】
【分析】本题考查三角形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键；根据三
角形的中位线求解 ，找规律可得 ，据此规律可求解.
【详解】解：∵ 是边长为1的等边三角形，
∴ ，
∵E是 边中点， ，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是菱形，
∴ ，
同理：以此方法得到的四边形都为菱形，且边长为前一个菱形边长的 ，
即 ， ，……， ，
∴ .故答案为： .
2．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）如图，已知，在 中， 是 边上的中线， ，
， ， ，点 是边 上一动点，连接 ，若 ，则
．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，当点Q为 的中点时，此时
是 的中位线，此时满足 ， ，当 时，则 是等边三
角形，据此分别求出 的长即可得到答案．
【详解】解：如图所示，当点Q为 的中点时，
∵ 是 边上的中线，
∴此时 是 的中位线，
∴此时满足 ， ，
∴ ， ，
如图所示，当 时，则 是等边三角形，
∴ ，
∴ ；综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
3．（25-26八年级上·江苏·期末）如图，在 中， ， ， 是 上一点， 是
上一点，连接 ， ， ， 分别是 ， 的中点．
(1)试探究线段 与 的数量关系，并说明理由；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）取 中点F，连接 并延长交 于点H，连接 ，过点N作 ，交 延长线于点 ，
由三角形中位线性质可得 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得 与 的数量关系；
（2）将 代入 与 的关系式计算即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
取 中点F，连接 并延长交 于点H，连接 ，过点N作 ，交 延长线于点 ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，F是 中点，
∴ ， ，∵ , ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
4．（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）已知等边 ， 是 边上的高．(1)如图1，点E在 上，以 为边向下作等边 ，连接 ．求证： ；
(2)如图2，M是 的中点，连接 ，求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键．
（1）推导出 ，得到 ，继而证明 ，
则 ，即可解答．
（2）先推导出D是 中点，继而证明 ，则 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ；
则 ，即 ；
在 和 中，
；
∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ 是等边三角形， 是高，
∴D是 中点；
∵M是 的中点，
∴ ，∵ ，
∴ ．
5．（25-26九年级上·山东淄博·月考）知识回顾：（1）本学期我们研究了三角形的中位线的性质．如图
（1） 中， 是 的中位线，连接 ．则 与 的数量关系为： （用符号语言表达）．
方法迁移：（2）连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图（2）已知梯形 中，
，点M，N分别为 ， 的中点， 就是 梯形的中位线．请猜想线段 ， ，
之间的关系，并说明理由．
理解内化：（3）已知梯形的中位线长为 ，高为 ，则梯形面积是 ：
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知
识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）先说明 是 的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可；
【详解】（2）先证明 ，从而可得 ， ，于是有
，再根据三角形的中位线定理得出 ，从而可得 ；
（3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解．
（1）解：∵点E是边 的中点，点F是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
（2） ，理由：如图（2），连接并延长 交 的延长线于点E，
∵ ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ．
（3）∵梯形的中位线长为 ，高为 ，
∴ （ ），
故答案为： ．
6．（24-25八年级下·陕西渭南·期末）如图， 的对角线 ， 相交于点O， 平分 ，
分别交 ， 于点E，P．(1)证明： 是等腰三角形；
(2)连接 ，若 ， ．求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并
能灵活运用是关键．
（1）依据题意，由 平分 ，可得 ，再由四边形 是平行四边形，可得
，故 ，从而 ，则 ，故可判断得解；
（2）依据题意，由（1） ，结合 ，则 ，从而 ，又四边形 是平
行四边形，可得 ，进而 是 的中位线，故可得 的长度，求出 ，进而计算可以得解．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：由（1）知 是等腰三角形，
又 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
点E为 的中点， ，
∵四边形 是平行四边形，∴ ，
是 的中位线， ，
， ，
，
，
7．（25-26九年级上·北京石景山·期末）如图，在 中， ， ，点 在边 上
（不与点 重合），作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，交边 于点 ，连接 ，取线段
的中点 ，在边 上取点 ，使得 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)直接写出 的大小，并证明．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）连接 ，根据轴对称的性质得出 ，根据等腰直角三角形的性质得出 是等腰
直角三角形，即可得出 ，根据 即可得 ；
（2）取 中点 ，连接 、 ， ，根据三角形中位线的性质得出 ，即可证明 垂直
平分 ，可证明点 在直线 上，根据中位线性质得出 ，根据平行线的性质结合等腰直角三
角形的性质得出 是等腰直角三角形，得出 ，利用 证明 ，可得
，利用角的和差关系即可求出 ．
【详解】（1）解：如图，连接 ，∵点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图，取 中点 ，连接 、 ， ，
∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴点 在直线 上，即点 共线， ，∴ ，
∵作点 关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∵取线段 的中点 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、
平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题型二 利用三角形中位线求最值
1．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，在 中， ， ， ，点D为 上
的动点，点E，F分别为 ， 的中点，则 最小值为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查勾股定理及三角形中位线，熟练掌握勾股定理及三角形中位线是解题的关键；连接
，由题意易得 ， 是 的中位线，则有 ，然后可知当 时， 最小，
进而根据等积法可进行求解．
【详解】解：如图，连接 ，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∵点E，F分别为 ， 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当 最小时， 的值最小，
∴当 时， 最小，
此时， ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（25-26九年级上·山东威海·月考）如图， 中， ， ， 于点 ，
， 是半径为3的 上一动点，连结 ，若E是 的中点，连结 ，则 长的最大值为
（ ）A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【答案】A
【分析】题考查等腰三角形的性质、三角形中位线定理、勾股定理及圆的轨迹问题，解题关键是通过中位
线确定E的轨迹半径，结合线段共线情况求DE的最大值．本题由等腰三角形三线合一得D是 中点，
勾股定理求 ，结合中位线得 ；由P的轨迹得E的轨迹半径；当D、A、E共线时， 取最大值．
【详解】解：如图，取 的中点F,连接 、 、 ．
∵ ， ，
∴D为 中点， ，
在 中，
∵ ， ，
∴ ，
∵D是 中点，F是 中点，
∴ ，
∵P在 上，E是 的中点，
∴E的轨迹是以A为圆心、半径为 的圆．
∴ 最大时，D、A、E共线，∴ ．
3．（23-24九年级上·山东威海·期末）如图，在平行四边形 中， ， ，点H、G分别是
边 、 上的动点，其中点H不与点C重合，连接 、 ，点E为 的中点，点F为 的中点，
连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及三角形中位线，熟练掌握勾股定理、含30
度直角三角形的性质及三角形中位线是解题的关键；连接 ，由题意易得 是 的中位线，即
，当 取最小值时，则 也为最小，则当 时， 取最小，然后根据含30度直角
三角形的性质及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接 ，如图所示：
∵点E为 的中点，点F为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴当 取最小值时，则 也为最小，
∴当 时， 取最小，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 的最小值为 ；
故答案为 ．
4．（25-26九年级上·四川内江·期末）如图，在 中， ， ，点D，点E分别是 ，
边上的动点，连接 ，点F，点M分别是 ， 的中点，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．连接 ，
过点 作 于 ,根据三角形中位线定理得到 ,根据等腰三角形的性质求出 ，根据勾
股定理求出 ，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可.
【详解】解：如图，连接 ，过点 作 于 ，
点 ，点 分别是 的中点，
是 的中位线，
，
，
，，
当 时， 最小，此时 ，
，
解得： ，
的最小值为 ，
故答案为： ．
5．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， ， ，N是BC边上一点，
M为AB边上的动点，D，E分别为CN，MN的中点．求DE的最小值．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段
最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
连接 ，当 时， 的值最小（垂线段最短），此时 有最小值，根据勾股定理求出 ，
根据三角形的面积公式求出 ，根据三角形的中位线得出 即可．
【详解】解：如图，连接 ．
， 分别为 ， 的中点，
．
当 时， 的值最小（垂线段最短），此时 有最小值．
， ， ，
．，
，
．
故 的最小值是 ．
6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，在 中， ， ， ， ， 分别
是边 ， 上的动点， ， 分别是 ， 的中点．求 的最小值．
【答案】2.4
【分析】连接 ，根据三角形中位线的性质定理得出 ，由勾股定理求出 ，再根据三角形等
面积法求出 ，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接 ．
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
当 最小时， 最小．
根据题意可知，当 时， 最小，即 最小．在 中， ， ， ，
则 ．
当 时， ，
即 ，
解得 ，
的最小值是2.4．
【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解
题关键．
题型三 三角形中位线的实际应用
1．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图， 、 两点分别位于一个池塘的两端，李明想用绳子测量 、
间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 ， 的点 ，
找到 ， 的中点 ，并且测出 的长为16米，则 、 间的距离为（ ）
A．8米 B．20米 C．25米 D．32米
【答案】D
【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．
根据三角形中位线定理求解即可．
【详解】解： D，E是 ， 的中点，
，
A，B间的距离为 ．
故选：D．
2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选
一点C，连接 ， ，分别取 ， 的中点D，E，测得 米，则 的长是 米．【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．
根据题意可知 是 的中位线，再根据三角形中位线的性质得出 ，进而得出答案即可．
【详解】解： 点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
米．
故答案为： ．
3．（21-22八年级下·全国·课后作业）要测量B，C两地的距离，小明想出一个方法：在池塘外取点A，得
到线段 ， ，并取 ， 的中点D，E，连结 ．只要测出 的长，就可以求得B，C两地的
距离．你认为这个方法正确吗？请说明理由．
【答案】这种说法正确，理由见解析
【分析】连接 ，根据三角形的中位线定理，得出 ，再判断即可．
【详解】这种说法正确，理由如下：
连接 ，
， 的中点为D，E，
是 的中位线，
，
只要测出 的长，就可以求得B，C两地的距离，
所以，这个说法是正确的．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
是解题的关键．4．（24-25八年级下·湖北十堰·期末）【综合与实践】
如图1，测出水池A，B两点间
任
的距离（水池有障碍物不能直接
务
测量）．
皮尺
测
皮尺的功能：直接测量任意可到达的两点间的
量
距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长
工
度，长度单位：m）；
具
小明的测量及求解过程
（1）如图2，在水池外选点C，
用皮尺测得 ，
测 ；
量
（2）分别在AC，BC上用皮尺
过
程
测得 ， ，测
得 ．
由测量可知：
∵ ， ， ， ，
求
解 ∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，
过
程 ∴MN是 的_______．
∵ ，
∴ _______m．
(1)把小明的求解过程补充完整；
(2)小明测出水池A，B两点间的距离的依据是_______．
【答案】(1)中位线，
(2)三角形中位线定理
【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．
（1）根据小明的求解过程补充即可；
（2）根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）由测量可知：
∵ ， ， ， ，∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是 的中位线．
∵ ，
∴ ．
故答案为：中位线， ；
（2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理．
故答案为：三角形中位线定理．
5．（23-24八年级下·山西朔州·期末）阅读与思考
问题情境：
如图1，某小区内有一池塘，同学们想利用所学知识测量池塘两端A，B两点间的距离．
可用工具：测量长度的卷尺、测量角度的测角仪．
方法分析：
“圆周率”小组的操作过程如下：如图2，取能直接到达A和B的点C，量出 的长和 的度数；
作 ；在射线 上找一点D，使 ；测出 的长度，就可得到A，B两点间的距离．
“智慧”小组的操作过程如下：如图3，取能直接到达A和B的点C，连接 ， ；分别取 ，
的中点D，E，测出 的长度，乘以2就可得到A，B两点间的距离．
说明：以上各点都在同一水平面内．
（1）上面操作中，“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是 ．“智慧”小组
通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是 ．
迁移应用：
（2）请你设计一种与上面方法不同的测量方案，要求：
①在图1中画出可操作的方案图；
②简要说明你的操作步骤；
③测量方案中，得到A，B两点间的距离的主要依据是 ．【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使
， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
题型一 三角形中位线在几何图形中的运用
1．（25-26八年级上·浙江·期中）如图1， 与 均是以 为直角的等腰直角三角形， 在
内部．
(1)连接 ：
①求证： ．
②如图2，当 平分 时，求 的长．
(2)如图3，连接 ，连接 与 交于 ，当 时，判断 与 的数量关系并给出证明．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，
正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）①由 与 均是以 为直角的等腰直角三角形，可得
，故 ，再由 即可证明结论；②如图：延长
交 于K，由 平分 ，可得 是等腰直角三角形，故 ，求得
，由勾股定理得 ；从而可知 的长为 ；（2）如图∶延长 到G，使 ，连接 ，证明 可得 ，
，而 ，即可得 ，故 是 的中位线，有 ，知 ．
【详解】（1）①证明：∵ 与 均是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ；
②如图：延长 交 于K，
∵ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由①可知， ，
∴ ，∴ 的长为 ．
（2）解： ，证明如下：
如图：延长 到G，使 ，连接 ，
∵ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴ ．
2．（25-26八年级上·四川成都·月考）阅读：材料一：含 角的直角三角形， 角所对的直角边等于斜边的一半；
材料二：连接三角形两条边的中点，形成的线段是三角形的中位线，三角形的中位线具有以下性质：三角
形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．
完成以下问题：在 中， ，点 是边 上的一点．
(1)已知 ．
①如图1，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ．若 ，求 的值；
②如图2，以 为边在其右侧作 ，交边 于点 ，若 ， ，求 之长；
(2)如图3，点 是边 的中点，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，点 是边
上一点，连接 ，满足 ，已知 ， ，求 之长．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）①利用旋转的性质得到 ， ，结合 ， ，证明
，再根据 ，得出 ，进而求出 的值；②通过旋转构造全等三角形，
将 与已知线段建立联系，设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程，求解即可；
（2）先证明 （构造辅助线），得到 ，利用勾股定理求出 长度，利用三角形
的中位线得到 ，由线段间的和差倍分关系即可求出 的长度．
【详解】（1）解：① ， ，
，
， ，
即
在 ， 中，，
在 中， ， ，
，
；
②将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，作 如图所示
由①可知 ，
， ，
，
在 ， 中，
，
∴
， ，
，
令 ，则 ， ，
，
在 中， ， ，，
在 ， 中
，
即 ，解得
．
（2）取 中点 ，连接 ，作 交 延长线于点 ，如图所示，
是边 的中点，
是 的中位线，
，
，
即
，
，
在 ， 中，
，
在 中
，
，，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及
勾股定理，灵活运用“含 角的直角三角形， 角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键．
3．（22-23八年级下·山东烟台·期中）问题背景：如图，在正方形 中，边长为4．点M，N是边 ，
上两点，且 ，连接 ， ， 与 相交于点O．
(1)解决问题：请判断 与 的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点E，F分别是 与 的中点，请求出 的长；
(3)拓展提高：延长 至P，连接 ，若 ，请直接写出线段 的长．
【答案】(1) 且 ，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由边角边的证明方法可证明 与 全等，再根据三角形全等的性质可得 与
的关系．
（2）由角边角的证明方法证明 与 全等，再根据三角形全等的性质可得点E为 的中点，再
根据中位线的性质即可求解．（3）通过作辅助线，根据面积相等可求解三角形的高线，再由等腰直角三角形的性质可求解 ，
再根据 即可求解．
【详解】（1）解： 且 ，
在正方形 中， ， ，
又因为 ，
在 与 中， ，
所以 ，
所以 ， ,
因为 ，
所以 ，
所以在 中， ，
即 ，
综上， 且 ．
（2）解：连接 延长 交 于点G，连接 ，如图，
因为在正方形 中， ，
所以 ，
又因为点E是 的中点，
所以 ，
又因为 ，
在 与 中有，
所以 ，
所以 ， ，所以点E为 的中点，
又因为点F是 的中点，
所以 为 的中位线，
即 ，
因为 ，
且正方形 中，边长为4，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
（3）解：过点B作 交 于点H，如图，
在 中， ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，
所以 为等腰直角三角形，
所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，面积相等求解边长，勾股定理的应
用．由三角形证明全等可得边长相等，角相等；再由中位线的性质可转化边长的关系；由直角三角形中面
积相等求解边长是解决本题的关键．
