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6.2 三角形的中位线
题型一 利用三角形中位线进行简单求解
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】2
7．【答案】3
8．
【答案】
【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到 ，则由平行
线的性质可得到 ．
【详解】解：∵在 中，点 分别是边 的中点，
∴ 都是 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
题型二 利用三角形中位线进行简单证明
1．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查中点四边形，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线定理以及一组对边平行且相等
的四边形为平行四边形，进行求证即可．
【详解】证明：连接 ，∵四边形 各边中点分别是E、F、G、H，
是 的中位线， 是 的中位线，
，
，
∴四边形 是平行四边形．
2．
【答案】见解析
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理，先证明四边形 是平行四边
形，得到 ，则可证明四边形 是平行四边形，得到 ，再由三角形中位线定理
可得 ，据此可证明 ．
【详解】证明： ， ，
四边形 是平行四边形，
，
是 中 边上的中线，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
是 中 边上的中线，
为 的中位线，
，
．
3．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是解决本题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定和性质可得，点D是 的中点，再根据点E为 的中点可得， 是
的中位线，进而即可求解；
（2）根据中位线的性质即可证明．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 是等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ 是 边上的中线，
∴点D是 的中点，
又∵点E为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ；
（2）证明：由（1）可得， 是 的中位线，
∴ ．
4．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，平行四边形的判定及性质，含 角的直角三角形的性质，勾股
定理，综合运用相关知识是解题的关键．
（1）由三角形中位线的性质得到 ，又 ，故四边形 两组对边分别平行，因此为平
行四边形；
（2）先求得 ，得到 ，再在 中，根据勾股定理求得 ，进而由平行
四边形的对边相等得到 ，再由三角形中位线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 是 的中位线，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中， ，
即 ，
∴ ，
由（1）可知，四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ．
题型三 判断结论是否正确
1．【答案】C
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】C
题型一 三角形中位线求解与证明综合问题
1．【答案】
2．【答案】 或
3．【答案】(1) ，理由见解析
(2)
【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理；
（1）取 中点F，连接 并延长交 于点H，连接 ，过点N作 ，交 延长线于点 ，
由三角形中位线性质可得 是等腰直角三角形，再利用勾股定理可得 与 的数量关系；
（2）将 代入 与 的关系式计算即可．
【详解】（1）解： ，理由如下：
取 中点F，连接 并延长交 于点H，连接 ，过点N作 ，交 延长线于点 ，
∵ ， 分别是 ， 的中点，F是 中点，
∴ ， ，
∵ , ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
4．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，中位线，掌握知识点是解题的关键．
（1）推导出 ，得到 ，继而证明 ，
则 ，即可解答．
（2）先推导出D是 中点，继而证明 ，则 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵ 和 都是等边三角形，
∴ ；
则 ，即 ；
在 和 中，
；∴ ，
∴ ．
（2）证明：∵ 是等边三角形， 是高，
∴D是 中点；
∵M是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
5．
【答案】（1） ；（2） ，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，与三角形中位线有关的证明，梯形中位线定理等知
识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解．
（1）先说明 是 的中位线，再根据三角形的中位线定理得出结论即可；
【详解】（2）先证明 ，从而可得 ， ，于是有
，再根据三角形的中位线定理得出 ，从而可得 ；
（3）根据梯形的面积公式，结合（2）中的结论求解．
（1）解：∵点E是边 的中点，点F是边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
故答案为： ．
（2） ，
理由：如图（2），连接并延长 交 的延长线于点E，∵ ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵M为 的中点，N为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ．
（3）∵梯形的中位线长为 ，高为 ，
∴ （ ），
故答案为： ．
6．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并
能灵活运用是关键．（1）依据题意，由 平分 ，可得 ，再由四边形 是平行四边形，可得
，故 ，从而 ，则 ，故可判断得解；
（2）依据题意，由（1） ，结合 ，则 ，从而 ，又四边形 是平
行四边形，可得 ，进而 是 的中位线，故可得 的长度，求出 ，进而计算可以得解．
【详解】（1）证明： 平分 ，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：由（1）知 是等腰三角形，
又 ，
是等边三角形，
，
，
，
，
点E为 的中点， ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
是 的中位线， ，
， ，
，
，7．
【答案】(1)证明见解析
(2) ，证明见解析
【分析】（1）连接 ，根据轴对称的性质得出 ，根据等腰直角三角形的性质得出 是等腰
直角三角形，即可得出 ，根据 即可得 ；
（2）取 中点 ，连接 、 ， ，根据三角形中位线的性质得出 ，即可证明 垂直
平分 ，可证明点 在直线 上，根据中位线性质得出 ，根据平行线的性质结合等腰直角三
角形的性质得出 是等腰直角三角形，得出 ，利用 证明 ，可得
，利用角的和差关系即可求出 ．
【详解】（1）解：如图，连接 ，
∵点 关于直线 的对称点为 ，连接 ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（2）解：如图，取 中点 ，连接 、 ， ，∵ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∵ ，
∴点 在直线 上，即点 共线， ，
∴ ，
∵作点 关于直线 的对称点 ，
∴ ，
∵取线段 的中点 ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查轴对称的性质、三角形中位线的性质、等腰直角三角形的性质全等三角形的判定与性质、
平行线的性质及垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
题型二 利用三角形中位线求最值
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】
4．【答案】
5．
【答案】
【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练掌握垂线段
最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．
连接 ，当 时， 的值最小（垂线段最短），此时 有最小值，根据勾股定理求出 ，
根据三角形的面积公式求出 ，根据三角形的中位线得出 即可．
【详解】解：如图，连接 ．
， 分别为 ， 的中点，
．
当 时， 的值最小（垂线段最短），此时 有最小值．
， ， ，
．
，
，
．故 的最小值是 ．
6．
【答案】2.4
【分析】连接 ，根据三角形中位线的性质定理得出 ，由勾股定理求出 ，再根据三角形等
面积法求出 ，即可得出结果．
【详解】解：如图，连接 ．
， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
当 最小时， 最小．
根据题意可知，当 时， 最小，即 最小．
在 中， ， ， ，
则 ．
当 时， ，
即 ，
解得 ，
的最小值是2.4．
【点睛】题目主要考查三角形中位线定理，勾股定理解三角形，垂线段最短，掌握三角形中位线定理是解
题关键．
题型三 三角形中位线的实际应用1．【答案】D
2．【答案】
3．
【答案】这种说法正确，理由见解析
【分析】连接 ，根据三角形的中位线定理，得出 ，再判断即可．
【详解】这种说法正确，理由如下：
连接 ，
， 的中点为D，E，
是 的中位线，
，
只要测出 的长，就可以求得B，C两地的距离，
所以，这个说法是正确的．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质，熟练掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
是解题的关键．
4．
【答案】(1)中位线，
(2)三角形中位线定理
【分析】本题考查了三角形中位线定理的应用．
（1）根据小明的求解过程补充即可；
（2）根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）由测量可知：
∵ ， ， ， ，
∴点M是AC的中点，点N是BC的中点，
∴MN是 的中位线．
∵ ，∴ ．
故答案为：中位线， ；
（2）小明测出水池A，B两点间的距离的依据是三角形中位线定理．
故答案为：三角形中位线定理．
5．
【答案】（1）平行四边形对边相等；三角形的中位线等于第三边的一半；（2）①作图见解析；②步骤见
解析；③全等三角形对应边相等
【分析】（1）根据平行四边形的性质和三角形的中位线性质进行解答即可；
（2）构造全等三角形，画出图形，利用全等三角形的对应边进行解答即可．
【详解】解：（1）“圆周率”小组：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ，
∴“圆周率”小组通过测量 的长度得到A，B两点间的距离，依据是平行四边形对边相等；
“智慧”小组：∵D，E分别为 ， 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴“智慧”小组通过测量 的长度乘以2，就可得到A，B两点间的距离，依据是三角形的中位线等于第
三边的一半；
（2）①如图，
②先在平地上取一个可直接到达A，B的点C，再连接 ，并分别延长 至点D， 至点E，使
， ，最后量出 的距离就是 的距离；
③在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴得到A，B两点间的距离的主要依据是全等三角形对应边相等．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质的应用，三角形中位线的应用，三角形全等的应用，平
行线的判定，解题的关键是理解题意熟练掌握相关的判定和性质．
题型一 三角形中位线在几何图形中的运用
1．
【答案】(1)①见解析；②
(2) ，证明见解析
【分析】本题主要考查全等三角形判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形中位线等知识点，
正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）①由 与 均是以 为直角的等腰直角三角形，可得
，故 ，再由 即可证明结论；②如图：延长
交 于K，由 平分 ，可得 是等腰直角三角形，故 ，求得
，由勾股定理得 ；从而可知 的长为 ；
（2）如图∶延长 到G，使 ，连接 ，证明 可得 ，
，而 ，即可得 ，故 是 的中位线，有 ，知 ．
【详解】（1）①证明：∵ 与 均是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ；
②如图：延长 交 于K，
∵ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ， 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
由①可知， ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
（2）解： ，证明如下：
如图：延长 到G，使 ，连接 ，∵ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ 是以 为直角的等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ∠DAG = ∠CAB，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是 的中位线，
∴ DG = 2AF，
∴ ．
2．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）①利用旋转的性质得到 ， ，结合 ， ，证明，再根据 ，得出 ，进而求出 的值；②通过旋转构造全等三角形，
将 与已知线段建立联系，设 ，则 ， ，利用勾股定理建立方程，求解即可；
（2）先证明 （构造辅助线），得到 ，利用勾股定理求出 长度，利用三角形
的中位线得到 ，由线段间的和差倍分关系即可求出 的长度．
【详解】（1）解：① ， ，
，
， ，
即
在 ， 中，
，
在 中， ， ，
，
；
②将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接 ，作 如图所示
由①可知 ，
， ，
，
在 ， 中，，
∴
， ，
，
令 ，则 ， ，
，
在 中， ， ，
，
在 ， 中
，
即 ，解得
．
（2）取 中点 ，连接 ，作 交 延长线于点 ，如图所示，
是边 的中点，
是 的中位线，
，
，
即
，
，
在 ， 中，，
在 中
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查等腰三角形（含等边三角形）的性质、图形的旋转、全等三角形与三角形的中位线以及
勾股定理，灵活运用“含 角的直角三角形， 角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键．
3．
【答案】(1) 且 ，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由边角边的证明方法可证明 与 全等，再根据三角形全等的性质可得 与
的关系．
（2）由角边角的证明方法证明 与 全等，再根据三角形全等的性质可得点E为 的中点，再
根据中位线的性质即可求解．（3）通过作辅助线，根据面积相等可求解三角形的高线，再由等腰直角三角形的性质可求解 ，
再根据 即可求解．
【详解】（1）解： 且 ，
在正方形 中， ， ，
又因为 ，
在 与 中， ，
所以 ，
所以 ， ,
因为 ，
所以 ，
所以在 中， ，
即 ，
综上， 且 ．
（2）解：连接 延长 交 于点G，连接 ，如图，
因为在正方形 中， ，
所以 ，
又因为点E是 的中点，
所以 ，
又因为 ，
在 与 中有，
所以 ，
所以 ， ，所以点E为 的中点，
又因为点F是 的中点，
所以 为 的中位线，
即 ，
因为 ，
且正方形 中，边长为4，
所以 ，
在 中， ，
所以 ，
所以 ．
（3）解：过点B作 交 于点H，如图，
在 中， ， ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，
所以 为等腰直角三角形，
所以 ，
在 中， ， ，所以 ，
所以 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，面积相等求解边长，勾股定理的应
用．由三角形证明全等可得边长相等，角相等；再由中位线的性质可转化边长的关系；由直角三角形中面
积相等求解边长是解决本题的关键．
