第二十二章二次函数（知识归纳+题型突破）（八大题型，100题）（学生版）-（人教版）_初中数学_九年级数学上册（人教版）_知识点汇总-U105_2024版

第二十二章 二次函数（知识归纳+题型突破） 1、会通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式，体会二次函数的意义； 2、会用描点法画出二次函数的图象，会利用一些特殊点画出二次函数的草图；通过图象了解二次函数的 性质，知道二次函数的系数与图象形状和对称轴的关系； 3、会根据二次函数的表达式求其图象与坐标轴的交点坐标；会用配方法将数字系数的二次函数的表达式 化为 的形式，能由此得出二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的 对称轴，得出二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值，解决简单的实际问题； 4、知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求-元二次方程的近似解。 知识点1：二次函数的概念及解析式 1.二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.的定义 知识点2：二次函数的图像和性质 （1）三种解析式： ①一般式：y=ax2+bx+c; ②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; 2.解析式 ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的 方程（组）.*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式； 若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与 x轴的两 个交点坐标，可设交点式. y y x x 图象 O O y=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 开口 向上 向下 对 称 轴 x＝ 3.二次函数 的 图 象 和 顶 点 性质 坐标 当 x> 时，y 随 x 的增大而减 当x> 时，y随x的增大而增 增 减 性 大；当x＜ 时，y随x的增大而 小；当x＜ 时，y随x的增大而 减小. 增大. 最值 x= ，y最小＝ . x= ，y最大＝ . 当a＞0时，抛物线开口向上； 决定抛物线的开口 a 方向及开口大小 当a＜0时，抛物线开口向下. a 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 、 决定对称轴（x=- b 当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 3.系数 a、 b/2a）的位置 b、c 的作 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． 用 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 决定抛物线与y轴 c 当c＝0时，抛物线经过原点； 的交点的位置 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2 － 决定抛物线与x轴 b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;4ac 的交点个数 b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 知识点3：二次函数的平移 4.平移与解 y=ax2 向左(h＜0)或向右(h＞0) y=a(x－h)2 向上(k＞0)或向下(k＜0) y=a(x－h)2＋k 析 式 的 关 的图象 平移|h|个单位 的图象 平移|k|个单位 的图象 系 注意：上加下减，左加右减（注：与平移区分） 题型一二次函数图象与各项系数符号 【例1】二次函数 图象如图，下列结论：① ；② ；③ ； ④ ．其中正确的是（ ） A．②③④ B．①②④ C．②③ D．①②③④ 巩固训练： 1．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数 的图象如图所示，则下列各式正确的是 （ ） A． B． C． D． 2．（2022秋·山西朔州·九年级校考阶段练习）如图是二次函数 图象的一部分，则0（填“ ”“ ”“ ”） 3．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图，抛物线 与x轴交于 ，B两点，下 列判断正确的是（ ） A． B．当 时，y随x的增大而减小 C．点B的坐标为 D． 4．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并 与x轴交于A，B两点，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若 m为任意实数，则 ，其中正确的是（ ）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 5．（2022秋·山东济宁·九年级济宁学院附属中学校考期末）已知二次函数 的图象如图所示 且过 ，有以下结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ．⑥若实 数 则 ；其中正确结论的个数是（ ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2023秋·山东东营·九年级东营市胜利第一初级中学校考期末）如图，二次函数 的图象 关于直线 对称，与 轴交于 ， 两点，若 ，则下列四个结论：① ； ② ；③ （ 为任意实数）；④ ．正确结论的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）某足球队在某次训练中，一队员在距离球门 处挑射，正 好射中了 高的球门横梁．若足球运动的路线是抛物线 ，如图所示，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 8．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，二次函数 图像的一部分与x轴的 一个交点坐标为 ，对称轴为直线 ，结合图像给出下列结论： ① ；② ；③ ； ④关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根； ⑤若点 ， 均在该二次函数图像上，则 ．其中正确结论的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2023·山东泰安·校考三模）如图是二次函数 图象的一部分，函数图象经过点 ，直线 是对称轴，有下列结论：① ；② ；③若 是抛物 线上两点，则 ；④ ；其中正确结论有（ ）个．A．4 B．3 C．2 D．1 10．（2023春·山东日照·八年级统考期末）如图，抛物线 与 轴交于点 ，其对称 轴为直线 ，结合图象给出下列结论： ① ； ② ； ③ ， 是抛物线上两点，则 ； ④若关于x的一元二次方程 没有实数根，则 ； ⑤对于任意实数m，总有 ． 其中正确的结论有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 yax2bxca0 11．（2020秋·广东广州·九年级校考阶段练习）已知二次函数 的图象如图所示，有下 列结论：①a，b同号；②当x1和x3时，函数值相等；③4ab0；④当1 x5时，y0正确的 结论有 ．yax2bxca0 12．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）二次函数 的部分图象如图所示，图象 过点 1,0 ，对称轴为直线 x2 ，下列结论：① abc<0 ；② 4ac2b ；③ 3b2c0 ；④已知 Ax 1 ,y 1  、 Bx ,y  x x 4 x x y  y 2 2 在该二次函数图像上，当 1 2 且 1 2时，都有 1 2．其中正确的结论有 ． （填序号） yax2bxc 13．（2023·辽宁朝阳·校联考三模）如图，已知抛物线 的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴 ab 交于点A2,0和点B，与y轴的负半轴交于点C，且 ，则下列结论：① 0；② OB2OC c 1 ；③a ；④ ．其中正确的有 ． 2b4ac1 4 c2b1 题型二 二次函数对称性应用y(xm)23m A(a,n) B(b,n) 【例2】（2023·陕西西安·校考二模）已知抛物线 过不同的两点 和 ，若点 C(ab,m) m 在这条抛物线上，则 的值为（ ） A．0或2 B．0 C．2 D．2或2 xOy yax2bxc A(3,0) 【例3】（2023·上海宝山·一模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 经过点 、 B(2,3) C(0,3) 、 ． (1)求抛物线的表达式； (2)点D与点E是抛物线上关于对称轴对称的两点，如果点D的横坐标为2，试求点E的坐标． 巩固训练 yax2bxc P4，0 x1 1．（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）若抛物线 上的 ，Q两点关于直线 对称， 则Q点的坐标为（ ） 1，0 2，0 3，0 4，0 A． B． C． D． yaxkxk6 xx 2．（2023·浙江杭州·杭州市丰潭中学校考三模）已知二次函数 ，当 1时，函数值 y xx y |x 3||x 3| 为 1，当 2时，函数值为 2，若 1 2 ，则下列结论正确的是（ ） y y 0 ay y 0 y y 0 ay y 0 A． 1 2 B． 1 2 C． 1 2 D． 1 2 yax2bxc 3,y  5,y  m,n 3．（2023·江苏南通·统考一模）抛物线 经过点 1 和 2 ，顶点坐标为 ，若 y  y n m 1 2 ，则 的取值范围是（ ） A．m3 B．m1 C．m 1 D．m5 Ax，y  Bx，y  y(x4)2m 4．（2023·浙江宁波·校考二模）已知点 1 1 ， 2 2 在抛物线 （m是常数）上． x 4x x x 8 若 1 2， 1 2 ，则下列大小比较正确的是（ ） y  y m y  y m m y  y m y  y 1 2 2 1 1 2 2 1 A． B． C． D．w y x2 (2m1)x2m4 5．（2023·陕西西安·校考模拟预测）在同一平面直角坐标系中，若抛物线 1： w y x2 (3mn)xn x=1 w A(0,y) w 与抛物线 2： 关于直线 对称，则抛物线 1上的点 在抛物线 2上的对应 点A的坐标是（ ） (2,8) (2,10) (2,12) (2,4) A． B． C． D． An,y  Bn2,y  Cx ,y  6．（2023·全国·九年级假期作业）已知点 1 、 2 、 0 0 在二次函数 yax4axca0 y  y  y 的图象，且C为抛物线的顶点．若 0 1 2，则n的取值范围是（ ） A．n3 B．n3 C．n2 D．n2 2,4 8,4 7．（2023秋·云南昭通·九年级统考期末）已知二次函数图像经过点 和 ，那么该二次函数图象的 对称轴是直线 ． y2x24xn 1,m a,m 8．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线 经过 和 两点，则a值为 ． P1,y  P 3,y  P 4,y  yx26xc 9．（2023·浙江·九年级假期作业）如果三点 1 1 ， 2 2 和 3 3 在抛物线 的图象 y y y 上，那 1， 2， 3之间的大小关系是 ． yax2bxc 10．（2023·上海·一模）二次函数 图像上部分点的坐标满足如表： x … 4 3 2 1 0 … y … m 3 2 3 6 … 那么m的值为 ． xOy Mx,y  Nx ,y  11．（2023·北京·统考中考真题）在平面直角坐标系 中， 1 1 ， 2 2 是抛物线 yax2bxca0 xt 上任意两点，设抛物线的对称轴为 ． x 2 (1)若对于x 1 1， 2 有 y 1  y 2，求t的值；(2)若对于 0x 1 1 ， 1x 2 2 ，都有 y 1  y 2，求 t 的取值范围． y(x1)2k x A B y 12．（2023秋·黑龙江大庆·九年级统考期末）如图，抛物线 与 轴相交于 、 两点，与 轴 C(0,3) 相交于点 ． (1)求抛物线的对称轴及k值； (2)抛物线的对称轴上存在一点P，使得PAPC的值最小，求此时点P的坐标； (3)点M 是抛物线上一动点，且在第三象限，当M 点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边 形AMCB的最大面积． 4 13．（2023·山东临沂·统考二模）如图，已知直线y x4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线 3 yax2bxc x=1 经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 ． (1)求抛物线的解析式； (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD的面积S的最大值及此时D点 的坐标； (3)在抛物线的对称轴上找一点P，使PCPB的值最小，直接写出P点坐标． 题型三 二次函数图象的综合问题ymx1 yx2m 【例4】（2023·全国·九年级专题练习）在同一坐标系中，一次函数 与二次函数， 的 图象可能是( ) A． B． C． D． y y 【例5】（2023春·江苏南京·九年级南京钟英中学校考阶段练习）函数 1， 2在同一平面直角坐标系中的 y y y 图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数 1 2的图像可能是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 y|a|x yax2aa0 1．（2023·全国·九年级专题练习）函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是 （ ） A． B． C． D． ykxb ykx2bx2 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一次函数 的图象，则二次函数 的图象可 能为（ ）A． B． C． D． yaxb(ab0) 3．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中） 不经过第三象限，那么 yax2bx3 的图象大致为 （ ） A． B． C． D． yax2bxc yabxc 4．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）抛物线 与直线 同一坐标系的大致可能 是（ ） A． B． C． D． 5．（2023·安徽·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线y＝x2（x≥0）和 1 1 抛物线y＝ x2（x≥0）于点A和点B，过点A作AC∥x轴交抛物线y＝ x2于点C，过点B作BD∥x轴交抛 4 4 BD 物线y＝x2于点D，则 的值为（ ） AC1 2 2 1 A．4 B． 4 C．2 D． 2 x x minx,x  6．（2023春·广西南宁·八年级三美学校校考期末）记实数 1、 2，中的最小值为 1 2 ，例如 min{0,1}1 ，当x取任意实数时，则 min  x24,3x  的最大值为（ ） A．－3 B．－2 C．2 D．3 3 3 7．（2023·河南漯河·统考二模）已知二次函数y x2bxc图象的对称轴为直线x ，与y轴交于点 4 2 A0,3 ，与 x 轴交于点B， C （点B在点 C 的左侧）． (1)求该二次函数的表达式； P A P m P PQ∥y AC (2) 是x轴上方抛物线上的一动点，且与点 不重合，设点 的横坐标为 ，过点 作 轴，交 于点Q，设PQ的长为h，当h随m的增大而减小时，求m的取值范围． W y C x W 8．（2022春·九年级课时练习）已知抛物线 1与 轴交于点 ，其关于 轴对称的抛物线为 2： yx2mxn W A3,0 1,0 ，且 2经过点 和点 ． W （1）求抛物线 1的解析式； （2）将抛物线 W 1沿 x 轴向右平移得到抛物线 W 3，抛物线 W 3与 x 轴的交点记为点 D 和点 E （ D 在 E 的右 侧），与 y 轴交于点 Q ，如果满足 AOC 与 △DOQ 相似，请求出平移后抛物线 W 3的表达式． 题型四 二次函数待定系数法yax2bx A2,2 【例7】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线， 经过点 B1,5 与点 ．求： (1)求抛物线的表达式； (2)写出该抛物线的顶点坐标． yax2bx A2,2 【例8】（2022秋·上海青浦·九年级校考期中）在直角坐标平面内，抛物线， 经过点 B1,5 与点 ．求： (1)求抛物线的表达式； (2)写出该抛物线的顶点坐标． 巩固训练 (1,-1) 0,0 1．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）抛物线的顶点在 ，且过点 ，则函数的关系式： ． y=-2( x-1)2 -2 y 2．（2023·全国·九年级专题练习）将抛物线 沿 轴翻折，得到的新的抛物线的解析式是 ． 1，9 2，3 3．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）一抛物线以 为顶点，且经过点 ， 求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标． 1 4．（2023秋·天津津南·九年级统考期末）已知二次函数y＝ 2 x2bxc的图象经过点0,1，2,3． (1)求这个函数的解析式； (2)求这条抛物线的顶点坐标． 1 5．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）已知抛物线y x2bxc过点C1，m和D5，m， 3 A4，1 ． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求抛物线的顶点B的坐标．y x yax a23a bx4 6．（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习） 关于 的函数 的图像是一条开口向上的 抛物线，对称轴为直线x2，求这条抛物线的顶点坐标． yax2bx3 x A3,0,B1,0 y 7．（2023·黑龙江·统考中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于 点C． (1)求抛物线的解析式． 1 (2)拋物线上是否存在一点 ，使得S  S ，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理 P PBC 2 ABC P 由． 8．（2022秋·山西晋中·九年级校考阶段练习）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线yx3与x轴交于点A，与 y 轴交于点C，抛物线 yx2bxc A C x B 经过 、 两点，与 轴交于另一点 ． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线的顶点，连接AD、CD，求ACD的面积． yx2bxc x 9．（安徽省安庆市2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知抛物线 与 轴A1,0 B3,0 y C BC E D 交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点． (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点C和点D的坐标； S 4S (3)若点 P 在第一象限内的抛物线上，且 △ABP △COE，求 P 点坐标． 10．（2023秋·河北张家口·九年级张家口东方中学校考期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax2bx3 AB4 OA3OB AC 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， ， ，点P是直线 下方抛物线 上的一个动点．过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则BM CM 的最小值是________； (3)求PE的最大值； m n x26x50 11．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知： ， 是方程 的两个实 mn yx2bxc A(m,0)，B(0,n) 数根，且 ，抛物线 的图象经过点 ．(1)求这个抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求△BCD的面积； (3)P是线段OC上的一点，过点P作PH x轴，与抛物线交于H点，若直线BC把△PCH 分成面积之比为 2:3的两部分，请求出P点的坐标． 题型五 二次函数图象平移 yx22 【例9】（2023秋·河南省直辖县级单位·九年级校联考期末）将抛物线 先向左平移2个单位，再 向下平移1个单位，得到的新抛物线的解析式（ ） yx124 yx124 yx221 yx221 A． B． C． D． 巩固训练： A2,m y =x2 1．（2023秋·上海静安·九年级上海市市北初级中学校考期末）如果点 在抛物线 上，将此抛 物线向右平移3个单位后，点A同时平移到点A，那么A坐标为（ ） 2,1 2,7 5,4 1,4 A． B． C． D． 1 2．（2023秋·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）关于二次函数y x322的图象与性质， 2 下列结论错误的是（ ） A．抛物线开口方向向下 B．当x3时，函数有最大值2 1 C．当 x0 时，y随 x 的增大而减小 D．该抛物线可由y 2 x2 经过平移得到 y(x1)2 3．（2023·内蒙古赤峰·统考三模）在平面直角坐标系中，将二次函数 的图象关于x轴对称后，再 向下平移2个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为( ) y(x1)22 y(x1)22 y(x1)22 y(x1)22 A． B． C． D．yx26x5 4．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）若将抛物线 所在的平面直角坐标系中的x轴向 上平移1个单位，把y轴向右平移2个单位，则该抛物线在新的平面直角坐标系下的函数表达式为 ． P(a，b) C ya(x3)22 C 5．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）点 是抛物线 1： 上一点，将抛物线 1平 C y=a(x+1)2-1 P P 移，得到抛物线 2： ，点P平移后的对应点为点 ，则点 坐标为 ． yx22x2 6．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）将抛物线 先向右平移3个单位长度，再向上平 移4个单位长度，求得到的新抛物线的解析式． yax24x2a0 x2 7．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）已知二次函数 图像的对称轴为直线 ． (1)求a的值； (2)将该二次函数的图像沿x轴向右平移2个单位后得到一个新的二次函数，求新二次函数的解析式． 8．（2023·全国·九年级专题练习）已知一个二次函数的图像如图所示，将该函数图像先向左平移2个单位 再向下平移1个单位得到新函数的图像，求出新函数的表达式． 0，1 2，3 9．（2023·河北廊坊·校考三模）如图，二次函数的图像经过点 ，顶点坐标为 ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当0x3时， y 的取值范围为_______；0，4 x (3)直接写出该二次函数的图像经过怎样的平移恰好过点 ，且与 轴只有一个公共点． 题型六 二次函数图象、方程与不等式 【例10】（2022秋·河北保定·九年级校考阶段练习）根据下列表格对应值：判断关于x的方程 ax2bxc（0 a0） 的一个解x的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 ax2bxc 0.59 0.84 2.29 3.76 A．1.1x1.2 B．1.2x1.3 C．1.3x1.4 D．无法判定 yx22m 【例11】如图，二次函数 的图象与y交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的 ykxb A1,0 对称轴对称，已知一次函数 的图象经过该二次函数图象上的点 及点B． (1)求二次函数与一次函数的表达式． x22 kxbm (2)根据图象，写出满足 的x的取值范围． 巩固训练： yx23x4 1．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）二次函数 的图象如图所示，则一元二次方程 x23x40 的解为（ ） x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 x 1 x 4 A． 1 ， 2 B． 1 ， 2 C． 1 ， 2 D． 1 ， 2yax2bxca0 2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级校联考期中）如图，二次函数 的图象与y轴的交点在 0,1 0,2 x=1 4 b2a 3a2 与 之间，对称轴为 ，函数最大值为 ，结合图象给出下列结论：① ；② ； b24ac0 x ax2bxam4a0 m4 ③ ；④若关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ； ⑤当x0时， y 随x的增大而减小．其中正确的结论有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 yax2 ybxc 3．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线 与直线 的两个交 点坐标分别为 A3,9 ， B1,1 ，则关于x的方程 ax2bxc0 的解为（ ） x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 A． 1 ， 2 B． 1 ， 2 C． 1 ， 2 D． 1 ， 2 yx22x1 x 4．（2020秋·广东惠州·九年级校考期中）二次函数 的图象与 轴的交点坐标是 ，与 y 轴的交点坐标为 ． yx24xa 5．（2022秋·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）已知：二次函数 ， ①当x1时， y 随x的增大而减小 ②若图象与x轴有交点，则a4a3 x24xa0 1x3 ③当 时，不等式 的解集是 (1，2) a3 ④若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点 ，则 其中，正确的说法有 ．（请写出所有正确说法的序号） yx2bxc P3,1 6．（2022秋·云南昭通·九年级统考期中）已知二次函数 的图象经过点 ，对称轴是直 线x=1． (1)求函数的解析式； (2)当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当x取何值时，函数值y大于0． yax2bx3 x 7．（2022秋·广东韶关·九年级翁源县龙仙第二中学校考期中）如图，二次函数 的图像与 A3,0 B1,0 y C C D 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 、 是二次函数图像上一对对称点，一次函数 ymxn 的图像过点B、D． (1)直接写出点C、D的坐标； (2)求二次函数的解析式； yax2bx3 (3)将二次函数 向左平移2个单位，并向下平移2个单位，写出得到的图像的解析式； ax2bx3mxn (4)根据图像求 的解集． y2x24x6 8．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）已知二次函数 ．(1)求出该抛物线与x轴的交点坐标，与 y 轴的交点坐标，顶点坐标，并画出函数的图象； y0 x 0x3 y (2)直接写出当 时， 的取值范围_____，当 时， 的取值范围_____． yax2bx1 A(2,0) C(4,5) 9．（2022秋·湖北荆州·九年级统考期中）如图，已知二次函数 的图象过 和 两 点， (1)求二次函数的解析式； (2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标； yx1 (3)在同一坐标系中画出直线 ，并直接写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值． 题型七 二次函数图象实际应用问题 【例12】（2023秋·河南南阳·九年级统考期末）某商店开始时，将每件进价为8元的某种商品按每件10元 出售，每天可售出100件，店方想采用提高售价的办法来增加利润．经试验，发现这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件． (1)如果涨价3元，每天的销售利润是多少？ (2)如何定价，使每天所得的利润最大？最大利润是多少？ 【例13】（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请 解答这道题． A(6,1) 如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点 处将沙包（看成点）抛出，并运 C :ya(x3)22 B(0，c) 动路线为抛物线 1 的一部分，淇淇恰在点 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动 1 n 路线为抛物线C :y x2 xc1的一部分． 2 8 8 C (1)写出 1的最高点坐标，并求a，c的值； (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙包，求符合条件的n 的整数值． 巩固训练： 1．（2020秋·广东广州·九年级校考期中）为响应广州市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境， 拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边露墙，可利用的墙长不超过16m，另外三边由36m长的栅 ABCD ABxm ym2 栏围成，设矩形 空地中，垂直于墙的边 ，面积为 （如图）． (1)求 y 与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； 160m2 x (2)若矩形空地的面积为 ，求 的值；(3)x为何值时， y 有最大值？最大值是多少？ 2．（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）某鱼塘里饲养了鱼苗10千尾，预计平均每千尾鱼的产量为 1000 kg 50 kg ．若再向该鱼塘里投放鱼苗，每多投放鱼苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少 ． 10800 kg (1)如果再投放鱼苗后能使总产量为 ，那么应再投放鱼苗多少千尾？ (2)应再投放鱼苗多少千尾时，能使总产量y最大？最大总产量y是多少？ 3．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）超市某种水果的进价是每千克22元，当售价为每千克38元时， 每天可售出160千克，若每千克降价3元，每天的销售量将增加120千克． (1)若超市每天销售这种水果获利3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的售价为每千克多少 元？ (2)求该种水果每千克售价为多少元时，超市一天销售该种水果所获利润最大？并求出最大利润． 4．（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价 值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图 ym xm yx2bxc ②所示的抛物线型，它距离地面的高度 与到树干的水平距离 之间满足关系式 ． 已知这枝垂柳的始端到地面的距离OA5m，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离OB5m． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)求这枝垂柳的最高点P到地面的距离； (3)踩着高跷的小明头顶距离地面2m，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰 到树枝？ 5．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）心理学家研究发现，某年龄段的学生 y0.1x22.6x43(0 x30) 30min内对概念的接受能力y与提出概念所用时间x之间的函数表达式： ： (1)所用时间为多少时学生接受概念的能力最强？并说明理由(2)什么时段学生接受概念的能力逐步降低？为什么？ 6．（2022秋·江苏盐城·九年级东台市三仓镇中学校联考阶段练习）空气净化器可以保持室内空气清鲜，某 商场代理销售某种空气净化器，其进价是500元/台，经过市场销售后发现，当售价是1000元/台时，每月 可售出50台，且售价每降低20元，每月就可多售出5台，且每次降价均以20元为一个单位．若供货商规 定这种空气净化器售价不能低于600元/台，代理销售商每月要完成不低于60台的销售任务． (1)试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围． (2)当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大并且尽可能让利于消 费者?此时的最大利润是多少? 7．（2022秋·河北张家口·九年级张家口市实验中学校考期中）524红薯富含膳食纤维，维生素（A，B， C，D，E）以及钾，铁等10余种微量元素，被营养学专家称为营养均衡的保健食品，深受广大消费者喜爱． 某土特产批发店以30元/箱的价格进货．根据市场调查发现，批发价定位58元/箱时，每天可销售600箱， 为保证市场占有率，决定降价销售，发现每箱降价1元，每天可增加销量60箱． (1)直接写出每天的利润 w 与降价 x 元的函数关系式； (2)当降价多少元时，每天可获得最大利润，为多少？ (3)要使每天的利润为21600元，并让利于民，应降价多少元？ 8．（2020秋·广东广州·九年级中山大学附属中学校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB6， BC 12，点P从点A出发沿AB边向点B以1个单位每秒的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点 C以2个单位每秒的速度移动．如果P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止移动，设运动时间为t秒 (0t6)，回答下列问题： PBQ 8 (1)运动开始后第几秒时 的面积等于 ． APQCD (2)设五边形 的面积为S，写出S与t的函数关系式，当t为何值时S最小？求S的最小值． 9．（2023·上海·九年级假期作业）如图，河上有一座抛物线形状的桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部4米 时，水面宽AB为12米，如图建立直角坐标系．(1)求抛物线的函数解析式； 31.7 (2)当水位上升1米时，水面宽为多少米？（答案保留整数，其中 ） 10．（2022秋·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）一位运动员投掷铅球的成绩是14m，当铅 球运行的水平距离是6m时达到最大高度4m，若铅球运行的路线是抛物线，如图建立平面直角坐标系， (1)求此抛物线的解析式； (2)求铅球出手时距地面的高度． 11．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）某公司生产A型活动板房的成本是每个3500元．图1 表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD4m，宽AB3m，抛物线的最 高点E到BC的距离为4m． (1)按图1中所示的平面直角坐标系，求该抛物线的函数表达式；(2)现将A型活动板房改造成为B型活动板房．如图2，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户 FGMN，点G、M在AD上，点F、N在抛物线上，窗户的成本为150元/m2．已知GM 2m，求每个B 型活动板房的成本．（每个B型活动板房的成本＝每个A型活动板房的成本＋一扇窗户FGMN的成本） 12．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的 水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的地 点，水柱距离湖面高度为h米． d 米 0 0.7 2 3 4 … h 米 2.0 3.484 5.2 5.6 5.2 … 请解决以下问题： (1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接． (2)①求喷泉抛物线的解析式； ②求喷泉的落水点距水枪的水平距离． (3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为 h0.3d3.52 5.7 ，此时喷泉 （填“会”或“不会”）喷到水池外． 13．（2023·山东聊城·统考三模）如图，OC是学校灌溉草坪用到的喷水设备，喷水口C离地面垂直高度 为1.5米，喷出的水流都可以抽象为平面直角坐标系中的一条抛物线． (1)灌溉设备喷出水流的最远射程可以到达草坪的最外侧边沿点B，此时，喷水口C喷出的水流垂直高度与 水平距离的几组数据如下表． 水平距离x/米 0 0.6 1 2 3 4竖直高度y/米 1.5 1.71875 1.875 2 1.875 1.5 结合数据，求此抛物线的表达式，并求出水流最大射程OB的长度． (2)为了全面灌溉，喷水口C可以喷出不同射程的水流，喷水口C喷出的另外一条水流形成的抛物线满足表 2  2 yax  h 达式  3 ，此水流最大射程 OE2 米，求此水流距离地面的最大高度． 14．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建 1000m2 成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬 m2 m2 200 x700 菜种植成本y（单位；元/ ）与其种植面积x（单位： ）的函数关系如图所示，其中 ；乙 m2 种蔬菜的种植成本为50元/ ． x m2 y35 m2 (1)当 ___________ 时， 元/ ； (2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？ 1000m2 (3)学校计划今后每年在这 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下 降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降a%，当a为何值时，2025 年的总种植成本为28920元？ 15．（2023·陕西渭南·统考二模）夏天到了，姗姗的妈妈买了一个防蚊罩以保护饭菜（如图1），将罩子开 口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形．姗姗测得罩子的直径OA为40厘米，罩子内壁的最大高度为 20厘米，她以罩子左边缘点O为原点、OA所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系（如图2）．(1)求抛物线的函数表达式； (2)某天，姗姗将一盘菜沿水平线OA（圆形盘子直径与OA重合）放置在罩子下，盘子左侧边缘离O点的水 平距离为4厘米，她想在盘子右侧紧挨盘子沿水平线OA再放置高度为6厘米的一碗稀饭（碗的俯视图也是 圆形，其直径与OA重合），已知盘子和碗的直径分别为20厘米、12厘米，要使罩子紧贴水平桌面，请通 过计算说明：她这样放，罩子能否接触到碗？ 16．（2023·全国·九年级假期作业）2023年4月16日，世界泳联跳水世界杯首站比赛在西安圆满落幕，中 国队共收获9金2银，位列奖牌榜第一．赛场上运动员优美的翻腾、漂亮的入水令人赞叹不已．在10米跳 台跳水训练时，运动员起跳后在空中的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐 标系，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度 y （单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函 yaxh2ka0 数关系 ． 某跳水运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度 y 的几组数据如下： 水平距离x/m 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.6 2.0 10.00 10.45 10.60 10.45 10.00 5.20 1.00 竖直高度y/m yaxh2ka0 ①根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系 ； ②运动员必须在距水面5m前完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势，否则就会出现失误．在这次训练中， 测得运动员在空中调整好入水姿势时，水平距离为1.6m，判断此次跳水会不会出现失误，并说明理由； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度 y 与水平距离x近似满足函数关系 y4.16x0.382 10.60 ．如 图，记该运动员第一次训练的入水点为A，若运动员在区域AB内（含A，B）入水能达到压水花的要求， 则第二次训练__________达到要求（填“能”或“不能”）． 17．（2023·湖北武汉·统考中考真题）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机．通过实验，收集了飞机 相对于出发点的飞行水平距离x（单位：m）以、飞行高度 y （单位：m）随飞行时间t（单位：s）变化 的数据如下表． 飞行时间t/s 0 2 4 6 8 … 2 4 飞行水平距离x/m 0 10 30 … 0 0 4 6 飞行高度y/m 0 22 54 … 0 4 探究发现：x与t， y 与t之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出x关于t的函数解析式 y 和 关于t的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）． 问题解决：如图，活动小组在水平安全线上A处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据 上面的探究发现解决下列问题． （1）若发射平台相对于安全线的高度为0m，求飞机落到安全线时飞行的水平距离； MN,AM 125m,MN 5m MN M,N （2）在安全线上设置回收区域 ．若飞机落到 内（不包括端点 ），求发 射平台相对于安全线的高度的变化范围． 题型八 二次函数图象综合问题2 【例14】（2023秋·江苏宿迁·九年级统考期末）如图，二次函数y x2bxc的图像与x轴交于 3 A1,0 C3,0 BC PB、PC 、 两点，与y轴交于点B．点P是直线 上方抛物线上的一个动点，连接 ． (1)求这个二次函数的表达式； (2)设PBC的面积为S，点P的横坐标为m，求S与m之间的函数表达式； (3)点P在运动过程中，能否使PBC的面积S恰好为整数？若能，请求出m的值；若不能，请说明理由． 巩固训练： 1．（2023秋·山西运城·九年级统考期末）综合与探究 1 y x2x4 如图，二次函数 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点P 2 是第三象限内二次函数图象上一动点，设点P的横坐标为m，过点p作直线PE∥BC分别交x轴，y轴于点 D，E． (1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的表达式； (2)当DPDE时，求m的值； (3)连接PC，试探究：在点P的运动过程中，是否存在点P，使得PCE是直角三角形，若存在，请直接 写出m的值；若不存在，请说明理由． 2．（2023秋·山西阳泉·九年级统考期末）综合与实践 3 如图，抛物线yax2  xc与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标 2(4，0) (0，2) CD 是 ，点C的坐标是 ，抛物线的对称轴交x轴于点D．连接 ． (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标； 如果不存在，请说明理由； (3)点E在x轴上运动，点F在抛物线上运动，当以点B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形，直接写 出点E的坐标． L yax2bx3 x A2,0 B6,0 3．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）如图，抛物线 ： 与 轴交于 ， ．  1  m, m1 与y轴交于点C，点P的坐标为 2 ． (1)请求出L的解析式及对称轴． (2)当点P在L上时，求m的值． (3)过点P作x轴的垂线，分别与x轴、抛物线L交于点M ，N ．若点P，M ，N 三点不重合，当其中两 点关于第三点对称时，直接写出m的值． 4．（2023年辽宁省盘锦市光正、实验、兴隆中学多校联考中考一模数学试题）如图，在平面直角坐标系 xOy yx4 yx2bxc 中，直线 与坐标轴分别交于A、B两点，抛物线 过A、B两点，点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E． (1)求抛物线的解析式． BE DBE∽DCA (2)连接 ，若 ，求出点D的坐标． (3)若点E关于直线AB的对称点的横纵坐标相等，请直接写出点E的坐标． yax2bxca0 x A3,0 B1,0 5．（2023春·广东东莞·九年级校考开学考试）抛物线 与 轴交于点 ， y C0,3 两点，与 轴交于点 ，点P是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD AB，垂足为D，PD 交AC于点E，作PF  AC，垂足为F ，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示PE，并求! PEF的面积 的最大值； Q l P A P C Q (3)如图2，点 是抛物线的对称轴 上的一个动点，在抛物线上是否存在点 ，使得以点 ， ， ， 为 顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，说明理由． 6．（2022秋·湖北宜昌·九年级枝江市实验中学校联考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物 yx122 yx122 线叫作“同轴对称抛物线”．例如： 的“同轴对称抛物线”为 ．yx122 yx122 (1)请写出抛物线 的顶点坐标______；及其“同轴对称抛物线” 的顶点坐标 1 3 _____；写出抛物线y x12 的“同轴对称抛物线”为______． 2 2 yax24ax1 (2)如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L： 上一点，点B的横坐标为1，过点B作x 轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点B、C， BC CC BC BB BBCC SS 0 连接 、 、 、 ，设四边形 的面积为 ． ①当四边形BBCC为正方形时，求a的值． ②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的 点时，请求出a的取值范围． yax2bxc 7．（2023·湖南张家界·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 的图象 A2,0 B6,0 C0,6 BC 与x轴交于点 和点 两点，与y轴交于点 ．点D为线段 上的一动点． (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，求△AOD周长的最小值； DP∥AC PA,PB PAD △PBD (3)如图2，过动点D作 交抛物线第一象限部分于点P，连接 ，记 与 的面积和 为S，当S取得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值． yax22xc 8．（2022秋·四川南充·九年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图1，抛物线 ，交x EF y0 1x3 轴于A、B两点，交y轴于点C，F为抛物线顶点，直线 垂直于x轴于点E，当 时， ． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是线段BE上的动点（除B、E外），过点P作x轴的垂线交抛物线于点D． ①当点P的横坐标为2时，求四边形ACFD的面积； ②如图2，直线AD，BD分别与抛物线对称轴交于M、N两点．试问，EM＋EN 是否为定值？如果是，请 求出这个定值：如果不是，请说明理由．