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第 21-22 章阶段性学习巩固（月考模拟卷）
（年级：九年级上册 范围：第二十一、二十二章 考试时间：90分钟，满分120
分）
试卷信息：本卷试题共24题，选择题10题，填空题8题，解答题6题，本试卷着重考查学生
基础知识、基本技能，有较强的针对性！
第 Ⅰ 卷（选择题，共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分,每小题均有四个选项，其中
只有一项符合题目要求）
1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）方程 经过配方法化为 的形式，
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为
，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得．
解： ，
，
，
，
故选：A．
2．（2025·宁夏中卫·二模）若抛物线 与x轴有交点，则m的取值范围是（ ）A． B． 且
C． D． 且
【答案】B
【分析】本题考查了抛物线与 轴交点问题，解题的关键是根据抛物线定义结合一元二次方程判别
式求解．
先根据抛物线定义确定 ，再由抛物线与 轴有交点，即对应的一元二次方程有实数根，利用
判别式 求解 的取值范围，最后取两者交集．
解：因为 是抛物线，根据抛物线定义，二次项系数不能为0，
所以 ．
抛物线与 轴有交点
所以 ，也就是 ．
解得 ．
结合前面 和 ，所以 的取值范围是 且 ．
故选：B．
3．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）在函数 的图象上有三点，
，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象的性质是关键．由题意
可知该抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，根据二次函数图象的性质，图象上的点离对称轴
越远，函数值越大，进行判断即可．
解：∵ ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，
∴图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，∴ ，
故选：C．
4．（24-25八年级下·山东淄博·阶段练习）菱形 的一条对角线长为6，边 的长是方程
的一个根，则菱形 的面积为（ ）
A．48 B．24 C．15 D．12
【答案】B
【分析】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，菱形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的解法
是解本题的关键．
求出已知方程的解，确定出 的长，再利用菱形的性质求解即可．
解：方程 ，
分解因式得： ，
可得 或 ，
解得： 或 ，
当 时， ，不能构成三角形，舍去；
当 时，设菱形对角线相交 于O，如图，
∵菱形 ，
∴ ， ，
由勾股定理，得 ，
∴
∴菱形面积为 ；
故选：B．
5．（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）已知抛物线 ，下列说法错误的是（ ）A．开口方向向下 B．形状与 相同
C．顶点是 D．函数最大值为4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，以及拋物线的开口
方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键．
根据二次函数的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A、抛物线 ，抛物线开口向下，此选项正确；
B、抛物线 形状与 相同，此选项正确；
C、抛物线 顶点坐标是 ，此选项错误；
D、抛物线 抛物线开口向下，顶点坐标是 ，函数有最大值为4，此选项正确．
故选：C．
6．（24-25九年级下·湖北黄石·阶段练习）如图，抛物线 与x轴交于点A，B，与y轴交
于点C， ，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，先解方程 得 ，
，再计算自变量为0对应的函数值得到 ，接着证明 为等腰直角三角形，所以 ，即 ，然后把等式两边平方可得 ．
解：由图可得，抛物线的开口向上，与y轴的负半轴相交，
∴ ， ，
当 时， ，
解得 ， ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
即 ，
整理，得
,
∵
∴ ．
故选：A．
7．（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数 的图象如图所示，则一次函数
的图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的
符号，进而得出答案．
解：由二次函数图象，得出 ， ，对称轴 ，
∴ ，
对于一次函数 ， ， ，
∴一次函数 的图象大致是
，
故选：D．
8．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于 的一元二次方程 满足
，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义．
根据题意得出 ， ， ，再根据判别式的意义可知 ，进而可得答案．
解：∵ ，
， ， ．
∴
一元二次方程 有两个相等的实数根， ，
∵
，
∴
，选项A结论正确，不符合题意；
∴
一元二次方程 有两个相等的实数根， ，
∵
，
∴
，选项B结论正确，不符合题意；
∴
一元二次方程 有两个相等的实数根， ，
∵
，
∴
，选项C结论正确，不符合题意；
∴∵ ， ， ．
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，选项D结论错误，符合题意．
故选：D．
9．（2024·山西·模拟预测）某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示
的长 、宽 的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位
区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为 ，求人行通道的宽度．
若设人行通道的宽度为 ，则根据题意可列方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为 ，根据题意列方程
即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
解：设人行通道的宽度为 ，
根据题意得， ，
故选： ．
10．（24-25九年级上·山东青岛·期末）抛物线 的对称轴为直线 ，部分图象如
图所示．下列判断中：① ；② ；③ ；④若点 均在
抛物线上，则 ；⑤ ．其中正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，先根据开口方向判断出
，结合对称轴位置判断出 ，再根据与y轴的交点位置，判断 ，进而得出结论①错误；
根据抛物线与x轴的交点个数，判断出②正确；利用抛物线的对称轴确定出抛物线与x轴的另一个交点坐标，判断出③正确，根据两点与对称轴的距离判断出④错误；根据对称轴得出 ，进而
得出 ，即可判断⑤错误；综上即可得答案．
解：抛物线开口向上，
，
抛物线的对称轴为直线 ，
，
抛物线与 轴的交点在 轴下方，
，
，
故①错误；
抛物线与 轴有2个交点，
，
②正确；
抛物线的对称轴为直线 ，抛物线与 轴的一个交点坐标为 ，
抛物线与 轴的另一个交点坐标为 ，
，
③正确；
点 到直线 的距离比点 到直线 的距离小，且抛物线开口向上，
，
故④错误；
，
，
故⑤错误．
综上所述，正确的有②③，一共2个．
故选：A．第 Ⅱ 卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
11．（24-25九年级上·广东韶关·期中）方程 的解是 ．
【答案】 ，
【分析】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，
公式法，因式分解法，通过“提取公因式法”对方程 的左边进行因式分解即可解答．
解：由 ，得 ，
则 或 ，
解得 ， ．
故答案为： ， ．
12．（25-26九年级上·全国·单元测试）已知 是一元二次方程，则 的值为
．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如 （其中a、b、c是常
数且 ）的方程叫做一元二次方程，据此可得 ，解之即可得到答案．
解：∵ 是一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）抛物线 的最大值为 ．【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是
解题的关键 ．
解：由抛物线 可知 ，
∴当 时， 有最大值 ，
故答案为： ．
14．（24-25九年级下·吉林长春·开学考试）若抛物线 与 轴没有交点，则 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，利用根的判别式列出不等式是解题的关键．
根据抛物线与x轴没有交点，得到 ，再解一元一次不等式即可．
解：∵抛物线 与 轴没有交点，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
15．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）关于x方程 的两根为1和5，则一次函数
不经过第 象限．
【答案】三
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系和一次函数图像的性质，解决此题的关键是灵
活的运用各个知识点；先根据根与系数的关系算出 和 ，再根据一次函数的图形性质即可得到结
果；
解：∵关于x方程 的两根为1和5，
∴ ， ，
∴ ，
∴一次函数解析式为 ，
∵ ，
∴一次函数图形经过一、二、四象限，不经过第三象限；故答案为：三
16．（2025·湖南·模拟预测）某班“课后服务”开设数学兴趣班，参与学生人数 满足方程
，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，根据题意化为整式方程，解一元二次方程，并
检验，即可求解．
解： ，
∴
∴
即
解得： （舍去）
∴ ，
经检验， 是原方程的解，且符合题意，
故答案为： ．
17．（2023·安徽宣城·二模）已知二次函数 ．
（1）若二次函数的图象经过点 ，则 ．
（2）将二次函数 的图象向下平移2个单位长度，所得到的二次函数顶点纵坐
标的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的最值，关键是掌握平移的性质．
（1）把 代入二次函数解析式，解方程即可．
（2）把二次函数解析式化为顶点式，根据平移的性质得出平移后的二次函数解析式，从而得到新
函数的顶点坐标，最后根据二次函数的性质求最值即可．
解：（1） 二次函数的图象经过点 ，
，解得 ，
故答案为： ．（2） ，
将该二次函数 的图象向下平移 个单位长度，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标为 ，
，
，
所得到的二次函数顶点纵坐标的最小值为 ．
故答案为： ．
18．（24-25九年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）如图，以扇形 的顶点 为原点，半径 所
在的直线为 轴，建立平面直角坐标系，点 的坐标为 ，若拋物线 与 只有一个
公共点，则 ；若抛物线 与扇形 的边界总有两个公共点，则实数k的取
值范围是 ．
【答案】 1 /
【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式；主要利用了联立两函数解析式确
定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．根据
求出直线 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的k值，即为一
个交点时的最大值；再求出抛物线经过点B时的k的值，即为一个交点时的最小值，然后写出k的取值范围即可．
解：∵ ，
∴直线 的解析式为 ；
联立二次函数解析式得： ，消去y并整理得： ，
，
解得： ；
此时抛物线与 的边界只有一个公共点；
把点B坐标代入 中，得 ，
解得： ，
此时抛物线与扇形 的边界也只有一个公共点；
综上，当 时，此时抛物线与扇形 的边界总有两个公共点；
故答案为：1； ．
三、解答题（本大题共6个小题,共58分）
19.（本小题满分8分）（24-25八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）解下列方程
（1） （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据公式法解一元二次方程，即可求解；
（2）先移项整理方程，然后根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
解：（1）解：
∴ ，
，
∴ ，解得： ；
（2）解： ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： ．
20.（本小题满分8分）（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）已知 是二次函数，
且当 时，y随x的增大而增大．
（1）则k的值为____；对称轴为_____．
（2）若点A的坐标为 ，则该图象上点A的对称点的坐标为______．
（3）请画出该函数图象．
【答案】（1） ， 轴；（2） ；（3）图像见分析
【分析】（1）根据二次函数定义以及当 时， 随 的增大而增大．可得出结论；
（2）根据函数的对称性求点 对称点的坐标即可；
（3）根据二次函数的解析式画出函数图象即可．
解：（1）解：由 是二次函数，且当 时， 随 的增大而增大，得
，解得： ，
二次函数的解析式为 ，
对称轴为 轴，
故答案为： ， 轴；
（2） 点 ，
当 时， ，
点
点 的对称点的坐标为 ，
故答案为： ；
（3）如图
【点拨】本题考查二次函数的定义和二次函数的性质，关键是求函数解析式．
21.（本小题满分10分）（24-25八年级下·北京昌平·期末）已知关于x的一元二次方程
有两个不相等实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若 是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关
键．
（1）根据方程 有两个不相等实数根，可知 ，然后即可求得 的取值范围；
（2）将 代入题目中的方程，可以求得 的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程
的另一个根．解：（1）解： 方程 有两个不相等实数根，
，
解得 ；
（2）解： 是方程 的一个根，
，
解得 ，
方程为 ，
解得 ， ，
方程的另一个根是 ．
22.（本小题满分10分）（2022·贵州铜仁·一模）如图，抛物线 （ 为常数且
）与y轴交于点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）判断直线 与抛物线的交点个数，并说明理由．
（3）当 时， 有最大值 ，求 的值．
【答案】（1）该抛物线的解析式为 ；（2）直线 与抛物线有两
个交点，理由见分析；（3） 的值为 或 ．
【分析】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，根的判别式，二次函数的最大值．（1）把点 的坐标代入 ，可得 ，从而可得抛物线的解析式；
（2）联立直线和抛物线的方程，由根的判别式判断方程的解的个数，从而可得交点的个数；
（3）根据 与对称轴的关系，进行分类讨论，根据取最大值的情况列方程求解即可．
解：（1）解：∵点 在抛物线 上，
∴
∴ ，
∴ ，
∴该抛物线的解析式为 ．
（2）解：直线 与抛物线有两个交点，理由：
由 得 ，
整理得 ，
∴ ，
∴方程 两个不相等的实数根，
∴直线 与抛物线有两个交点．
（3）解：抛物线 的对称轴为直线 ，
根据题意可得 或 ，
解得 或 ，
∴ 的值为 或 ．23.（本小题满分10分）（21-22九年级上·四川泸州·期中）某公司投入 万元（ 万元只计入第
一年成本）研发费成功研发出一种新产品．公司按订单生产（产量 销售量），第一年该产品正式
投产后，生产成本为 元/件．此产品年销售量 （万件）与售价 （元/件）之间满足函数关系式
．
（1）求这种产品第一年的利润 （万元）与售价 （元/件）之间的函数关系式；
（2）若该产品第一年的利润为 万元，求该产品第一年的售价是多少元/件？
（3）第二年，该公司将第一年的利润 万元（ 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品
的生产成本降为 元/件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外
受产能限制，销售量无法超过 万件．请计算该公司第二年的利润至少为多少万元．
【答案】（1） ；（2） 元/件；（3） 万元．
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，解决本题的关键是根据利润 单件利润 销售量，
列出函数关系式，再利用二次函数的图象与性质求解．
根据利润 单件利润 销售量，即可解决问题；
当 时，可得关于 的一元二次方程 ，解方程即可求出第一年的售价；
根据公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过 万件，
可得： ，根据利润 单件利润 销售量，可得第二年的利润为 ，求出
在 的取值范围内二次函数的最小值即可．
解：（1）解：根据利润 单件利润 销售量，
可得： ；
（2）解：当 时，
可得： ，
解得： ，
该产品第一年的售价是 元/件．
（3）解： 公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过
万件，
，解得： ，
，
第二年的利润 ，
抛物线的对称轴为直线 ，开口向下，且 ，
当 时， 有最小值，最小值为 万元，
答：该公司第二年的利润 至少为 万元．
24.（本小题满分12分）（24-25九年级上·福建福州·期中）已知抛物线 与 轴相
交于 ， 两点（点 在点 的左侧），与 轴交于点 ，对称轴为直线 ．
（1）求 的长；
（2）点 为 上方抛物线上的一动点，若 的面积是 面积的一半，求点 的横坐标；
（3）过点 的直线 与抛物线的另一个交点为 ，若 ，求点
的坐标．
【答案】（1） ；（2）点 的横坐标为4或2；（3）
【分析】该题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用
数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段
之间的关系．还考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，一次函数的图象和性质．
（1）求出抛物线的表达式，得到 ，即可求解；
（2）由 ，即可求解；
（3）证明 ，则 ，得到 ，即可求解．
解：（1）解：∵ ，
，
，令 ，则 ，
，
，
．
（2）解：当 时， ，
，
，
，
设直线 的表达式为： ，
将点 的坐标代入上式得： ，
则 ，
则直线 ，
过点 作 轴交 于 ，
设 ，则 ，
，
，
∴点 的横坐标为4或2；
（3）解：设直线 与 轴交于点 ，则 ，
，
∴ ，
，
，
由点 的坐标得， ，解得： ，
∴直线 的解析式为： ，
令 ，
解得： ，
．
