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第二十二章 二次函数（复习讲义）
1. 了解二次函数概念，体会其与解析式、图象性质、平移及方程等知识间的整体联系。
2. 能用一般式、顶点式、交点式表示二次函数解析式，掌握“上加下减，左加右减”平移原则。
3. 理解二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标等性质，利用其增减性、最值分析问题。
4. 明晰二次函数与一元二次方程关系，会借函数性质解决实际问题，列解析式、定自变量范围求最值 。
【知识点01】二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数
【知识点02】二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．（2）顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）．
（3）交点式：y=a（x–x）（x–x），其中x，x 是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0．
1 2 1 2
【知识点03】二次函数的图象及性质
解析式 二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）
对称轴 x=–
顶点 （– ， ）
a的符号 a>0 a<0
图象
开口方向 开口向上 开口向下
最值 当x=– 时，y = 当x=– 时，y =
最小值 最大值
最点 抛物线有最低点 抛物线有最高点
当x<– 时，y随x的增大而减小； 当x<– 时，y随x的增大而增
增减性
当x>– 时，y随x的增大而增大 大；当x>– 时，y随x的增大而
减小
【知识点04】二次函数的平移
二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后
的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．
【知识点05】二次函数与一元二次方程的关系
1）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2）ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．
3）（1）b2–4ac>0 方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
⇔（2）b2–4ac=0 方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；
（3）b2–4ac<0 方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．
⇔
【知识点06】用二次
⇔
函数的性质解决实际问题
利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：
（1）列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围
（2）在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值
【知识点07】用二次函数图象解决几何问题
二次函数与几何知识联系密切，互相渗透，以点的坐标和线段长度的关系为纽带，把二次函数常与全相似、
最大(小)面积、周长等结合起来，解决这类问题时，先要对已知和未知条件进行综合分析，用点的等、坐
标和线段长度的联系，从图形中建立二次函数的模型，从而使问题得到解决.解这类问题的关键就是要善于
利用几何图形和二次函数的有关性质和知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件，以达到解题目的
题型一 二次函数的定义
【例1】下列函数中是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】如果函数 （ 是常数）是二次函数，那么 的取值范围是 ．
题型二 把 y=ax²+bx+c 化成
顶点式
【例2】用配方法将函数 写成 的形式是 ．
【变式2-1】抛物线 的顶点坐标是 ．【变式2-2】若把二次函数 化为 的形式，其中 为常数，则 ．
【变式2-3】用配方法将二次函数 化为 的形式为 ．
题型三 二次函数的图象和性质
【例3】下列关于抛物线 的描述正确的是（ ）
A．该抛物线是上升的 B．该抛物线是下降的
C．在对称轴的左侧该抛物线是上升的 D．在对称轴的右侧该抛物线是上升的
【变式3-1】下列关于二次函数 的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数 的图像平移得到
【变式3-2】抛物线 的对称轴是直线 ，那么下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】如果点 在二次函数 的图像上，那么a b填“ ”“ ”
或“ ”）
【变式3-4】已知抛物线 开口向上，且经过点 和 ，如果点 与 在此抛
物线上，那么 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
题型四 画二次函数y=ax²+bx+c的图象
【例4】画出函数 的图象，根据图象，解决下列问题：（1）当 时，x的取值范围是 ．
（2）当二次函数到y轴的距离小于3时，y的取值范围是 ．
【变式4-1】根据要求画出二次函数 的图象并解决相关问题．
(1)填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
(2)请根据图像直接写出：当 时，自变量 的取值范围 ．
【变式4-2】【操作与探究】已知点P(x,y)在抛物线 上移动．(1)在下图的平面直角坐标系 中画出函数 的图象；
(2)认真观察图象，结合所学函数知识解答下列问题：
函数 时， 的取值范围是______；
方程 的根是______；
若 时， 随 的增大而减小，则 的取值范围是______；
若当 时，函数 的最小值是 ，最大值是 ，直接写出 的取值范围．
【变式4-3】已知二次函数 ．
(1)请在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
(2)若点 在该函数图象上
①当 时，则x的取值范围为___________；
②当 （t为常数）时，y随x的增大而减小，则t的取值范围是__________．题型五 二次函数的平移
【例5】（24-25九年级上·全国·期末）将抛物线 先向上平移3个单位长度，再向右平移3个单
位长度，得到的抛物线的解析式是 ．
【变式5-1】在平面直角坐标系中，将函数 的图像先向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位
长度，所得图像的函数解析式为 ．
【变式5-2】将抛物线 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则平移后抛物线
解析式是 ．
【变式5-3】如图，坐标平面上有一透明片，透明片上有一抛物线 及一点 ， 的坐标（2，4）．若
将此透明片向右、向上移动后，得抛物线的顶点坐标为 ，则此时 的坐标为 ．
题型六 待定系数法求二次函数的表达式
【例6】如图是二次函数 的图象．
(1)求该二次函数的关系式及顶点坐标；
(2)当 时 的取值范围是___________．【变式6-1】已知二次函数 自变量 与函数 的部分对应值如下表：
… 0 2 3 …
… 5 0 0 …
(1)求二次函数解析式及顶点坐标；
(2)点 为抛物线上一点，抛物线与 轴交于 、 两点，若 ，求出此时点 的坐标．
【变式6-2】如图，二次函数的图象经过点(1,0)，顶点坐标为 ．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)直接写出该二次函数的图象怎样经过上下平移恰好与x轴只有一个公共点；
(3)当 时，y的取值范围为______．
【变式6-3】已知抛物线 经过点 和点 ．
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)当自变量x满足 时，求y的取值范围；
(3)将此抛物线沿x轴平移m个单位后，当自变量x满足 时，y的最小值为5，求m的值．
题型七 利用二次函数解决实际问题
【例7】（2025·湖北武汉·模拟预测）一个可移动的喷灌架喷射出的水流可以看成抛物线，如图是喷灌架给
坡地草坪喷水的平面示意图，喷灌架置于坡地草坪底部点 处，喷水头 的竖直高度 为 ，当喷射出
的水流与点 的水平距离为 时，达到最高，此时其与水平地面的竖直高度为 ．在直线坡地草坪
上，点 与点 的水平距离为 ，与水平地面的竖直高度为 ．(1)求水流抛物线的解析式；
(2)求水流抛物线与直线坡地草坪 之间的竖直距离的最大值；
(3)已知在点 处有一棵竖直高度为 的小树 ．若将喷灌架沿直线坡地草坪 向右移动，设其向右
水平移动 （其中 ），使其喷射出的水流不被小树 遮挡，直接写出 的取值范围．
【变式7-1】（2025·辽宁鞍山·三模）每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好
生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每
天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助
听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元
(1)求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元；
(2)全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器．
【变式7-2】（2025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．
石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，
石块在空中飞行的高度y与水平距离 之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点 ，运动路径
近似为抛物线 ，且 ，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 ，运动路径近似为
抛物线 ，且 ．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力
等因素忽略不计）
(1)如图②，当 时，若点 坐标为 ，求抛物线 的表达式；
(2)在（1）的条件下，若 ，在水面上有一个截面宽 ，高 的矩形 的障碍物，点的坐标为 ，判断此时石块沿抛物线 运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
(3)小星在抛掷石块时，若 的顶点需在一个正方形 区域内（包括边界），且点 在 和 之
间（包括这两点），其中 ，求 的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线
在同一平面内）
【变式7-3】恩施州为响应国家号召，各单位均安排党员干部下沉村、社区，参加扶贫工作，这些干部队
伍俗称“尖刀班”．某“尖刀班”发现其帮扶村盛产的茶叶和土豆滞销，为了尽快将农产品销售出去，
“尖刀班”通过网络平台将产品销往全国．相关信息如表：
商
规格 成本/（元/袋） 售价/（元/袋）
品
茶
/袋 40 60
叶
土
/袋 38 53
豆
已知销售表中规格的茶叶和土豆共1000袋，其中茶叶不少于300袋，土豆不少于400袋．设销售茶叶x袋，
销售茶叶和土豆获得的总利润为y元．
(1)求y（元）与x（袋）之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)销售完这批茶叶和土豆，至少可获得多少元的利润？
(3)因该村有部分特困户，“尖刀班”与村委会讨论决定，每销售一袋茶叶提取m元作为帮扶特困户的爱心
基金．如果 ，求销售完这批茶叶和土豆，扣除爱心基金后的最大利润．（用含m的代数式表示）
题型八 二次函数与几何图形的综合问题
【例8】（2025·海南省直辖县级单位·一模）如图，在平面直角坐标系 中，抛物线
与 轴交于 、 两点（ 在 的左侧），与 轴交于点 ，其中 ， ，
为抛物线顶点．(1)求该抛物线的解析式；
(2)点 在线段 上方抛物线上运动（不含端点 、 ，求 的最大值及此时点 的坐标．
【变式8-1】如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 ： 与 轴交于 ， 两点（点 在点
的左侧），其顶点为 ， 是抛物线第四象限上一点．
(1)求线段 的长；
(2)若 的面积与 的面积相等，求点 的坐标．
【变式8-2】如图，抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左侧），与
轴交于点 ，连接 ， ．
(1)直接写出点 的坐标（用含 的代数式表示）；
(2)若 的面积为6，求 的值；(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移 个单位，记平移后抛物线中 随 的增大而减小的部分为
，当直线 与 总有两个公共点时，求 的取值范围．
【变式8-3】（2025·海南·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线 （ 是常数， ）
与 轴交于点 ．
(1)如图，若抛物线经过 ， 两点，
求抛物线的解析式；
设抛物线顶点为 ，求 的面积；
点 是抛物线对称轴上的动点，则 的最小值为______；
(2)若抛物线经过 ， ， 三点，对于 ， ，都有 ，求 的取值
范围．
基础巩固通关测
一、单选题
1．抛物线 与 轴的交点坐标为（ ）A． B． C． D．
2．将 先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知二次函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为
B．函数图象与 轴的交点坐标是
C．函数的最小值是
D．对称轴为直线
4．已知一个二次函数 的自变量 与函数 的几组对应值如下表，则下列结论正确的是（ ）
… 0 1 3 4 …
… 3 4 0 …
A．图象的开口向上 B．当 时， 随 的增大而减小
C． D．该二次函数图象与 轴只有一个交点
二、填空题
5．抛物线 的对称轴是直线 ，则 的值为 ．
6．直线 与抛物线 的交点坐标是 ， ．
7．已知二次函数 、且有 、则 、 按从大到小的顺
序排列为 ．
8．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，将点 向右平移 个单位长度，
得到点 ，点 在抛物线上．（1）抛物线的对称轴是直线 ．
（2）已知点 ， ，若抛物线与线段 恰有一个公共点，则 的取值范围是 ．
三、解答题
9．要建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形
水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3米，水柱落地处离池中心3米，求水管长应为多
少米．
10．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点
， 为二次函数图象上一动点．
(1)求二次函数的表达式与直线 的表达式；
(2)已知点 在直线 上方，当 的面积最大时，求点 的坐标．
11．季节交替容易引发呼吸道疾病，越来越多的家庭选择购买空气净化器来预防呼吸道疾病，某商场的一
款空气净化器（如图1）特别畅销．已知进价是每台20元，根据市场调查发现，每月的销售量y（台）与
售价x（元/台）是一次函数关系，如图2所示：
(1)求y与x的函数关系式；(2)某月该商场出售这种空气净化器获得了24000元的利润，该空气净化器的售价是多少？
(3)若某月该商场这种空气净化器的销售量不少于300台，该商场销售这种空气净化器获得的最大利润是多
少？
12．如图 ，在平面直角坐标系中，已知抛物线 的顶点为点 ，且经过原点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点 是抛物线上，且位于直线 上方的一个动点，当点 在抛物线上，且横坐标为 时，
的面积为____________．
求 的面积的最大值．
(3)如图 ，将原抛物线沿射线 方向平移得到新的抛物线，新抛物线与射线 交于 ， 两点（点
在点 的左侧）．
若 ，则新抛物线的解析式为____________．
在抛物线平移过程中，线段 的长度总是定值，请你直接写出此定值．
能力提升进阶练
一、单选题
1．（2025·湖北咸宁·模拟预测）二次函数 的图象经过点 ， ，与 轴的交点在
轴的下方．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．D．二次函数 的最小值为
2．（2025·湖北·模拟预测）已知抛物线 上的部分点的横坐标 与纵坐标 的对应值如表：
… …
… …
以下结论：①该抛物线的开口向上；②对称轴为直线 ；③ ；④当 时， 的取值范围是
或 ．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③ C．③④ D．②③④
3．已知二次函数 的图象与 轴相交于点 和点 ，与 轴相交于点 ．
①该二次函数的最小值为 ； ②当 时， 随 的增大而减小；
③该抛物线的顶点坐标为 ； ④ 两点之间的距离是4
以上说法中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
二、填空题
4．（2025·辽宁铁岭·二模）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与x轴
交于 ， ，与y轴交于点C．若 轴，则二次函数图象上点D的坐标为
．
5．（2025·安徽淮北·三模）抛物线 经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为．
（1）a的值为 ．
（2）若P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作 轴，且点Q在一次函数 的图象上．当
时， 的最大值是 ．
6．（2025·江苏淮安·二模）如图是二次函数 图象的一部分，对称轴为 ，且经过
点 ．以下说法：① ；② ；③ ；④若 是抛物线上的
两点，则 ；⑤ （其中 ），其中说法正确的是 ．
三、解答题
7．“骑车戴头盔，放心平安归”、越来越多的人上下班会选择骑行电动车，佩戴头盔更能保证大家的行
车安全．某品牌头盔进价80元/个，当定价100元/个时．每月可卖出200个．若价格每上涨1元，销售量
则减少5个．
(1)现在既要使月销售利润达到4375元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌每个头盔应涨多少元？
(2)该品牌头盔每个涨价多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少？
8．（2025·河南·模拟预测）大坝泄洪时，水流的形状类似抛物线形．如图2，建立如图所示平面直角坐标
系（大坝底与水平面交点为原点 ，大坝墙面为 轴），已知水流内轮廓线的函数表达式为
，泄洪口 高 ；水流外轮廓线的最高点 比泄洪口A处高 ，且与泄洪口 处的水
平距离为 ．(1)求水流外轮廓线的表达式和内轮廓线的顶点 的坐标．
(2)求水流落入水平面时，形成的水流的宽度 ．
9．如图，某景区建设规划中想将大门设计为带有雕花和复古图案的一个抛物线型铁艺大门．在兼顾美观、
通畅等因素下，铁艺大门的高为3m，其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)．设计组按要求给出了两个设
计方案，分别如图所示．
方案一：抛物线型拱门的跨度 为10m，拱高 为5m．
方案二：抛物线型拱门的跨度 为6m，拱高 为6m．
请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)建立适当平面直角坐标系求抛物线的函数表达式；
(2)求铁艺大门框架 的面积 和 的面积 并比较 与 的大小．
10．（2025·内蒙古·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于 两点，
与y轴交于点 ，P是直线 下方抛物线上的一个动点．(1)求点A的坐标和该抛物线的函数解析式；
(2)连接 ，并将 沿y轴翻折，得到四边形 ，是否存在点P，使得四边形 为菱形？
若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在点P的运动过程中，当四边形 的面积最大时，求出此时点P的坐标和四边形 的最大面积．
11．（2025·内蒙古包头·三模）已知抛物线 与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为抛物线上位于直线 上方的一点，连结 ．
①如图1，过点P作 轴交 于点D，交x轴于点E，连结 ．设 的面积为 ， 的面
积为 ，若 ，求S的最大值；
②如图2，已知 ，求点P的坐标．
12．（2025·广东深圳·三模）如图 ，以点 ， 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点 是抛
物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴， 于点 ， ，则称实线表示的部分为该抛物线上的
“正抛线”，点 ， 分别为“正抛线”的左、右端点，点 为“正抛线”的顶点， 的长为“正抛
线”的高．
(1)已知高为 的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式；(2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求 ；
(3)如图 ，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点
都在 轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直
线上．若所有大“正抛线”的 ，求小“正抛线”的高．
