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期中考前满分冲刺之中等易错题
思维导图
【类型覆盖】类型一、二次函数的各项系数关系
1．如图，抛物线 的对称轴是直线 ，与x轴交于A，B两点，且
．给出下列4个结论：① ；② ；③ ；④若m为任意
实数，则 ．其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上
点的坐标特征，由图象可知 ，则可判断①符合题意；由抛物线的对称轴为
直线 ， ，可得 ， ，得到点 ，点 ，当 时，
，即 ，可判断②符合题意；由抛物线的对称轴为直线 ，即 ，
得到 ，进一步得到 ，可得 ，即可判断③符合题意；当 时，
函数有最大值 ，由 ，可得 ，则可判断④
不符合题意，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：观察图象，可知 ，
∴ ，故①符合题意；
∵该抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ ， ，
∴点 ，点 ，
∴当 时， ，即 ，故②符合题意；
∵抛物线的对称轴为直线 ，即 ，，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故③符合题意；
当 时，函数有最大值 ，
由 ，可得 ，
若m为任意实数，则 ，故④不符合题意，
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
2．二次函数 （a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线 ，其图象一
部分如图所示，对于下列说法：① ；② ；③ ；④当 时，
．其中正确的是（ ）
A．①② B．①④ C．②③ D．②③④
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质等等，根据开口
方向和，与y轴交点在y轴正半轴得到 ，根据对称轴计算公式可得 ，
据此可判断①；根据对称性抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，则当
时， ，据此可判断②③④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交点在y轴正半轴，∴ ，
∵对称轴为直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点横坐标在2和3之间，
那么抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，
∴当 时， ，故②正确；
∵ ，
∴ ，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在 和0之间，
∴当 时， 不一定成立，故④错误，
∴正确的有②③，
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，二次函数 的图象如图所示，现给出以下结
论： ； ； ； （ 为实数），其中错误结论
的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了图象与二次函数的系数之间的关系，根据抛物线的开口方向判断a与
0的关系，根据抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，过特殊点时系数a、b、c所满足的
关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断
【详解】解：由抛物线可知： ， ，对称轴 ，
，
；
由对称轴可知： ，
，
时， ，
，
；
关于 的对称点为 ，
时， ；
当 时， 的最小值为 ，
时， ，
，
即 ；
错误的为 ，有1个．
故选：A．
4．如图，抛物线 与x轴交于点 和B，与y轴的正半轴交于点
C．下列结论： ； ； ； ，其中正确结论
是 ．
【答案】①②④【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标
以及过特殊点时系数a、b、c所满足的关系，结合不等式的性质逐个进行判断即可．
【详解】解：①∵由抛物线的开口向下，
，
∵对称轴位于y轴的左侧，
∴a、b同号，即 ．
，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
，
，
∴①正确；
②如图，当 时， ，
∴②正确；
③对称轴为 ，即 ，
，
，即 ，
∴③错误；
④当 时， ，
又 ，
，即 ．
∴④正确，
综上所述，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
5．已知抛物线 的对称轴为 ，与 轴正半轴的交点为 ，其部分图
象如图所示，有下列结论：① ；② ；③ ；④若 ，
， 是抛物线上的三点，则 ．其中正确结论的 ．【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向可得a>0，由对称轴
可得 ，即得 ，再根据抛物线与 轴的交点位置可得 ，得到 据此可
判断①；把 代入二次函数解析式可得 ，进而得 ，代入代数式计
算可判断②、③；根据函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越
大，由 可判断④；掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线交 轴于负半轴，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵抛物线y=ax2 +bx+c经过 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②错误；∵ ，故③错误；
由函数图象可知，当抛物线上的点距离对称轴的距离越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ，故④正确；
∴正确的结论有①④，
故答案为：①④．
6．二次函数 的部分图象如图所示，对称轴为直线 ，则下列结
论中：
① ；
② （ 为任意实数）；
③ ；
④若 是抛物线上不同的两个点，则 ．
其中正确的结论有 ．
【答案】①②③
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二
次函数的性质，解题时要熟练掌握二次函数的性质并能数形结合是关键．
依据题意，由抛物线图象与性质，即可逐个判断得解．
【详解】解：由题意， 抛物线开口向下，
．
又抛物线的对称轴是直线 ，
．
又抛物线交 轴正半轴，当 时， ．
，故①正确．
由题意，当 时， 取最大值为 ，
对于抛物线上任意的点对应的函数值都 ．
对于任意实数 ，当 时， ．
，故②正确．
由图象可得，当 时， ，
又 ，
，故③正确．
由题意 抛物线为 ，
，故④错误．
综上，正确的有①②③共2个．
故答案为：①②③．
类型二、一元二次方程的根与系数关系
1．若m、n是关于x的方程 的两个根，则 的值为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知 是一元二次方程
的两根时， 是解答此题的关键．先根据一元二
次方程根与系数的关系求出 ，再代入化简后的代数式进行计算即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程 的两个实数根，
∴ ，∴ ，
故选：A．
2．关于x的一元二次方程 的两根为 ， ，则 的值是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意可知
，再根据 ，然后代入计算即可．
【详解】∵一元二次方程 的两个根是 ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
3．已知关于x的方程 的两个根分别为 ，则 的值为
.
【答案】
【分析】此题考查了一元二次方的根与系数的关系及代数式求值，解题关键是熟练掌握一
元二次方程 的根与系数的关系为： ， ．根据一元
二次方程根与系数的关系求出 与 的值，再将 变形为 ，最后
将 与 的值代入计算即可求出值．
【详解】解： 方程 的两个根分别为 ，
， ．．
故答案为： ．
4．已知 是方程 的两个实数根，则 的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查一元二次方程根与系数的关系： ， ，根据根与系数
的关系可得出 ， ，再根据方程根的意义得 ，即可得出结
论，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
【详解】解： ， 是方程 的两个实数根，
， ， ，
，
．
故答案为： ．
5．已知方程 的两个根为 ， ，在不求解 ， 的值的情况下，求下列代
数式的值：
(1) ；
(2) ；(3) ．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的求值，二次根式的化简求
值等等：
（1）根据根与系数的关系得到 ，再根据
进行求解即可；
（2）根据 ，结合（1）所求进行求解即可；
（3）先由一元二次方程解的定义得到 ，再把 整体代入所求式子
中推出 ，据此代值计算即可．
【详解】（1）解：∵方程 的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由（1）得 ，
∴∴
；
（3）解：∵方程 的两个根为 ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
．6．关于 的方程 ．
(1)求证：不论 取何值，方程总有两个实数根；
(2)若该方程有两个实数根 ，且 ，求 的值．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，
熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题
的关键．
（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定 即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到 ，将
展开，代入求解即可．
【详解】（1）证明： ，
∴ ，
∴不论 取何值，方程总有两个实数根；
（2）解： ，
，
对于方程 ，
可得 ，
∴ ，
解得： ．
类型三、一元二次方程的应用二1．有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发
布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微
信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活
动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．
设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，
转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可．
【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为 ，
故选：D．
2．在一幅长 ，宽 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，
如图所示，如果要使整个挂图的面积是 ，设金色纸边的宽为 ，那么x满足的
方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形
的面积公式，然后根据题意列出方程是解题关键．根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本
题的等量关系应该是：（风景画的长 个纸边的宽度）×（风景画的宽 个纸边的宽度）
=整个挂图的面积，由此可得出方程．【详解】解：依题意，设金色纸边的宽为 ，则有： ，
故选：C．
3．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以 的速度竖直上拋，那么物体
经过 离地面的高度（单位：m）为 ．根据物理学规律，物体经过 s
落回地面．（结果保留小数后两位）
【答案】2.04
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
根据物体回落到地面，即 ，求解即可．
【详解】解：根据物体落回地面，可得 ，
解得： （舍）， ，
因此物体经过2.04s落回地面．
故答案为：2.04．
4．如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），
余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则 ．
【答案】1
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于
长为 米、宽 米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于
的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，
正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意， 道路的宽为 米，铺设草坪的面积等于长为 米、宽 米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴ ．
∴ （舍去）
故答案为：1
5．“山西是时间的朋友，这片土地处处散发着时光的奇迹……”董宇辉在直播电商平台的
山西专场中现场讲解山西的美食产品，深度介绍山西的文化古迹，传播三晋文化，其中山
西老陈醋以色、香、醇、浓、酸五大特征，引得广大网友争相购买品尝．某商家抓住商机，
以70元/盒的进价购入了一批礼盒装的保健醋口服液，在销售过程中发现，当售价为110
元盒时，一天可售出20盒，且该礼盒的单价每降低1元，其销量可增加2盒．
(1)若该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为______盒；
(2)在（1）的条件下，若商家销售该礼盒每天想要获利1200元，则为尽快减少库存，该礼
盒的售价应定为多少？
【答案】(1)
(2)90元/盒
【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，解题的关键是根据等量关系列
出方程．
（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据销售利润 单个的利率 销售量列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：该礼盒的售价为x元/盒，则其日销量可表示为：
盒；
（2）解：根据题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ， ，
要尽快减少库存，取 ，
答：该礼盒的售价应定为90元/盒．
6．如图，在 中， ， ，点M从点A开始沿 以
的速度向点C运动（到点C时停止），过点M作 ，交 与点N，并设点M的运
动时间为 ．
(1)当t为何值时， 的面积为 ？
(2)若 ，求t的值．
【答案】(1)t为2
(2)
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是熟练掌握
一元二次方程的解题方法．
（1）根据题意得出 ，根据三角形面积公式得出 ，
求出t即可；
（2）根据 ， ，得出 ，求出
t的值即可．
【详解】（1）解：由题可知， ，
∴ ，
解得 ， （舍），
∴当t为2时， 的面积为（2）解：∵ ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴
可得 ， （舍），
∴ ．
类型四、二次函数的应用
1．如图，某中学综合与实践小组要围成一个矩形菜园 ，其中一边 靠墙， 的
长不能超过 ，其余的三边 用总长为40米的栅栏围成．有下列结论：①
的长可以为 ；② 有两个不同的值满足菜园的面积为 ；③菜园 面积的最
大值为 ．正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和二次函数的应用，设 边长为 ，则
边长为 ，根据 列出方程，解方程求出x的值，根据x取值范围判断①；根据
矩形的面积 ，解方程求出x的值可以判断②；设矩形菜园的面积为 ，根据矩形的
面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断③.【详解】解：设 边长为 ，则 边长为 ，
当 时， ，
解得
∵ 的长不能超过 ，
∴ ， 故①不正确；
∵菜园 面积为 ，
∴ ，
整理得：
解得 或
∵ ，
∴ ，
∴ 的长只有一个值满足菜园 面积为 ，故②错误；
设矩形菜园的面积为 ，
根据题意得： ，
∵ ，
∴当 时，y有最大值，最大值为200. 故③正确；
∴正确的有１个，
故选：B．
2．一种玻璃水杯的截面如图1所示，其左右轮廓线 为某一抛物线的一部分，杯口
，杯底 ，且 ，杯深 ，如图2若盛有部分水的水杯倾斜
（即 ），水面正好经过点B，则此时点P到杯口 的距离为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先以 的中点为原点建立平面直角坐标系，
求解抛物线为 ，再进一步的解答即可．
【详解】解：以 的中点为原点建立平面直角坐标系，
∴A(−4,0)，B(4,0)， ， ，
设轮廓线 ， 所在抛物线的解析式为 ，记 与 轴的交点为 ，
把A(−4,0)、 代入得
，解得： ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴
设直线 的解析式为
把B(4,0)、 代入得：
，解得： ，
∴直线 ：由 ，解得 ， （舍）
当 ， ，
∴ ，
此时点P到杯口 的距离为 ，
故选：D．
3．如图所示的是某广场喷水池喷出的抛物线形水柱的平面图，若水柱喷出的竖直高度
与水平距离 满足 ，则水柱的最大高度是 米．
【答案】5
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，把解析式化为顶点式，顶点的纵坐标的值
即为水柱的最大高度．
【详解】解： ，
∴水柱的最大高度是5米，
故答案为：5．
4．如图，横截面为抛物线的山洞，山洞底部宽为8米，最高处高 米，现要水平放置横
截面为正方形的箱子，其中两个顶点在抛物线上的大箱子，在大箱子的两侧各放置一个横
截面为正方形的小箱子，则小箱子正方形的最大边长为 米．【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，先建立解析中坐标系，则 ，设大小
正方形的边长分别为 ，n，则点B、C的坐标分别为： ，利用待定系数
法求出抛物线解析式为 ，再把B、C坐标代入求解即可．
【详解】解：建立如下平面直角坐标系，则点 ，
设大小正方形的边长分别为 ，n，则点B、C的坐标分别为： 、
设抛物线的表达式为： ，
将点A的坐标代入上式得： ，解得 ，
∴抛物线的表达式为： ，
将点B、C的坐标代入上式得： ，
由①得 (舍去），
解得： 或 （舍去），∴小箱子正方形的最大边长为 米．
故答案为： ．
5．某公司开发一款与教育配套的软件，年初上市后，经历了从亏损到盈利的过程，变化过
程可用如图所示的抛物线描述，它刻画了该软件上市以来累积利润S（万元）与销售时间t
（月）之间的函数关系（即前t个月的利润总和S 与t之间的函数关系），根据图象提供的
信息，解答下列问题：
(1)此软件上市第几个月后开始盈利?
(2)求累积利润S（万元）与销售时间t（月）间的函数表达式；
(3)第几个月公司的月利润为2.5万元?
【答案】(1)4个月后
(2)
(3)第5个月
【分析】此题考查了二次函数、一元二次方程实际应用问题．解题的关键是根据题意构建
二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．
（1）由图象可得，该种软件上市第4个月后开始盈利；
（2）设 利用待定系数法即可解决问题；
（3）构建方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由图象可得，
该种软件上市第 4个月后开始盈利；（2）设 ，
∵函数图象过点 ，
∴ ，得 ，
∴累积利润 （万元）与时间 （月）之间的 函数表达式是： ；
（3）由题意，当 时， ，
解得， ， （舍去），
即截止到5月末，公司累积利润达到2.5万元．
6．如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点 ，运动员（可视
为一质点）在空中运动的路线是经过原点 的抛物线，在跳某个规定动作时，运动员在空
中最高处点 ，正常情况下，运动员在距水面高度5米前必须完成规定的翻腾，打开
动作，并调整好入水姿势，否则就为失误．运动员入水后，运动路线为另一条抛物线．
(1)求该运动员在空中运动时所对应抛物线的解析式；
(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，人水点恰好距点 的水平距离为5米，问该运动员
此次跳水是否失误？请通过计算说明理由；
(3)在该运动员入水点 的正前方 ， 两点，且 ， ，该运动员入水后
运动路线对应的抛物线解析式为 ，且顶点 距水面4米．若该运动员的出
水点 在 之间（含 ， 两点），求 的取值范围．【答案】(1) ；
(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析；
(3)点 在 之间得 的取值范围为 ．
【分析】本题主要考查二次函数应用，读懂题意、熟练掌握二次函数的图象与性质是解决
问题的关键．
（1）根据题意，利用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）依据题意，当距点 水平距离为5时，对应的横坐标为 ，将 代入解
析式求出 后即可判断得解；
（3）根据题意得到，点 ， ， ， ， ，当抛物线
过点 时， ，分情况求出 值，进而根据点 在 之间即可判断得解．
【详解】（1）解：由题意， 抛物线的顶点 ，
可设抛物线的解析式为 ，
把 代入解析式得 ，
．
抛物线的解析式为 ；
（2）解：由题意，当距点 水平距离为5时，对应的横坐标为 ．
将 代入解析式，
，
，
该运动员此次跳水失误了；
（3）解： ， ，点 的坐标为 ，
点 ， 的坐标分别为 ， ．令 ，则 ．
解得： （舍去）， ，
入水处 点的坐标为 ．
该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为 ，
当抛物线过点 时， ，
把 代入，得 ，
同理，当抛物线过点 时， ，
由点 在 之间得 的取值范围为 ．
类型五、圆的内接四边形
1．如图，四边形 内接于 ， 交 的延长线于点 ，若 平分 ，
， ，则 的长为（ ）．
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【分析】连接 ，根据圆内接四边形对角互补得到 ，根据 得到
结合角平分线得到 ，即可得到： ，从而得到
，结合勾股定理即可得到答案；
【详解】解：连接 ，∵四边形 内接于 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等
边等知识，掌握这些知识是解题的关键．
2．如图，四边形 内接于 ，且点 是优弧 的中点，连接 ，若 ，
，则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了圆周角定
理．连接 ，如图，根据圆周角定理得到 ，再根据圆内接四边
形的性质得到 ，则可计算出 ，然后利用 得到 的
度数．
【详解】解：连接 ，如图，
点 是优弧 的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：D
3．已知 是半径为1的圆 的一条弦，以 为一边在圆 内作正 ，点 为圆
上不同于点 的一点，且 （其中 为常数，且 ）， 的延长线交圆
于点 ，则 的长为 .【答案】1
【分析】由等边 和圆的内接四边形 可推导 ，然后通过
得出 ，最后证明 和 全等即可得出结果．
【详解】解：如图所示，连接 、 、
是等边三角形
，
即：
为等腰三角形，
为等腰三角形
在 和 中，，
，
故答案为：1．
【点睛】此题考查了圆的内接四边形、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、圆周角定
理；其中熟练运用圆的内接四边形对角互补来倒角，是解决此题的关键．
4．如图， 是圆内接四边形 的一条对角线，点D关于 的对称点E在边 上，
若 ，则 °．
【答案】110
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质定理，轴对称的性质，熟练掌握圆内接四边形的
性质定理及轴对称的性质是解题的关键．根据圆内接四边形的性质定理可得 ，再
根据轴对称的性质即得答案．
【详解】 四边形 是圆内接四边形， ，
，
点D关于 的对称点E在边 上，
，
．
故答案为：110．
5．如图，四边形 内接于 ， ，过点C作 ，使得
，交 的延长线于点E．(1)求证： ．
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ，根据 ，推出 ，根据 ，得到
，根据圆内接四边形性质得到 ，得到 ，结合 共用，
推出 ，得到 ；
（2）证明 是 的直径，得到 ，根据 ，得到 ．
根据勾股定理得到 ，根据等腰直角三角形性质即得 ．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 与 中，，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ．
∵ ，
∴ 是 的直径，
∴ ，
由（1）可得 ．
∵ ，
∴
．在 中，
，
在 中，
．
【点睛】本题主要考查圆有关性质．熟练掌握弧，弦，圆周角之间的关系，圆内接四边形
的性质，等边对等角，勾股定理解直角三角形，圆周角定理及推论，全等三角形的性质与
判定，作出辅助线构造全等三角形和直角三角形，是解题的关键．
6．如图，圆内接四边形 的对角线 ，BD交于点 ，BD平分 ，
．(1)求证DB平分 ，并求 的大小；
(2)过点 作 交AB的延长线于点 ．若 ， ，求此圆半径的长．
【答案】(1)见解析，
(2)
【分析】（1）根据已知得出 ，则 ，即可证明DB平分 ，进
而根据BD平分 ，得出 ，推出 ，得出 是直径，进而可得
；
（2）根据（1）的结论结合已知条件得出， ， 是等边三角形，进而得出
，由 是直径，根据含 度角的直角三角形的性质可得
，在 中，根据含 度角的直角三角形的性质求得 的长，进而即可
求解．
【详解】（1）解：∵
∴ ，
∴ ，即 平分 ．
∵BD平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，即 ，
∴ 是直径，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ，则 ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，则 ．
∵ 平分 ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴ ，则 ．
∵四边形 是圆内接四边形，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是直径，
∴此圆半径的长为 ．
【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系，等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直
角，含 度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，
熟练掌握以上知识是解题的关键．类型六、圆的阴影面积
1．如图，正六边形 的边长为4，以A为圆心， 的长为半径画弧，得 ，连
接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查正六边形的性质和扇形的面积计算，连接 ，过点B作 ，
先计算正六边形的面积，再计算扇形的面积，相减即可得出答案．
【详解】解：连接 ，过点B作 ，如图，
∵正六边形 的边长为4，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
在 中， ，∴
同理可证， ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴图中阴影部分的面积为
故选：A
2．半圆的直径 在直尺上所对的刻度如图所示，点C在半圆上，且 ，连接
，取 的中点D，连接 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了三角形的中位线定理，扇形面积公式，弧长公式，邻补角等知识点，
熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
取 的中点O，连接 ， ，由题意得， ，可知 为
的中位线，则 ， ，根据 ，得到 ，再根据
扇形面积公式即可求解．
【详解】解：取 的中点O，连接 ， ，由题意得， ，
∴ ，
∵点D为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴
∵
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
3．如图所示，在直角三角形 中， ， ，从中剪掉两个半径相等的
扇形，求阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】
【分析】本题主要考查了直角三角形的面积和扇形的面积的计算，用直角三角形的面积减
去两个半径相等的扇形的面积，就是剩余部分的面积．
【详解】解： ，
，故答案为： ．
4．如图，在矩形 中， ，以 为直径的半圆 与 相切于点 ，连
接 ，以点 为圆心， 长为半径画弧交 于点 ，则图中阴影部分的面积是
．（结果保留 ）
【答案】
【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过
切点的半径是解题的关键．
连接 ，根据切线的性质得到 ，根据正方形的性质得到 ， ，
根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接 ，
是半圆 的切线，
，
， ，
四边形 为正方形，
，
， ，
，
，故答案为： ．
5．如图， 是⊙O的直径， 与 相切于点B，连接 、 ，过圆心O作
，连接 并延长，交 延长线于点A．
(1)求证： ；
(2)若F是 的中点， 的半径为2，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）先根据圆周角定理和平行线的性质证得 ，再根据等腰三角形的性
质证得 ，进而可得证；
（2）先根据直角三角形斜边中线性质和等边三角形的判定证明 是等边三角形，则
，则 ，利用含30度角的直角三角形的性质求
得 ， ，然后利用阴影部分的面积等于
求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
∵ 是⊙O的直径，
∴ ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相相切于点B，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，连接 ，
∵ ，F是 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴阴影部分的面积为： ．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质、扇形面积公式、平行线的性质、等腰三角
形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识的联系与运
用是解题的关键．
6．如图1，在 中， ， ， ，延长 至点D，使 ，连接 ，以 为直径的 绕点A顺时针旋转．
(1)如图2， 旋转 °时， 与 第一次相切．
(2)在（1）的条件下，判断 与 的位置关系并加以证明．
(3)如图3，若 与 相切于点M，与 相交于点N，设阴影部分的面积为S，求S的值．
【答案】(1)90
(2) 与 相切，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质结合圆的切线可得答案；
（2）证明四边形 为矩形，可得 ，可得 是 的切线；
（3）如图，连接 ，则 ，作 于 ，证明四边形 为矩形，可得
， 证明 为等边三角形，可得 ，再进一步可得答案．
【详解】（1）解：当 与 相切时，
∴ ，
∴ ，
∴旋转角为 ；
（2）解： 与 相切，理由如下：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为矩形，∴ ，
∵ 为直径，
∴ 是 的切线．
（3）解：如图，连接 ，则 ，作 于 ，
而 ，
∴四边形 为矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，等边三角形的判定与性质，切线的判定与性质，矩形
的判定与性质，扇形面积的计算，掌握基础知识是解本题的关键．
类型七、二次函数的面积问题
1．如图，已知抛物线 过点 与 ，与 轴交于点 ．点 在抛
物线上，且与点 关于对称轴 对称．(1)求该抛物线的函数关系式和对称轴；
(2)求 的面积．
【答案】(1)函数表达式为 ，抛物线的对称轴 为
(2)
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的对称轴，熟练掌握待定
系数法和二次函数对称轴的求解是解答本题的关键．
（1）将 ， 代入 ，即可求得二次函数的解析式，再利用
即可求出对称轴；
（2）由抛物线的轴对称性，先求出点 的坐标，再求得三角形的底边和高，即可求出面
积．
【详解】（1） 抛物线 过点 ， ，
将 ， 代入，得 ，
解得 ，
则该抛物线的函数表达式为 ，
，
即抛物线的对称轴 为 ；
（2） 点 与点 关于对称轴 对称，点 ，点 的坐标为 ，
，且 轴．
．
2．如图，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ， （点 在点 的右
边）抛物线顶点为 ，求 的面积；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，先把解析式化为顶点式求出点M的坐标，再求出
A、C坐标，最后根据 进行求解即可．
【详解】解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线顶点M的坐标为(1,4)，
在 中，当 时，解得 或 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．3．如图，已知直线 与抛物线 相交于点 和点 两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点 是位于直线 上方抛物线上的一动点，当 的面积 最大时，求：此时点
的坐标；
(3)在 轴上找点 ，使 是等腰三角形，请直接写出点Q坐标．
【答案】(1)
(2)
(3) 或 或 或
【分析】（1）根据题意求出点 ，将点 和点 代入即可求解；
（2）过点 作 轴，设点 ，则 ，根据
即可求解；
（3）分类讨论 时、 时、 时即可求解；
【详解】（1）解：∵点 在直线 上，
∴
∴点
将点 和点 代入 得：，
解得：
∴
（2）解：过点 作 轴，如图所示：
设点 ，则
∴
∴当 ，即点 时， 有最大；
（3）解：设点 ，
时，
解得：
∴ ；
时，
解得： 或
∴ 或 ；
时，解得：
∴ ；
综上所述， 或 或 或
【点睛】本题考查了二次函数的解析式求解、二次函数与面积问题、二次函数与特殊三角
形问题，掌握二次函数的函数与性质是解题关键．
4．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点
C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知 ， ，点P是第一象限抛物线上对
称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
(2)连接 ，求 面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为 ，点C的坐标为 ，点D的坐标为
；
(2) 面积的最大值为 ．
【分析】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最
值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标；
（2）作 轴于点 ，连接 ，设点 的坐标为 ，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线 经过 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为 ，
令 ，则 ，
∴点C的坐标为 ， ，
∴对称轴为直线 ，
∴点D的坐标为 ；
（2）解：作 轴于点 ，连接 ，设点 P的坐标为 ，
∵点C的坐标为 ，点D的坐标为 ，
∴ ， ， ，
∴，
∵ ，
∴ 面积的最大值为 ．
5．如图，一次函数 的图象与二次函数 图象交于点 和 ，与
轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求 的面积；
(2)点 是抛物线上一点，且 的面积与 的面积相等，求点 的坐标．
【答案】(1)3
(2)点P的坐标为 或 ．
【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，求一次函数解析式，面积问题，求得解
析式是解题的关键．
（1）用待定系数法，先将 代入 ，求出 的值为1，再将 代入 ，
求出点 ，然后将 ， 代入 分别求出 的值，利用y轴将
分割为 和 ，分别算出它们的面积后，即可求出 的面积；
（2）首先求出 ，然后根据题意得到 ，然后代数求出 ，然后代入
求解即可．
【详解】（1）∵点 在二次函数 的图象上，∴
解得：
∴二次函数关系式为：
将 代入 得：
∴
∵点 ， 在一次函数 的图象上
∴ ，
解得： ，
∴一次函数关系式为
当 时，
∴一次函数 与y轴交点坐标为
∴ ，点 横坐标为 ，点 的横坐标为
∴
∴
∴ 的面积为 ；
（2）∵一次函数关系式
∴当 时，
∴
∴∴
∵ 的面积与 的面积相等
∴ ，即
∴
将 代入 得，
∴
∴点P的坐标为 或 ．
6．如图，抛物线 与x轴相交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴
相交于点A，直线 的函数解析式为 ．
(1)求点A，C的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在直线 上方的抛物线上有一点M，求四边形 面积的最大值及此时点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)四边形 的面积有最大值，最大值为8，此时
【分析】（1）在直线y＝﹣ x+2中分别令 和 ，可得A和C的坐标；
（2）将A、C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式；（3）方法一：过M点作 轴，与 交于点N，设 则
，由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二
次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
方法二：连接 ，根据面积和表示关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最
大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；
【详解】（1）解：对于一次函数 ．
令 ，得 ，令 ，得 ，
∴ ，
（2）解：将 ， 代入 得
解得
∴
（3）解：方法一：由（2）可得抛物线对称轴为直线 ，
∴B(−2,0)，
∴
如图过点M作直线 轴交直线 于点N设 则
∴
∴
∵ ，
∴当 时，四边形 最大值为8且 ；
方法二：由（1）知：
∴抛物线的对称轴是直线
∵ ，∴B(−2,0)
连接 ，设
∴
∴当 时，四边形 的面积有最大值，最大值为8，此时 ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐
标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）题关键在求函数的解析式．
类型八、二次函数的将军饮马
1．如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在y轴的正半轴上， 在x轴的正半
轴上， 的平分线交 于点D，E为 的中点．已知 ，二次函数
的图象经过A，C两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)F，G分别为x轴、y轴上的动点，顺次连接D、E、F、G构成四边形 ，求四边形
周长的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查待定系数法，二次函数图像的图像和性质，勾股定理以及利用轴对
称求最短路径，熟练掌握二次函数图像的图像和性质是解题的关键．
（1）将 代入函数解析式即可求出答案；
（2）利用轴对称求最短路径的相关概念，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使
，连接 ，交x轴于F点，交y轴于G点，得到
即可求出答案．【详解】（1）解：将 代入二次函数 ，得：
，
解得 ，
故二次函数的解析式为 ；
（2）解：如图，延长 至 ，使 ，延长 至 ，使 ，连接 ，
交x轴于F点，交y轴于G点，
，
，
由图像可知， ，
E为 的中点，
E点坐标为 ，
的平分线交 于点D，
，
故得 ，
由勾股定理，得
，
，
．2．如图，二次函数 的图像交 轴于 、 两点，交 轴于点 ，连
接 ．
(1)直接写出点 、 的坐标， ； ．
(2) 是抛物线对称轴上的一点，连接 、 ．求 的最小值．
(3)点 是 下方抛物线上的一点， 连接 、 ．当 的面积最大时，求点 坐标．
【答案】(1) ，
(2) 的最小值为
(3)点 坐标为
【分析】（1）在二次函数 中，令 ，令 ，即刻求解；
（2）根据题意可得： 、 关于抛物线的对称轴对称，且 是抛物线对称轴上的一点，
得到当点 在直线 上，即 时， 最小，最小值为 ，再根据勾股
定理求出 ，即可求解；（3）如图，过点 作 ，交 轴于点 ，交 于点 ，先求出直线 的解析式为
，设 ，则 ，
得到 ，再根据 ，得到关于 的二次函数
即可求解．
【详解】（1）解：令 ，则 ，
解得： 或 ，
， ，
令 ，则 ，
，
故答案为： ， ；
（2）二次函数 的对称轴为： ，
根据题意可得： 、 关于对称轴 对称，且 是抛物线对称轴上的一点，
当点 在直线 上，即 时， 最小，最小值为
，
由（1）知， ， ，
， ，
，
的最小值为 ；（3）如图，过点 作 ，交 轴于点 ，交 于点 ，
设直线 的解析式为 ，将 ， 代入得：
，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设 ，则 ，
，，
即 ，
当 时， 的面积最大，
此时点 坐标为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性
质，勾股定理，线段的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
3．如图，抛物线 与x轴交于 ， 两点，与 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 ，使 的周长最小，求 的周长的最小值及此时
点 的坐标；
(3)若 为抛物线在第一象限的一动点，则 最大值 ．
【答案】(1) ；
(2) 的周长的最小值为 ，点P的坐标为
(3)
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图1中，连接 与对称轴交于点 ，此时 的周长最小．求出直线 的解析
式即可解决问题；（3） 为抛物线在第一象限的一动点，则 ， ，依
据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解： ，
抛物线的对称轴为直线 ，
连接 交对称轴于点 ，此时， 取得最小值，最小值为 的长，
令 ，则 ，
，
， ，
， ，
的周长的最小值为 ，
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
直线 的解析式为 ，
当 时， ，点 的坐标为 ；
（3）解： 为抛物线在第一象限的一动点，
，
，
当 时取最大值 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查二次函数的综合题、待定系数法、一次函数、最小值问题等知识，解题
的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称的思想解决最小值问题．
4．如图，已知抛物线 经过 两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)点P是对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，求点P的坐标和周长最小值．
【答案】(1) ，详见解析；
(2) ，周长最小值为 ，详见解析．
【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）连接 交抛物线的对称轴于点P，连接 ，依据轴对称图形的性质可得到 ，
则 的周长 ，故当点 在一条直线上时， 的周长最小值，
然后求得直线 的解析式，从而可得到点P的坐标．【详解】（1）∵抛物线 经过 两点，
∴ ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
（2）如图，连接 交抛物线的对称轴于点P，
∵ ，
∴ ，
∵点A与点B关于直线 对称，
∴ ，
∴ ．
∴当点 在一条直线上时， 有最小值．
又∵ 为定值，
∴当点 在一条直线上时， 的周长最小．
∵ ，
∴ 的周长最小值为： ，设直线 的解析式为 ，则 ，
解得： ，
∴直线 的解析式为 ，
将 代入 得： ，
∴点P的坐标为 ，
即当点P的坐标为 时， 的周长最小．最小值为 ．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，
解二元一次方程组等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键．
5．如图，直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线 经过点
B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在x轴上找一点E，使 的值最小，求 的最小值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得 ？若存在，求出P点坐标；
若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的坐标为 或【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质、点的对称
性等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为 、
，将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）如图1，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则此时 为最
小，即可求解；
（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况，分别求解．
【详解】（1）直线 与x轴、y轴分别交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为
、 ，
将点B、C的坐标代入二次函数表达式得：
，解得： ，
故函数的表达式为： ，
令 ，则 或3，故点 ；
（2）如图1中，作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点E，则此时 为
最小，
函数顶点D坐标为 ，点 ，设直线 的解析式为 ，将 、D的坐标代入得：
，解得 ，
直线 的表达式为： ，
当 时， ，
故点 ，
则 的最小值为 ；
（3）①当点P在x轴上方时，如图2中，
∵ ，则 ，
过点B作 于点H，设 ，
则 ，
由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，
则 ，
则 ；
②当点P在x轴下方时，
同理可得 ；故点P的坐标为 或 ．
6．对抛物线 ，定义：点 叫做该抛物线的焦点，直线 叫做
该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述
材料解决以下问题：如图，已知抛物线 ： 的图象与 轴交于 ， 两点，且
过点 ，
(1)求抛物线 的解析式和点 坐标；
(2)若将抛物线 的图象向左平移 个单位，再向上平移 个单位得到抛物线 的图象．
①抛物线 的解析式为___________
②设 为抛物线 上任意一点， 轴于点 ，求 的最小值；
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）把点 代入 ，待定系数法求解析式，令 ，解方程，
即可求得点 的坐标；
（2）①根据二次函数的平移规律，得出解析式即可求解；
②设抛物线 的焦点为 ，延长 交直线y=−1于点 ，连结 、 ， 交抛物线
于点 ，由抛物线焦点和准线的性质可得 ，可知 ，又
，故当点 与点 重合时， 的值最小，由勾股定理可得
的最小值，即可求解．
【详解】（1）解：把 代入 得：，
解得 ，
抛物线 的解析式为 ；
在 中，令 得x=0或 ，
；
（2）①解：根据题意，抛物线 解析式为
故答案为： ．
② ，
抛物线 的焦点为 ， ，准线为y=−1，
设抛物线 的焦点为 ，延长 交直线y=−1于点 ，连结 、 ， 交抛物线
于点 ，如图：
由抛物线焦点和准线的性质可得 ，
，
，
；
，
当点 与点 重合时， 的值最小，
此时 的值最小．
， ， ，，
，
的最小值为 ．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，新定义等知识，解题的关键是
读懂新定义，能熟练应用抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等解决问题．
类型九、利用三大运动设计图案
1．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三
角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影
（请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形）：
(1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形但不是中心对称图形．
(2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称的性质及中心对称的性质设计图案，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）根据轴对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
（2）根据中心对称图形的定义画出图形即可（答案不唯一）．
【详解】（1）解：轴对称图形如图1所示；（2）解：轴对称图形如图2所示．
2．如图，图形A是一个正方形，图形B是由三个图形A构成，请用图形A与B拼接出符合
要求的图形（每次拼接图形A与B只能使用一次），并分别画在指定的正方形网格中．
(1)在图①中画出：拼得的图形既是轴对称图形又是中心对称图形；
(2)在图②中画出：拼得的图形是轴对称图形但不是中心对称图形；
(3)在图③中画出：拼得的图形是中心对称图形但不是轴对称图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的设计，熟知轴对称图形和中心对称
图形的定义是解题的关键．
（1）把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图
形中心对称，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这
两个图形为轴对称图形；根据上述性质，即可拼接组成图形；
（2）结合（1）即可拼接组成图形；
（3）结合（1）即可拼接组成图形．【详解】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：如图3所示：
3．有一种类似于七巧板的智力玩具，叫做“百变方块”，共含有十四个图形块（如图1所
示），可以用它们拼出各式各样的图案，该游戏的规则是：每个图形块可以随意平移、翻
转、旋转使用，但必须全部都无缝隙、不重叠地恰好平放于所给6×6的正方形拼图盒中．
例如：图2是用“百变方块”拼成的一幅图案，而图4、图5是两幅未完成游戏的图案，每
幅图案都缺少图3所示的五个图形块，请你挑战以下两个关卡，将图3中这五个图形块放
入正方形拼图盒中，以完成游戏，要求：模仿图2在相应图中的空白处画出图3中的五个
图形块，补全图形．(1)第一关：完成图4中的图案．
(2)第二关：完成图5中的图案．
【答案】(1)加解析
(2)见解析
【分析】本题考查了图形的平铺与镶嵌，
（1）合理安排各图形的位置，即可完成任务；
（2）先安排大图形和特殊形状的图形，使之5个图形即可放入．
【详解】（1）解：如图，
（2）如图，
4．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边
形称为格点多边形，线段 位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格
点多边形．(1)
请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且 为对角线．
(2)请在图2中画一个以 为边，面积为 的三角形．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）以 为对角线，画出菱形 ，即可获得答案；
（2）过点 向左作线段 ，使得 ；取 中点 ，连接 ，由网格特点可知，
，故 ，由等边三角形性质可知， ，所以
，故 即为所求三角形．
【详解】（1）解：以 为对角线，画出菱形 ，如下图；
（2）解：如下图，过点 向左作线段 ，使得 ，即为以 为边，面积为
的三角形．
【点睛】本题主要考查了作图—应用与设计、等边三角形的性质、菱形的判定与性质、三
角形面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识．
5．如图 方格中，小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按
下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上．
(1)在图1中画：是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图2中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为10；
(3)在图3中画：既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
(3)画图见解析
【分析】（1）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画平行四边形
ABCD，且面积为8；
（2）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画矩形ABCD，且面积为10；
（3）根据中心对称图形性质和轴对称图形的性质即可在图中画正方形EFGH，且各边长都
是无理数，面积为10．【详解】（1）解：如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
（2）如图，四边形ABCD即为所求作的图形，
（3）解：如图，四边形EFGH是所求作的图形，
由勾股定理可得：
∴四边形 为正方形，面积为
【点睛】本题考查了作图-旋转变换，作图-轴对称变换，无理数，勾股定理及其逆定理的灵活运用，二次根式的化简，本题掌握轴对称图形和中心对称图形定义是解题的关键．
6．如图是由54个边长为1的小等边三角形组成的网格，请按要求画格点多边形（顶点均
在格点上）．
(1)在图1中画一个以 为腰的 ．
(2)在图2中画一个四边形 ，使其中一条对角线长为4，且恰有两个内角为90°．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】（1）根据等腰三角形的特征进行作图即可；
（2）以A或B为固定点，先确定其中一条对角线长为4时的对应点，再根据其中恰有两个
内角为90°进行作图即可．
【详解】（1）解：画法不唯一，如图1或图2
（2）解：画法不唯一，如图3、图4、图5、图6、图7或图8【点睛】本题考查了作图，解题的关键是找准作图的突破口，再根据题目要求进行作图．
类型十、圆的切线证明
1．如图，已知 是 的外接圆， 是 的直径，D是 延长线的一点，
交 的延长线于E， 于F，且 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接 ，由角平分线的判定定理得出 ，由等边对等角得出
，从而得出 ，推出 ，由平行线的性质得出 ，即可得证；
（2）由题意得出 ， ，由等面积法求出 ，由勾股定理得出
，从而得出 ，再证明 即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接 ；， ，且 ，
，
，
，
，
，
，
∴ 是 的切线．
（2）解：∵ ， ， ，
，
，
．
，
，
，
，
．
在 和 中， ， ，
，
．
【点睛】本题考查了切线的判定、角平分线的判定、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形全等的判定与性质以及平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适
当的辅助线是解此题的关键．
2． 如图，以线段 为直径作 ，交射线 于点C， 平分 交 于点D，
过点D作直线 于点E，交 的延长线于点F．连接 并延长交 于点M．
(1)求证：直线 是 的切线；
(2)求证： ；
(3)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析；
(3)2．
【分析】（1）连接 ，根据等腰三角形的性质得到 ，根据角平分线的定
义得到 ，证明 ，根据平行线的性质得到 ，根据切线的判
定定理证明即可；
（2）由 ，得到 ，由（1）有 ，可得 ，从而
，根据“等角对等边”证得 ；
（3）在 中，求得 ，又由（2）有 ，可得 是等边三角形，
从而 ， ，因此在 中， ，根据“三线合一”
可得 ，再求出 ，证得 ，从而 ．
【详解】（1）证明：连接 ，∵ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的半径，
∴直线 是 的切线；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴
（3）解：∵ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，∴在 中， ．
∵ ， 平分 ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查圆的性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定
和性质，含 的直角三角形，平行线的判定与性质等知识．本题的综合性较强，熟练掌
握相关知识点是解题的关键．
3．如图，在 中，以 为直径的 分别与 ， 相交于点D，E，且 ，
过D作 ，垂足为F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)详见解析
(2) 的半径为5
【分析】（1）连接 ，由 ， ，得到 为 的中位线，得到
，根据 ，得到 ，即可得证；
（2）由直角三角形两锐角互余求出 的度数，利用两直线平行同位角相等求出
的度数，再由 ，利用等边对等角求出 ， 的度数，设 ，则有
，利用勾股定理列出关于 的方程，求出方程的解得到 的值，即可确定出圆的半
径．【详解】（1）证明：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ， 为 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴ ，
∴ ，
则 的半径为5．
【点睛】此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30
度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．4．如图，已知 是 的直径， 于点B，D是 上异于A、B的一个动点，连
接 ，过O作 交 于点C．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ， ，求 的半径．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定：
（1）连接 ，由 得： ，根据平行的性质可得 ，
，进而可得 ，再证明 ，可得 ，
问题得证；
（2）设 的半径为x，则： ， ，在 中，由勾
股定理得： ，可得 ，解方程即可求解．
【详解】（1）如图，连接 ，
由 得： ，∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵D在 上，
∴ 是 的切线；
（2）设 的半径为x，则： ， ，
∵ 是 的切线，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为4．
5．如图，以点O为圆心， 长为直径作圆，在 上取一点C，延长 至点D，连接
， ，过点A作 交 的延长线于点E．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析(2)6
【分析】（1）连接 ，如图，根据圆周角定理得到 ，即 ，求
得 ，得到 ，根据切线的判定定理得到答案；
（2）根据勾股定理得到 ，求得 ，根据切线的性质得到 根据勾股定
理即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接 ，如图，
∵ 为直径，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， 是 的直径，
∴ 是 的切线，
∵CD是 的切线；∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质：过半径的外端点与半径垂直的直线是圆的切线；
也考查了圆周角定理的推论，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，在菱形 中， 为菱形的一条对角线，以AB为直径作⊙ ，交 于点
，交 于点 ， 为CD边上一点，且 ．
(1)求证： 为⊙ 的切线；
(2)若 ， ，求⊙ 的半径．
【答案】(1)见解析；
(2)⊙ 的半径为 ．
【分析】本题考查了菱形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，切线的判定定
理，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解决本题的关键．
（1）连接 ，首先根据全等三角形的判定定理 及圆周角定理，即可证得
， ，再根据平行线的性质及切线的判定定理，即可证
得结论；
（2）连接 ，首先根据圆周角定理及等腰三角形的性质，即可证得 ，设⊙
的半径为 ，则 ，则 ，再根据 ，列出方程，
据此即可求解．
【详解】（1）证明：如图：连接 ，∵AB是⊙ 的直径，
∴ ，
∵四边形 是菱形，
∴ ， ，AB∥DC，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥DC，
∴ ，
∴ ，
又∵ 是⊙ 的半径，
∴ 为⊙ 的切线；
（2）如图：连接 ，
∵AB是⊙ 的直径，
∴ ，即 ，
∵四边形 是菱形，
∴ ，∴ ，
设⊙ 的半径为 ，则 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
故⊙ 的半径为 ．
