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专题 06 反比例函数（10 个考点）
【知识梳理+解题方法】
一．反比例函数的定义
（1）反比例函数的概念
形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围
是不等于0的一切实数．
（2）反比例函数的判断
判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去
判断，其形式为y＝ （k为常数，k≠0）或y＝kx﹣1（k为常数，k≠0）．
二．反比例函数的图象
用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．
（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两
边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．
（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的
图象更精确．
（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．
（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．
三．反比例函数图象的对称性
反比例函数图象的对称性：
反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y＝﹣X；
②一、三象限的角平分线Y＝X；对称中心是：坐标原点．四．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝ （k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
五．反比例函数系数k的几何意义
比例系数k的几何意义
在反比例函数y＝ 图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是
定值|k|．
在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |
k|，且保持不变．
六．反比例函数图象上点的坐标特征
反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，
①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；
②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；
③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|
k|．
七．待定系数法求反比例函数解析式
用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：
（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式y＝ （k为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；
（3）解方程，求出待定系数；
（4）写出解析式．
八．反比例函数与一次函数的交点问题
反比例函数与一次函数的交点问题
（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者
有交点，方程组无解，则两者无交点．
（2）判断正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：
1
①当k 与k 同号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有2个交点；
1 2 1
②当k 与k 异号时，正比例函数y＝k x和反比例函数y＝ 在同一直角坐标系中有0个交点．
1 2 1
九．根据实际问题列反比例函数关系式
根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实
际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到
反比例函数关系式．
根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成
的．
注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围．
十．反比例函数的应用
（1）利用反比例函数解决实际问题
①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．
（2）跨学科的反比例函数应用题
要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．
（3）反比例函数中的图表信息题
正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想．
【专题过关】
一．反比例函数的定义（共3小题）
1．（2021秋•遵化市期末）下列函数关系式中属于反比例函数的是（ ）
A．y＝4x B．2x+y＝4 C．y＝x2+3 D．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断选项求解．
【解答】解：y＝4x为正比例函数，A选项不符合题意．
2x+y＝4为一次函数，B选项不符合题意．
y＝x2+3为二次函数，C选项不符合题意．
y＝ 为反比例函数，D选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的定义，解题关键是掌握y＝ （k≠0）为反比例函数．
2．（2022•东营模拟）函数y＝（m﹣2） 是反比例函数，则m＝ ﹣ 2 ．
【分析】直接利用反比例函数的定义分析得出即可．
【解答】解：∵y＝（m﹣2） 是反比例函数，∴3﹣m2＝﹣1，m﹣2≠0，
解得：m＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，正确把握定义是解题关键．
3．（2022•西宁一模）函数 的自变量x的取值范围是 x ≠ 2 ．
【分析】此题对函数 中x的取值范围的求解可转化为使分式有意义，分式的分母不能为0的问题．
【解答】解：根据题意x﹣2≠0，
解得x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题主要是考查函数自变量x的取值问题，比较简单．
二．反比例函数的图象（共4小题）
4．（2021秋•大城县期末）反比例函数 的图象如图所示，则k的值可以是（ ）
A．﹣2 B． C．1 D．3
【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定k的符号，从而确定选项．
【解答】解：由反比例函数 的图象位于第二，四象限可知，k＜0，∴k的值可以是﹣2，
故选：A．
【点评】考查了反比例函数的性质及图象，解题的关键是掌握反比例函数的性质，难度不大．
5．（2021秋•大城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数 与正比例函数
在同一平面直角坐标系内的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】先根据二次函数图象确定a，b，c的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的
位置．
【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0．
∴ac＞0， ＜0，
∴反比例函数 的图象在第一、四象限，正比例函数 的图象过二、四象限，
故选：D．
【点评】此题考查了二次函数图象和性质，反比例函数的图象和性质，正比例函数的图象和性质，熟知函数的系数对函数图象影响是解题的关键．
6．（2021秋•襄州区期末）问题呈现：我们知道反比例函数 的图象是双曲线，那么函数
（k、m、n为常数且k≠0）的图象还是双曲线吗？它与反比例函数 的图象有怎
样的关系呢？让我们一起开启探索之旅……
探索思考：我我们可以借鉴以前研究函数的方法，首先探索函数 的图象．
（1）画出函数 图象．
①列表：
x … ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 0 1 2 3 4 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …
②描点并连线．
（2）观察图象，写出该函数图象的两条不同类型的特征：① 图象是中心对称图形 ，② 当 x ＞﹣
1 时， y 随着 x 的增大减小 ；
（3）理解运用：函数 的图象是由函数 的图象向 左 平移 1 个单位，其对称中心的
坐标为 （﹣ 1 ， 0 ） ．
（4）灵活应用：根据上述画函数图象的经验，想一想函数 的图象大致位置，并根据图象指出，
当x满足 ﹣ 1 ＜ x ≤ 3 时，y≥3．【分析】（1）将x＝﹣5，﹣3，﹣2，0，1，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；
（2）结合图象可从函数的增减性及对称性解答该函数图象的两条不同类型的特征；
（3）理解运用：结合图象即可得出结论
（4）灵活应用：结合图象可准确填空．
【解答】解：（1）
①列表：
x … ﹣5 ﹣3 ﹣2 0 1 3 …
y … ﹣1 ﹣2 ﹣4 4 2 1 …
②描点并连线．（2）观察图象，
①图象是中心对称图形；
②当x＞﹣1时，y随着x的增大减小．
故答案为：图象是中心对称图形；当x＞﹣1时，y随着x的增大减小；
（3）理解运用：函数y＝ 的图象是由函数y＝ 的图象向左平移1个单位，其对称中心的坐标为
（﹣1，0）．
故答案为：左；1；（﹣1，0）．
（4）灵活应用：函数y＝ +2的图象在理解运用的基础上向上平移2个单位，当x满足﹣1＜x≤3时，
y≥3．
故答案为：﹣1＜x≤3．
【点评】本题主要考查反比例函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，利用数形结合的思想写出
函数的性质是解题的关键．
7．（2022•市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝ ，点A的坐标
为（1，0），AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是（ ）A．如图①，四边形ABCO是矩形
B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝ 的图象大致
如图②所示
C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝ 的图象大致如图③所示
D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝ 在的图象大致如图④所示
【分析】根据图①可知a＞0，c＜0，﹣ ＞0，所以b＜0，然后逐项判断一次函数、二次函数和反比
例函数的图象即可判断出答案．
【解答】解：根据图①可知a＞0，c＜0，﹣ ＞0，所以b＜0，
A、∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x＝ ，
∴点O（0，0）与点A（1，0）关于对称轴对称，
∵AB垂直于x轴，
∴B与C也关于对称轴对称，
∴四边形ABCO是矩形，故A选项符合题意；
B、∵a＞0，b＜0，∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，故B选项不符合题意；
C、∵c＜0，
∴二次函数y＝﹣x（ax+b）+c＝﹣ax2﹣bx+c的图象不经过原点，故C选项不符合题意；
D、∵b＜0，﹣ac＞0，
∴一次函数y＝bx﹣ac的图象过第一、二、四象限，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象和性质，灵活掌握函数的性质是解决问题
的关键，学会利用图象信息解决问题，属于中考常考题型．
三．反比例函数图象的对称性（共3小题）
8．（2022•高要区一模）若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝ 图象的一个交点坐标为（﹣1，2），则
另一个交点的坐标为（ ）
A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）
【分析】根据正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴两函数的交点关于原点对称，
∵一个交点的坐标是（﹣1，2），
∴另一个交点的坐标是（1，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数与反比例函数图象的交点问题，熟知正比例函数与反比例函数图象的
交点关于原点对称的知识是解答此题的关键．
9．（2022春•洪泽区月考）如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝ 的一个交点坐标为（3，4），则它们的
另一个交点坐标是 （﹣ 3 ，﹣ 4 ） ．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
【解答】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝ 的两个分支关于原点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．
故答案是：（﹣3，﹣4）．
【点评】此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．
10．（2022•自贡模拟）如图，半径为2的两圆 O 和 O 均与x轴相切于点O，反比例函数 （k＞
1 2
0）的图象与两圆分别交于点A，B，C，D，则⊙图中阴⊙影部分的面积是 2 ．（结果保留 ）
π π
【分析】此题需要看懂图形，由于反比例函数图象的中心对称性，所要求的阴影部分的面积即为半圆的
面积．
【解答】解：根据图形，知这是一个中心对称图形；则阴影部分是面积和相当于半圆的面积，即2 ．
π
故填2 ．
π
【点评】此题注意根据图形的中心对称性，把阴影部分组合到一起可以简便计算．
四．反比例函数的性质（共6小题）11．（2021秋•政和县期末）反比例函数 中，反比例常数k的值为 3 ．
【分析】反比例函数的概念形如y＝ （k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，进而可得答案．
【解答】解：反比例函数y＝ 中反比例常数k的值为3，
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是掌握反比例函数的形式．
12．（2022秋•青浦区期中）已知正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，那么它和反比例函
数y＝ 在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，判断k的符号和直线过第几象限，然
后根据k的符号判断反比例函数在第几象限．
【解答】解：∵正比例函数y＝ 中，y的值随x的值的增大而增大，
∴ ＞0，即k＞0，图像过一三象限；∴反比例函数y＝ 在一三象限，
故选：B．
【点评】本题考查的是函数的图像，解题的关键是根据直线的增减性判断k的符号，在根据k的符号判
断反比例函数的图像在第几象限．
13．（2021秋•丰宁县期末）已知反比例函数 ，则下列描述不正确的是（ ）
A．图象位于第一、第三象限
B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交
D．y随x的增大而减小
【分析】直接利用反比例函数的性质，y＝ ，当k＞0时，每个象限内，y随x增大而减小，结合图象
分布以及反比例函数图象上点的坐标特点，分别分析求出答案．
【解答】解：反比例函数y＝ ，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
当x＝4时，y＝ ，即图象必经过点（4， ），故此选项B正确，不合题意；
图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
在每个象限内，y随x的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数的相关性质是解题关键．
14．（2022•威县校级模拟）如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，点A（﹣5，0），点C（0，6），双
曲线L ：y＝﹣ （x＜0）和双曲线L ：y＝ （x＜0）．[把矩形ABCO内部（不含边界）横、纵坐标均
1 2为整数的点称为“优点”]
（1）若k＝﹣12，则L 和L 之间（不含边界）有 4 个“优点”；
2 1
（2）如果L 和L 之间（不含边界）有4个“优点”，那么k的取值范围为 ﹣ 12 ＜ k ≤﹣ 10 或﹣ 4 ＜
2 1
k ≤﹣ 3 ．
【分析】（1）L 经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3）画出图象；
2
（2）根据图象求k的范围．
【解答】解：（1）当k＝﹣12时，y＝﹣ 经过（﹣2，6），（﹣3，4），（﹣4，3），
如图，画出L 的图象，
2
由图可知：L 和L 之间（不含边界）有4个优点，
2 1
故答案为：4．
（2）如果L 和L 之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣2，5），（﹣2，4），（﹣3，3），
2 1（﹣4，2）时，﹣12≤k＜﹣10；
如果L 和L 之间（不含边界）有4个“优点”，分别为（﹣1，5），（﹣1，4），（﹣2，2），（﹣
2 1
4，1）时，﹣4＜k≤﹣3；
故答案为：﹣12≤k＜﹣10或﹣4＜k≤﹣3．
【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，读懂题意，在网格中画出反比例函数图象是解题的关键．
15．（2022•杞县模拟）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数
为分段函数，下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数 y＝ 的图象与性
质，探究过程如下，请补充完整．
（1）列表：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y … m 1 2 1 0 1 n …
其中，m＝ ，n＝ 2 ．
（2）描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相
应的点，如图所示，请画出函数的图象．
（3）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点 ，在函数图象上，则y ＜ y ，x
1 2 1
＜ x ；（填“＞”，“＝”或“＜”）
2
②当函数值时y＝1，求自变量x的值．【分析】（1）把x＝﹣3代入y＝﹣ 中即可求得m的值；把x＝3代入y＝|x﹣1|中，即可求得n的值；
（2）描点连线即可；
（3）①A与B在y＝﹣ 上，y随x的增大而增大，所以y ＜y ；C与D在y＝|x﹣1|上，观察图象可得
1 2
x ＜x ；
1 2
②当y＝1时，1＝|x﹣1|，则有x＝0或x＝2；1＝﹣ ，则有x＝﹣2．
【解答】解：（1）x＝﹣3代入y＝﹣ 得，y＝ ，
∴m＝ ，
把x＝3代入y＝|x﹣1|中得，y＝2，
∴n＝2，
故答案为 ，2；
（2）如图所示：（3）①由图象可知A与B在y＝﹣ 上，y随x的增大而增大，所以y ＜y ；
1 2
C与D在y＝|x﹣1|上，所以x ＜x ；
1 2
故答案为＜，＜；
②当y＝1时，x＞﹣1时，有1＝|x﹣1|，
∴x＝0或x＝2，
当y＝1时，x≤﹣1时，有1＝﹣ ，
∴x＝﹣2，
故x＝0或x＝2或x＝﹣2；
（4）由图象可知，﹣1＜b＜2 或b＞3．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；能够通过描点准确的画出函数图
象是解题的关键．
16．（2022•沙市区模拟）探究分段函数y＝ 的图象与性质．
列表：
x … ﹣1 0 1 2 …
﹣
y … 2 1 0 1 2 1 …
描点：描出相应的点，并连线，如图所示结合图象研究函数性质，回答下列问题：
（1）点A（3，y ），B（5，y ），C（x ， ），D（x ，6）在函数图象上，则y ＞ y ，x ＞
1 2 1 2 1 2 1
x ；（填“＞”、“＝”或“＜”）
2（2）当函数值y＝2时，自变量x的值为 ﹣ 1 或 1 ；
（3）在直角坐标系中作出y＝x的图象；
（4）当方程x+b＝ 有三个不同的解时，则b的取值范围为 0 ＜ b ＜ 1 ．
【分析】（1）根据函数的增减性即可比较；
（2）根据图象求解即可；
（3）根据函数解析式画出函数图象即可；
（4）根据图象即可求出b的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（3，y ），B（5，y ），C（x ， ），D（x ，6）在函数图象上，
1 2 1 2
根据图象可知，当x＞1时，y随着x增大而减小，当y＞2时，y随着x增大而减小，
∵3＜5， ＜6，
∴y ＞y ，x ＞x ，
1 2 1 2
故答案为：＞，＞；
（2）当函数值y＝2时，x的值为﹣1或1，故答案为：﹣1或1；
（3）函数图象如图所示：
（4）当y＝x+b过点（1，2）时，
可得1+b＝2，
解得b＝1，
∴当方程x+b＝ 有三个不同的解时，则b的取值范围为0＜b＜1，
故答案为：0＜b＜1．
【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的综合，熟练掌握函数的图象和性质是解题的关键．
五．反比例函数系数k的几何意义（共5小题）
17．（2022•茂南区二模）如图，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象分别是l 和l ，设点
1 2
P在l 上，PC⊥x轴于点C，交l 于点A，PD⊥y轴于点D，交l 于点B，则四边形PAOB的面积为（
1 2 2
）A．k +k B．k ﹣k C．k k D．k ﹣k
1 2 1 2 1 2 2 1
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OCPD ＝k
1
，S△OCA ＝S△OBD ＝ ，再根据四边形
PAOB的面积＝S矩形OCPD ﹣S△OCA ﹣S△OBD 进一步求解即可．
【解答】解：∵点P在l 上，PC⊥x轴于点C，交l 于点A，PD⊥y轴于点D，交l 于点B，
1 2 2
∴S矩形OCPD ＝k
1
，S△OCA ＝S△OBD ＝ ，
∴四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD ﹣S△OCA ﹣S△OBD ＝k
1
﹣k
2
，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象，熟练掌握反比例函数系数k的几
何意义是解题的关键．
18．（2022•河池）如图，点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP ＝2，则
该反比例函数的解析式为 y ＝ ．【分析】利用待定系数法解答即可．
【解答】解：∵点P（x，y）在双曲线y＝ 的图象上，PA⊥x轴，
∴xy＝k，OA＝﹣x，PA＝y．
∵S△AOP ＝2，
∴ ×AO•PA＝2．
∴﹣x•y＝4．
∴xy＝﹣4，
∴k＝xy＝﹣4．
∴该反比例函数的解析式为y＝ ．
故答案为：y＝ ．
【点评】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，利
用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
19．（2022•开远市二模）若图中反比例函数的表达式均为 ，则阴影面积为2的是（ ）
A．B．
C．
D．
【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出
四个图形中阴影部分的面积，即可求解．
【解答】解：A选项中，阴影面积为4，故A不符合题意；
B选项中，阴影面积为 ×4＝2，故B符合题意；
C选项中，阴影面积为2× ×4＝4，故C不符合题意；
D选项中，阴影面积为4× ×4＝8，故D不符合题意；
故选：B．【点评】本题考查了反比例函数y＝ 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得
矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的
几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积．
20．（2022•靖江市二模）反比例函数 ， （n＜0）的图象如图所示，点P为x轴上不与原点重
合的一动点，过点P作AB∥y轴，分别与y 、y 交于A、B两点．
1 2
（1）当n＝﹣10时，求S△OAB ；
（2）延长BA到点D，使得DA＝AB，求在点P整个运动过程中，点D所形成的函数图象的表达式．
（用含有n的代数式表示）．
【分析】（1）当n＝﹣10时，S△BOP ＝ ×|﹣10|＝5，S△AOP ＝ ×|8|＝4，即可得S△OAB ＝9；
（2）设P（m，0），则A（m， ），B（m， ），AB＝| ﹣ |，分两种情况：①当m＞0时，AB＝
＝AD，D（m， ），设x＝m，y＝ ，则xy＝16﹣n，可得y＝ ，②当m＜0时，可
得y＝ ．
【解答】解：（1）当n＝﹣10时，y ＝﹣ ，
2
∴S△BOP ＝ ×|﹣10|＝5，∵A在y＝ 的图象上，
∴S△AOP ＝ ×|8|＝4，
∴S△OAB ＝S△BOP +S△AOP ＝9，
答：S△OAB ＝9；
（2）设P（m，0），则A（m， ），B（m， ），
∴AB＝| ﹣ |，
①当m＞0时，AB＝ ＝AD，
∴DP＝AD+AP＝ + ＝ ，
∴D（m， ），
设x＝m，y＝ ，则xy＝16﹣n，
∴y＝ ，即点D所形成的函数图象的表达式为y＝ ，
②当m＜0时，AB＝ ，
同理可得y＝ ，
综上所述，点D所形成的函数图象的表达式为y＝ ．
【点评】本题考查反比例函数图象及性质，解题的关键是分类思想的应用．21．（2022•德城区模拟）如图，A、B两点在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，其中k＞0，AC⊥y轴
于点C，BD⊥x轴于点D，且AC＝1
（1）若k＝2，则AO的长为 ，△BOD的面积为 1 ；
（2）若点B的横坐标为k，且k＞1，当AO＝AB时，求k的值．
【分析】（1）由AC和k的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出OA的长度，由点B在反比例
函数图象上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出△BOD的面积；
（2）根据反比例函数图象上点的坐标特征可找出点 A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出
AB、AO的长度，由AO＝AB即可得出关于k的方程，解之即可求出k值，再根据k＞1即可确定k值．
【解答】解：（1）∵AC＝1，k＝2，
∴点A（1，2），
∴OC＝2，OA＝ ＝ ．
∵点B在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴S△BOD ＝ |k|＝1．
故答案为： ；1．（2）∵A，B两点在函数y＝ （x＞0）的图象上，
∴A（1，k），B（k，1），
∴AO＝ ，AB＝ ．
∵AO＝AB，
∴ ＝ ，
解得：k＝2+ 或k＝2﹣ ．
∵k＞1，
∴k＝2+ ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离
公式，解题的关键是：（1）根据反比例函数系数k的几何意义找出△BOD的面积；（2）根据AO＝AB
找出 ＝ ．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共9小题）
22．（2022秋•合浦县期中）如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（
）A．（﹣1，﹣1） B．（1，﹣1） C． D．（﹣2，1）
【分析】先根据点（﹣1，1）是反比例函数y＝ （k≠0）图象上求出k的值，再对各选项进行逐一判
断即可．
【解答】解：∵点（﹣1，1）是反比例函数y＝ （k≠0）图象上，
∴k＝﹣1×1＝﹣1，
A、∵（﹣2）×（﹣1）＝1≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
B、∵1×（﹣1）＝﹣1，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；
C、∵ ＝1≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；
D、∵﹣2×1＝﹣2≠﹣1，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上各点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标符合 k＝
xy，且k为定值．
23．（2021秋•碧江区 期末）如图，△OAB、△BA 1 B 1 、△B 1 A 2 B 2 、…、△B n﹣1 A n B n 都是等边三角形，顶点
A、A 、A 、…、A 在反比例函数 （x＞0）的图象上，则B 的坐标是 （ 2 ， 0 ） ．
1 2 n 2020
【分析】过点A作AC⊥x轴于点C，过点A 作A D⊥x轴于点D，过点A 作A E⊥x轴于点E，先在
1 1 2 2
△OCA中，表示出OC和AC的长度，表示出A 的坐标，代入反比例函数解析式，求出 OC的长度和
1OA的长度，表示出B的坐标，同理可求得B 、B 的坐标，即可发现一般规律．
1 2
【解答】解：如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点A 作A D⊥x轴于点D，过点A 作A E⊥x轴于点
1 1 2 2
E，
∵△OAB为等边三角形，
∴∠AOC＝60°，OC＝BC，
∴AC＝ OC，
设OC的长度为t，则A的坐标为（t， t），
把A（t， t）代入y＝ （x＞0）得t• t＝ ，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），
∴OB＝2OC＝2，
∴B（2，0），
设BD的长度为m，同理得到A D＝ m，则A 的坐标表示为（2+m， m），
1 1
把A （2+m， m）代入y＝ （x＞0）得（2+m）× m＝ ，解得m＝ ﹣1或m＝﹣ ﹣1
1
（舍去），
∴BD＝ ﹣1，BB ＝2 ﹣2，OB ＝2+2 ﹣2＝2 ，
1 1
∴B （2 ，0）
1
设B E的长度为n，同理，A E为 n，A 的坐标表示为（2 +n， n），
1 2 2
把A （2 +n， n）代入y＝ （x＞0）得（2 +n）• n＝ ，
2∴B E＝ ﹣ ，B B ＝2 ﹣2 ，OB ＝2 +2 ﹣2 ＝2 ，
1 1 2 2
∴B （2 ，0），
2
综上可得：B （2 ，0），
2020
故答案为：（2 ，0）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．灵活
运用各类知识求出A 、A 、A 的坐标是解题的关键．
1 2 3
24．（2022秋•杜集区校级月考）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的
两点关于直线x＝n（n为常数）对称，则把该函数称之为“X（n）函数“．
（1）在下列关于x的函数中，是“X（n）函数”的是 ②③ （填序号）；
① ；②y＝|4x|；③y＝x2﹣2x﹣5．
（2）若关于x的函数y＝|x﹣h|（h为常数）是“X（3）函数”，与 （m为常数，m＞0）相交于
A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，A在B的左边，x ﹣x ＝5，则m＝ 4 ．
A A B B B A
【分析】（1）根据新定义依次进行判断即可；
（2）设y＝x﹣3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，设CN＝x，
由x ﹣x ＝5，可得MC＝5﹣x，表示出B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），根据轴对称的性质以及反比
B A例函数的性质可得（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，求出x的值，即可确定点B的坐标，进一步即可求
得m的值．
【解答】解：（1）根据定义，函数关于直线x＝n（n为常数）对称，即该函数图象是轴对称图形，
①y＝ 的图象是中心对称图象，不符合题意；
②y＝|4x|的图象是轴对称图形，符合题意；
③y＝x2﹣2x﹣5的图象是轴对称图形，符合题意，
故答案为：②③；
（2）∵y＝|x﹣h|是“X（3）”函数，
∴h＝3，
设y＝x﹣3与x轴交于点C，与y轴交于点D，作AM⊥x轴于点M，BN⊥x轴于点N，如图所示：
当x＝0时，y＝﹣3，
当y＝0时，x＝3，
∴C（3，0），D（0，﹣3），
∴OC＝OD，
∴△OCD是等腰直角三角形，
∴∠BCN＝∠OCD＝45°，
由对称性可知，∠ACM＝∠OCD＝45°，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∵x ﹣x ＝5，
B A
∴MN＝5，
设CN＝x，则MC＝5﹣x，∴B（3+x，x），A（x﹣2，5﹣x），
∴（3+x）x+（x﹣2）（5﹣x）＝0，
∴x＝1，
∴B（4，1），
∴m＝4×1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，根据新定义以及轴对称的
性质求解是解题的关键．
25．（2022•思明区校级二模）阅读理解：
若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数
x，y，z构成“和谐三数组”．
（1）若A（m，y ），B（m+1，y ），C（m+3，y ）三点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵
1 2 3
坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值；
（2）若实数a，b，c是“和谐三数组”，且满足a＞b＞c＞0，求点 与原点O的距离OP的取值范围．
【分析】（1）根据题意，分析不同情况进行求解即可；
（2）由题意知 ，再根据不等式判断取值范围即可．
【解答】解：（1）将A（m，y ），B（m+1，y ），C（m+3，y ）分别代入反比例函数 中，
1 2 3
则 、 ， ，
当 时，m＝m+1+m+3，即m＝﹣4，
当 时，m+1＝m+m+3，即m＝﹣2，
当 时，m+3＝m+m+1，即m＝2，
综上，m的值为﹣4或﹣2或2；
（2）∵a＞b＞c＞0，
∴ ，
即 ，
由题意 ，∴ ，
∵a＞b＞c＞0，
∴a2+b2＜（a+b）2＜2（a2+b2），
∴ ．
【点评】本题主要考查不等式的应用、反比例函数，正确理解“和谐三数组”的概念是解题的关键．
26．（2022•牧野区校级三模）如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，E为对角线AC，BD的交点，点A，C
的坐标分别为A（﹣3，3），C（﹣1，0）．
（1）反比例函数y ＝ 在第三象限的图象经过D点，求这个函数的解析式；
1
（2）点E是否在函数y ＝ 的图象上？说明理由；
1
（3）一次函数y ＝k +b的图象经过点B，点D，根据图象直接写出不等式k x+b＜ 的解集．
2 2 2
【分析】（1）利用待定系数法求得解析式即可；
（2）根据矩形的性质，求得点E的坐标，把E点代入反比例函数解析式判定即可；
（3）根据图象即可求得．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边BC在x轴上，A（﹣3，3），C（﹣1，0），
∴D（﹣1，3），
∵反比例函数y ＝ 在第三象限的图象经过D点，
1
∴k ＝﹣1×3＝﹣3，
1
∴这个函数的解析式为y＝﹣ ；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴E为对角线AC、BD的交点，
∴E为AC的中点，
∵A（﹣3，3），C（﹣1，0）．
∴E（﹣2， ）；
把x＝﹣2代入y＝﹣ 得，y＝ ，
∴点E在函数y ＝ 的图象上；
1
（3）由图象可知：不等式k x+b＜ 的解集是x＜﹣2或﹣1＜x＜0．
2
【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的交点，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例
函数图象上的坐标特征以及函数和不等式的关系．
27．（2022•荷塘区校级二模）如图，点A（a，a），B（b，b）是直线y＝x上在第一象限的两点，过A，
B两点分别作y轴的平行线交双曲线y＝ （x＞0）于C，D两点．（1）当b＝2，BD＝1时，求k的值；
（2）当k＝1时：
①若AC＝BD，求a与b的数量关系；
②若AC＝2BD，求4OD2﹣OC2的值．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）①根据图象上点的坐标特征，则C（a， ），D（b， ），由AC＝BD即可得到 ﹣a＝b﹣ ，
通过变形得到ab＝1'
②根据AC＝2BD即可得到a，b的关系，然后利用勾股定理，即可用a，b表示出所求的式子从而求解．
【解答】解：（1）当b＝2，BD＝1时，则D（2，1），
∵双曲线y＝ （x＞0）过D点，
∴k＝2×1＝2；
（2）当k＝1时，则反比例函数为y＝ ，
①∵点A（a，a），B（b，b），BD∥AC∥y轴，
∴C（a， ），D（b， ），
∵AC＝BD，
∴ ﹣a＝b﹣ ，∴ + ＝a+b，
∴ ＝a+b，
∴ab＝1；
②∵AC＝ ﹣a，BD＝b﹣ ，
又∵AC＝2BD，
∴ ﹣a＝2（b﹣ ），
两边平方得：a2+ ﹣2＝4（b2+ ﹣2），即a2+ ＝4（b2+ ）﹣6．
∵OC2＝a2+ ，OD2＝b2+ ，
∴4OD2﹣OC2＝4（b2+ ）﹣（a2+ ）＝6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的综合应用，正确表示出 C、D的坐标
是解题是关键．
28．（2021秋•梧州期末）在函数y＝ （其中a≠0，a为常数）经过点A（x ，y ），B（x ，y ），C
1 1 2 2
（x ，y ），且x ＜0＜x ＜x ，则把y 、y 、y 按从小到大排列为 y ＜ y ＜ y ．
3 3 3 1 2 1 2 3 3 2 1
【分析】根据题意和反比例函数的性质，可以得到y ，y ，y 的大小关系，从而可以解答本题．
1 2 3
【解答】解：∵函数y＝ （其中a≠0，a为常数）中，|a|＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x＜0时，y＜0，当x＞0时，y＞0，∵函数y＝ （其中a≠0，a为常数）经过点A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），且x ＜0＜x
1 1 2 2 3 3 3 1
＜x ，
2
∴y ＜y ＜y ，
3 2 1
故答案为：y ＜y ＜y ．
3 2 1
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性
质解答．
29．（2022•营口）如图，在平面直角坐标系中，△OAC的边OC在y轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的
图象经过点A和点B（2，6），且点B为AC的中点．
（1）求k的值和点C的坐标；
（2）求△OAC的周长．
【分析】（1）把点B（2，6）代入反比例函数的关系式可求出k的值，利用相似三角形的性质可求出A
的坐标，进而得出点C坐标；
（2）利用勾股定理求出OA、AC的长即可．
【解答】解：把点B（2，6）代入反比例函数y＝ 得，
k＝2×6＝12；
如图，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足为D、E，则OE＝6，BE＝2，∵BE⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥BE，
又∵B为AC的中点．
∴AD＝2BE＝4，CE＝DE，
把x＝4代入反比例函数y＝ 得，
y＝12÷4＝3，
∴点A（4，3），即OD＝3，
∴DE＝OE﹣OD＝6﹣3＝3＝CE，
∴OC＝9，
即点C（0，9），
答：k＝12，C（0，9）；
（2）在Rt△AOD中，
OA＝ ＝ ＝5，
在Rt△ADC中，
AC＝ ＝ ＝2 ，
∴△AOC的周长为：2 +5+9＝2 +14．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质，掌
握勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
30．（2022秋•东湖区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在
y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数y＝k的图象过AB边上一点E，与BC边交于点D，BE＝2，OE＝
10．
（1）求k的值；
（2）直线y＝ax+b过点D及线段AB的中点F，点P是直线OF上一动点，当PD+PC的值最小时，直
接写出这个最小值．
【分析】（1）设AE＝3x，则OE＝5x，由勾股定理得AO＝4x，则3x+2＝4x，求出x即可求点E坐标为
（6，8），再由E点坐标即可求k 值；
（2）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，求出 D（8，6），证明
△AOF∽△BFD，则∠AOF＝∠BFD，可得∠OFD＝90°，即可得到OF⊥DF，证明△AFG≌△BFD
（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），即可得出PD+PC＝PG+PC＝
CG，此时PD+PC的值最小，根据勾股定理即可求得结果．【解答】解：（1）∵四边形OABC是正方形，
∴AO＝AB，∠OAB＝90°，
设正方形的边长为x，
∵BE＝2，OE＝10，
∴AE＝x﹣2，
由勾股定理得102＝x2+（x﹣2）2
解得x ＝8，x ＝﹣6（舍去），
1 2
∴点E坐标为（6，8），
∴k＝6×8＝48；
（2）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，
将x＝8代入y＝ 得y＝6，
∴D（8，6）
∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，
∵点F是线段AB的中点，
∴AF＝BF＝4，
∵ ＝ ＝ ，∠OAF＝∠FBD＝90°，
∴△AOF∽△BFD，
∴∠AOF＝∠BFD，
∴∠AFO+∠BFD＝∠AFO+∠AOF＝90°，
∴OF⊥DF，
∵四边形OABC为正方形，∠AFG＝∠BFD，AF＝BF，∴△AFG≌△BFD（ASA），
∴FG＝FD，AG＝BD＝2，
∴OF为线段DG的垂直平分线，OG＝8+2＝10，
∴OD＝OG，
∴PG＝PD，
∴PD+PC＝PG+PC＝CG．
∵CG＝ ＝ ＝2 ，
∴PD+PC的最小值为2 ．
【点评】本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，
线段垂直平分线的性质是解题的关键．
七．待定系数法求反比例函数解析式（共4小题）
31．（2021秋•平泉市期末）如图，矩形ABCD的两边AD，AB的长分别为3，8，E是DC的中点，反比
例函数 的图象经过点E，与AB交于点F．
（1）若点B的坐标为（﹣6，0），求m的值．
（2）若AF﹣AE＝2，求反比例函数的解析式．【分析】（1）根据矩形的性质，可得A，E点坐标，根据待定系数法，可得m的值；
（2）根据勾股定理，可得AE的长，根据线段的和差，可得FB，可得F点坐标，根据待定系数法，可
得m的值，进而得出反比例函数的表达式．
【解答】解：（1）点B坐标为（﹣6，0），AD＝3，AB＝8，E为CD的中点，
∴点A（﹣6，8），E（﹣3，4），
∵反比例函数y＝ 的图象经过E点，
∴m＝﹣3×4＝﹣12；
（2）如图，连接AE，
∵AD＝3，DE＝4，∠D＝90°，
∴AE＝ ＝5，
∵AF﹣AE＝2，
∴AF＝5+2＝7，BF＝8﹣7＝1，
设E点坐标为（a，4），则F点坐标为（a﹣3，1），
∵E，F两点在函数y＝ 图象上，
∴4a＝a﹣3，
解得a＝﹣1，∴E（﹣1，4），
∴m＝﹣1×4＝﹣4，
∴y＝﹣ ．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，解题时注意：反比例函数图象上
的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．
32．（2022•蓬江区一模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴的正
半轴上，反比例函数 的图象经过点C，OA＝2，OB＝4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形A'B'C'D'，当点D'在反比例函数的图象上时，请求出
点B'的坐标，并判断点B'是否在该反比例函数的图象上，说明理由．
【分析】（1）作CE⊥y轴于E，利用AAS证明△AOB≌△BEC，得BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，可得点C的坐标，再将点C代入反比例函数解析式可得答案；
（2）由（1）同理可得，点D（6，2），根据D'的坐标求出平移的距离，再利用平移的性质可得B'的坐
标，代入反比例函数解析式判断即可．
【解答】解：（1）作CE⊥y轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函数 的图象经过点C，
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数的解析式为y＝ ；
（2）由（1）同理可得，点D（6，2），∵点D'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝2时，x＝ ＝12，
∴平移的距离为12﹣6＝6，
∴B'（6，4），
当x＝6时，y＝ ＝4，
∴点B'在该反比例函数的图象上，
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了正方形的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，
求得正方形顶点的坐标是解题的关键．
33．（2022•睢阳区二模）如图，平行四边形ABCD的面积为12，AB∥y轴，AB，CD与x轴分别交于点
M，N，对角线AC，BD的交点为坐标原点，点A的坐标为（﹣2，1），反比例函数 的图象经过点
B，D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P为y轴上的点，连接AP，若△AOP为等腰三角形，求满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）根据平行四边形的性质，反比例函数的对称性求得点 B（﹣2，﹣2），把B的坐标代入
，利用待定系数法即可求得；（2）分三种情况讨论：①当OA＝OP时，则点 ，点 ；
②当OP＝AP时，此时，点P在OA的垂直平分线上，通过证得△OAM∽△POG，得出OP＝ OG＝
，即可求得点P 的坐标为 ；
3
③当AP＝AO时，点A在OP的垂直平分线上，则点P 的坐标为（0，2）．
4
【解答】解：（1）∵AB∥y轴，AB⊥x轴．点A（﹣2，1），且平行四边形ABCD对角线交于坐标原点
O，
∴AM＝1，OM＝ON＝2，
∴MN＝4，
∵平行四边形ABCD的面积为12，
∴AB•MN＝12，
∴AB＝3，BM＝2．
∴点B（﹣2，﹣2）．
将点B（﹣2，﹣2）代入 ，得 ，
∴k＝4．
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）在Rt△AOM中，根据勾股定理，得 ．当△AOP是等腰三角形时，分三种情
况讨论：
①当OA＝OP时，若点P在y轴的负半轴上，则点 ，若点P在y轴的正半轴上，则点；
②当OP＝AP时，点P在OA的垂直平分线上，如图，
∴ ，
∵∠POG+∠AOM＝90°＝∠AOM+∠OAM，
∴∠POG＝∠OAM，
∵∠PGO＝∠AMO＝90°，
∴△OAM∽△POG，
∴OP＝ OG＝ ，
∴点P 的坐标为 ；
3
③当AP＝AO时，点A在OP 的垂直平分线上，
4
∴点P 的坐标为（0，2）．
4
综上可知，点P的坐标为 或 或 或（0，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数
的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理的应用等，求得 B的坐标以及分类讨论思想
的运用是解题的关键．34．（2021秋•孟村县期末）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）y与x的函数解析式为 ；
（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是 b ＞ a ．
【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y＝ （k≠0），再把x＝﹣1，y＝﹣6代入即可算出k的值，
进而得到解析式；
（2）根据反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）设所求函数解析式为y＝ （k≠0），
由题意得：k＝﹣1×（﹣6）＝6，
故解析式为 ；
故答案为： ；
（2）∵k＝6＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，
∴点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在第三象限，
∵﹣4＞﹣8，
∴b＞a，
故答案为：b＞a．
【点评】此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数
解析式的形式．八．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题）
35．（2022•市南区校级一模）如图，直线y＝kx+3与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数y＝ 交
于点A、D，过D作DE⊥x轴于E，连接OA，OD，若A（﹣2，n），S△OAB ：S△ODE ＝1：2．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）求点C的坐标；
（3）直接写出关于x不等式： ＞kx﹣3的解为 0 ＞ x ＞﹣ 2 或 x ＞ 4 ．
【分析】（1）先求出点B的坐标，就可得△OAB的面积，再根据已知求出△ODE的面积即可；
（2）求出一次函数关系式即可．
【解答】解：把x＝0代入y＝kx+3得，
y＝3，
∴B（0，3），
∵A（﹣2，n），
∴△OAB的面积＝ ＝3，
∵S△OAB ：S△ODE ＝1：2，∴S△ODE ＝6，
∵DE⊥x轴，点D在反比例函数y＝ 的图象上，
∴ |m|＝6，
∴m＝±12，
∵m＜0，
∴m＝﹣12，
∴反比例函数关系式为：y＝ ；
（2）把A（﹣2，n）代入y＝ 得：
n＝ ＝6，
∴A（﹣2，6），
把A（﹣2，6）代入y＝kx+3得：
6＝﹣2k+3，
∴k＝ ，
∴一次函数关系式为：y＝ x+3，
把y＝0代入y＝ x+3中得：
0＝ x+3，
∴x＝2，∴C（2，0）．
（3）∵一次函数和反比例函数相交，
∴ x+3＝ ；
∴x ＝4，x ＝﹣2，
1 2
∴y ＝﹣3，y ＝6，
1 2
∴一次函数和反比例函数的交点A（﹣2，6），D（4，﹣3），
由图可知 ＞ x+3时，0＞x＞﹣2或x＞4．
故答案为：0＞x＞﹣2或x＞4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数|k|的几何意义是解题的关
键．
36．（2022•宝安区校级模拟）如图，一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y ＝ （m为常数且
1 2
m≠0）的图象都经过A（﹣1，2），B（2，﹣1），结合图象，则不等式kx＞ ﹣b的解集是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0
C．x＜﹣1或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围便是不等式kx＞ ﹣b的解集．【解答】解：由函数图象可知，当一次函数y ＝kx+b（k≠0）的图象在反比例函数y ＝ （m为常数且
1 2
m≠0）的图象上方时，x的取值范围是：x＜﹣1或0＜x＜2，
∴不等式kx＞ ﹣b的解集是x＜﹣1或0＜x＜2，
故选：C．
【点评】本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．
利用数形结合是解题的关键．
37．（2022•仁怀市模拟）如图，直线 y＝ x﹣4分别与 x轴，y轴交于点 A，B，与反比例函数 y＝
的图象交于点D，过点A作AC⊥x轴与反比例函数的图象相交于点C，若AC＝AD，则k的
值为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【分析】过点D作DE⊥x轴于点E，由直线解析式求得A、B的坐标，进而即可求得OA＝3，OB＝4，
AB＝ ＝5，
设AC＝AD＝t，点C的坐标是（3，t），通过证得△ADE∽△ABO，得出点D（ t+3， t），再根据
反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于t的一元二次方程，解方程即可得出结论；
【解答】解：过点D作DE⊥x轴于点E，如图所示，直线y＝ x﹣4分别与x轴，y轴交于点A，B，
∴A（3，0），B（0，﹣4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝ ＝5，
设AC＝AD＝t，点C的坐标是（3，t），
∵DE∥y轴，
∴△ADE∽△ABO，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴DE＝ t，
∴D点的纵坐标为 t，
把y＝ t代入y＝ x﹣4得 t＝ x﹣4，
∴x＝ t+3，
∴D（ t+3， t），∵点C、D在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝3t＝（ t+3）• t，
整理得4t2﹣5t＝0，
解得：t ＝0（舍去），t ＝ ．
1 2
∴k＝3t＝ ．
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、解一元二次方程以及反比例函数图象上点的坐
标特征，解题的关键是根据反比例函数图象上点的坐标特征得出一元二次方程．
38．（2022•市南区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三
角形AOB，双曲线y ＝ 在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的表达式为y ＝k x+b，回答下列
1 2 2
问题：
（1）求双曲线y ＝ 和直线AB的y ＝k x+b表达式；
1 2 2
（2）当y ＞y 时，求x的取值范围；
1 2
（3）求△AOB的面积．【分析】（1）由△AOB是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线
的解析式；
（2）将解析式联立，解方程组求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出 x的取值
范围；
（3）先求得直线AB与y轴的交点D的坐标，然后利用S△AOB ＝S△AOD +S△BOD 求得即可．
【解答】解：（1）∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA＝OB，∠AOB＝90°．
∴AO绕O点旋转90°得到BO，
∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴点B的坐标（1，3）．
∵双曲线y ＝ 在第一象限内的图象经过点B．
1
∴k＝1×3＝3．
∴y ＝ ，
1
将A（﹣3，1），B（1，3）代入直线AB的解析式得 ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y ＝ x+ ．
2（2）由 ，解得 或 ，
∴C（﹣6，﹣ ），
当y ＞y 时，双曲线位于直线的上方，
1 2
∴x的取值范围是：x＜﹣6或0＜x＜1．
（3）令x＝0，则y ＝ x+ ＝ ，
2
∴D（0， ），
∴S△AOB ＝S△AOD +S△BOD ＝ × ×（1+3）＝5．
【点评】本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题
的关键．
39．（2022•吉阳区模拟）如图，函数y＝ 与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，AC∥y轴，
BC∥x轴，则△ABC的面积等于（ ）A．24 B．18 C．12 D．6
【分析】设点 B（m， ），则点 A（﹣m，﹣ ），则点 C（﹣m， ），则△ABC 的面积＝
×AC×BC，即可求解．
【解答】解：设点B（m， ），
∵函数y＝ 与函数y＝kx（k＞0）的图象相交于A、B两点，
∴点A、B关于原点对称，故点A（﹣m，﹣ ），则点C（﹣m， ），
则△ABC的面积＝ ×AC×BC＝ （ + ）×（m+m）＝12，
故选：C．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，掌握关于原点对称点的特征是解题关键．
九．根据实际问题列反比例函数关系式（共3小题）
40．（2022秋•滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款 3000元，
后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式
是（ ）
A． B．
C． D．【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到y与x的关系式．
【解答】解：由题意得： ，
即 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．
41．（2021•东胜区一模）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t
小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．
（1）写出v关于t的函数表达式；
（2）若某人开车的速度不超过每小时80千米，那么他从A地匀速行驶到B地至少要多长时间？
（3）若某人上午7点开车从A地出发，他能否在10点40分之前到达B地？请说明理由．
【分析】（1）根据题意列出函数表达式；
（2）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值；
（3）根据函数表达式，求自变量的范围即可，求得t的最大值，再和实际情况比较即可．
【解答】解：（1）根据题意，路程为400，
设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，
则v关于t的函数表达式为v＝ ；
（2）设从A地匀速行驶到B地要t小时，则 ≤80，
解得：t≥5，
∴他从A地匀速行驶到B地至少要5小时；
（3）∵v≤100，≤100，
解得：t≥4，
∴某人从A地出发最少用4个小时才能到达B地，
7点至10点40分，是3 小时，
∴他不能在10点40分之前到达B地．
【点评】本题考查了列函数表达式，根据函数关系式求自变量的范围，反比例函数的应用，列出表达式
是解题的关键．
42．（2021•杭州二模）某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气
体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）求这个函数的解析式；
（2）当气体体积为1m3时，气压是多少？
（3）当气球内的气压大于140kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？（精确
到0.01m3）
【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；
（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；
（3）把P＝140代入得到V即可．【解答】解：（1）设 ，
由题意知 ，
所以k＝96，
故 ；
（2）当v＝1m3时， ；
（3）当p＝140kPa时， ．
所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.69m3．
【点评】考查反比例函数的应用；应熟练掌握符合反比例函数解析式的数值的意义．
一十．反比例函数的应用（共4小题）
43．（2022秋•涟源市期中）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻
控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流I（A）与电阻R（ ）成反比例函数的图象，该图象经
过点P（880，0.25）．根据图象可知，下列说法正确的是（ ）Ω
A．当I＜0.25时，R＜880B．I与R的函数关系式是I＝ （R＞0）
C．当R＞1000时，I＞0.22
D．当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【解答】解：设I与R的函数关系式是I＝ （R＞0），
∵该图象经过点P（880，0.25），
∴ ＝0.25，
∴U＝220，
∴I与R的函数关系式是I＝ （R＞0），故选项B不符合题意；
当R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∵反比例函数I＝ （R＞0）I随R的增大而减小，
当R＜0.25时，I＞880，当R＞1000时，I＜0.22，故选项A，C不符合题意；
∵R＝0.25时，I＝880，当R＝1000时，I＝0.22，
∴当880＜R＜1000时，I的取值范围是0.22＜I＜0.25，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
44．（2022•南阳二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）
成反比例函数关系，其图象如图所示，点P（4，3）在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向
上移动的距离是（ ）A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m
【分析】利用点P的坐标求出F＝ ，当F＝10时，即F＝ ＝10，求出s，即可求解．
【解答】解：设函数的表达式F＝ ，
将点P的坐标代入上式得：3＝ ，
解得k＝12，
则反比例函数表达式为F＝ ，
当F＝10时，即F＝ ＝10，
解得s＝1.2，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数解析式是解题关键．
45．（2022•邓州市二模）给定一个函数：y＝x+ +1（x＞0），为了研究它的图象与性质，并运用它的图
象与性质解决实际问题，进行如下探索：
（1）图象初探
①列表如下x … 1 2 3 4 …
y … m 3 n …
请直接写出m，n的值；
②请在如下的平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（2）性质再探
请结合函数的图象，写出当x＝ 1 ，y有最小值为 3 ；
（3）学以致用
某农户要建造一个如图①所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为3
千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得到y与x的函数关系式为：y＝x+ +3．
根据以上信息，请回答以下问题：
①水池总造价的最低费用为 5 千元；
②若该农户预算不超过5.5千元，请直接写出x的值应控制在什么范围？ ≤ x ≤ 2 ．【分析】（1）①把x＝ 和x＝3分别代入解析式即可得出结论；
②把表格中x，y的对应值在平面直角坐标系中描出来，再用光滑的曲线连接起来；
（2）根据图形得出结论；
（3）①根据（2）可得结论；
②令x+ +3≤5.5，解不等式即可．
【解答】解：（1）①∵y＝x+ +1（x＞0），
∴当x＝ 时，y＝ + +1＝ ，
当x＝3时，y＝3+ +1＝ ，
∴m＝ ，n＝ ；
②如图：（2）由图象可得：当x＝1时，y的最小值为3，
故答案为：1，3；
（3）①由（2）可知，当x＝1时，x+ +3的最小值为5，
∴水池总造价的最低费用为5千元，
故答案为：5；
②由题意x+ +3≤5.5，
∵x＞0，
∴2x2﹣5x+2≤0，
解得： ≤x≤2，
故答案为： ≤x≤2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象和性质，数形结合是解此题的
关键．
46．（2021秋•丰南区期末）在工程实施过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y（天）与每天完成工程量x米的函数关系图象如图所示，是双曲线的一部分．
（1）请根据题意，求y与x之间的函数表达式；
（2）若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠30米，问该工程队需要用多少天才能完
成此项任务？
（3）工程队在（2）的条件下工作5天后接到防汛紧急通知，最多再给5天时间完成全部任务，则最少
还需调配几台挖掘机？
【分析】（1）将点（24，50）代入反比例函数的解析式，即可求得反比例函数的解析式；
（2）用工作效率乘以工作时间即可得到工作量，然后除以工作效率即可得到工作时间；
（3）工作量除以工作时间即可得到工作的效率，由此可得答案．
【解答】解：（1）设y＝ ．
∵点（24，50）在其图象上，
∴所求函数表达式为y＝ ；
（2）由图象，知共需开挖水渠24×50＝1200（m）；
2台挖掘机需要1200÷（2×30）＝20天；
答：该工程队需要用20天才能完成此项任务；
（3）1200÷10＝120（m），120÷30＝4（台），
故最少还需调配4台挖掘机．【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从中整理出解决实际问题的函数模型．
