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湖北省黄冈中学 2025 届高三第二次模拟考试
数学试卷
命题教师：肖海东，周永林，冯志 审题教师：龙晔
考试时间：2025年5月17日下午15:00-17:00 试卷满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1. 若 ，则
A． B． C． D．4
2. 已知集合 ， ，则
A． B．
C． D．
3. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则使 的最大 值为
A． B． C． D．
4. 已知一个圆台母线长为 ，侧面展开图是一个圆心角为 的扇环，则圆台上下底面圆周长之差的绝对
值为
A． B． C． D．
5. 在 中， ， ， ，则
A．2 B． C． D．
6. 2025年第一季度，中国新能源汽车单季出口首破120万辆，全球市占率40%，中国新能源汽车销量多
年全球第一，政策推动下充电网络快速扩展. 近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电
站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩. 为优化资
源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调
试.记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则
A． B． C． D．
7. 设函数 ，曲线 与 恰有一个交点，则
A．0 B． C． D．
湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试卷 第 1 页（共 5 页）8. 已知 ，且 ，则
A． B． C． D．无法确定 ， 的大小
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论错误的是
A．已知随机变量 服从二项分布 ，若 ， ，则
B．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
C．一组数据3，4，8，7，9，12，13的第60百分位数为8
D．若样本数据 ， ， ， 的方差为9，则 的方差为
10. 已知抛物线 与圆 相交于A，B两点，线段AB恰为圆M
的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，又CD是抛物线W过焦点 的
另一动弦，则以下结论正确的是
A．
B．过 两点分别作抛物线的切线，两切线的交点在圆 上
C．
D．当 时，
11. 已知数列 是斐波那契数列 ，这一数列以如下递推的方法定义：
．数列 对于确定的正整数k，若存在正整数n使得
成立，则称数列 为“ 阶可分拆数列” . 以下说法正确的是
A．若数列 是首项为2，公差为2的等差数列，则 为“3阶可分拆数列”
B．若数列 满足 ，则对 ，不存在正整数k，使得数列 为“k阶可
分拆数列”
C．若数列 的前n项和为 ，且数列 为“1阶可分拆数列”，则实数
D．若数列 满足 ，前n项和为 ，则当 且 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试卷 第 2 页（共 5 页）12. 已知多项式 ，则
.
13. 若函数 在区间 的值域为 ，则 的取值范围为 .
14. 我们规定：在四面体中，取其异面的两条棱的中点连线称为该四面体的一条“内棱”，三条内棱两两
垂直的四面体称为“垂棱四面体”.
如左图，在垂棱四面体 中，若 的边长分别为 ，则 外接球表面积
；
如右图，在空间直角坐标系中， 平面内有圆 ，直线 与圆 交于 两点，
为 平面下方一点，若 为垂棱四面体，则其外接球表面积 的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题13分）
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值.
16.（本题15分）
某公司准备了一个不透明的箱子，该箱子中装有6个大小一样的小球，其中2个为红色，1个为白色，
3个为蓝色. 职工甲、乙两人进行抽球游戏，在每轮比赛中，甲先从箱子中一次抽出3个小球，抽完后将
球放回，乙再一次抽3个小球. 各人计分规则如下：若抽出的三个小球颜色相同，则该人得8分；若抽出
的三个小球中有两球颜色相同，则得4分；若抽出的三个小球颜色各不相同，则得2分. 若两人第一轮得
分相同，则进行第二轮，直至出现两人得分不同，得分多者获得公司提前准备的奖励，游戏结束.
湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试卷 第 3 页（共 5 页）（1）记甲第一轮得分为X，求X的概率分布列及数学期望；
（2）求两人共抽n轮小球的概率 .
17.（本题15分）
如图，在斜三棱柱 中， ， 与平面 所成角正切值为 ， ，
， ，点 为棱 的中点，且点 向平面 所作投影在 内．
（1）求证： ；
（2）点 在棱 上且 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.（本题17分）
已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点 作垂直于x轴的直线，
该直线被E截得的弦长为6.
（1）求E的方程；
（2）若面积为12的 的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程；
（3）已知 ，过点 的直线l与E在y轴右侧交于不同的两点P，Q，l上存在点S满足
，且 ，试求 的范围.
19.（本题17分）
已知函数 .
（1）证明 ；
（ 2 ） 若 是 方 程 的 两 个 相 异 实 根 ， 当
湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试卷 第 4 页（共 5 页）时，求 的取值范围；
（3）当 且 时，试比较 与 的大小，并说明理由.
湖北省黄冈中学2025届高三5月第二次模拟考试数学试卷 第 5 页（共 5 页）
