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湖北省黄冈中学 2025 届高三 5 月第二次模拟考试
数学参考答案及评分细则
1.【答案】B
【解析】因为 ，所以 . 故选：B．
2.【答案】C
【解析】 ．由 ，可得 ，所以
．所以 . 故选：C．
3.【答案】B
【解析】等差数列 中， ， .
又 ，所以 ，解得 .
设等差数列 的公差为 ，根据等差数列通项公式 ，
可得 ，解得 ， ， ，
，由 解得 ，则使 的最大 值为 . 故选：B.
4.【答案】A
【解析】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为 ，外圆半径为 ，
则圆台母线长为 ，
设圆台上、下底面圆半径分别为 ，则 ，
，圆台上下底面圆周长之差的绝对值为 . 故选：A．
5.【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，即 ，
因为 ,
所以 . 故选：
C．
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 1 页（共 15 页）6.【答案】D
【解析】记“从A站调度的1个充电桩是超级快充桩”为事件 ，“从A站调度的1个充电桩是普通充
电桩”为事件 ，所以 .
故选：D．
7.【答案】C
【解析】令函数 ，
可得
，
即 ，所以函数 关于直线 对称，
因为函数 与 恰有一个交点，所以 ，
可得 ，解得 ，
当 ， 时， ，所以 . 故选：C．
8.【答案】A
【解析】令 ，则 ，
当 时， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ， ，由零点存在定理得 ，
令 ，则 ，
由上面的求解可知 在 上单调递增，且存在 ，使得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 2 页（共 15 页）又 ， ，故 的零点 ， ，所以 . 故选：A．
9.【答案】BCD
【解析】对于A中，由 ， ，解得 ，所以A正确；
对于B中，由正态曲线的对称性，可得 ，则
，所以B错误；
对于C中，由于 ，则第60百分位数为由小到大排列的第5个数为9，所以C错误；
对于D中，若样本数据 ， ， ， 的方差为9，则 的方差为 ，所以 D不
正确. 故选：BCD.
10.【答案】BC
【解析】对于A，如图，分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为 ， ， ，
由于圆的直径AB过焦点F，则 到准线的距离为 ，
又 ， ，解得 ，抛物线 ，故A错误；
对于B，设 ，两切线交于点 ，由A可知，抛物线 ，
易得 ，
所以直线 垂直，所以点 在以 为直径的圆上，故B正确；
对于C，设直线CD的方程为 ， ，又抛物线 ，
由 可得 ，则 ， ，
，
（当且仅当 时等号成立），故C正
确；
对于D， ， ，
，则 ，解得 或 （舍），
， ，故D错误. 故选：BC.
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 3 页（共 15 页）11.【答案】ACD
【解析】对于A：由题意可知 ， ， 所以 ，所以 为
“3阶可分拆数列”；
对于B：存在，理由如下：由已知得 ， ， ，
即 ， 对 ，当正整数 时，存在 ，使得 成立，即数列 为“1
阶可分拆数列”.
对于C： ， 当 时， ，当 时，
，
若数列 为“1阶可分拆数列”，则存在正整数 使得 成立，
当 时， ，即 ，解得 ，当 时， ，即
，
因 ，所以 ，又 ，故方程 无解， 符合条件的实数 的值为0.
对于D： ， 当 时， ，
， ，
若 ， ①，
②，
由①-②可得
，
， ， ，
当 且 时， 成立.故D正确，故选：ACD．
12.【答案】18
【解析】令 可得 ，令 ， ，相加可得
. 故答案为：18.
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 4 页（共 15 页）13.【答案】
【解析】因为 ，则 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ， ，
因为 在区间 的值域为 ，所以 ，解得 ，
此时 ， ，
又 ， ，则 ，故答案为： ．
14.【答案】
【解析】如图，连接 ，
由题知， 平行且等于 ， 平行且等于 ，
所以 ， ，故 为平行四边形，
所以对角线 ，则 是 的中点，
同理 也是 的中点，故“垂棱四面体”的三条内棱交于一点，
由三条内棱两两垂直，易知 为菱形，则 ，
显然 ，故 ，同理 ，
所以“垂棱四面体” 可补为如下图示的长方体，
设长宽高分别为 ，则其外接球半径 ，
外接球表面积 ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 5 页（共 15 页）显然 ， ， ，又 ，
， ， .
同理，题设右图可将 补成长方体， 三棱锥 外接球表面积为 ，
设 ， 联立 ，得 ，则 ，
所以 ，则 ，
由 为某长方体的三个顶点，结合题设新定义，易知 中 为锐角，
所以只需角 为锐角，即 ，则 ，解得 ，
又 ， ， ，
所以 ，
则 ，
， 时 最小，最小值为 ，又 时， ，
的取值范围是 . 故答案为：
15.【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 ··········································· 5分
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作 ，垂足为E．在 中，由 ，可得 ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 6 页（共 15 页）又 ，所以 ．在 中， ，因此 ．······ 5分
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .···························································13分
[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 ，可得
，从而
．
又由（1）可得 ，所以
．······················ 13分
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 ．
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 7 页（共 15 页）由 ，可得 ，从而 ．
在 中， ，所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
由于 ，所以 ，
所以 .··························································13分
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 ，垂足为E，作 ，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得 ．
由 ，可得 ．
在 中， ．
由（1）知 ，所以在 中， ，
从而 ．
在 中， ，所以 ．······························· 13分
18 97 (103) n−1
16.【答案】(1)分布列见解析， . (2) ×
5 200 200
【解析】（1）X的可能取值为：8，4，2概率分别为：
∁
3
1 ∁
1
∁
2+
∁
1
∁
2+
∁
1
∁
2+
∁
1
∁
2
13 ∁
1
∁
1
∁
1
3
P(X=8)= 3= ；P(X=4)= 1 2 3 2 2 3 1 3= ；P(X=2)= 2 1 3= ；
3 20 3 20 3 10
∁ ∁ ∁
6 6 6
所以X的概率分布列为
X 8 4 2
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 8 页（共 15 页）1 13 3
p
20 20 10
1 13 3 18
E(X)=8× +4× +2× = . ···················································7分
20 20 10 5
（2）记乙一轮比赛的得分为Y，事件A 为“一轮比赛甲乙得分相同”，
n
则P(A )=P(X=Y =8)+P(X=Y =4)+P(X=Y =2)
n
=P(X=8)P(Y =8)+P(X=4)P(Y =4)+P(X=2)P(Y =2)
( 1 ) 2 (13) 2 ( 3 ) 2 103
= + + = .
20 20 10 200
97
记事件B为“第n轮比赛甲乙得分不同”，则P(B)=1−P(A )= .
n 200
所以两人共抽n轮小球的概率
97 (103) n−1
P =P(A A ⋯A B)=P(A )P(A )⋯P(A )P(B)= × . ························15分
n 1 2 n−1 1 2 n−1 200 200
17.【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明： ， ， △ABC为等腰直角三角形.
取线段 的中点 ，连接 ， ，
， 为 的中点， ，············································ 1分
， ，
四边形 是平行四边形， ， ，
， 分别是 ， 的中点，
四边形 是平行四边形， ，
， ，
， ，···························································· 4分
， 平面 ，
平面 ， ． ······················································5分
（2）解：由（1）可知， 平面 ，
过点 在平面 内作 ，垂足为点 ，
平面 ， 平面 ， ，
， ， 、 平面 ， 平面 ，
直线 与平面 所成的角为 ， ， ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 9 页（共 15 页）， ， ，································ 7分
， ， ，
， ， 为 的中点， ，
以点 为坐标原点，在平面 内过 作 的垂线为 轴，
所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，·······························8分
， 则
，
点 ， ，
则 ，又
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，得 ，·····························································10分
设平面 的法向量为 ， ，
则 ，取 ，得 ，································12分
，··················14分
平面 与平面 夹角的余弦值为 ．···········································15分
18.【答案】(1) (2 或 或 (3)
【解析】（1）圆锥曲线E的离心率为2，故E为双曲线，
因为E中心在原点、焦点在x轴上，所以设E的方程为 ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 10 页（共 15 页）令 ，解得 ，所以有 ①
又由离心率为2，得 ②，由①②解得 ，
所以双曲线E的标准方程是 ．·····················································3分
（2）设 ， ，由已知，得 ，根据直线 过原点及对称性，知
， ······························4分
由题意可知直线BC的斜率不为0，
设直线BC的方程为 ，
联立直线BC与双曲线E的方程，得 ，化简整理，得 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 ，
所以直线 的方程是 或 或 ．······························ 7分
（3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意，
故直线l斜率存在，设直线l方程 ， ， ，
联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
化简整理，得 ，
所以 ， ，且 ，
直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 11 页（共 15 页），解得 ．········································ 9分
设点S的坐标为 ，由 ，得 ，
则 ，变形得到 ， ，
代入 中，解得 ，························································ 12分
设过点 与双曲线E右支相切的直线为 ， 与 的交点为 ，
过点 与双曲线E的渐近线 平行的直线为 ， 与 的交点为 ，
点的轨迹为线段 （不含端点），·····················································14分
由 解得 ， 由 解得 ，
， ，
整理得 ， ，
即 点的轨迹为以 为圆心， 为半径的圆与线段 的交点，
， ，解得 ，
的范围是 ．······························································ 17分
19．【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】（1）设 ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 12 页（共 15 页）易证得 （当且仅当 时取等号），
，当且仅当 时取等号，
. （当且仅当 时等号成立）··········································5分
（2）设 ，
对函数 ，设 上一点为 ，过点 的切线方程为 ，
将 代入上式得 ，
过 的 的切线方程为 ，整理得 ，
要使 与 有两个交点，则 .
由题意可知 ，由 ，
令 ，则 ， ，
，即 ， ，
令 ，令 ，
在 上递增.
因为 ，所以 在 上恒成立. 所以 在 上恒成立.
在 上递增.
又 ， 当 时， ，
的取值范围是 . ···························································· 11分
（3）易证得 （当且仅当 时取等号），
取 （其中 ），有 ，有 ，
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 13 页（共 15 页）又由 ，有 ，有 ，
有 ，有 ，有 ，
可得 ，有 ，
有 ，有 ，
当 且 时， ．······················································ 17分
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 14 页（共 15 页）附件二
试题双向细目表
科目 数 学
难易度
试题
题号 题型 分值 考点（知识点） 能力点 （难、中、
来源
易）
1 单选 5 复数的概念与运算 数学运算 易 原创
2 单选 5 集合的运算、集合的关系 数学运算 易 原创
3 单选 5 等差数列综合 数学运算 易 原创
空间几何体的表面积与体
4 单选 5 数学运算 易 改编
积
平面向量的数量积、平
5 单选 5 数学运算 易 改编
面向量基本定理
6 单选 5 条件概率、计数原理 数学建模 中 原创
7 单选 5 三角函数的图象与性质 数学运算 中 改编
数学运算
8 单选 5 函数的单调性、零点 难 改编
数据处理
9 多选 6 统计综合 数据处理 易 原创
直线与抛物线的几何性质 数学运算
10 多选 6 中 原创
综合 数据处理
数学运算
11 多选 6 数列新定义问题 难 改编
逻辑推理
12 填空 5 二项式定理 数学运算 易 原创
13 填空 5 三次函数的单调性与最值 数学运算 中 改编
球的切接问题、直线与圆 数学运算
14 填空 5 难 改编
的综合 逻辑推理
15 解答题 13 三角函数与解三角形 数学运算 易 改编
数学运算
16 解答题 15 立体几何与空间向量 中 改编
直观想象
数学运算
17 解答题 15 分布列、统计概率综合 中 改编
逻辑推理
数学运算
18 解答题 17 直线与双曲线综合 难 改编
数据处理
数学运算
19 解答题 17 导数综合 难 改编
逻辑推理
说明：试题来源应注明自创，改编，移用（改编和移用要注明出处）
湖北省黄冈中学2025届高三第二次模拟考试数学答案 第 15 页（共 15 页）
