文档内容
2014年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试
卷（小高组笔试一）
一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）
1．（8分）算式 的计算结果是 ．
2．（8分）今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的
新四位数是完全平方数，例如1024＝322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四
位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是 ．
3．（8分）在不同的历史时期，“斤”和“两”之间的进制不同，成语“半斤八两”就是由16
进制而来的．为了方便计算，我们认为古代16两是1斤，每斤为现代的600克；现在的10
两是1斤，每斤为现代的500克．有一批药品，有一部分按古制称，另一部分按现制称，统
计发现，“斤”数和是5，“两”数和是68．那么，这批药品共有 克．
4．（8分）两个完全相同的正三角形可以拼成一个菱形，如果正三角形的边长为10，则这个菱
形内部最大的正方形面积为 ．
二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）
5．（10分）A＝ ，与A×100最接近的整数是 ．
6．（10分）如图所示，由75个小方格组成了15×5的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，
现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意 2×2的方格中阴影小方格的数量都
多于一半，那么最少需要再把 个小方格涂上阴影．
第1页（共11页）7．（10分）自然数A除本身以外最大的约数是d，自然数A+2除本身以外最大的约数是d+2，
那么A的值是 ．
8．（10分）如图，三横、三竖、三斜共9条街道，编号为1～9的9个路口，A、B、C、D、E五位警
察在其中5个不同的路口站岗，如果两个警察在同一条街道上，那么他们就能互相看到，
他们各自说了如下的一句话：
A：“我能看到另4位警察”．
B：“我能看到另4位警察中的3位”．
C：“我能看到另4位警察中的2位”．
D：“我只能看到B”．
E：“我谁也看不到”．
已知他们恰有一人说谎，且说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的，那么，A、B、
C、D、E所在路口编号依次组成的五位数是 ．
三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）
9．（12分）四个小伙伴想办“亲情套餐”，即缴纳一定金钱后，四人之间发短信免费，但是尴
尬的是，当地只有10元的“三人间免费”的A套餐和5元的“两人间免费”的B套餐，
四人想了一下，觉得可以开几个这种套餐，使得小伙伴们可以通过由中间人转发器到相互
之间都可以免费发短信，那么在花钱最少的情况下，他们有 种开通套餐的方式．
10．（12分）如图，正八边形中连出3条对角线围成一个三角形（图中阴影部分），如果该正八
边形的边长为60，那么阴影部分的面积是 ．
第2页（共11页）11．（12分）A、B两地相距291千米，甲、乙两人同时从A地出发匀速前往B地，与此同时丙
从B地出发匀速前往A地，当乙走了p千米后与丙相遇时，甲走了q千米，又过了一段时
间，当甲、丙相遇时，乙共走了r千米，如果p、q、r均是质数，那么p、q、r的和是 ．
第3页（共11页）2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀
请赛试卷（小高组笔试一）
参考答案与试题解析
一、填空题Ⅰ（每题8分，共32分）
1．（8分）算式 的计算结果是 2 ．
【分析】先把分子部分10×12×14×18拆分为2×5×2×6×2×7×2×8×2×9，然后通过约分简算即
可．
【解答】解：
＝
＝2；
故答案为：2．
2．（8分）今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的
新四位数是完全平方数，例如1024＝322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四
位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是 240 1 ．
【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后
进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．
【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．
尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．
对以上8个数字进行分解得：
1024＝25， 1204＝4×301（不符合题意）， 2014＝2×1007（不符合题意）， 2104＝
①8×263（不符合②题意） ③ ④
2041＝13×157（不符合题意）， 2401＝49（2 符合题意）， 4201（质数）， 4021（质
⑤数）． ⑥ ⑦ ⑧
故答案为：2401
3．（8分）在不同的历史时期，“斤”和“两”之间的进制不同，成语“半斤八两”就是由16
进制而来的．为了方便计算，我们认为古代16两是1斤，每斤为现代的600克；现在的10
第4页（共11页）两是1斤，每斤为现代的500克．有一批药品，有一部分按古制称，另一部分按现制称，统
计发现，“斤”数和是5，“两”数和是68．那么，这批药品共有 280 0 克．
【分析】想要求出总重量，需要求出多少斤古制多少斤现代，总共5斤，共68两，属于鸡兔
同笼问题，用假设法即可．
【解答】解：假设全是按照古制称量，5斤是 16×5＝80（两），
实际“两”数和是68，80﹣68＝12（两），
每斤两数差为16﹣10＝6（两），
12÷6＝2（斤），
所以是3斤古制称重，2斤现代称重，
600×3+500×2＝2800（克）．
故答案为：2800克．
4．（8分）两个完全相同的正三角形可以拼成一个菱形，如果正三角形的边长为10，则这个菱
形内部最大的正方形面积为 5 0 ．
【分析】要使正方形的面积最大，只有当正方形的对角线与菱形的一条对角线时，正方形
的边长才能取最大值，然后求得正方形的边长，再求得面积．
【解答】解：有两种方法如图甲、图乙可以将正方形放入这个菱形内部：
根据分析，当正方形的对角线与菱形的一条对角线时，即如图甲时，正方形的边长才能取
最大值，
当正方形如图摆放时，面积最大，面积最大为：10×10÷2＝50
故答案是：50．
第5页（共11页）二、填空题Ⅱ（每题10分，共40分）
5．（10分）A＝ ，与A×100最接近的整数是 31 4 ．
【分析】先设出原式A＝ ，则x＝ ，则x＜6+ ＜27，然
后讨论x＝6，x＝27时A的值即可解决A×100最接近的整数是多少．
【解答】解：设A＝
则x＝ ，
x＝6+ ＜6+ ＜27，
当x＝6时，
第6页（共11页）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝3.142，
当x＝27时，
原式＝ ＝ ＝3.1408，
则，3.142×100＝314.2，
3.1408×100＝314.08，
则，314.08＜A×100＜314.2，之间的整数只有314，
所以，与A×100最接近的整数是314．
故答案为：314．
6．（10分）如图所示，由75个小方格组成了15×5的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，
现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意 2×2的方格中阴影小方格的数量都
多于一半，那么最少需要再把 1 7 个小方格涂上阴影．
【分析】此题实际上要求涂色后不存在相连的空白格（即任意两个空白格不存在公共顶
点）将空白格分成如下图不相连的7块．其中D、G两块为5×1，每块至少需要涂其中2个
格子，同理，C、F两块，每块至少需要涂其中1个格子．其它的填法与此类似．
【解答】解：
第7页（共11页）按照上图所涂，一共需要涂上17个格子．
故此题填17
7．（10分）自然数A除本身以外最大的约数是d，自然数A+2除本身以外最大的约数是d+2，
那么A的值是 7 ．
【分析】首先证明A是质数，d＝1，推出d+2＝3，由d+2是A+2除本身以外的最大约数，推
出A+2＝9，由此即可解决问题．
【解答】解：如果A是偶数，则d＝ ，d+2＝ ，矛盾，所以A是奇数，A和A+2互质，d和
d+2互质．若A不是质数，设A＝md，m是A的最小质因数，则（d+2）|（md+2），
∴（d+2）|（md+2m+2﹣2m），
∴（d+2）|（2m﹣2），
∴（d+2）|（m﹣1）与m是最小质因数矛盾，
∴A是质数，
∴d＝1，d+2＝3，
∵d+2是A+2除本身以外的最大约数，
∴A+2＝9，
∴A＝7．
故答案为7．
8．（10分）如图，三横、三竖、三斜共9条街道，编号为1～9的9个路口，A、B、C、D、E五位警
察在其中5个不同的路口站岗，如果两个警察在同一条街道上，那么他们就能互相看到，
他们各自说了如下的一句话：
A：“我能看到另4位警察”．
B：“我能看到另4位警察中的3位”．
C：“我能看到另4位警察中的2位”．
D：“我只能看到B”．
E：“我谁也看不到”．
已知他们恰有一人说谎，且说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的，那么，A、B、
第8页（共11页）C、D、E所在路口编号依次组成的五位数是 2549 6 ．
【分析】显然A说的话与D、E矛盾，所以A说的是错的，B、C、D、E说的是对的，可以假设
若有人站在1号位置，他可以看到2、4、8、3、6号，共5个位置，所以E不能站在1号位置，
否则2、4、8、3、6号位置均不能站人，则位置不够，同理，可以判断其它字母所在路口的编
号．
【解答】解：根据分析，A说的话与D、E矛盾，所以A说的是错的，B、C、D、E说的是对的，
若有人站在1号位置，他可以看到2、4、8、3、6号，共5个位置，所以E不能站在1号位置，
否则2、4、8、3、6号位置均不能站人，则位置不够，同理，3号能看到6个位置，4号能看到
6个位置，
5号能5个位置，7号能看到6个位置，8号能看到6个位置，这些位置E都不能站，所以E
只能站在2、6、9；
若E站在2号位置，1、4、5、7不能站，剩下的3、6、8、9这4个位置中没人能同时看到另外
3个位置，
与B可以看到3个人矛盾；
若E站在9号位置，3、5、7、8不能站人，剩下的1、2、4、9这4个位置中能同时看到另外3
个位置只有1，
那么B再1，而1是最小编号，A所在位置的编号一定比1大，
这与题意中“说谎的警察所在路口的编号是五位警察中最小的”矛盾；
所以E在6号位置，1、3、7、8不能站人，剩下的2、4、5、9中能同时看到另外3个位置的只
有5，
那么B在5；说谎的A所在路口的编号是五位警察中最小的，所以A在2；
4能看到在2的A与在5的B，据“D只能看到B”，所以D不在4，D在9，；
剩下的C在4．
故答案是：25496．
三、填空题Ⅲ（每题12分，共48分）
第9页（共11页）9．（12分）四个小伙伴想办“亲情套餐”，即缴纳一定金钱后，四人之间发短信免费，但是尴
尬的是，当地只有10元的“三人间免费”的A套餐和5元的“两人间免费”的B套餐，
四人想了一下，觉得可以开几个这种套餐，使得小伙伴们可以通过由中间人转发器到相互
之间都可以免费发短信，那么在花钱最少的情况下，他们有 2 8 种开通套餐的方式．
【分析】4人如果想相互之间免费发短信，最少花15元．可以办1个三人套餐1个两人套餐，
或3个两人套餐，分类讨论，利用计数原理得出结论．
【解答】解：4人如果想相互之间免费发短信，最少花15元．可以办1个三人套餐1个两人
套餐，或3个两人套餐．第一种情况，办1个三人套餐和1个两人套餐，从4个人选出3个
人办套餐共有4种方法，3人中选出1人跟没办3人套餐的人办两人套餐，所以，共有4×3
＝12种方法；
第二种情况，办3个两人套餐，A和B、B和C、C和D，共有4×3×2×1÷2＝12种方法；
第三种情况，办3个两人套餐，A和B、C、D办，共有4种方法．
综上所述，共有12+12+4＝28种方法．
故答案为28．
10．（12分）如图，正八边形中连出3条对角线围成一个三角形（图中阴影部分），如果该正八
边形的边长为60，那么阴影部分的面积是 90 0 ．
【分析】由题目的已知条件可得：正八边形由外接圆，圆心是O，利用圆周角是圆心角的一
半，可求得：∠CBA、∠BCA，再用三角形的内角和，求∠BAC．得知AB＝BC＝60；再用BF
是直径和△BOH和△BEF是相似三角形，求出OH的长是30，之后就可求出阴影部分的
面积了．
【解答】
解：做OH⊥BE，与BE的交点是H．
∵是正八边形
第10页（共11页）∴∠BOC＝360°÷8＝45°，O是外接圆的圆心，像OB、OA、OF等是圆的半径．
∠ABC＝2∠BOC÷2＝45°，∠ACB＝3∠BOC÷2＝67.5°
∠CAB＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°
∴∠ACB＝CAB＝67.5°
AB＝CB＝60
又∵BF是圆的直径
∴∠BEF＝90°
△BOH∽△BEF
OH＝ ＝ ＝30
S△AOB＝AB×OH÷2＝60×30÷2＝900
故：阴影部分的面积是900．
11．（12分）A、B两地相距291千米，甲、乙两人同时从A地出发匀速前往B地，与此同时丙
从B地出发匀速前往A地，当乙走了p千米后与丙相遇时，甲走了q千米，又过了一段时
间，当甲、丙相遇时，乙共走了r千米，如果p、q、r均是质数，那么p、q、r的和是 22 1 ．
【分析】此题重点找甲乙丙之间的路程关系进行分析，在2次相遇过程中速度没变，相遇时
时间相同，所以速度比可以转换成路程之比．
【解答】解：由题意可知q＜p＜r
当乙走了p千米时，丙共走了291﹣p千米，甲走q千米，甲丙路程和291﹣p+q千米．
当乙走了r千米时，甲丙相遇，路程和是一个全长291千米．
∴路程成比例 ，解291p＝r（291﹣p+q）
p，q，r均为质数，291一定被r整除，所以r有两种情况r＝3，或者r＝97
当r＝3时，p＝2，q＝1与题意矛盾，∴r＝97
当r＝97，代入291p＝r（291﹣p+q）得4p＝291+p
∵4p＞293．∴p＞73．在73和97之间的质数有79，83，89．当p尾数是9时，q的尾数是5
不符合题意
∴p＝83．代入q＝41
∴p+q+r＝83+41+97＝221
综上所述，p，q，r的和是221
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:47:17；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第11页（共11页）
