文档内容
2014年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛试
卷（小高组笔试二）
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）甲参加铁人三项比赛，先是游泳1.5千米，接着骑自行车40千米，最后跑10千米．
甲的跑步速度是游泳速度的5倍，骑车速度是跑步速度的2.5倍，甲的游泳和跑步的总时
间比骑车的时间多6分钟，那么甲完成整个比赛的时间为 分钟．
2．（20分）如图，圆圈上有7个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该
点处的数字．老师让7名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前
的盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放
一枚棋子．重复上述传递方式20次后，老师共向所有的盒子里放了 枚棋子．
3．（20分）十个毕业班级都向低年级同学捐献了图书，其中任意六个班所捐献的册数之和都
不少于总捐献册数50%．那么捐献册数最多的班级所捐献册数占总册数的最大百分比是
．
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）如图是手机上设置“手势密码”的图片，在2×2方格中有9个格点．“手势密码”
是以某个格点为起点，用线段依次连接若干格点．每次连接的线段中间不能有未被用过的
格点并且线段的两个端点不能都是已用的格点．若一个人的手势密码以中心的格点为起
点且只用了三个格点，则有多少种连接方式？
5．（20分）两个相同的长方形纸片，每块面积为48平方厘米．如图所示叠放在一起盖住的面
第1页（共7页）积为72平方厘米．已知重叠部分的四边形ABCD的一条对角线BD为6厘米，则每张长方
形纸片的长是多少厘米？
6．（20分）将分别写有数1至23的23张卡片分成三堆，已知三堆卡片上的数的平均数分别
是13、4、17，问：平均数为13的那堆至少有几张卡片？
第2页（共7页）2014 年第五届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀
请赛试卷（小高组笔试二）
参考答案与试题解析
一、填空题（每题20分，共60分）
1．（20分）甲参加铁人三项比赛，先是游泳1.5千米，接着骑自行车40千米，最后跑10千米．
甲的跑步速度是游泳速度的5倍，骑车速度是跑步速度的2.5倍，甲的游泳和跑步的总时
间比骑车的时间多6分钟，那么甲完成整个比赛的时间为 13 4 分钟．
【分析】根据题意可设游泳的速度为每分钟x千米，跑步的速度是每分钟5x千米，骑车的
速度是每分钟2.5×5x千米，根据游泳的时间+跑步的时间﹣骑车的时间＝6，据此可列方
程进行解答．
【解答】解：设游泳的速度为每分钟x千米，跑步的速度是每分钟5x千米，骑车的速度是每
分钟2.5×5x千米
+ ﹣ ＝6
＝6
1.5+2﹣3.2＝6x
0.3＝6x
x＝0.05
5x＝5×0.05＝0.25
2.5×5x＝2.5×5×0.05＝0.625
（1.5÷0.05）+（10÷0.25）+（40÷0.625）
＝30+40+64
＝134（分钟）
答：整个比赛的时间为 134分钟．
故答案为：134．
2．（20分）如图，圆圈上有7个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该
点处的数字．老师让7名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前
的盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放
第3页（共7页）一枚棋子．重复上述传递方式20次后，老师共向所有的盒子里放了 4 2 枚棋子．
【分析】按题设要求进行操作，找出其规律，这样往往是周期现象问题．
【解答】解：每次传递后盒子里棋子数目变化如下：
原来棋子数：2，4，6，8，10，12，14 （逆时针方向排列）
第1次：8，3，7，7，9，11，13，
放6枚后：8，4，8，8，10，12，14
第2次操作后：12，6，6，8，10，12，14，放了6枚；
第3次操作后：14，10，6，8，10，12，14，放了6枚；
第4次操作后：14，12，8，8，10，12，14，放了4枚；
第5次操作后：14，11，10，8，10，12，14，放了4枚；
第6次操作后：14，14，12，10，10，12，14，放了4枚；
第7次操作后：14，14，14，12，10，12，14，放了4枚；
第8次操作后：14，14，14，14，12，12，14，放了4枚；
第9次操作后：14，14，14，14，11，12，14，放了2枚；
第10次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放了2枚；
第11次操作后：14，14，14，14，14，14，14，放O枚；
以后不论进行多少次，每盒棋子数不变，也不用放棋子，
共计放入3×6+5×4+2×2＝42（枚）．
答案：42枚．
3．（20分）十个毕业班级都向低年级同学捐献了图书，其中任意六个班所捐献的册数之和都
不少于总捐献册数50%．那么捐献册数最多的班级所捐献册数占总册数的最大百分比是
25% ．
【分析】按题意，可以设甲为捐献册数最多的班级，x%是其所捐献册数占总数的百分比，其
余的9个班按3个班级一组分为A、B和C三组，可以利用所捐献册数之和不少于50%，
可解得x的取值范围，取的最大值即是所求的最大百分比．
【解答】解：根据分析，设甲为捐献册数最多的班级，x%是其所捐献册数占总数的百分比，
其余的9个班按3个班级一组分为A、B和C三组，
第4页（共7页）设他们所捐献册数占总数百分比为a%，b%和c%．则：
2（100﹣x）＝2（a+b+c）＝（a+b）+（b+c）+（c+a）≥50+50+50，
解得：x≤25．
∴捐献册数最多的班级所捐献册数占总数的最大百分比不能超过25%，
当9个班级每一个捐书册数占总数的 %＝ %时，则他们中任意6个所捐献册数之和
恰好为总数的50%，而甲的恰好为25%．
故答案是：25%．
二、解答题（每题20分，共60分）
4．（20分）如图是手机上设置“手势密码”的图片，在2×2方格中有9个格点．“手势密码”
是以某个格点为起点，用线段依次连接若干格点．每次连接的线段中间不能有未被用过的
格点并且线段的两个端点不能都是已用的格点．若一个人的手势密码以中心的格点为起
点且只用了三个格点，则有多少种连接方式？
【分析】如右图所示，9个格点分别用字母标示，以O为起点，可以先用线段连接另外8个
格点的任意一个，然后再连接第三个点，分两类推理，利用分类计数原理可得结论．
【解答】解：如右图所示，9个格点分别用字母标示，以O为起点，可以先用线段连接另外8
个格点的任意一个，然后再连接第三个点．
第二个格点为A时，由题意，连接的第三个格点可以是B，D，E，F，H，所以有5种连接
①方式；类似地，第二个格点为C，E，G时各有5种连接方式；
第二个格点为B时，连接的第三个格点可以是O和B以外的其它7个格点，所以有7
②种连接方式；类似地，第二个格点为D，F，H时，各有7种连接方式，
因此满足条件的连接方式共有4×（5+7）＝48种．
故答案为：48．
5．（20分）两个相同的长方形纸片，每块面积为48平方厘米．如图所示叠放在一起盖住的面
积为72平方厘米．已知重叠部分的四边形ABCD的一条对角线BD为6厘米，则每张长方
形纸片的长是多少厘米？
第5页（共7页）【分析】易知ABCD是平行四边形，其面积为48+48﹣72＝24平方厘米．
又设长方形纸片的宽为h，则h也是平行四边形的两组平行线间的距离，所以AD×h＝
ABCD的面积＝DC×h，
▱得AD＝DC，因此ABCD是菱形，菱形的对角线AC与BD互相垂直于O，所以AC×6÷2＝
24，因此AC＝8．
在直角三角形COD中，OD＝3厘米，OC＝4厘米，所以DC＝5厘米．
因此5×h＝24，所以，h＝4.8厘米．
由于长方形的面积为48平方厘米，所以长方形的长为10厘米．
【解答】解：平行四边形ABCD的面积是：
48+48﹣72＝24平方（厘米）．
又设长方形纸片的宽为h，则h也是平行四边形的两组平行线间的距离，
所以AD×h＝ ABCD的面积＝DC×h，
得AD＝DC，▱因此ABCD是菱形，菱形的对角线AC与BD互相垂直于O，
所以AC×6÷2＝24，因此AC＝8厘米．
在直角三角形COD中，OD＝3厘米，OC＝4厘米，
所以DC＝ ＝5（厘米）．
因此5×h＝24，所以，h＝24÷5＝4.8（厘米）
48÷4.8＝10（厘米）
答：每张长方形纸片的长是10厘米．
6．（20分）将分别写有数1至23的23张卡片分成三堆，已知三堆卡片上的数的平均数分别
是13、4、17，问：平均数为13的那堆至少有几张卡片？
【分析】根据题意，设平均数是13、4、17的堆各有a、b、c张卡片，则：a+b+c＝23，
13a+4b+17c＝1+2+3+…+23＝276，将c＝23﹣b﹣a代入13a+4b+17c＝276，可得：4a+13b
＝115，据此求出平均数为13的那堆至少有几张卡片即可．
第6页（共7页）【解答】解：设平均数是13、4、17的堆各有a、b、c张卡片，
则：a+b+c＝23（1），
13a+4b+17c＝1+2+3+…+23＝276（2），
由（1），可得：c＝23﹣b﹣a，
将c＝23﹣b﹣a代入13a+4b+17c＝276，
可得：4a+13b＝115，
由13b＜115，可得：b＜8.8，且b是整数，
因为b＝8时，a＝2.75（不符合题意），
所以b最大只能是7，
所以a的最小值是：
（115﹣13×7）÷4
＝24÷4
＝6（张）
答：平均数为13的那堆至少有6张卡片．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/5/7 10:49:47；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
第7页（共7页）
